什么是 topology？

Exemplo 25.2 (A majoração polar, o modo limpo de demonstrar um limite)

Mostre que $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (com $f(0,0) = 0$) é contínua na origem. Em coordenadas polares $x = \rho\cos\theta$, $y = \rho\sin\theta$:

uma cota independente de $\theta$: qualquer que seja a direção de aproximação, os valores são espremidos até $0$. Essa uniformidade em $\theta$ é todo o ponto — uma cota como $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (sem nenhum $\rho$ restante) nada demonstra, e de fato esse $g$ é a armadilha radial descontínua do exemplo seguinte.

Exemplo 25.3 (A armadilha radial)

Seja $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ para $(x,y) \neq (0,0)$, $f(0, 0) = 0$. Ao longo de cada eixo, $f = 0 \to 0$; mas ao longo da diagonal $y = x$, $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$. Nenhum limite na origem: aproximar-se por todas as retas, e até encontrar o mesmo limite ao longo de cada uma, não basta (aqui os limites ao longo das retas discordam; exemplos piores concordam ao longo de todas as retas e ainda assim falham ao longo de uma parábola, o Exercício 25.3). A continuidade em cada variável separadamente não implica a continuidade.

Exemplo 6.2

(a) Um espaço métrico, com “aberto” no sentido do segundo ano (reuniões de bolas abertas): a topologia métrica; métricas diferentes podem dar a mesma topologia (métricas equivalentes). Um espaço cuja topologia provém de alguma métrica é metrizável. (b) A topologia discreta (todos os subconjuntos) e a topologia grosseira $\{\varnothing, X\}$. (c) A topologia cofinita sobre um conjunto infinito: aberto $=$ vazio ou cofinito. Não é metrizável, como veremos (Exercício 6.3). (d) Em $\R$, a topologia usual; em $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$, a topologia da ordem gerada pelas semirretas — o que faz de “$x_n \to +\infty$” um caso de convergência comum.