বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Bahasa Indonesia সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Ilmu Kebumian dan Antariksa Sekolah Menengah Atas · শ্রেণি 10–12

1Mengukur Bumi

Berdirilah di pantai dan perhatikan sebuah kapal yang berlayar menjauh ke laut lepas. Kapal itu tidak sekadar mengecil sampai terlalu kecil untuk dilihat: mula-mula lambungnya menghilang, seakan-akan tenggelam, lalu bagian bawah bangunan atasnya, dan puncak tiangnya hilang paling akhir. Laut di antara kamu dan kapal itu tidak datar; permukaannya menggembung. Lebih dari dua puluh dua abad yang lalu, seorang cendekiawan dari Aleksandria mengubah pengamatan yang serupa — panjang bayang-bayang pada tengah hari — menjadi pengukuran ukuran seluruh planet. Bab ini mengikuti pengukuran itu dan pengukuran-pengukuran sesudahnya: rantai segitiga yang dibentangkan para juru ukur melintasi negeri-negeri, ekspedisi yang dikirim ke Arktik dan ke khatulistiwa untuk mengetahui apakah Bumi pepat, lahirnya meter, dan satelit yang kini dipakai untuk mengukur planet ini.

Bumi yang dipotret oleh awak Apollo 17 dalam perjalanan menuju Bulan, pada Desember 1972: Afrika, Jazirah Arab, dan es Antarktika. Foto: NASA (domain publik).

Yang sudah kamu ketahui

Letak suatu tempat di Bumi ditentukan oleh lintangnya, yaitu sudutnya ke utara atau ke selatan dari khatulistiwa, dan bujurnya, yaitu sudutnya ke timur atau ke barat dari sebuah meridian acuan; meridian menghubungkan kedua kutub, sedangkan paralel melingkari Bumi sejajar dengan khatulistiwa (Buku 1). Dalam medium yang seragam cahaya merambat lurus, dan sinar yang sampai di Bumi dari Matahari yang sangat jauh saling sejajar (buku-buku fisika). Dalam segitiga siku-siku, sinus sebuah sudut lancip adalah sisi depan dibagi sisi miring, kosinusnya sisi samping dibagi sisi miring, dan tangennya sisi depan dibagi sisi samping (buku-buku matematika).

1.1 Bumi yang bulat

Jauh sebelum ada orang yang dapat melihat Bumi dari angkasa, beberapa pengamatan sudah menunjukkan bahwa Bumi itu bulat.

Kapal di balik cakrawala. Kapal yang berlayar menjauh menghilang dari bawah ke atas, ke segala arah dan di setiap laut: permukaan laut melengkung di mana-mana.
Bayang-bayang di Bulan. Saat gerhana Bulan, bayang-bayang Bumi jatuh pada Bulan. Tepinya selalu berupa busur lingkaran, pada jam berapa pun malam itu; hanya bola yang menghasilkan bayang-bayang bulat ke segala arah.
Bintang-bintang berubah menurut lintang. Seorang pelancong yang bergerak ke utara melihat Bintang Utara naik makin tinggi di atas cakrawala, sedangkan bintang-bintang langit selatan tenggelam di bawahnya: cakrawala pelancong itu miring karena ia bergerak di atas permukaan yang melengkung.
Pelayaran keliling dunia dan pemandangan dari angkasa. Kapal-kapal, lalu pesawat terbang, telah mengelilingi dunia ke segala arah; sejak tahun 1960-an seluruh planet yang bulat ini telah dipotret.

Mengapa kapal menghilang dari bawah ke atas: pengamat hanya melihat apa yang berada di atas garis pandang yang menyinggung laut di cakrawala. Kelengkungannya sangat dibesar-besarkan.

1.2 Eratosthenes mengukur Bumi

Eratosthenes dari Kirene (276–194 SM) adalah pustakawan Aleksandria. Ia mendengar bahwa di Syene, kini Aswan, jauh di hulu Sungai Nil, Matahari menerangi seluruh dasar sebuah sumur pada tengah hari di hari titik balik musim panas: saat itu Matahari tepat berada di atas kepala. Di Aleksandria, pada saat yang sama, sebatang tongkat tegak membentuk bayang-bayang pendek: sinar Matahari membentuk sudut sekitar $7.2{}^{\circ}$ dengan garis vertikal, seperlima puluh lingkaran penuh.

Penalaran Eratosthenes. Di Syene Matahari tepat di atas kepala: sinarnya mengarah ke pusat Bumi. Di Aleksandria sebatang tongkat tegak, yang juga mengarah ke pusat, membentuk sudut dengan sinar Matahari. Sudut di pusat antara kedua tempat itu sama dengan . Sudutnya dibesar-besarkan: sebenarnya hanya 7.2. — Penalaran Eratosthenes. Di Syene Matahari tepat di atas kepala: sinarnya mengarah ke pusat Bumi. Di Aleksandria sebatang tongkat tegak, yang juga mengarah ke pusat, membentuk sudut $\alpha$ dengan sinar Matahari. Sudut di pusat antara kedua tempat itu sama dengan $\alpha$ . Sudutnya dibesar-besarkan: sebenarnya hanya $7.2{}^{\circ}$ .

Proposisi 1.1 (Hubungan Eratosthenes)

Jika dua tempat terletak pada meridian yang sama, berjarak $d$ , dan sudut sinar Matahari tengah hari terhadap garis vertikal di kedua tempat berbeda sebesar $\alpha$ (dalam derajat), keliling Bumi adalah

C = \frac{360{}^{\circ}}{\alpha}\, d .

Bukti. Matahari begitu jauh sehingga sinarnya yang sampai di kedua tempat saling sejajar. Di setiap tempat, garis vertikal mengarah ke pusat Bumi. Pada gambar, sinar yang mengenai tongkat dan jari-jari yang melalui Syene adalah dua garis sejajar, dan jari-jari yang melalui Aleksandria memotong keduanya: sudut $\alpha$ antara tongkat dan sinar serta sudut di pusat antara kedua jari-jari adalah sudut-sudut berseberangan, jadi sama besar. Busur $d$ merupakan bagian dari seluruh keliling yang sama dengan bagian sudut $\alpha$ dari satu putaran penuh: $d/C = \alpha/360{}^{\circ}$ . ∎

Metode 1.2 (Mengukur keliling dari dua bayang-bayang)

Pilih dua tempat yang (hampir) terletak pada meridian yang sama, lalu ukur jarak utara–selatan $d$ di antara keduanya.
Pada tengah hari setempat di hari yang sama, ukur di setiap tempat sudut antara sebatang tongkat tegak dan sinar Matahari: $\tan \theta = s/h$ , dengan $h$ tinggi tongkat dan $s$ panjang bayang-bayangnya. Jangan pernah memandang Matahari itu sendiri: sudut dibaca dari bayang-bayang saja.
Ambil selisih $\alpha$ kedua sudut itu dan terapkan $C = (360/\alpha)\,d$ .

Contoh 1.3 (Angka-angka Eratosthenes)

Eratosthenes menganggap jarak dari Aleksandria ke Syene 5000 stadion, sebuah satuan panjang Yunani. Dengan $\alpha = 1/50$ lingkaran,

C = 50 \times 5000 = 250\,000 \text{ stadion}.

Berapa panjang satu stadion? Para sejarawan masih memperdebatkannya. Dengan $157.2\,\mathrm{m}$ , $C \approx 39\,300\,\mathrm{km}$ ; dengan $166.7\,\mathrm{m}$ , $C \approx 41\,700\,\mathrm{km}$ . Keliling meridian yang sebenarnya adalah $40\,008\,\mathrm{km}$ : bagaimanapun juga, hasil Eratosthenes hanya meleset beberapa persen.

Catatan 1.4 (Apa yang dianggap benar)

Eratosthenes menganggap Bumi berbentuk bola, Matahari cukup jauh sehingga sinarnya sejajar, Syene tepat berada di garis balik (tempat Matahari dapat berada tepat di atas kepala), dan Syene tepat di sebelah selatan Aleksandria. Masing-masing anggapan itu hampir benar, tetapi tidak tepat: Aswan terletak sekitar $3{}^{\circ}$ bujur di sebelah timur Aleksandria. Yang penting adalah komponen utara–selatan jarak itu, yaitu komponen sepanjang meridian.

1.3 Triangulasi

Mengukur jarak yang panjang di tanah dengan rantai atau tongkat ukur berjalan lambat, dan melintasi sungai, hutan, dan pegunungan hal itu mustahil. Sebaliknya, sudut dapat diukur dengan sangat teliti memakai teleskop pada lingkaran berskala, yang diarahkan bergantian ke dua tanda yang jauh. Sejak abad kedelapan belas, para juru ukur memakai cara ini untuk mengukur seluruh negeri.

Definisi 1.5 (Geodesi)

Yang disebut geodesi adalah ilmu yang mengukur bentuk dan ukuran Bumi serta posisi titik-titik di permukaannya, dan mengikuti perubahannya dari waktu ke waktu.

Definisi 1.6 (Triangulasi)

Yang disebut triangulasi adalah cara menentukan letak titik-titik yang jauh dengan rantai segitiga: satu sisinya, yaitu garis dasar, diukur di tanah dengan sangat cermat; semua sudut segitiga diukur dari titik-titik sudutnya; semua sisi lain kemudian dihitung.

Perhitungannya bertumpu pada satu hubungan antara sisi-sisi dan sudut-sudut sembarang segitiga. Dalam segitiga $ABC$ , tuliskan $a$ , $b$ , $c$ untuk sisi-sisi di hadapan titik sudut $A$ , $B$ , $C$ , dan $A$ , $B$ , $C$ juga untuk sudut-sudut di titik sudut itu.

Proposisi 1.7 (Aturan sinus)

Dalam sembarang segitiga $ABC$ ,

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

Bukti. Tarik garis tinggi dari $C$ yang memotong garis $AB$ di $H$ (panel kedua pada gambar di bawah); tuliskan $h = CH$ . Dalam segitiga siku-siku $AHC$ , $\sin A = h/b$ , jadi $h = b \sin A$ . Dalam segitiga siku-siku $BHC$ , $\sin B = h/a$ , jadi $h = a \sin B$ . Oleh karena itu $b \sin A = a \sin B$ , yaitu $a/\sin A = b/\sin B$ . (Jika sudut di $B$ tumpul, $H$ jatuh di luar $B$ dan sudut segitiga siku-siku di $B$ adalah $180{}^{\circ} - B$ , yang sinusnya sama.) Penalaran yang sama dengan garis tinggi dari $A$ memberikan $b/\sin B = c/\sin C$ . ∎

Kiri: rantai segitiga yang dibentangkan sepanjang meridian dari garis dasar terukur AB; busur-busur menandai dua dari sekian banyak sudut yang diukur dengan alat. Kanan: garis tinggi h dari C, yang ditulis dengan dua cara, menghasilkan aturan sinus. — Kiri: rantai segitiga yang dibentangkan sepanjang meridian dari garis dasar terukur $AB$ ; busur-busur menandai dua dari sekian banyak sudut yang diukur dengan alat. Kanan: garis tinggi $h$ dari $C$ , yang ditulis dengan dua cara, menghasilkan aturan sinus.

Metode 1.8 (Menghitung rantai triangulasi)

Pada segitiga pertama $ABC$ , garis dasar $c = AB$ serta sudut-sudut di $A$ dan $B$ diukur; sudut ketiga adalah $C = 180{}^{\circ} - A - B$ (dan pengukurannya memeriksa sudut-sudut yang lain).
Aturan sinus memberikan kedua sisi lainnya: $b = AC = c \sin B / \sin C$ dan $a = BC = c \sin A / \sin C$ .
Sisi yang sudah dihitung menjadi sisi yang diketahui pada segitiga berikutnya, dan begitu seterusnya sepanjang rantai.
Akhirnya, komponen utara–selatan setiap sisi dihitung dengan kosinus sudutnya terhadap meridian, lalu komponen-komponen itu dijumlahkan.

Contoh 1.9 (Satu segitiga)

Garis dasar $AB = 8.000\,\mathrm{km}$ diukur; dari $A$ tanda $C$ terlihat $70{}^{\circ}$ dari arah $B$ , dan dari $B$ $60{}^{\circ}$ dari arah $A$ . Maka $C = 50{}^{\circ}$ dan

AC = \frac{8.000 \times \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{8.000 \times 0.8660}{0.7660} \approx 9.044\,\mathrm{km}, \qquad BC = \frac{8.000 \times \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 9.814\,\mathrm{km}.

Tidak ada jarak lain selain garis dasar yang ditempuh dengan berjalan kaki.

Contoh 1.10 (Meridian sang meter)

Pada Maret 1791 meter didefinisikan sebagai sepersepuluh juta jarak dari kutub ke khatulistiwa sepanjang meridian. Untuk menemukan jarak itu, dua astronom, Jean-Baptiste Delambre dan Pierre Méchain, mengukur dengan triangulasi busur meridian dari Dunkirk, di tepi Laut Utara, sampai Barcelona, di tepi Laut Tengah — hampir tujuh tahun kerja, Delambre di dua pertiga bagian utara, Méchain di sepertiga bagian selatan. Kedua kota itu berselisih lintang $9.646{}^{\circ}$ ; pada elipsoid modern, busur di antara paralel-paralelnya panjangnya $1072.2\,\mathrm{km}$ . Panjang sebuah busur dan selisih lintangnya memberikan panjang satu derajat; bentuk Bumi kemudian memberikan seluruh seperempat meridian. Batang standar platina meter yang baru dibuat pada 1799 dan disimpan di Arsip Nasional.

Sejarah — Lingkaran pengulang

Sudut-sudut meridian sang meter diukur dengan lingkaran pengulang, alat buatan Jean-Charles de Borda: dua teleskop pada lingkaran berskala, diarahkan bergantian ke dua tanda berkali-kali, sehingga kesalahan membaca skala terbagi oleh banyaknya pengulangan.

Lingkaran pengulang yang dipasang untuk mengukur sudut mendatar, seperti diukir dalam laporan pengukuran Delambre (1807). Domain publik (Wikimedia Commons).

1.4 Bumi yang pepat

Sekitar tahun 1687, Isaac Newton berpendapat berdasarkan teori gravitasinya bahwa Bumi yang berotasi pasti berbentuk sferoid yang pepat di kutub dan menggembung di khatulistiwa. Pengukuran derajat meridian yang dilakukan para astronom Observatorium Paris tampaknya menunjukkan sebaliknya: Bumi yang memanjang ke arah kutub. Persoalan itu diselesaikan dengan mengukur panjang satu derajat lintang di tempat-tempat yang sejauh mungkin satu sama lain.

Bumi yang pepat, dengan penggepengan yang sangat dibesar-besarkan (penggepengan yang sebenarnya terlalu kecil untuk terlihat pada skala ini). Garis vertikal di suatu tempat tegak lurus pada permukaan; garis itu tidak mengarah tepat ke pusat. Lintang tempat itu adalah sudut antara garis vertikalnya dan bidang khatulistiwa. — Bumi yang pepat, dengan penggepengan yang sangat dibesar-besarkan (penggepengan yang sebenarnya terlalu kecil untuk terlihat pada skala ini). Garis vertikal di suatu tempat tegak lurus pada permukaan; garis itu tidak mengarah tepat ke pusat. Lintang $\varphi$ tempat itu adalah sudut antara garis vertikalnya dan bidang khatulistiwa.

Lintang diukur dari bintang-bintang: lintang adalah sudut antara garis vertikal setempat dan bidang khatulistiwa. Pada Bumi yang pepat, permukaan dekat kutub kurang melengkung dibandingkan dengan dekat khatulistiwa. Di tempat permukaan kurang melengkung, orang harus menempuh jarak yang lebih jauh di sepanjang permukaan itu agar garis vertikal berputar satu derajat: satu derajat lintang lebih panjang di dekat kutub.

Sejarah — Lapland dan Peru

Pada 1735 Akademi Ilmu Pengetahuan Paris mengirim sebuah ekspedisi ke khatulistiwa, di provinsi Spanyol Peru (kini Ekuador); ekspedisi itu bekerja di sana selama sembilan tahun, sampai 1744. Pada 1736–1737 ekspedisi kedua, yang dipimpin oleh Pierre-Louis Moreau de Maupertuis bersama matematikawan muda Alexis Clairaut, mengukur satu derajat meridian di Lapland, dekat Lingkaran Arktik. Derajat Lapland terukur 57 437 toise (satuan panjang lama; sekitar $111.95\,\mathrm{km}$ ), sedangkan derajat Peru hanya 56 737 toise: derajat lebih panjang di dekat kutub, dan Newton benar. Kedua angka itu menunjukkan penggepengan sekitar $1/205$ — terlalu besar, seperti ditunjukkan survei-survei selanjutnya, tetapi persoalan tandanya sudah terjawab.

Panjang satu derajat lintang pada elipsoid referensi , dari khatulistiwa sampai kutub. Dihitung dari elipsoid WGS 84. — Panjang satu derajat lintang pada elipsoid referensi Definisi 1.11, dari khatulistiwa sampai kutub. Dihitung dari elipsoid WGS 84.

Definisi 1.11 (Elipsoid referensi dan penggepengan)

Yang disebut elipsoid referensi adalah permukaan yang diperoleh dengan memutar sebuah elips pada sumbu pendeknya, yang dipilih agar sedekat mungkin dengan bentuk Bumi. Jari-jarinya di khatulistiwa, yaitu jari-jari khatulistiwa, adalah $a$ , jari-jari kutubnya $b$ , dan penggepengan elipsoid itu adalah

f = \frac{a-b}{a}.

Proposisi 1.12 (Ukuran-ukuran Bumi)

Elipsoid referensi yang dipakai penentuan posisi dengan satelit (WGS 84) memiliki

a = 6378.137\,\mathrm{km}, \qquad b = 6356.752\,\mathrm{km}, \qquad f = \frac{1}{298.257}.

Jari-jari kutub $21.4\,\mathrm{km}$ lebih pendek daripada jari-jari khatulistiwa. Panjang khatulistiwa $40\,075\,\mathrm{km}$ , sedangkan meridian, dari kutub ke kutub dan kembali lagi, $40\,008\,\mathrm{km}$ ; seperempat meridian, dari khatulistiwa ke sebuah kutub, panjangnya $10\,001.966\,\mathrm{km}$ . Satu derajat lintang panjangnya $110.574\,\mathrm{km}$ di khatulistiwa dan $111.694\,\mathrm{km}$ di kutub. Satu derajat bujur panjangnya $111.32\,\mathrm{km}$ di khatulistiwa dan memendek ke arah kutub kira-kira sebanding dengan $\cos \varphi$ .

Contoh 1.13 (Satu derajat bujur)

Paralel pada lintang $\varphi$ adalah lingkaran yang jari-jarinya sama dengan jaraknya dari sumbu, sekitar $R \cos \varphi$ . Pada $60{}^{\circ}$ LU kelilingnya sekitar setengah keliling khatulistiwa, dan satu derajat bujur panjangnya sekitar $111.32 \times \cos 60^\circ \approx 55.7\,\mathrm{km}$ (elipsoid memberikan $55.80\,\mathrm{km}$ ).

Catatan 1.14 (Seberapa bulatkah bulat itu?)

Penggepengan sebesar $1/298$ itu kecil. Pada bola dunia bergaris tengah $30\,\mathrm{cm}$ , diameter kutubnya hanya $1\,\mathrm{mm}$ lebih pendek daripada diameter khatulistiwanya — tak terlihat. Palung samudra terdalam, hampir $11\,\mathrm{km}$ di bawah permukaan laut, hanya akan menjadi goresan sedalam kira-kira seperempat milimeter. Untuk sebagian besar keperluan, Bumi adalah bola dengan jari-jari rata-rata $6371\,\mathrm{km}$ ; untuk posisi yang teliti, elipsoid diperlukan.

1.5 Geodesi masa kini

Seorang juru ukur bekerja dengan alat modern yang mengukur sudut dan, dengan seberkas cahaya, juga jarak; sebuah tanda survei berdiri di bukit di seberang.

Triangulasi-triangulasi besar abad kedelapan belas dan kesembilan belas kini telah digantikan oleh satelit. Sebuah penerima di tanah menangkap sinyal dari beberapa satelit yang posisinya diketahui setiap saat, lalu menghitung posisinya sendiri dari waktu tempuh sinyal-sinyal itu (Buku 1). Jaringan penerima tetap, yang dipasang pada batuan dasar di seluruh dunia, mengukur posisinya terus-menerus. Jaringan itu menetapkan kerangka acuan tempat setiap peta dan setiap posisi satelit dinyatakan, dan jaringan itu bergerak: penerima-penerimanya memperlihatkan lempeng-lempeng litosfer yang bergeser beberapa sentimeter per tahun (Bab 13).

Di lapangan — Mengukur tanah masa kini

Para ahli geodesi memasang antena pada tiang beton yang ditanam di batuan dasar, jauh dari bangunan dan pepohonan, dan merekam posisinya setiap beberapa detik selama bertahun-tahun. Mereka menggabungkan rekaman itu dengan pengukuran teleskop radio yang mengamati galaksi-galaksi yang sangat jauh dan dengan sinar laser yang ditembakkan ke satelit-satelit bercermin. Para juru ukur di lokasi pembangunan dan di pedesaan masih mengukur sudut dan jarak dengan alat bertripod, lalu mengikatkannya pada kerangka satelit.

1.6 Latihan

Latihan 1.1 ★

Sebutkan tiga pengamatan, yang dapat dilakukan tanpa meninggalkan permukaan tanah, yang menunjukkan bahwa Bumi itu bulat. Untuk masing-masing, jelaskan dalam satu kalimat mengapa Bumi yang datar tidak dapat menghasilkannya.

Solusi

Solusi Latihan 1.1.

Kapal menghilang mulai dari lambungnya: di atas laut yang datar kapal hanya akan mengecil, dan seluruhnya tetap terlihat. Bayang-bayang Bumi di Bulan saat gerhana selalu berupa busur lingkaran: piringan datar akan menghasilkan bayang-bayang lonjong bila terlihat dari samping. Bila kita bepergian ke utara, Bintang Utara naik di atas cakrawala: pada Bumi yang datar tingginya hampir tidak berubah.

Latihan 1.2 ★

Apa itu geodesi? Apa itu triangulasi, dan satu-satunya panjang apa yang harus diukur di tanah dalam sebuah triangulasi?

Solusi

Solusi Latihan 1.2.

Geodesi mengukur bentuk dan ukuran Bumi serta posisi titik-titik di permukaannya, beserta perubahannya dari waktu ke waktu. Triangulasi menentukan letak titik-titik dengan rantai segitiga yang semua sudutnya diukur; hanya satu panjang, yaitu garis dasar, yang diukur di tanah.

Latihan 1.3 ★

Eratosthenes mendapati bahwa sudut antara sinar Matahari dan garis vertikal di Aleksandria adalah $1/50$ lingkaran penuh ketika Matahari tepat di atas kepala di Syene, yang berjarak 5000 stadion. Hitung kelilingnya dalam stadion, lalu dalam kilometer, dengan satu stadion $157.2\,\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 1.3.

$C = 50 \times 5000 = 250\,000$ stadion; $250\,000 \times 157.2\,\mathrm{m} = 39\,300\,\mathrm{km}$ .

Latihan 1.4 ★

Satu derajat lintang panjangnya sekitar $111\,\mathrm{km}$ . Berapa panjang satu menit lintang ( $1/60$ derajat)? Kira-kira berapa panjang meridian dari khatulistiwa sampai kutub?

Solusi

Solusi Latihan 1.4.

$111/60 \approx 1.85\,\mathrm{km}$ . Seperempat meridian: $90 \times 111 \approx 10\,000\,\mathrm{km}$ .

Latihan 1.5 ★

Dengan jari-jari khatulistiwa $6378.137\,\mathrm{km}$ dan jari-jari kutub $6356.752\,\mathrm{km}$ , hitung selisih kedua jari-jari itu dan penggepengan $f = (a-b)/a$ . Nyatakan $f$ sebagai satu dibagi sebuah bilangan bulat.

Solusi

Solusi Latihan 1.5.

$a - b = 6378.137 - 6356.752 = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 0.003353 \approx 1/298$ .

Latihan 1.6 ★★

Dua kota terletak pada meridian yang sama, berjarak $500\,\mathrm{km}$ . Pada tengah hari di hari yang sama, sebatang tongkat tegak setinggi $1.00\,\mathrm{m}$ membentuk bayang-bayang $0.364\,\mathrm{m}$ di kota yang di selatan dan $0.456\,\mathrm{m}$ di kota yang di utara. Hitung sudut antara sinar Matahari dan garis vertikal di setiap kota, lalu keliling Bumi.

Solusi

Solusi Latihan 1.6.

Selatan: $\tan\theta_1 = 0.364$ , $\theta_1 \approx 20.0{}^{\circ}$ . Utara: $\tan\theta_2 = 0.456$ , $\theta_2 \approx 24.5{}^{\circ}$ . $\alpha = 4.5{}^{\circ}$ , jadi $C = (360/4.5) \times 500 = 80 \times 500 = 40\,000\,\mathrm{km}$ .

Latihan 1.7 ★★

Dalam segitiga $ABC$ , garis dasar $AB = 10.00\,\mathrm{km}$ , sudut di $A$ $62{}^{\circ}$ , dan sudut di $B$ $71{}^{\circ}$ . Hitung sudut di $C$ serta panjang $AC$ dan $BC$ .

Solusi

Solusi Latihan 1.7.

$C = 180 - 62 - 71 = 47{}^{\circ}$ . $AC = 10.00 \sin 71^\circ/\sin 47^\circ = 10.00 \times 0.9455/0.7314 \approx 12.93\,\mathrm{km}$ ; $BC = 10.00 \sin 62^\circ/\sin 47^\circ \approx 12.07\,\mathrm{km}$ .

Latihan 1.8 ★★

Sebuah pesawat terbang tepat ke arah barat sepanjang paralel $60{}^{\circ}$ LU, dari bujur $10{}^{\circ}$ BT ke bujur $20{}^{\circ}$ BB. Dengan panjang satu derajat bujur $111.3 \cos \varphi$ km, hitung jarak yang ditempuhnya. Berapa panjang perubahan bujur yang sama di khatulistiwa?

Solusi

Solusi Latihan 1.8.

Perubahan bujurnya $10 + 20 = 30{}^{\circ}$ . Pada $60{}^{\circ}$ LU satu derajat panjangnya $111.3 \times 0.5 = 55.65\,\mathrm{km}$ , jadi jaraknya $30 \times 55.65 \approx 1670\,\mathrm{km}$ . Di khatulistiwa: $30 \times 111.3 \approx 3340\,\mathrm{km}$ , dua kali lebih jauh.

Latihan 1.9 ★★

Mata seorang pengamat berada $h = 2\,\mathrm{m}$ di atas laut yang tenang. Garis pandang ke cakrawala menyinggung laut di $T$ ; pusat Bumi adalah $O$ , dan mata pengamat $E$ . Jelaskan mengapa segitiga $OTE$ siku-siku di $T$ , lalu gunakan teorema Pythagoras dengan $R = 6371\,\mathrm{km}$ untuk menunjukkan bahwa jarak ke cakrawala kira-kira $\sqrt{2Rh}$ , dan hitung jarak itu.

Solusi

Solusi Latihan 1.9.

Garis pandang menyinggung laut di $T$ : garis singgung lingkaran tegak lurus pada jari-jari di titik singgungnya, jadi sudut di $T$ siku-siku. Menurut Pythagoras: $(R+h)^2 = R^2 + d^2$ , jadi $d^2 = 2Rh + h^2$ ; $h$ sangat kecil dibandingkan dengan $R$ , jadi $d \approx \sqrt{2Rh} = \sqrt{2 \times 6\,371\,000 \times 2} \approx 5050\,\mathrm{m}$ , sekitar $5\,\mathrm{km}$ .

Latihan 1.10 ★★

Bacalah kurva panjang derajat. Di antara lintang berapa panjang satu derajat berubah paling cepat? Jelaskan dalam dua kalimat mengapa satu derajat lintang lebih panjang di dekat kutub daripada di dekat khatulistiwa.

Solusi

Solusi Latihan 1.10.

Kurva paling curam di lintang tengah, sekitar $30{}^{\circ}$ sampai $60{}^{\circ}$ , dan landai di dekat khatulistiwa dan kutub. Pada Bumi yang pepat permukaan kurang melengkung di dekat kutub; makin kurang lengkung permukaannya, makin jauh jarak yang harus ditempuh agar garis vertikal (dan dengan demikian lintang) berputar satu derajat.

Latihan 1.11 ★★

Busur meridian dari Dunkirk ke Barcelona meliputi $9.646{}^{\circ}$ lintang dan panjangnya $1072.2\,\mathrm{km}$ . Hitung panjang rata-rata satu derajat di sepanjang busur itu. Jika setiap derajat sepanjang itu, berapa panjang seperempat meridian? Bandingkan dengan $10\,002.0\,\mathrm{km}$ dan jelaskan selisih kecil itu.

Solusi

Solusi Latihan 1.11.

$1072.2/9.646 \approx 111.15\,\mathrm{km}$ per derajat; $90 \times 111.15 \approx 10\,004\,\mathrm{km}$ , $2\,\mathrm{km}$ lebih panjang daripada seperempat meridian yang sebenarnya. Busur itu berpusat di dekat $46{}^{\circ}$ , tempat satu derajat sedikit lebih panjang daripada rata-rata derajat dari khatulistiwa sampai kutub ( $10\,002.0/90 \approx 111.13\,\mathrm{km}$ ).

Latihan 1.12 ★★★

Eratosthenes mengukur sudut $7.2{}^{\circ}$ dan jarak 5000 stadion. Jika sudutnya keliru sebesar $0.1{}^{\circ}$ (terlalu kecil), berapa persen kesalahan kelilingnya, dan ke arah mana? Menurutmu, manakah di antara kedua pengukurannya yang kurang teliti?

Solusi

Solusi Latihan 1.12.

Dengan $7.1{}^{\circ}$ : $C = (360/7.1) \times 5000 \approx 253\,500$ stadion, bukan $250\,000$ : sekitar 1.4 % terlalu besar (sudut yang lebih kecil untuk jarak yang sama berarti Bumi yang lebih besar). Jaraknya, yang diukur dengan langkah para pejalan kaki di sepanjang Sungai Nil, jauh kurang teliti daripada sudutnya.

Latihan 1.13 ★★★

Rantai dua segitiga: pada $ABC$ , $AB = 6.000\,\mathrm{km}$ , $A = 55{}^{\circ}$ , $B = 75{}^{\circ}$ . Pada segitiga berikutnya $ACD$ , yang dibangun pada sisi $AC$ , sudut di $A$ $50{}^{\circ}$ dan sudut di $C$ $68{}^{\circ}$ . Hitung $AC$ , lalu $AD$ .

Solusi

Solusi Latihan 1.13.

Pada $ABC$ : $C = 50{}^{\circ}$ , $AC = 6.000 \sin 75^\circ/\sin 50^\circ \approx 7.566\,\mathrm{km}$ . Pada $ACD$ : sudut di $D$ adalah $180 - 50 - 68 = 62{}^{\circ}$ , dan $AD = 7.566 \sin 68^\circ/\sin 62^\circ \approx 7.945\,\mathrm{km}$ .

Latihan 1.14 ★★★

Pada lintang berapa panjang satu derajat bujur setengah panjangnya di khatulistiwa? Pada lintang berapa sepersepuluhnya? Jelaskan mengapa kedua jawaban itu tidak bergantung pada ukuran Bumi.

Solusi

Solusi Latihan 1.14.

$\cos\varphi = 1/2$ memberikan $\varphi = 60{}^{\circ}$ ; $\cos\varphi = 0.1$ memberikan $\varphi \approx 84.3{}^{\circ}$ . Satu derajat bujur pada lintang $\varphi$ sama dengan satu derajat di khatulistiwa dikalikan $\cos\varphi$ : perbandingannya hanya bergantung pada sudut, bukan pada jari-jari.

Latihan 1.15 ★★★

Gunakan nilai-nilai elipsoid: satu derajat lintang panjangnya $110.574\,\mathrm{km}$ di khatulistiwa dan $111.694\,\mathrm{km}$ di kutub. Pada bola dengan jari-jari rata-rata yang sama, satu derajat akan sepanjang $111.195\,\mathrm{km}$ di mana-mana. Berapa meter kesalahan seorang juru ukur yang menganggap Bumi bola, untuk satu derajat di khatulistiwa, dan untuk satu derajat di kutub? Mengapa peta yang memberikan posisi sampai ketelitian meter harus dihitung pada elipsoid?

Solusi

Solusi Latihan 1.15.

Di khatulistiwa: $111.195 - 110.574 = 0.621\,\mathrm{km} = 621\,\mathrm{m}$ ; di kutub: $111.694 - 111.195 = 0.499\,\mathrm{km} = 499\,\mathrm{m}$ . Kesalahan beberapa ratus meter per derajat, yang bertambah derajat demi derajat, jauh lebih besar daripada satu meter: posisi yang dihitung dari lintang dan bujur harus memakai elipsoid.

1.7 Soal: Meter dan Meridian

Soal 1.1

Soal akhir pekan — dari bayang-bayang Eratosthenes sampai panjang meter yang pertama

Seorang siswa menelusuri kembali sejarah pengukuran Bumi dengan angka-angka modern. Aswan, Syene zaman kuno, terletak pada lintang $24.09{}^{\circ}$ LU dan Aleksandria pada $31.20{}^{\circ}$ LU; pada elipsoid modern, busur meridian di antara kedua paralelnya panjangnya $788\,\mathrm{km}$ . Pada elipsoid, satu derajat lintang panjangnya $110.57\,\mathrm{km}$ di khatulistiwa, $111.13\,\mathrm{km}$ pada $45{}^{\circ}$ , dan $111.51\,\mathrm{km}$ pada $66{}^{\circ}$ , sedangkan seperempat meridian panjangnya $10\,001.966\,\mathrm{km}$ .

Bagian I — Eratosthenes sekali lagi.

Hitung selisih lintang antara Aswan dan Aleksandria.
Berapa bagian lingkaran penuh selisih itu? Bandingkan dengan $1/50$ milik Eratosthenes.
Hitung keliling Bumi yang diberikan metode Eratosthenes dengan angka-angka modern ini.
Kedua kota itu tidak terletak pada meridian yang sama: Aswan berada sekitar $3{}^{\circ}$ bujur di sebelah timur Aleksandria. Jarak mana yang harus dipakai dalam metode ini: jarak lurus antara kedua kota atau busur meridian di antara paralel-paralelnya? Mengapa?
Mengapa kedua bayang-bayang harus diukur pada hari yang sama, pada tengah hari setempat?

Bagian II — Triangulasi kecil. Sebuah garis dasar $AB = 12.000\,\mathrm{km}$ diukur. Dari $A$ , tanda $C$ terlihat $58{}^{\circ}$ dari $B$ ; dari $B$ , $66{}^{\circ}$ dari $A$ . Pada segitiga berikutnya $ACD$ , sudut di $A$ $47{}^{\circ}$ dan sudut di $C$ $75{}^{\circ}$ . Sisi $AD$ mengarah $8{}^{\circ}$ ke timur dari arah utara.

Hitung sudut di $C$ pada segitiga $ABC$ .
Hitung sisi $AC$ .
Hitung sisi $BC$ .
Hitung sudut di $D$ pada segitiga $ACD$ , lalu sisi $AD$ .
Hitung jarak utara–selatan antara $A$ dan $D$ .
Dengan panjang derajat pada $45{}^{\circ}$ , hitung selisih lintang antara $A$ dan $D$ , dalam derajat dan dalam menit busur.

Bagian III — Bumi yang pepat.

Berapa meter satu derajat lintang pada $66{}^{\circ}$ lebih panjang daripada satu derajat di khatulistiwa?
Jelaskan apa yang ditunjukkan selisih ini tentang bentuk Bumi.
Pada elipsoid, $a = 6378.137\,\mathrm{km}$ dan $b = 6356.752\,\mathrm{km}$ . Hitung $a - b$ dan penggepengannya.
Jelaskan mengapa, pada Bumi yang pepat, garis unting-unting di tempat berlintang $45{}^{\circ}$ tidak mengarah tepat ke pusat Bumi.

Bagian IV — Meter yang pertama.

Menurut definisi tahun 1791, berapa seharusnya panjang seperempat meridian, dalam meter?
Meter platina tahun 1799 dibuat dari nilai meridian yang terukur. Jika seperempat meridian sebenarnya $10\,001.966\,\mathrm{km}$ , berapa panjang sepersepuluh jutanya?
Apakah meter tahun 1799 terlalu panjang atau terlalu pendek dibandingkan dengan definisinya sendiri? Sebesar berapa bagian?
Batang platina itu menyalin dengan setia panjang yang dihitung pada tahun 1790-an. Apakah seperempat meridian yang dihitung saat itu terlalu panjang atau terlalu pendek? Jelaskan.
Berapa milimeter meter yang pertama lebih pendek daripada sepersepuluh juta seperempat meridian yang sebenarnya? Bandingkan dengan tebal selembar kertas, sekitar $0.1\,\mathrm{mm}$ .

Solusi

Solusi Soal 1.1.

1. $31.20 - 24.09 = 7.11{}^{\circ}$ .

2. $7.11/360 \approx 0.0198 = 1/50.6$ , sangat dekat dengan $1/50$ milik Eratosthenes.

3. $C = 788 \times 360/7.11 \approx 39\,900\,\mathrm{km}$ .

4. Busur meridian di antara kedua paralel: selisih sudut tengah hari adalah selisih lintang, yang hanya mengukur jarak utara–selatan kedua tempat; komponen timur–barat jaraknya tidak berperan.

5. Pada tengah hari setempat Matahari berada di bidang meridian, yang sama untuk kedua tempat; pada hari yang sama Matahari menempati posisi yang sama di antara bintang-bintang, sehingga kedua sudut berbeda hanya karena kelengkungan Bumi.

6. $180 - 58 - 66 = 56{}^{\circ}$ .

7. $AC = 12.000 \sin 66^\circ/\sin 56^\circ = 12.000 \times 0.9135/0.8290 \approx 13.223\,\mathrm{km}$ .

8. $BC = 12.000 \sin 58^\circ/\sin 56^\circ \approx 12.275\,\mathrm{km}$ .

9. Sudut di $D$ adalah $180 - 47 - 75 = 58{}^{\circ}$ ; $AD = 13.223 \sin 75^\circ/\sin 58^\circ \approx 15.061\,\mathrm{km}$ .

10. $15.061 \cos 8^\circ \approx 14.914\,\mathrm{km}$ .

11. $14.914/111.13 \approx 0.1342{}^{\circ}$ , yaitu $0.1342 \times 60 \approx 8.05$ menit busur.

12. $111.51 - 110.57 = 0.94\,\mathrm{km}$ : $940\,\mathrm{m}$ .

13. Di dekat kutub garis vertikal berputar lebih lambat terhadap jarak: permukaannya kurang melengkung di sana. Bumi pepat di kutub dan menggembung di khatulistiwa.

14. $a - b = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 1/298$ .

15. Garis unting-unting tegak lurus pada permukaan elipsoid. Pada elips, garis yang tegak lurus pada kurva melalui pusat hanya di khatulistiwa dan di kutub; pada $45{}^{\circ}$ garis itu memotong sumbu di bawah pusat.

16. $10\,000\,000$ meter, yaitu $10\,000\,\mathrm{km}$ .

17. $10\,001\,966/10\,000\,000 \approx 1.000\,196\,6\,\mathrm{m}$ .

18. Terlalu pendek: sepersepuluh juta yang sebenarnya adalah $1.0001966$ kali meter tahun 1799, jadi meter tahun 1799 kurang sekitar $1.97 \times 10^{-4}$ dari panjangnya, 0.02 %.

19. Terlalu pendek. Batang itu sepersepuluh juta seperempat meridian seperti yang dihitung pada tahun 1790-an; karena batang itu lebih pendek daripada sepersepuluh juta seperempat meridian yang sebenarnya, seperempat meridian hasil hitungan itu lebih pendek daripada yang sebenarnya.

20. $1.0001966 - 1 = 0.0001966$ m: meter yang pertama sekitar $0.2\,\mathrm{mm}$ terlalu pendek — kira-kira tebal dua lembar kertas pada satu meter, ketelitian yang mengagumkan untuk survei yang dibuat dengan teleskop dan sudut melintasi seluruh negeri.

এই অধ্যায়ে সংজ্ঞায়িত পরিভাষা-শব্দ

পরিভাষায় সব 957 টি শব্দ দেখো