11Gelombang Seismik Menyingkap Bagian Dalam Bumi

Pada 8 Oktober 1909 sebuah gempa bumi mengguncang lembah Sungai Kupa, sekitar $40\,\mathrm{km}$ di tenggara Zagreb, di Kroasia. Beberapa bulan sebelumnya, Andrija Mohorovičić telah memasang seismograf baru di Observatorium Meteorologi Zagreb, dan alat itu merekam seluruh peristiwa itu. Ia lalu meminta rekaman dari observatorium-observatorium lain dan mengumpulkan rekaman 41 stasiun. Pada rekaman stasiun-stasiun yang lebih jauh ia menemukan sesuatu yang tidak terduga: dua gelombang P yang terpisah, yang satu lemah lalu yang lain lebih kuat, padahal seharusnya hanya ada satu. Dari pasangan gelombang itu ia menyimpulkan bahwa batuan di bawah kerak berbeda, dan ia mengukur kedalaman batasnya. Bab ini menunjukkan bagaimana waktu tiba gelombang gempa bumi menyingkap lapisan-lapisan Bumi: dasar kerak, inti dan bagian luarnya yang cair, dan seluruh bagian dalam Bumi, kedalaman demi kedalaman.

Yang sudah kamu ketahui

Gempa bumi bermula di suatu titik di dalam Bumi, hiposentrum; titik di permukaan tepat di atasnya adalah episentrum. Seismometer merekam guncangan tanah, dan magnitudo mengukur besarnya gempa bumi (Buku 1, kelas 7). Bumi mempunyai kerak, mantel, dan inti; inti mempunyai bagian luar yang cair dan bagian dalam yang padat. Gelombang gempa bumi terutama ada dua jenis, gelombang P yang lebih cepat dan gelombang S yang lebih lambat, dan gelombang S tidak dapat menyeberangi zat cair (Buku 1, kelas 6). Gelombang yang menyeberangi batas antara dua bahan, yang di dalamnya ia merambat dengan kecepatan $v_1$ dan $v_2$, dibiaskan: $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$, dengan sudut diukur dari garis yang tegak lurus pada batas itu (hukum Snell; buku-buku fisika).

11.1 Gelombang seismik dan waktu tempuh

11.1.1 Dua jenis gelombang badan

Gempa bumi memancarkan gelombang ke segala arah. Sebagian merambat di sepanjang permukaan; yang lain, gelombang badan, merambat melalui bagian dalam Bumi, dan gelombang-gelombang inilah yang menyingkapnya.

Definisi 11.1 (Gelombang P; gelombang S)

Yang disebut gelombang P adalah gelombang seismik yang secara bergantian memampatkan dan meregangkan batuan: batuan bergerak maju-mundur searah dengan arah rambat gelombang itu. Gelombang ini menyeberangi zat padat, zat cair, dan gas, dan merupakan gelombang seismik yang paling cepat, sehingga tiba paling dahulu. Yang disebut gelombang S adalah gelombang yang menggeser batuan: batuan bergerak tegak lurus pada arah rambat gelombang itu. Gelombang ini hanya menyeberangi zat padat, dan tiba sesudah gelombang P.

Zat cair mengalir dan tidak melawan perubahan bentuk, sehingga tidak dapat meneruskan geseran: itulah sebabnya gelombang S berhenti di permukaan zat cair. Pada kebanyakan batuan, gelombang P merambat sekitar $\sqrt 3 \approx 1.7$ kali lebih cepat daripada gelombang S. Di kerak bagian atas, gelombang P merambat dengan kecepatan sekitar $5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dan gelombang S sekitar $3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; tepat di bawah kerak keduanya mencapai sekitar $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dan $4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

11.1.2 Kurva waktu tempuh

Jarak dari gempa bumi ke stasiun yang jauh diukur sebagai sudut: sudut $\Delta$ di pusat Bumi di antara episentrum dan stasiun itu, yang disebut jarak episentral. Satu derajatnya sama dengan $111.2\,\mathrm{km}$ di sepanjang permukaan.

Definisi 11.2 (Waktu tempuh; kurva waktu tempuh)

Yang disebut waktu tempuh gelombang seismik di suatu stasiun adalah waktu yang diperlukannya untuk merambat dari hiposentrum ke stasiun itu. Yang disebut kurva waktu tempuh suatu gelombang adalah grafik waktu tempuhnya terhadap jarak episentral stasiun.

Stasiun mencatat waktu tiba setiap gelombang; bila waktu terjadinya gempa bumi diketahui, selisihnya adalah waktu tempuh. Ribuan gempa bumi yang direkam oleh ribuan stasiun telah memberikan kurva waktu tempuh dengan sangat teliti. Pada gambar, kurva-kurva itu dihitung dari model acuan Bumi pada Bagian 11.4, dan titik-titiknya adalah waktu tempuh yang teramati pada gempa bumi yang nyata: keduanya sesuai sampai dua persen di mana-mana, dan paling sering sampai satu atau dua detik.

Kurva S naik lebih curam daripada kurva P, sehingga selang antara kedua kedatangan itu bertambah seiring jarak. Hal ini memberikan jarak gempa bumi dari satu rekaman saja.

Metode 11.3 (Jarak gempa bumi dari selang S–P)

1. Pada rekaman, baca waktu gelombang P pertama dan gelombang S pertama; selisih keduanya adalah selang S–P.
2. Pada kurva waktu tempuh (atau dalam tabelnya), cari jarak episentral tempat kurva S terletak sebesar selang itu di atas kurva P.
3. Ubah ke kilometer, jika perlu, dengan $111.2\,\mathrm{km}$ per derajat.

Dengan tiga stasiun, episentrum adalah titik yang berjarak tepat dari ketiganya.

Contoh 11.4 (Gempa bumi yang berjarak $60{}^{\circ}$)

Waktu tempuh yang teramati adalah $608\,\mathrm{s}$ untuk P dan $1101\,\mathrm{s}$ untuk S pada $60{}^{\circ}$, $536\,\mathrm{s}$ dan $967\,\mathrm{s}$ pada $50{}^{\circ}$. Karena itu stasiun yang merekam gelombang S $493\,\mathrm{s}$ (8 menit 13 detik) sesudah gelombang P terletak $60{}^{\circ}$ dari episentrum: sekitar $60 \times 111.2 \approx 6670\,\mathrm{km}$. Pada $50{}^{\circ}$ selangnya hanya $431\,\mathrm{s}$.

11.2 Pembiasan dan Moho

11.2.1 Gelombang yang merambat di sepanjang batas

Di dalam Bumi kecepatan gelombang seismik berubah seiring kedalaman, sebagian besar secara berangsur, tetapi di beberapa tempat secara mendadak.

Definisi 11.5 (Diskontinuitas seismik)

Yang disebut diskontinuitas seismik adalah permukaan di dalam Bumi yang padanya kecepatan gelombang seismik berubah secara mendadak — dalam ketebalan yang jauh lebih kecil daripada panjang gelombangnya.

Pada diskontinuitas, sebagian gelombang dipantulkan dan sebagian dibiaskan. Ambillah lapisan setebal $h$ yang di dalamnya gelombang P merambat dengan kecepatan $v_1$, di atas lapisan yang di dalamnya gelombang itu lebih cepat, $v_2 > v_1$. Sinar yang turun dengan sudut $i$ dari garis vertikal dibiaskan dengan sudut $r$ yang diberikan oleh $\sin r = (v_2/v_1)\sin i$: sinar itu dibelokkan menjauhi garis vertikal. Ketika $\sin i$ mencapai $v_1/v_2$, sinar bias merambat tepat di sepanjang batas. Sudut

disebut sudut kritis. Gelombang yang dibiaskan pada sudut kritis merambat di sepanjang bagian atas lapisan yang lebih cepat dengan kecepatan $v_2$, dan sambil merambat ia memancarkan gelombang kembali ke atas ke lapisan atas, semuanya dengan sudut $i_c$: gelombang-gelombang itu mencapai permukaan sebagai gelombang kepala.

Proposisi 11.6 (Waktu tempuh gelombang kepala)

Untuk sumber di permukaan, stasiun pada jarak $x \ge 2h\tan i_c$ menerima gelombang kepala sesudah

$$t(x) = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}.$$

Kurva waktu tempuhnya adalah garis lurus dengan kemiringan $1/v_2$ yang, bila diperpanjang ke belakang, memotong sumbu waktu pada waktu intersep $t_i = 2h\cos i_c/v_1$.

Gelombang langsung tiba sesudah $x/v_1$: kurvanya adalah garis yang melalui titik asal, lebih curam daripada garis gelombang kepala. Di dekat sumber gelombang langsung tiba lebih dahulu; jauh dari sumber, gelombang kepala, yang telah menempuh sebagian besar jalannya dengan kecepatan yang lebih tinggi, menyusulnya.

Proposisi 11.7 (Jarak silang)

Gelombang kepala tiba sebelum gelombang langsung di luar jarak silang

$$x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.$$

11.2.2 Dasar kerak

Definisi 11.8 (Moho)

Yang disebut diskontinuitas Mohorovičić, atau Moho, adalah diskontinuitas seismik di dasar kerak, tempat kecepatan gelombang P melonjak dari paling tinggi sekitar $7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ menjadi sekitar $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, kecepatan di mantel paling atas.

Sejarah — Mohorovičić dan dua gelombang P, 1909

Andrija Mohorovičić (1857–1936) menemukan, pada rekaman gempa bumi tahun 1909, bahwa di luar jarak tertentu — umumnya antara 100 dan $150\,\mathrm{km}$ — gelombang P yang lemah dan lebih cepat tiba sebelum gelombang P yang kuat. Ia menjelaskannya sebagai gelombang yang telah merambat melalui batuan yang lebih cepat di bawah kerak. Ia menamai kedua gelombang itu Pg (gelombang langsung di kerak) dan Pn (gelombang kepala di sepanjang bagian atas mantel), melakukan hal yang sama untuk gelombang S, dan menyimpulkan kecepatan kedua lapisan itu serta kedalaman batas di antara keduanya. Gelombang Pn merambat dengan kecepatan sekitar $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, kecepatan mantel paling atas. Makalah-makalahnya tahun 1910 membuktikan bahwa kerak dan mantel berbeda; batas itu menyandang namanya.

Metode 11.9 (Kedalaman Moho dari diagram waktu tempuh)

1. Gambarkan waktu tiba pertama terhadap jarak dari episentrum.
2. Tarik garis gelombang langsung (melalui titik asal) dan garis gelombang kepala; kemiringannya adalah $1/v_1$ dan $1/v_2$.
3. Perpanjang garis gelombang kepala ke belakang sampai sumbu waktu: garis itu memotongnya pada waktu intersep $t_i$.
4. Dengan $\sin i_c = v_1/v_2$, tebal kerak adalah $h = \dfrac{v_1\,t_i}{2\cos i_c}$.

Contoh 11.10 (Kerak setebal $30\,\mathrm{km}$)

Dengan $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dan $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $\sin i_c = 0.765$, $i_c \approx 49.9{}^{\circ}$, dan $\cos i_c \approx 0.644$. Waktu intersep $6.23\,\mathrm{s}$ memberikan $h = 6.2 \times 6.23/(2 \times 0.644) \approx 30\,\mathrm{km}$. Gelombang kepala pertama kali mencapai permukaan pada $2h\tan i_c \approx 71\,\mathrm{km}$ dan menyusul gelombang langsung di luar $x_c = 60\sqrt{14.3/1.9} \approx 165\,\mathrm{km}$.

Bila diukur dengan cara ini di seluruh dunia, Moho hanya terletak sekitar $5\,\mathrm{km}$ di bawah dasar samudra. Di bawah benua, Moho terletak rata-rata sekitar $41\,\mathrm{km}$ di bawah permukaan: sekitar $30\,\mathrm{km}$ di tempat kerak telah teregang, lebih dari $45\,\mathrm{km}$ di bawah sabuk pegunungan, dan sampai sekitar $100\,\mathrm{km}$ di bawah jajaran pegunungan yang paling tinggi. Kerak adalah kulit yang tipis: bahkan $41\,\mathrm{km}$ kurang dari satu persen jari-jari Bumi.

11.3 Inti

11.3.1 Sinar yang melengkung

Di mantel, kecepatan gelombang seismik bertambah seiring kedalaman. Sinar yang turun menyeberangi batuan yang makin lama makin cepat dan, menurut hukum Snell, pada setiap langkah dibelokkan sedikit lebih jauh dari garis vertikal: lintasannya melengkung dan berbalik naik ke arah permukaan. Makin dalam sinar berbalik, makin jauh dari gempa bumi ia naik kembali. Gambar ini menunjukkan sinar-sinar seperti itu, yang dihitung dengan kecepatan model acuan Bumi.

11.3.2 Zona bayangan dan inti luar yang cair

Pada tahun 1906, ahli seismologi Oldham memperhatikan bahwa gelombang P yang direkam di sisi Bumi yang berseberangan dengan gempa bumi tiba terlambat dibandingkan dengan waktu yang diharapkan, dan ia mengusulkan adanya inti pusat yang di dalamnya gelombang itu merambat lebih lambat. Pada tahun 1912 Gutenberg menunjukkan bahwa gelombang P tidak mencapai satu pita jarak yang utuh, antara sekitar $105{}^{\circ}$ dan $143{}^{\circ}$, dengan kedatangan yang kuat tepat di luar $143{}^{\circ}$; pada tahun 1914 ia menempatkan puncak inti pada kedalaman $2900\,\mathrm{km}$.

Definisi 11.11 (Zona bayangan)

Yang disebut zona bayangan suatu gelombang seismik adalah rentang jarak episentral yang tidak dapat dicapai gelombang itu secara langsung dari gempa bumi, karena inti membelokkannya atau menghentikannya.

Sinar-sinar itu menjelaskannya. Sinar P yang berbalik tepat di atas inti naik kembali sekitar $100{}^{\circ}$ dari gempa bumi. Sinar yang turun sedikit lebih curam masuk ke inti, tempat kecepatan P turun mendadak dari $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ menjadi sekitar $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: menurut hukum Snell sinar itu dibelokkan mendekati garis vertikal, menyeberangi inti, dan muncul jauh lebih jauh, di luar sekitar $144{}^{\circ}$. Tidak ada sinar P yang berbalik di mantel dan tidak ada sinar P yang menyeberangi inti yang jatuh di antaranya. Dalam model acuan, zona bayangan P membentang dari $98.5{}^{\circ}$ sampai $143.8{}^{\circ}$, dekat dengan $105{}^{\circ}$–$143{}^{\circ}$ milik Gutenberg.

Gelombang S memberi tahu lebih banyak. Tidak ada gelombang S yang menyeberangi inti luar: inti luar tidak meneruskan gelombang geser, jadi inti luar itu cair. Akibatnya, tidak ada gelombang S yang tiba secara langsung di luar sekitar $103{}^{\circ}$ dalam model acuan — di seluruh sisi Bumi yang berseberangan.

Definisi 11.12 (Batas inti–mantel; batas inti dalam)

Yang disebut batas inti–mantel adalah diskontinuitas seismik antara mantel yang padat dan inti luar yang cair, pada kedalaman $2891\,\mathrm{km}$; di sana kecepatan P turun dari sekitar $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ menjadi sekitar $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, dan gelombang S berhenti. Yang disebut batas inti dalam, pada kedalaman $5150\,\mathrm{km}$, memisahkan inti luar yang cair dari inti dalam yang padat; di sana kecepatan P melonjak dari sekitar $10.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ menjadi sekitar $11.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

Zona bayangan tidak sepenuhnya sunyi: gelombang P yang lemah tiba di dalamnya. Inge Lehmann menjelaskannya pada tahun 1936 dengan inti dalam yang padat, yang di dalamnya gelombang P merambat lebih cepat (Buku 1, kelas 6). Sinar-sinar itu menunjukkan caranya. Sinar P yang mencapai inti dalam dibelokkan menjauhi garis vertikal di tempat kecepatannya melonjak, seperti di Moho, dan keluar dari inti lebih cepat: dalam model acuan, sinar yang melalui inti dalam mencapai permukaan mulai sekitar $121{}^{\circ}$, di dalam zona bayangan (kurva bertitik pada gambar waktu tempuh).

11.4 Model acuan Bumi

Bila digabungkan, jutaan waktu tempuh memberikan kecepatan gelombang P dan S pada setiap kedalaman. Kecepatan itu bergantung pada batuan dan massa jenisnya, dan massa total Bumi menentukan massa jenis rata-ratanya; bersama-sama keduanya juga memberikan massa jenis pada setiap kedalaman.

Definisi 11.13 (Model acuan Bumi)

Yang disebut model acuan Bumi adalah tabel kecepatan gelombang P, kecepatan gelombang S, dan massa jenis terhadap kedalaman, yang sama ke segala arah, yang dipilih agar sesuai dengan waktu tempuh gelombang seismik yang teramati dan dengan massa Bumi.

Model yang paling banyak dipakai adalah Model Acuan Bumi Pendahuluan (PREM, dari singkatan nama Inggrisnya), yang diterbitkan oleh A. M. Dziewonski dan D. L. Anderson pada tahun 1981. Sinar dan waktu tempuh dalam bab ini dihitung dengan model itu: waktu tempuh P pada $60{}^{\circ}$, misalnya, menjadi $607\,\mathrm{s}$, dibandingkan dengan $608\,\mathrm{s}$ yang teramati.

Membaca model itu dari atas:

• kerak, dengan kecepatan P 5.8 sampai $6.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, berakhir di Moho ($24.4\,\mathrm{km}$ dalam model rata-rata ini);
• di mantel, kecepatan bertambah seiring kedalaman, dengan lompatan mendadak yang lebih kecil, yang terbesar di dekat $400\,\mathrm{km}$ dan $670\,\mathrm{km}$;
• pada $2891\,\mathrm{km}$, kecepatan S jatuh menjadi nol dan kecepatan P turun lebih dari $5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: inti luar yang cair;
• pada $5150\,\mathrm{km}$, gelombang S ada lagi: inti dalam yang padat, dengan jari-jari $1220\,\mathrm{km}$.

Massa jenis naik dari $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ di kerak menjadi $5.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ di dasar mantel, lalu melonjak menjadi $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ di puncak inti dan mencapai $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ di pusat. Massa jenis rata-rata seluruh model adalah $5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, dua kali massa jenis batuan kerak: bagian dalam yang jauh, terutama inti, terbuat dari bahan yang jauh lebih rapat daripada permukaan. Inti memuat sekitar sepertiga massa Bumi.

11.5 Latihan

Latihan 11.1 ★

Sebutkan dua perbedaan antara gelombang P dan gelombang S. Mana yang direkam lebih dahulu oleh seismometer, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 11.1.

Gelombang P memampatkan dan meregangkan batuan, yang bergerak searah dengan arah rambatnya; gelombang S menggesernya, dan batuan bergerak tegak lurus pada arah itu. Gelombang P menyeberangi zat padat dan zat cair; gelombang S hanya menyeberangi zat padat. Gelombang P direkam lebih dahulu, karena gelombang itu yang lebih cepat di antara keduanya.

Latihan 11.2 ★

Sebuah stasiun terletak $40{}^{\circ}$ dari episentrum. Berapa jauh letaknya, diukur di sepanjang permukaan? Berapa derajat jarak stasiun yang terletak $8900\,\mathrm{km}$ dari episentrum?

Solusi

Solusi Latihan 11.2.

$40 \times 111.2 = 4448\,\mathrm{km}$, sekitar $4450\,\mathrm{km}$. $8900/111.2 \approx 80{}^{\circ}$.

Latihan 11.3 ★

Waktu tempuh yang teramati pada $40{}^{\circ}$ adalah $456\,\mathrm{s}$ untuk P dan $822\,\mathrm{s}$ untuk S. Ubah keduanya ke menit dan detik, dan berikan selang S–P.

Solusi

Solusi Latihan 11.3.

$456\,\mathrm{s}$ sama dengan 7 menit 36 detik; $822\,\mathrm{s}$ sama dengan 13 menit 42 detik. Selang S–P adalah $822 - 456 = 366\,\mathrm{s}$, yaitu 6 menit 6 detik.

Latihan 11.4 ★

Kerak yang di dalamnya gelombang P merambat dengan kecepatan $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ terletak di atas mantel tempat gelombang itu merambat dengan kecepatan $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Hitung sudut kritisnya.

Solusi

Solusi Latihan 11.4.

$\sin i_c = 6.0/8.0 = 0.75$, jadi $i_c \approx 48.6{}^{\circ}$.

Latihan 11.5 ★

Dalam model acuan, batas inti–mantel terletak pada kedalaman $2891\,\mathrm{km}$ dan batas inti dalam pada kedalaman $5150\,\mathrm{km}$; jari-jari Bumi adalah $6371\,\mathrm{km}$. Hitung tebal inti luar, jari-jari inti, dan jari-jari inti sebagai pecahan jari-jari Bumi.

Solusi

Solusi Latihan 11.5.

Tebal inti luar adalah $5150 - 2891 = 2259\,\mathrm{km}$. Jari-jari inti adalah $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$, dan $3480/6371 \approx 0.55$: sedikit lebih dari setengah jari-jari Bumi.

Latihan 11.6 ★★

Selang S–P yang teramati adalah $224\,\mathrm{s}$ pada $20{}^{\circ}$, $298\,\mathrm{s}$ pada $30{}^{\circ}$, $366\,\mathrm{s}$ pada $40{}^{\circ}$, $431\,\mathrm{s}$ pada $50{}^{\circ}$, dan $493\,\mathrm{s}$ pada $60{}^{\circ}$. Sebuah stasiun merekam gelombang S 6 menit 6 detik sesudah gelombang P. Berapa jauh gempa bumi itu, dalam derajat dan dalam kilometer? Mengapa satu stasiun saja tidak dapat menentukan letak gempa bumi?

Solusi

Solusi Latihan 11.6.

6 menit 6 detik sama dengan $366\,\mathrm{s}$: gempa bumi itu berjarak $40{}^{\circ}$, yaitu $40 \times 111.2 \approx 4450\,\mathrm{km}$. Satu selang saja hanya memberikan jarak: episentrum dapat berada di mana saja pada lingkaran berjari-jari itu di sekeliling stasiun. Diperlukan dua stasiun lagi untuk menemukan satu-satunya titik yang berjarak tepat dari ketiganya.

Latihan 11.7 ★★

Dengan kecepatan pada Latihan 11.4 dan kerak setebal $35\,\mathrm{km}$, hitung waktu tempuh gelombang langsung dan gelombang kepala di stasiun yang berjarak $200\,\mathrm{km}$ dari episentrum. Mana yang tiba lebih dahulu?

Solusi

Solusi Latihan 11.7.

$i_c \approx 48.6{}^{\circ}$ dan $\cos i_c \approx 0.661$. Gelombang langsung: $200/6.0 \approx 33.3\,\mathrm{s}$. Gelombang kepala: $200/8.0 + 2 \times 35 \times 0.661/6.0 \approx 25.0 + 7.7 = 32.7\,\mathrm{s}$. Gelombang kepala tiba lebih dahulu, sekitar $0.6\,\mathrm{s}$ lebih awal.

Latihan 11.8 ★★

Untuk kerak pada Latihan 11.7, hitung jarak kritis $2h\tan i_c$ dan jarak silangnya. Periksa bahwa jawaban Latihan 11.7 sesuai.

Solusi

Solusi Latihan 11.8.

$\tan i_c \approx 1.134$: jarak kritisnya $2 \times 35 \times 1.134 \approx 79\,\mathrm{km}$. Jarak silangnya $2 \times 35 \times \sqrt{14.0/2.0} = 70\sqrt 7 \approx 185\,\mathrm{km}$. Stasiun pada Latihan 11.7 terletak pada $200\,\mathrm{km}$, di luar jarak silang: gelombang kepala tiba lebih dahulu, seperti yang ditemukan.

Latihan 11.9 ★★

Di bawah samudra, kerak setebal $6\,\mathrm{km}$, yang di dalamnya gelombang P merambat dengan kecepatan $6.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, terletak di atas mantel dengan kecepatan $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Hitung sudut kritis, waktu intersep, dan jarak silangnya. Mengapa stasiun-stasiun harus jauh lebih rapat untuk menemukan Moho di bawah samudra daripada di bawah benua?

Solusi

Solusi Latihan 11.9.

$\sin i_c = 6.5/8.0 = 0.8125$, $i_c \approx 54.3{}^{\circ}$, dan $\cos i_c \approx 0.583$. Waktu intersep: $2 \times 6 \times 0.583/6.5 \approx 1.1\,\mathrm{s}$. Jarak silang: $12\sqrt{14.5/1.5} \approx 37\,\mathrm{km}$. Di bawah benua jarak silang terletak di dekat $165\,\mathrm{km}$, sehingga stasiun yang berjarak beberapa puluh kilometer satu sama lain menangkap kedua garis itu; di bawah samudra gelombang kepala sudah tiba lebih dahulu di luar sekitar $37\,\mathrm{km}$, dan garis gelombang langsung hanya sepanjang beberapa puluh kilometer: stasiun harus berjarak beberapa kilometer saja satu sama lain untuk menggambarkannya.

Latihan 11.10 ★★

Sinar P di mantel paling bawah, tempat ia merambat dengan kecepatan $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, bertemu dengan batas inti–mantel pada sudut $30{}^{\circ}$ dari garis tegak lurus. Di bawah batas itu kecepatan P adalah $8.06\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Hitung sudut sinar biasnya. Apakah sinar itu dibelokkan mendekati garis tegak lurus atau menjauhinya? Gunakan hal ini untuk menjelaskan mengapa sinar P yang masuk ke inti muncul jauh dari gempa bumi.

Solusi

Solusi Latihan 11.10.

$\sin r = (8.06/13.7)\sin30{}^{\circ} \approx 0.294$, jadi $r \approx 17.1{}^{\circ}$: sinar itu dibelokkan mendekati garis tegak lurus, yaitu ke arah pusat Bumi. Karena itu sinar tersebut menyeberangi inti melalui lintasan panjang yang dekat dengan bagian tengahnya, dan keluar kembali jauh di sisi seberang: sinar P yang masuk ke inti muncul jauh lebih jauh dari gempa bumi daripada sinar yang nyaris tidak mengenainya.

Latihan 11.11 ★★

Dalam model acuan, gelombang P yang turun lurus melalui pusat memerlukan $1210\,\mathrm{s}$ untuk mencapai titik yang berseberangan di Bumi. Berapa lama waktunya jika gelombang itu menempuh seluruh diameter ($12\,742\,\mathrm{km}$) dengan kecepatan $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, kecepatan P di dasar mantel? Apa yang disimpulkan Oldham dari keterlambatan seperti itu?

Solusi

Solusi Latihan 11.11.

$12\,742/13.7 \approx 930\,\mathrm{s}$, sekitar 15.5 menit, padahal gelombang itu memerlukan $1210\,\mathrm{s}$, sekitar 20 menit: terlambat sekitar 280 detik. Bahkan dengan kecepatan tertinggi di mantel gelombang itu akan tiba jauh lebih awal, jadi bagian tengah Bumi pasti memperlambatnya. Oldham menyimpulkan bahwa Bumi mempunyai inti pusat yang di dalamnya gelombang P merambat lebih lambat daripada di mantel.

Latihan 11.12 ★★★

(1) Dari Proposisi 11.6, tunjukkan bahwa tebal kerak adalah

$$h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.$$

(2) Terapkan pada $t_i = 6.23\,\mathrm{s}$, $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, dan $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

Solusi

Solusi Latihan 11.12.

(1) Menurut proposisi itu, $t_i = 2h\cos i_c/v_1$, dan $\cos i_c = \sqrt{1 - v_1^2/v_2^2} = \sqrt{v_2^2 - v_1^2}/v_2$. Jadi

$$t_i = \frac{2h\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}{v_1 v_2}, \qquad\text{sehingga}\qquad h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.$$

(2) $h = 6.23 \times 6.2 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 38.44}\bigr) \approx 312.9/10.43 \approx 30.0\,\mathrm{km}$.

Latihan 11.13 ★★★

Massa jenis rata-rata Bumi adalah $5.52\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. Anggaplah Bumi sebagai inti berjari-jari $3480\,\mathrm{km}$ dengan massa jenis seragam $\rho_c$, di dalam mantel dan kerak dengan massa jenis seragam $4.45\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ (rata-rata model acuan). (1) Berapa bagian volume Bumi yang merupakan inti? (2) Hitung $\rho_c$. (3) Bandingkan dengan massa jenis di puncak inti dalam model acuan, $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, dan dengan massa jenis kerak.

Solusi

Solusi Latihan 11.13.

(1) $(3480/6371)^3 \approx 0.163$: inti merupakan sekitar $16\,\%$ volume. (2) Massa jenis rata-rata adalah rata-rata yang diberi bobot volume: $5.52 = 0.163 \rho_c + 0.837 \times 4.45$, jadi $\rho_c \approx (5.52 - 3.72)/0.163 \approx 11.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. (3) Nilai ini lebih besar daripada $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, sebagaimana mestinya, karena massa jenis inti bertambah ke arah pusat (sampai $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$); nilai itu sekitar empat kali massa jenis kerak, $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. Inti terbuat dari bahan yang jauh lebih rapat daripada batuan di permukaan.

Latihan 11.14 ★★★

Zona bayangan P menurut Gutenberg membentang dari $105{}^{\circ}$ sampai $143{}^{\circ}$. (1) Berikan batas-batasnya dalam kilometer di sepanjang permukaan. (2) Pada bola, luas di antara jarak sudut $a$ dan $b$ dari suatu titik adalah bagian $(\cos a - \cos b)/2$ dari seluruh permukaan. Berapa bagian permukaan Bumi yang tidak menerima gelombang P langsung dari suatu gempa bumi? (3) Mengapa setiap gempa bumi mempunyai zona bayangannya sendiri?

Solusi

Solusi Latihan 11.14.

(1) $105 \times 111.2 \approx 11\,700\,\mathrm{km}$ dan $143 \times 111.2 \approx 15\,900\,\mathrm{km}$. (2) $(\cos105{}^{\circ} - \cos143{}^{\circ})/2 \approx (-0.259 + 0.799)/2 \approx 0.27$: sekitar $27\,\%$ permukaan, sebuah cincin di sekeliling titik yang berseberangan dengan gempa bumi. (3) Zona bayangan adalah rentang jarak dari episentrum: zona itu berpindah bersama gempa buminya. Setiap gempa bumi mempunyai cincinnya sendiri.

Latihan 11.15 ★★★

Di bawah jajaran pegunungan yang tinggi, survei refraksi menemukan $v_1 = 6.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, dan waktu intersep $9.5\,\mathrm{s}$. (1) Hitung tebal kerak di sana. (2) Berapa waktu intersep yang akan diberikan oleh kerak setebal $30\,\mathrm{km}$ dengan kecepatan yang sama? (3) Bandingkan dengan tebal rata-rata kerak benua.

Solusi

Solusi Latihan 11.15.

(1) $h = 9.5 \times 6.3 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 39.69}\bigr) \approx 484.8/10.18 \approx 48\,\mathrm{km}$. (2) $\sin i_c = 6.3/8.1 \approx 0.778$, $\cos i_c \approx 0.629$, dan $t_i = 2 \times 30 \times 0.629/6.3 \approx 6.0\,\mathrm{s}$. (3) Kerak di bawah jajaran pegunungan itu setebal sekitar $48\,\mathrm{km}$, lebih tebal daripada rata-rata benua yang sekitar $41\,\mathrm{km}$ dan dekat dengan rata-rata sabuk pegunungan: pegunungan yang tinggi berdiri di atas kerak yang tebal.

11.6 Soal: Menemukan Moho

Soal 11.1

Soal akhir pekan — kedalaman kerak dari lima belas stasiun

Sebuah gempa bumi kecil terjadi pada kedalaman yang sangat dangkal di bawah sebuah benua. Lima belas stasiun yang dipasang pada satu garis lurus dari episentrum merekam waktu tiba gelombang P pertama dan, jika dapat dibaca, gelombang kedua. Pembacaan di bawah ini rekaan, tetapi dihitung seperti yang akan ditemukan oleh survei yang nyata, sampai sepersepuluh detik terdekat. Pg adalah gelombang yang merambat melalui kerak, Pn gelombang yang telah merambat di sepanjang bagian atas mantel.

jarak ($\mathrm{km}$)	Pg ($\mathrm{s}$)	Pn ($\mathrm{s}$)	jarak ($\mathrm{km}$)	Pg ($\mathrm{s}$)	Pn ($\mathrm{s}$)
20	3.3	—	180	29.0	28.5
40	6.5	—	200	32.3	30.9
60	9.7	—	220	—	33.3
80	12.8	16.2	240	—	35.8
100	16.1	18.6	260	—	38.3
120	19.3	21.1	280	—	40.8
140	22.6	23.6	300	—	43.2
160	25.8	26.0

Bagian I — Gelombang langsung.

1. Pada kertas grafik, gambarkan waktu Pg dan Pn terhadap jarak ($1\,\mathrm{cm}$ untuk $20\,\mathrm{km}$ dan untuk $5\,\mathrm{s}$). Bagaimana letak titik-titik Pg?
2. Mengapa garis Pg melalui titik yang dekat dengan titik asal?
3. Dengan stasiun pada 20 dan $200\,\mathrm{km}$, hitung kemiringan garis Pg dalam detik per kilometer.
4. Simpulkan kecepatan $v_1$ gelombang P di kerak.
5. Jika kerak itu berlanjut, kapan gelombang Pg akan mencapai stasiun pada $300\,\mathrm{km}$?

Bagian II — Gelombang bias.

6. Dengan stasiun pada 100 dan $300\,\mathrm{km}$, hitung kemiringan garis Pn dan kecepatan $v_2$ gelombang P di bawah kerak.
7. Bandingkan $v_2$ dengan kecepatan gelombang Pn yang diukur Mohorovičić, sekitar $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Batuan apa yang terletak di bawah kerak?
8. Hitung sudut kritis $i_c$.
9. Tidak ada stasiun yang lebih dekat daripada $80\,\mathrm{km}$ yang merekam gelombang Pn. Dengan Proposisi 11.6, jelaskan mengapa ada jarak terkecil tempat gelombang kepala dapat direkam.
10. Antara 80 dan $160\,\mathrm{km}$, Pn tiba sesudah Pg. Mengapa gelombang itu tetap terekam?

Bagian III — Persilangan.

11. Dari tabel, di antara dua stasiun manakah gelombang pertama yang tiba berubah dari Pg menjadi Pn?
12. Tuliskan persamaan kedua garis itu, dengan titik pada $20\,\mathrm{km}$ (Pg) dan $100\,\mathrm{km}$ (Pn).
13. Hitung jarak tempat kedua garis itu bersilangan.
14. Di luar $200\,\mathrm{km}$ tidak ada stasiun yang merekam Pg sebagai gelombang tersendiri. Gelombang mana yang direkam lebih dahulu oleh stasiun pada $250\,\mathrm{km}$, dan kapan?

Bagian IV — Kedalaman Moho.

15. Perpanjang garis Pn ke belakang sampai sumbu waktu: berapa waktu intersep $t_i$?
16. Hitung $\cos i_c$, dan tebal kerak $h$ dengan Metode 11.9.
17. Periksa: dengan $h$ ini, hitung jarak silang dengan Proposisi 11.7 dan bandingkan dengan pertanyaan 13.
18. Periksa lagi: hitung jarak kritis $2h\tan i_c$ dan bandingkan dengan stasiun terdekat yang merekam Pn.
19. Para ahli seismologi memberikan $h$ hanya sampai beberapa kilometer terdekat. Mengapa nilai yang lebih halus tidak dapat dibenarkan?
20. Simpulkan: pada kedalaman berapa Moho terletak di bawah wilayah ini? Apakah kerak di sini tipis atau tebal untuk ukuran sebuah benua?

Solusi

Solusi Soal 11.1.

1. Titik-titik Pg terletak pada satu garis lurus; titik-titik Pn terletak pada garis lurus lain yang kurang curam.

2. Gempa bumi itu berada pada kedalaman yang sangat dangkal di bawah episentrum: stasiun pada jarak nol akan langsung merekam gelombangnya.

3. $(32.3 - 3.3)/(200 - 20) = 29.0/180 \approx 0.161$ $\mathrm{s}$ per kilometer.

4. $v_1 = 180/29.0 \approx 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

5. $3.3 + 280 \times 0.161 \approx 48.4\,\mathrm{s}$.

6. $(43.2 - 18.6)/(300 - 100) = 24.6/200 = 0.123$ $\mathrm{s}$ per kilometer, jadi $v_2 = 200/24.6 \approx 8.13\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

7. Nilai itu dekat dengan $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: di bawah kerak terletak batuan mantel paling atas.

8. $\sin i_c = 6.21/8.13 \approx 0.763$, jadi $i_c \approx 49.8{}^{\circ}$.

9. Gelombang kepala turun dengan sudut $i_c$ dan naik kembali dengan sudut yang sama. Titik pertama tempat gelombang itu dapat kembali ke permukaan terletak sejauh $h\tan i_c$ dari titik tempat ia mencapai Moho, yang sendiri berjarak $h\tan i_c$ dari sumber: tidak ada stasiun yang lebih dekat daripada $2h\tan i_c$ yang dapat menerimanya.

10. Seismometer merekam setiap gelombang yang mencapainya, tidak hanya yang pertama; gelombang Pn tiba sesudah gelombang Pg tetapi tetap tampak sebagai gelombang tersendiri pada rekaman.

11. Pada $160\,\mathrm{km}$, Pg ($25.8\,\mathrm{s}$) tiba sebelum Pn ($26.0\,\mathrm{s}$); pada $180\,\mathrm{km}$, Pn ($28.5\,\mathrm{s}$) tiba sebelum Pg ($29.0\,\mathrm{s}$). Perubahan itu terjadi di antara kedua stasiun ini.

12. Pg: $t = 3.3 + 0.1611\,(x - 20) \approx 0.08 + 0.1611\,x$. Pn: $t = 18.6 + 0.123\,(x - 100) = 6.30 + 0.123\,x$ ($x$ dalam kilometer, $t$ dalam detik).

13. $0.08 + 0.1611\,x = 6.30 + 0.123\,x$ memberikan $x \approx 6.22/0.0381 \approx 163\,\mathrm{km}$.

14. Pn, sesudah $6.30 + 0.123 \times 250 \approx 37.1\,\mathrm{s}$.

15. $t_i \approx 6.3\,\mathrm{s}$.

16. $\cos i_c \approx 0.646$, jadi $h = 6.21 \times 6.3/(2 \times 0.646) \approx 30.3\,\mathrm{km}$.

17. $x_c = 2 \times 30.3 \times \sqrt{14.34/1.92} \approx 60.6 \times 2.73 \approx 165\,\mathrm{km}$, selisihnya kurang dari $2\,\mathrm{km}$ dengan $163\,\mathrm{km}$ pada pertanyaan 13.

18. $\tan i_c \approx 1.18$: $2 \times 30.3 \times 1.18 \approx 72\,\mathrm{km}$. Stasiun terdekat yang merekam Pn terletak pada $80\,\mathrm{km}$, dan stasiun pada $60\,\mathrm{km}$ tidak merekamnya: keduanya sesuai.

19. Waktu dibaca sampai $0.1\,\mathrm{s}$, dan kesalahan sebesar $0.1\,\mathrm{s}$ pada $t_i$ saja mengubah $h$ sekitar $0.5\,\mathrm{km}$; kecepatan, yang diambil dari kemiringan, juga tidak pasti, dan gempa bumi itu tidak tepat berada di permukaan. Kerak juga tidak seragam sempurna. Ketelitian satu atau dua kilometer adalah yang paling tinggi yang dimungkinkan oleh data.

20. Moho terletak sekitar $30\,\mathrm{km}$ di bawah wilayah ini: kerak di sini tergolong tipis untuk sebuah benua, yang keraknya rata-rata setebal sekitar $41\,\mathrm{km}$; $30\,\mathrm{km}$ khas bagi wilayah tempat kerak telah teregang.