8Daerah Aliran Sungai, Sungai, dan Banjir

Sebuah sungai dapat naik dua hari setelah hujan berhenti, di sebuah kota yang sama sekali tidak kehujanan. Air yang membanjiri jalan-jalannya jatuh lebih awal, di perbukitan jauh di hulu; air itu mengalir menuruni lereng-lereng ke dalam anak-anak sungai, dan anak-anak sungai itu bergabung menjadi sungai yang membawanya, sekaligus, ke kota itu. Untuk memahami banjir, kita harus melihat melampaui sungai itu, ke seluruh wilayah yang memasoknya, dan mengikuti air melalui wilayah itu. Bab ini mendefinisikan wilayah itu, daerah aliran sungai; mengukur apa yang dibawa sungai, yaitu debitnya; mengikuti banjir ketika melewati suatu titik di sungai; dan memperlihatkan bagaimana catatan banjir yang panjang memberi tahu seberapa sering banjir tertentu datang kembali.

Yang sudah kamu ketahui

Hujan yang mencapai tanah meresap ke dalamnya, mengalir di permukaannya, atau menguap; daur air membawanya kembali ke laut (buku-buku fisika). Air meresap ke dalam batuan yang permeabel dan mengisinya di bawah muka air tanah, membentuk akuifer yang memasok mata air dan sungai (Buku 1, kelas 6). Sungai berkelok-kelok membentuk meander di dataran banjirnya yang datar, yang digenanginya ketika banjir (Buku 1, kelas 5). Garis kontur menghubungkan titik-titik yang ketinggiannya sama; Perbukitan Varden adalah wilayah yang digambar pada peta-peta seri ini (Buku 1, kelas 2 dan 9).

Keselamatan

Air banjir jauh lebih berbahaya daripada kelihatannya. Air yang mengalir deras setinggi sekitar $15\,\mathrm{cm}$ dapat menjatuhkan orang dewasa, dan setinggi sekitar $30\,\mathrm{cm}$ dapat menghanyutkan mobil; jalan di bawahnya mungkin telah runtuh. Jangan pernah berjalan atau berkendara memasuki air banjir: berbaliklah dan carilah jalan lain.

8.1 Daerah aliran sungai

Setiap tetes hujan yang tidak menguap atau meresap dalam-dalam mengalir menuruni lereng. Tetes itu mengikuti kemiringan tanah yang paling curam, bergabung dengan alur kecil, lalu dengan anak sungai, dan anak-anak sungai bergabung menjadi sungai. Seluruh daratan yang airnya berakhir di sungai yang sama membentuk satu kesatuan.

Definisi 8.1 (Daerah aliran sungai; garis pemisah air)

Yang disebut daerah aliran sungai untuk suatu titik di sungai adalah seluruh wilayah daratan yang air lariannya mengalir ke sungai di hulu titik itu dan melewati titik itu. Yang disebut garis pemisah air adalah garis yang memisahkan dua daerah aliran sungai yang bertetangga: garis itu mengikuti punggung-punggung daratan, dan hujan yang jatuh di kedua sisinya mengalir ke sungai yang berbeda.

Daerah aliran sungai selalu didefinisikan untuk suatu titik di sungai, yaitu titik keluarannya: daerah aliran sungai di tempat sungai mencapai laut adalah yang terluas, dan setiap titik di hulunya memiliki daerah aliran yang lebih kecil di dalamnya. Dua tetes yang jatuh berjarak satu meter, di kedua sisi garis pemisah air, dapat berakhir di sungai yang berbeda dan bahkan di samudra yang berbeda.

Daerah aliran Sungai Varden

Komputer menemukan daerah aliran sungai dari peta ketinggian dalam beberapa langkah. Peta itu dipotong menjadi persegi-persegi kecil, di sini bersisi $50\,\mathrm{m}$. Untuk setiap persegi, komputer memeriksa delapan tetangganya dan mengirim air ke tetangga yang dicapai melalui kemiringan turun yang paling curam. (Di tempat cekungan kecil tidak memiliki tetangga yang lebih rendah, cekungan itu terlebih dahulu diisi sampai aras tempat airnya akan meluap, seperti genangan.) Dengan mengikuti langkah-langkah ini dari persegi ke persegi, kita dapat melacak jalan sebuah tetes dari mana pun di peta. Persegi-persegi yang tetesnya mencapai sungai membentuk daerah aliran sungai itu.

Daerah aliran itu meliputi $66\,\mathrm{km}^{2}$ dari $80\,\mathrm{km}^{2}$ luas peta, sekitar empat per lima bagiannya. Di utara, garis pemisah air mengikuti punggung perbukitan dan melewati puncak-puncaknya; di baliknya daratan miring menjauhi sungai dan airnya mengalir ke lembah lain. Di sudut barat daya, sebuah wilayah kecil juga mengalirkan airnya ke luar peta. Sungai itu sendiri memasuki peta dari barat, sehingga daerah alirannya yang lengkap lebih luas: daerah aliran itu juga mencakup daratan di hulu, di luar tepi peta.

Sungai-sungai terbesar

Sungai-sungai dibandingkan menurut luas daerah alirannya dan menurut air yang dibawanya. Sungai terbesar di dunia, dengan selisih yang jauh, adalah Amazon. Mississippi, sungai terbesar di Amerika Serikat, mengeringkan sekitar $1\,150\,000$ mil persegi, sekitar 2.98 juta $\mathrm{km}^{2}$, dari Amerika Serikat dan Kanada.

8.2 Debit

Definisi 8.2 (Debit)

Yang disebut debit sungai di suatu titik adalah volume air yang melewati sebuah penampang sungai dalam satu detik. Debit diukur dalam meter kubik per detik, $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

Debit $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ adalah seribu liter setiap detik, atau $86\,400\,\mathrm{m}^{3}$ sehari. Air mengalir paling cepat di dekat permukaan di tengah alur dan paling lambat di sepanjang dasar dan tepiannya, tempat air bergesekan dengannya; kecepatan rata-rata adalah kecepatan yang dirata-ratakan atas seluruh penampang.

Proposisi 8.3 (Debit, kecepatan, dan penampang)

Debit $Q$ sungai adalah hasil kali kecepatan rata-rata $v$ air dan luas $A$ penampang basah:

$$Q = v\,A.$$

Sungai dengan penampang $50\,\mathrm{m}^{2}$ yang mengalir dengan kecepatan rata-rata $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ membawa $1.2 \times 50 = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Saat banjir, kedua faktor itu bertambah: air menjadi lebih dalam dan lebih lebar, sehingga penampangnya bertambah, dan air mengalir lebih cepat.

Mengukur debit

Karena kecepatan berubah dari tepi ke tepi sungai, kecepatan itu diukur di beberapa titik. Sungai dipotong menjadi pita-pita tegak; di setiap pita, kedalaman dan kecepatan diukur, dan debit pita-pita itu dijumlahkan.

Metode 8.4 (Metode kecepatan–luas)

1. Bentangkan pita ukur melintasi sungai dan pilih garis-garis tegak dengan jarak teratur $w$ di sepanjangnya.
2. Di setiap garis tegak, ukur kedalaman $d$ dan kecepatan rata-rata $v$ air sepanjang kedalaman itu dengan pengukur arus.
3. Setiap garis tegak mewakili sebuah pita selebar $w$ dengan luas $w\,d$; debitnya $v\,w\,d$.
4. Jumlahkan debit semua pita: $Q = \sum v\,w\,d$. Penampangnya $A = \sum w\,d$ dan kecepatan rata-ratanya $Q/A$.

Contoh 8.5 (Sebuah pengukuran debit)

Pada anak sungai dalam gambar, kelima pita, yang masing-masing selebar $2\,\mathrm{m}$, memiliki luas $2 \times 0.4 = 0.8$, $2.0$, $2.8$, $2.2$, dan $1.0\,\mathrm{m}^{2}$: penampangnya $8.8\,\mathrm{m}^{2}$. Debitnya $0.3 \times 0.8 = 0.24$, $0.6 \times 2.0 = 1.20$, $0.8 \times 2.8 = 2.24$, $0.7 \times 2.2 = 1.54$, dan $0.4 \times 1.0 = 0.40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, sehingga anak sungai itu membawa $Q \approx 5.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Kecepatan rata-ratanya $5.62/8.8 \approx 0.64\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, kurang dari $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di bagian tengah aliran.

Pengukuran debit memerlukan waktu dan tidak dapat dilakukan terus-menerus. Sebagai gantinya, stasiun pengukur debit merekam tinggi muka air, tanpa terputus. Beberapa pengukuran debit yang dilakukan pada tinggi muka air yang berbeda memberikan kurva yang menghubungkan tinggi muka air dengan debit, dan stasiun itu mengubah setiap tinggi muka air yang direkamnya menjadi debit.

Sungai-sungai besar membawa debit yang sangat besar. Dari 1972 sampai 2003 Amazon mengalirkan rata-rata sekitar $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ke Samudra Atlantik, dengan ketelitian sekitar $6\,\%$: sekitar $17\,\%$ dari seluruh air tawar yang dibawa sungai-sungai dunia ke laut. Mississippi membawa rata-rata $593\,000$ kaki kubik per detik, sekitar $16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, ke Teluk Meksiko: Amazon membawa sekitar dua belas kali lebih banyak.

8.3 Hidrograf

Definisi 8.6 (Hidrograf; aliran dasar; waktu tunda)

Yang disebut hidrograf adalah grafik debit sungai di satu titik terhadap waktu. Yang disebut aliran dasar adalah bagian debit yang dipasok oleh air tanah, yang membuat sungai tetap mengalir di antara hujan-hujan. Yang disebut waktu tunda sebuah banjir adalah waktu di antara puncak curah hujan di daerah aliran dan puncak debit.

Air dari sebuah hujan badai mencapai sungai pada waktu yang berbeda-beda. Hujan yang jatuh di dekat alur tiba dalam beberapa menit atau jam; hujan yang jatuh jauh di hulu memerlukan waktu yang jauh lebih lama, karena harus mengalir menuruni lereng dan di sepanjang sungai. Karena itu debit naik dengan curam, pada sisi naik, selama air dari lereng-lereng terdekat tiba, mencapai puncak ketika paling banyak air tiba sekaligus, dan turun lebih lambat, pada sisi turun, ketika air terakhir terkuras dari sudut-sudut terjauh daerah aliran dan dari tanah. Makin luas daerah alirannya, makin panjang waktu tundanya: beberapa jam untuk anak sungai yang kecil, beberapa hari untuk sungai besar.

Sebagian daerah aliran menghasilkan banjir yang mendadak, dengan puncak yang tinggi dan tiba-tiba serta waktu tunda yang singkat; daerah aliran lainnya menghasilkan banjir yang lambat dan landai. Hujan yang sama menghasilkan banjir yang lebih mendadak bila:

• daerah aliran itu kecil dan curam, sehingga air menempuh jalan yang pendek dan cepat;
• tanah hanya membiarkan sedikit air meresap: batuan telanjang, lempung, tanah yang sudah jenuh air, tanah yang membeku, dan terutama atap, jalan, dan tempat parkir di kota, yang mengirim hampir seluruh hujan langsung ke saluran dan anak sungai;
• daerah aliran itu memiliki jaringan anak sungai dan saluran yang rapat, yang mengumpulkan air dengan cepat.

Hutan, tanah yang dalam dan permeabel, serta dataran banjir yang lebar melakukan sebaliknya: semuanya menahan air dan melepaskannya perlahan, yang menurunkan dan menunda puncaknya.

Sebuah banjir sungguhan

Sungai Potomac mengeringkan daerah aliran seluas $11\,560$ mil persegi, sekitar $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$, di hulu sebuah stasiun pengukur debit di dekat Washington, di Amerika Serikat bagian timur. Pada Januari 1996 stasiun itu merekam hidrograf di bawah ini.

Pada hari-hari sebelum banjir, sungai itu membawa sekitar $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, yaitu aliran dasarnya. Pada 21 Januari rata-rata hariannya mencapai $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, hampir tiga puluh kali lebih besar. Bila disebarkan ke seluruh daerah aliran, air yang melewati stasiun pada hari itu akan membentuk lapisan setebal $9231 \times 86400 / (29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$, sekitar $27\,\mathrm{mm}$: hujan lebat, yang dikirim dalam satu hari dari seluruh daerah aliran sekaligus.

8.4 Banjir dan periode ulangnya

Seberapa besar banjir yang harus diperhitungkan sebuah kota? Jawabannya berasal dari masa lalu: stasiun pengukur debit yang telah bekerja selama puluhan tahun telah merekam debit terbesar setiap tahun, yaitu puncak tahunan. Puncak-puncak kecil datang hampir setiap tahun, yang besar jarang. Makin jarang sebuah banjir, makin besar banjir itu.

Definisi 8.7 (Periode ulang)

Yang disebut periode ulang $T$ sebuah banjir adalah selang rata-rata, dalam tahun, di antara tahun-tahun yang puncak tahunannya menyamai atau melampaui banjir itu. Banjir dengan periode ulang $T$, yaitu banjir $T$ tahunan, memiliki peluang $1/T$ untuk disamai atau dilampaui dalam satu tahun mana pun.

Banjir seratus tahunan bukanlah banjir yang datang sekali setiap seratus tahun, seperti jadwal. Banjir itu adalah banjir yang memiliki satu peluang dari seratus untuk disamai atau dilampaui setiap tahun, tiap tahun, apa pun yang terjadi pada tahun sebelumnya. Dua banjir seperti itu dapat datang pada tahun-tahun yang berurutan; satu abad dapat berlalu tanpa satu pun.

Metode 8.8 (Periode ulang dari catatan puncak tahunan)

1. Daftarlah puncak tahunan selama $n$ tahun.
2. Urutkan dari yang terbesar (peringkat $m = 1$) sampai yang terkecil (peringkat $m = n$).
3. Berikan kepada puncak berperingkat $m$ periode ulang $T = (n + 1)/m$.
4. Gambarlah puncak-puncak itu terhadap $T$ pada skala logaritmik $T$, lalu bacalah debit untuk periode ulang yang diinginkan.

Dengan demikian, yang terbesar dari $n$ puncak mendapat $T = n + 1$ tahun: dalam catatan $95$ tahun, $96$ tahun. Rumus itu mencerminkan apa yang diperlihatkan catatan: puncak berperingkat $m$ telah disamai atau dilampaui dalam $m$ dari $n$ tahun, kira-kira sekali setiap $n/m$ tahun. Metode itu tidak dapat dengan andal menjangkau melampaui panjang catatan: catatan $50$ tahun hanya sedikit memberi tahu tentang banjir $1000$ tahunan.

Data tahun 2026

Dalam catatan Sungai Potomac di dekat Washington, dari 1931 sampai 2025, lima puncak tahunan terbesar terjadi pada Maret 1936 ($13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$), Oktober 1942, Juni 1972, April 1937, dan Januari 1996, dua yang terakhir sama besar, yaitu $9830\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

Peluang banjir selama bertahun-tahun

Rumah atau jembatan berdiri selama puluhan tahun. Yang penting baginya bukanlah peluang banjir dalam satu tahun, melainkan selama seluruh umurnya.

Proposisi 8.9 (Sekurang-kurangnya satu banjir dalam $N$ tahun)

Jika tahun-tahun itu saling bebas, peluang bahwa banjir dengan periode ulang $T$ disamai atau dilampaui sekurang-kurangnya sekali dalam $N$ tahun adalah

$$P = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^{N}.$$

Untuk banjir seratus tahunan selama tiga puluh tahun, $(0.99)^{30} \approx 0.740$, dan $P \approx 0.26$: satu peluang dari empat. Selama seratus tahun, $(0.99)^{100} \approx 0.366$ dan $P \approx 0.63$: banjir seratus tahunan jauh dari pasti datang dalam seratus tahun.

8.5 Bendungan dan tanggul

Sejak lama manusia membangun bangunan-bangunan yang mengubah cara banjir lewat. Dua di antaranya mengubahnya dengan cara yang berlawanan.

Bendungan menahan sebuah waduk. Ketika banjir tiba, sebagian airnya disimpan di waduk, yang muka airnya naik, dan dilepaskan sesudahnya, selama waktu yang lebih panjang. Di hilir, volume air yang sama lewat, tetapi tersebar: puncaknya lebih rendah dan lebih lambat. Waduk hanya menurunkan banjir selama masih ada ruang tersisa; begitu penuh, seluruh air yang memasukinya diteruskan.

Tanggul adalah timbunan tanah yang dibangun di sepanjang sungai untuk menahan banjirnya agar tidak masuk ke dataran banjir. Di antara tanggul-tanggul itu air tidak dapat menyebar; untuk membawa debit yang sama melalui penampang yang lebih sempit, air harus berdiri lebih tinggi dan mengalir lebih cepat. Daratan di balik tanggul tetap kering, selama tanggul bertahan dan tidak terlampaui. Namun dataran banjir tidak lagi menyimpan air selama banjir, sehingga lebih banyak air, dan lebih cepat, bergerak ke hilir.

8.6 Latihan

Latihan 8.1 ★

Definisikan daerah aliran sungai dan garis pemisah air. Mengapa dua tetes hujan yang jatuh berjarak satu meter dapat berakhir di dua laut yang berbeda?

Solusi

Solusi Latihan 8.1.

Daerah aliran sungai untuk suatu titik di sungai adalah seluruh wilayah daratan yang air lariannya mengalir ke sungai di hulu titik itu dan melewatinya. Garis pemisah air adalah garis, di sepanjang punggung-punggung, yang memisahkan dua daerah aliran yang bertetangga. Dua tetes yang jatuh berjarak satu meter di kedua sisi garis pemisah air mengalir menuruni lereng yang berlawanan, ke dalam dua daerah aliran yang berbeda: sungai-sungainya dapat mencapai laut yang berbeda.

Latihan 8.2 ★

Definisikan debit sungai dan sebutkan satuannya. Berapa liter air yang melewati suatu titik di sungai yang membawa $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ dalam sehari?

Solusi

Solusi Latihan 8.2.

Debit adalah volume air yang melewati sebuah penampang sungai setiap detik, dalam $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ adalah $1000\,\mathrm{L}$ setiap detik; dalam sehari, $1000 \times 86\,400 = 86.4$ juta liter.

Latihan 8.3 ★

Pada hidrograf Sungai Potomac bulan Januari 1996, bacalah aliran dasar sebelum banjir, debit puncak beserta tanggalnya, dan banyaknya hari yang diperlukan oleh kenaikan itu.

Solusi

Solusi Latihan 8.3.

Sebelum banjir, sungai itu membawa sekitar $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ (di antara sekitar $240$ dan $390\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). Puncaknya $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ pada 21 Januari. Kenaikan itu bermula pada 18 Januari ($362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$): kenaikan itu berlangsung tiga hari.

Latihan 8.4 ★

Berapa peluang bahwa banjir $50$ tahunan disamai atau dilampaui tahun depan? Banjir $50$ tahunan datang tahun lalu: apakah peluangnya lebih kecil tahun ini?

Solusi

Solusi Latihan 8.4.

$1/50 = 0.02$, $2\,\%$. Tidak: tahun-tahun itu saling bebas; peluangnya tetap $2\,\%$ tahun ini, apa pun yang terjadi tahun lalu.

Latihan 8.5 ★

Mississippi membawa rata-rata $593\,000$ kaki kubik air per detik ke laut ($1$ kaki = $0.3048\,\mathrm{m}$). Ubahlah debit ini ke $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, lalu bandingkan dengan $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ milik Amazon.

Solusi

Solusi Latihan 8.5.

Satu kaki kubik adalah $0.3048^3 \approx 0.028\,32\,\mathrm{m}^{3}$, jadi $593\,000 \times 0.02832 \approx 16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Amazon membawa $206\,000/16\,800 \approx 12$ kali lebih banyak.

Latihan 8.6 ★★

Seorang hidrolog mengukur debit sebuah anak sungai dengan empat garis tegak berjarak $1.5\,\mathrm{m}$. Kedalamannya $0.3$, $0.6$, $0.7$, dan $0.4\,\mathrm{m}$; kecepatan rata-ratanya $0.2$, $0.5$, $0.6$, dan $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Hitung penampang, debit, dan kecepatan rata-ratanya.

Solusi

Solusi Latihan 8.6.

Luas pita: $1.5 \times 0.3 = 0.45$, $0.90$, $1.05$, dan $0.60\,\mathrm{m}^{2}$: $A = 3.0\,\mathrm{m}^{2}$. Debit: $0.2 \times 0.45 = 0.09$, $0.5 \times 0.90 = 0.45$, $0.6 \times 1.05 = 0.63$, $0.3 \times 0.60 = 0.18$: $Q = 1.35\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Kecepatan rata-rata $1.35/3.0 = 0.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Latihan 8.7 ★★

Sebuah hujan badai menurunkan hujan $20\,\mathrm{mm}$ di atas seluruh daerah aliran Sungai Varden pada peta, $66\,\mathrm{km}^{2}$. Berapa volume air itu? Jika seluruhnya mencapai titik keluaran dalam dua hari, berapa debit tambahan rata-ratanya?

Solusi

Solusi Latihan 8.7.

$66 \times 10^6 \times 0.020 = 1.32 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$. Dua hari sama dengan $2 \times 86\,400 = 172\,800\,\mathrm{s}$: $1.32 \times 10^6/172\,800 \approx 7.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ rata-rata.

Latihan 8.8 ★★

Puncak tahunan sebuah sungai kecil selama sembilan tahun adalah, dalam $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$: $42$, $65$, $38$, $120$, $51$, $47$, $88$, $35$, $59$. Urutkan puncak-puncak itu dan sebutkan periode ulang tiga yang terbesar. Berapa periode ulang puncak mediannya?

Solusi

Solusi Latihan 8.8.

Diurutkan: 120, 88, 65, 59, 51, 47, 42, 38, 35. Dengan $n = 9$, $T = 10/m$: yang terbesar (120) memiliki $T = 10$ tahun, yang kedua (88) 5 tahun, yang ketiga (65) sekitar 3.3 tahun. Median, 51, berperingkat 5 dan $T = 2$ tahun: puncak itu disamai atau dilampaui satu tahun dari dua.

Latihan 8.9 ★★

Hujan badai yang sama jatuh di dua daerah aliran yang luasnya sama: satu curam dan tertutup oleh kota, yang lain landai dan berhutan. Sketsalah kedua hidrograf itu pada sumbu yang sama dan jelaskan perbedaannya.

Solusi

Solusi Latihan 8.9.

Hidrograf daerah aliran berkota naik lebih awal dan jauh lebih tinggi, lalu turun dengan cepat: di lereng curam, atap, dan jalan, hanya sedikit air yang meresap dan air larian mencapai anak sungai dengan cepat dan sekaligus; waktu tundanya singkat. Hidrograf daerah aliran berhutan naik lebih lambat, sampai puncak yang lebih rendah dan lebih lebar: tanah dan hutan menyerap sebagian besar hujan dan melepaskannya perlahan, dan air mengalir perlahan di lereng yang landai. Aliran dasarnya tetap lebih tinggi setelah hujan badai.

Latihan 8.10 ★★

Pada puncak 21 Januari 1996, Sungai Potomac membawa $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ dari daerah aliran seluas $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$. Berapa tebal air, bila disebarkan ke seluruh daerah aliran, yang diwakili oleh satu hari debit ini? Bandingkan dengan aliran dasar $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

Solusi

Solusi Latihan 8.10.

$9231 \times 86\,400 \approx 7.98 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, disebarkan ke $29\,900 \times 10^6 = 2.99 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$: sekitar $0.027\,\mathrm{m}$, $27\,\mathrm{mm}$. Aliran dasar memberikan $330 \times 86\,400/2.99 \times 10^{10} \approx 0.001\,\mathrm{m}$, sekitar $1\,\mathrm{mm}$ sehari: hari puncak membawa sekitar 28 kali lebih banyak.

Latihan 8.11 ★★

Berapa peluang bahwa banjir $10$ tahunan datang sekurang-kurangnya sekali dalam $10$ tahun? Bahwa banjir itu sama sekali tidak datang dalam sepuluh tahun ini?

Solusi

Solusi Latihan 8.11.

$P = 1 - 0.9^{10} \approx 1 - 0.349 = 0.651$: sekitar $65\,\%$. Banjir itu sama sekali tidak datang dengan peluang $0.9^{10} \approx 0.35$, sekitar $35\,\%$.

Latihan 8.12 ★★★

Debit yang memasuki sebuah waduk saat banjir naik secara teratur dari $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ menjadi $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ dalam satu hari, lalu turun secara teratur kembali menjadi $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ dalam dua hari (aliran dasar diabaikan). Berapa volume yang dibawa banjir itu? Bendungan itu meloloskan paling banyak $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, dan waduknya dapat menyimpan $60$ juta $\mathrm{m}^{3}$. Dapatkah waduk itu menahan semua yang di atas $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$?

Solusi

Solusi Latihan 8.12.

Hidrograf itu berbentuk segitiga sepanjang tiga hari dan setinggi $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$: luasnya $\tfrac12 \times 1200 \times 3 \times 86\,400 \approx 1.56 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, $156$ juta meter kubik. Bagian di atas $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ adalah segitiga yang lebih kecil dengan bentuk yang sama, tiga kali lebih kecil dalam tinggi ($400$, bukan $1200$) dan dalam lama waktu (satu hari, bukan tiga): $\tfrac12 \times 400 \times 86\,400 \approx 1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$, $17$ juta meter kubik. Itu kurang dari $60$ juta yang dapat disimpan waduk: ya.

Latihan 8.13 ★★★

Sebuah sungai selebar $100\,\mathrm{m}$ penuh sampai ke tepiannya pada $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, dengan kecepatan $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Banjir $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ tiba.

1. Tanpa tanggul, tambahan $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ menyebar di atas dataran banjir selebar $900\,\mathrm{m}$, tempat air mengalir dengan kecepatan $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Berapa dalam air di dataran banjir?
2. Dengan tanggul, seluruh banjir lewat di antara tanggul-tanggul itu, dengan kecepatan $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Berapa dalam sungai itu, dan setinggi apa sungai itu berdiri di atas tepiannya?

Solusi

Solusi Latihan 8.13.

Bila penuh sampai ke tepiannya, sungai itu sedalam $800/(100 \times 2) = 4\,\mathrm{m}$. (1) Dataran banjir membawa $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ selebar $900\,\mathrm{m}$ dengan kecepatan $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: dalamnya $400/(900 \times 0.5) \approx 0.9\,\mathrm{m}$. (2) Di antara tanggul: sedalam $1200/(100 \times 2) = 6\,\mathrm{m}$, $2\,\mathrm{m}$ di atas tepiannya, lebih dari dua kali kedalaman di dataran banjir tanpa tanggul.

Latihan 8.14 ★★★

Periode ulang $T$ berapakah yang memberi sebuah banjir peluang satu dari dua untuk datang sekurang-kurangnya sekali dalam $30$ tahun?

Solusi

Solusi Latihan 8.14.

Kita menginginkan $(1 - 1/T)^{30} = 0.5$, jadi $1 - 1/T = 0.5^{1/30} \approx 0.97716$, $1/T \approx 0.02284$ dan $T \approx 44$ tahun.

Latihan 8.15 ★★★

Sebuah peta kecil dipotong menjadi persegi-persegi bersisi $100\,\mathrm{m}$; ketinggiannya dalam meter diberikan di bawah (utara di atas). Air meninggalkan setiap persegi menuju tetangga terendah dari keempat tetangganya (utara, selatan, timur, barat) jika tetangga itu lebih rendah; persegi pada $34\,\mathrm{m}$ (sudut barat laut) dan $30\,\mathrm{m}$ (sudut tenggara) adalah titik keluaran dua anak sungai.

34	38	46	50
37	42	48	47
45	49	44	39
51	46	37	30

Gambarlah arah aliran setiap persegi, temukan daerah aliran setiap titik keluaran beserta luasnya, dan gambarlah garis pemisah airnya.

Solusi

Solusi Latihan 8.15.

Setiap persegi mengirim airnya ke tetangganya yang terendah (baris dari utara ke selatan, kolom dari barat ke timur):

keluaran	barat	barat	barat
utara	barat	barat	selatan
utara	utara	selatan	selatan
utara	timur	timur	keluaran

Dengan mengikuti panah-panahnya, persegi 47, 39, 44, 37, 46, dan 30 mengalir ke titik keluaran tenggara: 6 persegi, $0.06\,\mathrm{km}^{2}$. Sepuluh persegi lainnya mengalir ke titik keluaran barat laut: $0.10\,\mathrm{km}^{2}$. Garis pemisah air berjalan dari tepi timur di antara 50 dan 47, lalu di antara 48 dan 47, di antara 48 dan 44, di antara 49 dan 44, di antara 49 dan 46, dan di antara 51 dan 46 sampai ke tepi selatan.

8.7 Soal: Banjir Seratus Tahunan

Soal 8.1

Soal akhir pekan — seberapa sering sungai masuk ke kota?

Bayangkan sebuah kota di tepi Sungai Potomac, sedikit di hulu Washington, di dekat stasiun pengukur debit yang telah merekam debit terbesar sungai itu setiap tahun sejak 1931. Puncak-puncak tahunannya digambar di bawah ini, dan hidrograf Januari 1996 diberikan dalam bab ini.

Bagian I — Daerah aliran dan debit.

1. Daerah aliran stasiun itu meliputi $11\,560$ mil persegi ($1$ mil = $1.609\,\mathrm{km}$). Ubahlah luas ini ke $\mathrm{km}^{2}$.
2. Garis apa pada peta yang membatasi wilayah ini?
3. Puncak terbesar, pada 19 Maret 1936, adalah $484\,000$ kaki kubik per detik. Ubahlah ke $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ($1$ kaki = $0.3048\,\mathrm{m}$).
4. Puncak tahunan median adalah $3341\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Berapa kali lebih besar banjir tahun 1936 dibandingkan dengan median itu?
5. Misalkan pada puncak tahun 1936 sungai itu rata-rata selebar $400\,\mathrm{m}$ dan sedalam $8\,\mathrm{m}$ di stasiun. Berapa kecepatan rata-ratanya?

Bagian II — Membaca banjir tahun 1996.

6. Pada hidrograf Januari 1996, berapa aliran dasar pada hari-hari sebelum banjir?
7. Berapa debit harian puncaknya, dan pada hari apa?
8. Berapa hari yang diperlukan oleh kenaikan itu, dari $362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ pada 18 Januari sampai puncaknya?
9. Berapa tebal air di seluruh daerah aliran yang dibawa melewati stasiun pada hari puncak?
10. Kenaikan kedua yang lebih kecil mencapai puncak pada 29 Januari. Apa yang diberitahukannya tentang air yang mencapai daerah aliran?
11. Debit kembali mendekati $410\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ pada 7 Februari. Berapa lama setelah puncak itu? Mengapa sisi turun berlangsung lebih lama daripada sisi naik?

Bagian III — Mengurutkan banjir.

12. Catatan itu memuat $n = 95$ puncak tahunan. Periode ulang berapa yang diberikan metode itu kepada yang terbesar?
13. Puncak Oktober 1942 ($12\,658\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) berperingkat kedua. Berapa periode ulangnya?
14. Puncak Juni 1972 ($10\,166\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) berperingkat ketiga. Berapa periode ulangnya?
15. Banjir April 1937 dan Januari 1996 sama besar ($9826\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). Bila diberi peringkat 4 dan 5, periode ulang berapa yang diperolehnya? Apakah nilai yang sama itu banyak berpengaruh di sini?
16. Pada diagram batang, hitunglah tahun-tahun yang puncaknya melampaui $9500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Perkirakan peluang puncak seperti itu dalam satu tahun mana pun, dan periode ulangnya.

Bagian IV — Peluang banjir.

17. Berapa peluang bahwa banjir $100$ tahunan disamai atau dilampaui dalam satu tahun tertentu?
18. Berapa peluang bahwa banjir itu tidak disamai atau dilampaui, pada tahun itu?
19. Berapa peluang bahwa banjir itu tidak datang dalam $30$ tahun, yaitu lamanya sebuah keluarga mungkin tinggal di rumah di tepi sungai?
20. Berapa peluang sekurang-kurangnya satu banjir $100$ tahunan dalam $30$ tahun?

Solusi

Solusi Soal 8.1.

1. $11\,560 \times 1.609^2 \approx 29\,900\,\mathrm{km}^{2}$.

2. Garis pemisah air daerah aliran di hulu stasiun itu.

3. $484\,000 \times 0.3048^3 \approx 13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

4. $13\,705/3341 \approx 4.1$ kali.

5. $A = 400 \times 8 = 3200\,\mathrm{m}^{2}$ dan $v = Q/A = 13\,705/3200 \approx 4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

6. Sekitar $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

7. $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, pada 21 Januari.

8. Tiga hari.

9. $9231 \times 86\,400/(29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$: sekitar $27\,\mathrm{mm}$.

10. Air baru mencapai sungai: hujan lain yang jatuh di daerah aliran (atau salju yang mencair) mengirim gelombang air larian kedua yang lebih kecil.

11. Tujuh belas hari setelah puncak. Kenaikan berasal dari air larian lereng-lereng di dekat anak sungai, yang tiba dengan cepat dan sekaligus; pada sisi turun sungai masih menerima air dari bagian-bagian terjauh daerah aliran dan air yang terkuras perlahan dari tanah.

12. $T = n + 1 = 96$ tahun.

13. $96/2 = 48$ tahun.

14. $96/3 = 32$ tahun.

15. $96/4 = 24$ tahun dan $96/5 = 19.2$ tahun. Tidak banyak: dengan cara mana pun, debit ini datang kembali kira-kira sekali dalam dua puluh tahun.

16. Lima tahun (1936, 1937, 1943, 1972, dan 1996): $5/95 \approx 0.053$, sekitar $5\,\%$ setahun, dengan periode ulang sekitar $96/5 \approx 19$ tahun.

17. $1/100 = 0.01$, $1\,\%$.

18. $1 - 0.01 = 0.99$.

19. $0.99^{30} \approx 0.740$.

20. $1 - 0.740 = 0.26$: peluang sekurang-kurangnya satu banjir 100 tahunan dalam 30 tahun adalah sekitar $26\,\%$, satu dari empat.