12النمذجة بالعناصر النزرة

تفجّر بازلتان على الجزيرة نفسها على بُعد بضعة كيلومترات أحدهما من الآخر. يحوي أحدهما أكثر من مرة ونصف قدر ما يحويه الآخر من اللانثانوم، وما يقارب أربع مرات أقل من الإتربيوم. فهل انصهرا من وشاحين مختلفين، أم من وشاح واحد انصهر بمقادير مختلفة، أم عند أعماق مختلفة؟ لا تكشف العناصر الرئيسية ذلك إلا بالكاد، إذ إنّ كليهما بازلت. أمّا العناصر النزرة، فهي تتبع المعادن دون أن تغيّرها، فتحفظ سجلًّا لكمية المصهور الذي أُنتج وكيفية خروجه من مصدره والمعادن التي بقيت خلفه. يكتب هذا الفصل ذلك السجلّ في صورة معادلات ثم يقرؤه.

ما تعرفه من قبل

معامل توزيع المعدن والمصهور $D$، ومعامل التوزيع الكلّي، والعناصر المتوافقة وغير المتوافقة، والعناصر الأرضية النادرة، والكوندريت CI والوشاح البدائي، والمخططات المُطبَّعة، وشذوذ اليوروبيوم وMORB وOIB موجودة في مجلد السنة الثانية، في فصله عن العناصر في الأرض. يرد البيريدوتيت واللهرزوليت والانصهار الجزئي وكسر المصهور $F$ في فصله عن انصهار الوشاح؛ والتبلّر التوازني والتبلّر التجزيئي، وقانون رايلي للتجزّؤ، والامتزاج، والتبلّر التجزيئي المصحوب بالاستيعاب (AFC)، في فصله عن التمايز الصهاري. وفيه أُثبت ثبات نسبة عنصرين شديدي عدم التوافق أثناء التبلّر.

12.1 حصيلة صخرة في طور الانصهار

تنصهر صخرة كتلتها 1. عند كسر المصهور $F$ تكون قد أنتجت كتلة مقدارها $F$ من المصهور، وأبقت كتلة مقدارها $1 - F$ من البقايا الصلبة. يتوزّع عنصر نزر موجود بالتركيز $C_0$ في المصدر بين الطورين، ويكون تركيزه في المصهور $C_L$ وفي البقايا $C_S$. كل نموذج في هذا الفصل صورة من حصيلة واحدة هي $C_0 = FC_L + (1 - F)C_S$ للمصهور والبقايا معًا، وقاعدة تربط بين $C_S$ و$C_L$: عند التلامس بين البلّورة والمصهور، أي $C_{\text{معدن}} = D\,C_L$. تختلف النماذج في ما يلامس ماذا ومتى.

تتفاوت معاملات توزيع معادن الوشاح تفاوتًا كبيرًا. ففي دراسة تجميعية واحدة، يبلغ معامل توزيع اللانثانوم $D = 0.058$ في الكلينوبيروكسين و$0.001$ في الجارنيت والأوليفين والأورثوبيروكسين والسبينل، ويبلغ معامل توزيع الإتربيوم $D = 0.58$ في الكلينوبيروكسين و$4.5$ في الجارنيت و$0.16$ في المعادن الثلاثة الأخرى. يأخذ الجارنيت العناصر الأرضية الثقيلة ويرفض الخفيفة.

تعريف 12.1 (الانصهار غير الشكلي)

في الانصهار غير الشكلي، تدخل معادن المصدر إلى المصهور بنسب $p_i$ تختلف عن كسورها الكتلية $x_i$ في المصدر. يرى المصهور حينئذ معامل التوزيع الكلّي للمصدر، $D_0 = \sum_i x_iD_i$، في بداية الانصهار، ثم المعامل المرجَّح بالانصهار $P = \sum_i p_iD_i$ كلّما تقدّم الانصهار.

نادرًا ما يكون الانصهار نمطيًا بالكامل. في مثال محلول على لهرزوليت سبينلي يحوي $58\,\%$ من الأوليفين و$27\,\%$ من الأورثوبيروكسين، $12\,\%$ من الكلينوبيروكسين و$3\,\%$ من السبينل، وتدخل المعادن إلى المصهور بالنسب 20 و25 و45 و$10\,\%$: ينصهر الكلينوبيروكسين أسرع من حصته بأربع مرات، والأوليفين أبطأ من حصته بثلاث مرات.

قضية 12.2 (معامل التوزيع الكلّي للبقايا)

في الانصهار غير الشكلي عند ثبات $p_i$، تملك البقايا عند كسر المصهور $F$ معامل التوزيع الكلّي التالي

$$\bar D(F) = \frac{D_0 - PF}{1 - F},$$

صالح ما دام كلّ معدن باقيًا، أي عندما يكون $F < x_i/p_i$ لكل $i$.

بالاستعانة بمعاملات المعادن أعلاه، فإنّ اللهرزوليت السبينلي من المثال المحلول، واللهرزوليت الجارنيتي المحفوظ عند $5\,\mathrm{GPa}$ و$1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ في المختبر، ويحوي $54.1\,\%$ أوليفين، $9.8\,\%$ أورثوبيروكسين، و$19.5\,\%$ كلينوبيروكسين و$16.7\,\%$ جارنيت بالكتلة، له معاملات التوزيع الكلّية الواردة أدناه.

اللانثانوم شديد عدم التوافق في الحالتين. والإتربيوم متوسط عدم التوافق في اللهرزوليت السبينلي ومحايدًا تقريبًا في اللهرزوليت الجارنيتي. ويكمن الفرق بين المصدرين كلّه تقريبًا في العناصر الأرضية الثقيلة النادرة.

12.2 الانصهار الدفعي

مبرهنة 12.3 (الانصهار الدفعي)

في الانصهار الدفعي، يبقى المصهور في توازن مع البقايا كلّها حتى يخرج دفعةً واحدة. عند ثبات معامل التوزيع الكلّي $D$، يكون للمصهور والبقايا عند كسر المصهور $F$ القيمتان التاليتان:

$$\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D + F(1 - D)}, \qquad \frac{C_S}{C_0} = \frac{D}{D + F(1 - D)}.$$

المعادلة هي قانون التبلور عند التوازن من مجلد السنة الثانية مقروءًا بالعكس: ففي الحالتين، $F$ هو كسر السائل في نظام مغلق. ويستحقّ حدّاها الاطلاع عليهما: عندما $F \to 0$ يكون $C_L \to C_0/D$، أي أنّ أوّل قطرة من المصهور لا تُغني العنصر إلّا بمقدار أقصاه $1/D$. وعندما $D \to 0$ يكون $C_L \to C_0/F$: يُخفَّف العنصر غير المتوافق تمامًا في المصهور، ويتحدّد إغناؤه بالكسر $F$ وحده. أمّا العنصر المتوافق، أي $D > 1$، فيكون المصهور أفقر من المصدر، وتزداد فقرًا كلّما صَغُر $F$.

قضية 12.4 (الانصهار الدفعي غير الشكلي)

في الانصهار الدفعي بنسب الانصهار $p_i$ المعرّفة في التعريف 12.1،

$$\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D_0 + F(1 - P)}.$$

عندما يتجاوز $P$ القيمة $D_0$، كما في حالة اللانثانوم في المثال المحلول، حيث $D_0 = 0.0074$ و$P = 0.025$، تفقد البقايا أفضل حاملٍ لها، وهو الكلينوبيروكسين، بسرعة من سواه من المعادن. يكون المصهور عندئذٍ أغنى قليلًا مما يتنبّأ به الانصهار الشكلي، بأقلّ من $2\,\%$ عند $F = 0.1$ في حالة اللانثانوم (التمرين 6)، لكنّ البقايا تنفد من الكلينوبيروكسين عند $F = 0.12/0.45 \approx 0.27$، وبعد ذلك تتغيّر المعادن والمعاملات.

12.3 الانصهار التجزيئي والانصهار الديناميكي

يتجمّع المصهور في البيريدوتيت على حواف الحبيبات، ويستطيع الإفلات ما إن يصبح متّصلًا. والطرف المقابل للانصهار الدفعي يزيل كلّ قطرة لحظة تكوّنها.

مبرهنة 12.5 (الانصهار التجزيئي)

في الانصهار التجزيئي، تكون كلّ زيادة من المصهور في توازن مع البقايا لحظة تكوّنها فقط، ثم تفارقها. مع ثبات $D$، وبعد استخراج كتلة كلّية $F$ من المصهور، تحمل البقايا والمصهور المتكوّن في تلك اللحظة القيمتين التاليتين:

$$\frac{C_S}{C_0} = (1 - F)^{1/D - 1}, \qquad \frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D}(1 - F)^{1/D - 1}.$$

بالنسبة إلى العنصر غير المتوافق، يكون $1/D - 1$ كبيرًا وموجبًا: تُستنزف البقايا في غضون بضعة أضعاف $D$ من الانصهار، ويهبط المصهور اللحظي من $C_0/D$ إلى ما يكاد يكون لا شيء. وتكون بقايا الانصهار التجزيئي أشدّ استنفادًا بكثير من بقايا الانصهار الدفعي. غير أنّ المصهورات لا تُقذف واحدةً تلو الأخرى، بل تتجمّع في قنوات وتكوّن برَكًا، والمصهور التجزيئي المجمَّع، المعرَّف أدناه، يُرسم بخطّ متقطّع في الشكل.

تعريف 12.6 (المصهور التجزيئي المجمَّع)

المصهور التجزيئي المجمَّع هو مزيج جميع المصهورات اللحظية للانصهار التجزيئي من $0$ إلى $F$، مجمَّعةً دون تفاعل لاحق مع البقايا.

قضية 12.7 (تركيب المصهور المجمَّع)

مع $D$ ثابت، يكون للمصهور التجزيئي المجمَّع

$$\frac{\bar C_L}{C_0} = \frac{1 - (1 - F)^{1/D}}{F}.$$

عندما يصبح $(1 - F)^{1/D}$ صغيرًا، يحتوي المصهور المجمَّع على العنصر كلّه، و$\bar C_L \approx C_0/F$ مهما كانت $D$: بالنسبة إلى العناصر شديدة عدم التوافق، تتفق المصهورات التجزيئية المجمَّعة مع مصهورات الانصهار الدفعي ذات $D$ الصغيرة، وكلاهما يقيس $F$.

الانصهار الحقيقي يقع بين الطرفين النهائيين. تحتفظ البقايا ببعض المصهور في مساماتها، والمصهور الذي يغادر هو الفائض فوق هذه المسامية.

تعريف 12.8 (الانصهار الديناميكي)

في الانصهار الديناميكي (ويُسمّى أيضًا الانصهار المستمر)، تحتفظ البقايا بنسبة كتلية ثابتة $\phi$ من المصهور في مساماتها، في حالة توازن مع بلوراتها، ويُستخرَج كلّ مصهور يتشكّل فوق ذلك.

قضية 12.9 (الانصهار الديناميكي)

الانصهار الديناميكي ذو المسامية $\phi$ هو انصهار تجزيئي بمعامل التوزيع الفعّال $D' = (1 - \phi)D + \phi$، حيث $F$ هو الكسر الكتلي للمصهور المستخرَج:

$$\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D'}(1 - F)^{1/D' - 1}.$$

عند $\phi = 0$ يكون النموذج انصهارًا تجزيئيًا؛ وعند $\phi \to 1$ يقترب من الانصهار الدفعي. مسامية مقدارها واحد في المئة تحدّ إثراء المصهور الأول عند $1/\phi = 100$، مهما كانت $D$ صغيرة: إذ يعمل المصهور المسامي نطاقًا عازلًا للبقايا.

12.4 الانصهار، ثم التبلّر

نادرًا ما يثور المصهور الذي يغادر مصدره دون أن يتغيّر. يتبلّر الأوليفين أولًا، ثم البيروكسين والبلاجيوكلاز في طريقه إلى الأعلى، وقد يستوعب صخر الجدار، وقد يختلط بدفعات أخرى. تنطبق قوانين مجلد السنة الثانية بدورها: الحمم مصهور بكسر $F$ من مصدره، ثم سائل احتفظ بكسر $f$ من كتلته عبر التبلّر التجزيئي، بحيث يكون، لعنصر له $D$ في البقايا المنصهرة و$D_c$ في المعادن المتبلّرة،

العامل الثاني هو نفسه لكلّ عنصر ترفضه المعادن المتبلّرة، $D_c \approx 0$: فهو يُدرّجها جميعًا بمقدار $1/f$. ومن ثمّ تُحدَّد نسب هذه العناصر عند المصدر، والحمم التي فقدت الأوليفين تحتفظ بنسبة La/Yb لمصهورها الأوّلي، بينما يرتفع اللانثانوم فيها. ولاستنتاج $F$ من تركيز يلزم معرفة $f$ أيضًا؛ أمّا استنتاج المصدر من نسبة فلا يتطلّب ذلك. البلاجيوكلاز هو الاستثناء بين العناصر الأرضية النادرة: يأخذ الأوروبيوم، وإزالته تترك شذوذ الأوروبيوم في مجلد السنة الثانية.

12.5 قراءة أنماط العناصر الأرضية النادرة

يتشارك مصهور الليرزوليت السبينيلي ومصهور الليرزوليت الجارنيتي العناصر الأرضية النادرة الخفيفة، التي لا تحتفظ بها أيٌّ من البقايا، ويختلفان في الثقيلة منها، التي يحتفظ بها الجارنيت. وعلى مخطط مُطبَّع بالكوندريت، تكون مصهورات الجارنيت شديدة الانحدار ومسطّحة القاع عند الطرف الثقيل؛ أمّا مصهورات السبينيل فأكثر اعتدالًا. ويزداد الانحدار كلّما انخفضت $F$.

يحلّ السبينيل محلّ الجارنيت بوصفه المعدن الألومينيّ الرئيس في الوشاح، على عمق يقارب 60 إلى $90\,\mathrm{km}$. فالمصهور الذي تكون عناصره الأرضية النادرة الثقيلة مسطّحة ومنخفضة، مع انحدار حادّ من الخفيفة إلى الثقيلة، قد ترك الجارنيت في بقاياه، وبدأ ينصهر على عمق لا يقلّ عن ذلك.

يمزج النمط بين مجهولين، هما $F$ والمصدر. ورسم عنصرين أحدهما مقابل الآخر يفصل بينهما.

تعريف 12.10 (مخطط نسبة–نسبة)

مخطط نسبة–نسبة يرسم، لمجموعة من الحمم، نسبة عنصر شديد عدم التوافق $H$ إلى عنصر أقلّ عدم توافقًا $M$، مقابل تركيز $H$ (أو مقابل نسبة أخرى). ترسم عليه عمليات الانصهار الجزئي والتبلّر والمزج خطوطًا ذات أشكال مختلفة على المخطط.

قضية 12.11 (خط الانصهار الدفعي)

بالنسبة إلى مصهورات دفعية من مصدر واحد، مع $D_H = 0$ و$D_M$ ثابت، تقع النقاط $(C_H, C_H/C_M)$ على الخط المستقيم

$$\frac{C_H}{C_M} = \frac{D_M}{C_0^M}\,C_H + \frac{C_0^H(1 - D_M)}{C_0^M}.$$

يحرّك التبلّر التجزيئي للمعادن التي ترفض العنصرين عيّنةً من الحمم أفقيًّا على هذا المخطط، لأنّ النسبة لا تتغيّر؛ ويحرّكها الانصهار على طول خط مائل يزداد ميله مع $D_M$؛ ويرسم مزج مصهورين قطعًا زائدًا. والمصدر الذي يحتوي على الجارنيت له $D_{\mathrm{Yb}}$ كبير، ومن ثَمّ خطّ انصهار شديد الانحدار في مخطط La/Yb مقابل La.

طريقة 12.12 (استنتاج من حممتين)

(1) تحقّق من أنّ الحمم متولّدة عن أصل واحد، وأنّ $H$ أشدّ عدم توافقًا بكثير من $M$. (2) صحّح كلّ عيّنة من الحمم لأثر التبلّر، أو استعمل النسب وحدها. (3) عبر عيّنتين أو أكثر من الحمم، طابِق الخط $C_H/C_M = aC_H + b$. (4) ثمّ $a = D_M/C_0^M$ و$b = C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$: بافتراض $C_0^M$، يكون $D_M = aC_0^M$ و$C_0^H = bC_0^M/(1 - D_M)$. (5) كسر المصهور لكلّ عيّنة من الحمم هو $F = C_0^H/C_H$.

على المحاور اللوغاريتمية ينحني الخطّ المستقيم الوارد في القضية، ومع $D_{\mathrm{La}} \ne 0$ لا يكون مستقيمًا إلّا تقريبًا على المحاور الخطّية؛ أمّا منحنيات الشكل فهي دقيقة. لا يستطيع مصدر سبينيلي أن ينتج مصهورًا تتجاوز فيه نسبة La/Yb $(C_0^{\mathrm{La}}/D_{\mathrm{La}})/(C_0^{\mathrm{Yb}}/D_{\mathrm{Yb}})$, ، وهي نحو 40 للوشاح الأولي؛ ويمكن للمصدر الجارنيتي أن يبلغ نحو 120.

12.6 التمارين

تمرين 12.1 ★

باستعمال معاملات السماريوم في المعادن، وهي 0.40 في الكلينوبيروكسين و0.11 في الجارنيت و0.016 في الأوليفين والأورثوبيروكسين والسبينيل، احسب معامل التوزيع الكلّي للسماريوم في الليرزوليت السبينيلي الذي يحتوي على $12\,\%$ كلينوبيروكسين، وفي الليرزوليت الجارنيتي الذي يحتوي على $19.5\,\%$ كلينوبيروكسين و$16.7\,\%$ جارنيت، الواردين في الفصل.

حل

حل التمرين 12.1.

الليرزوليت السبينيلي: $0.12\times0.40 + 0.88\times0.016 = 0.048 + 0.0141 = 0.062$. الليرزوليت الجارنيتي: $0.195\times0.40 + 0.167\times0.11 + 0.639\times0.016 = 0.078 + 0.0184 + 0.0102 = 0.107$.

تمرين 12.2 ★

عنصر له $D = 0.05$ موجود بتركيز $1\,\mathrm{ppm}$ في مصدر. احسب تركيزه في المصهورات الدفعية عند $F = 0.02$ و$0.10$.

حل

حل التمرين 12.2.

$1/(0.05 + 0.02\times0.95) = 1/0.069 = 14.5\,\mathrm{ppm}$; $1/(0.05 + 0.10\times0.95) = 1/0.145 = 6.9\,\mathrm{ppm}$.

تمرين 12.3 ★

احسب أكبر إثراء $C_L/C_0$ يمكن أن يعطيه الانصهار الدفعي لعنصر له $D = 0.01$، ثم لعنصر له $D = 0$ عند $F = 5\,\%$.

حل

حل التمرين 12.3.

يبلغ الإثراء أقصاه حين $F \to 0$: $1/D = 100$. ومع $D = 0$، $C_L/C_0 = 1/F = 20$.

تمرين 12.4 ★

تحتوي حممة على $30\,\mathrm{ppm}$ من اللانثانوم و$2.5\,\mathrm{ppm}$ من الإيتربيوم. باستعمال قيم الكوندريت CI للانثانوم 0.232 وللإيتربيوم $0.163\,\mathrm{ppm}$، احسب نسبتها La/Yb ونسبتها المطبَّعة على الكوندريت $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$.

حل

حل التمرين 12.4.

$\mathrm{La/Yb} = 30/2.5 = 12.0$; $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N = (30/0.232)/(2.5/0.163) = 129.3/15.34 = 8.4$.

تمرين 12.5 ★★

قارن، لعنصر له $D = 0.01$، البواقي بعد $5\,\%$ من الانصهار الدفعي ومن الانصهار التجزيئي. ماذا يحتوي المصهور التجزيئي اللحظي في تلك اللحظة؟

حل

حل التمرين 12.5.

الانصهار الدفعي: $C_S/C_0 = 0.01/(0.01 + 0.05\times0.99) = 0.168$. الانصهار التجزيئي: $(0.95)^{99} = 0.0062$، أي أقلّ بمقدار 27 مرة. ويحتوي المصهور اللحظي $0.0062/0.01 = 0.62\,C_0$: أقلّ من المصدر.

تمرين 12.6 ★★

في المثال المحلول في الفصل (النسب الشكلية 58، و27، و12، و$3\,\%$؛ نسب الانصهار 20، و25، و45، و$10\,\%$ للأوليفين، والأورثوبيروكسين والكلينوبيروكسين والسبينيل)، أمّا معاملات اللانثانوم فهي 0.0003 و0.002 و0.053 و0.01. احسب $D_0$ و$P$، ثم إثراء اللانثانوم في المصهور الدفعي عند $F = 0.02$ و$0.10$، بالانصهار غير الشكلي والانصهار الشكلي.

حل

حل التمرين 12.6.

$D_0 = 0.58\times0.0003 + 0.27\times0.002 + 0.12\times0.053 + 0.03\times0.01 = 0.00737$; $P = 0.20\times0.0003 + 0.25\times0.002 + 0.45\times0.053 + 0.10\times0.01 = 0.0254$. عند $F = 0.02$: الانصهار غير الشكلي $1/(0.00737 + 0.02\times0.9746) = 37.2$، والانصهار الشكلي $1/(0.00737 + 0.02\times0.9926) = 36.7$. وعند $F = 0.10$: 9.54 و9.38، بفارق $1.7\,\%$.

تمرين 12.7 ★★

عند $F = 0.10$، قارن المصهور الدفعي والمصهور التجزيئي المجمَّع لكلٍّ من $D = 0.1$ و$D = 0.01$. أيّهما يختلف أكثر، ولماذا؟

حل

حل التمرين 12.7.

$D = 0.1$: الانصهار الدفعي $1/(0.1 + 0.09) = 5.26$؛ والمصهور التجزيئي المجمَّع $(1 - 0.9^{10})/0.1 = 6.51$. $D = 0.01$: الانصهار الدفعي $1/(0.01 + 0.099) = 9.17$؛ والمصهور التجزيئي المجمَّع $(1 - 0.9^{100})/0.1 = 10.00$. يختلف الزوج ذو $D = 0.1$ أكثر: أمّا $D = 0.01$ فيحتوي كلا المصهورين أصلًا على جلّ العنصر تقريبًا، ويميل كلاهما إلى $1/F$.

تمرين 12.8 ★★

عنصر له $D = 0.001$ ينصهر انصهارًا ديناميكيًا عند $\phi = 0.01$. احسب $D'$، وإثراء أوّل مصهور مستخلَص، وإثراء المصهور المستخلَص عند $F = 0.01$؛ وقارن ذلك بالانصهار التجزيئي.

حل

حل التمرين 12.8.

$D' = 0.99\times0.001 + 0.01 = 0.01099$. المصهور الأول: $1/D' = 91$، مقابل 1000 في الانصهار التجزيئي. عند $F = 0.01$: $91\times0.99^{90.0} = 36.8$، مقابل $1000\times0.99^{999} = 0.044$: يحفظ المصهور المسامي الباقي من أن يُستنزف. أن يُستنزف.

تمرين 12.9 ★★

في الليرزوليت السبينيلي الوارد في الفصل، $D_{\mathrm{La}} = 0.0078$ و$D_{\mathrm{Sm}} = 0.062$. احسب العامل الذي يرفع الانصهار الدفعي نسبة La/Sm فوق قيمتها في المصدر عند $F = 0.01$ وعند $F = 0.10$، ثم فسّر ماذا يدلّ ذلك عن استعمال النسب في تقدير $F$.

حل

حل التمرين 12.9.

ترتفع النسبة بعامل قدره $(D_{\mathrm{Sm}} + F(1 - D_{\mathrm{Sm}}))/(D_{\mathrm{La}} + F(1 - D_{\mathrm{La}}))$: عند $F = 0.01$، $0.0714/0.0177 = 4.0$؛ وعند $F = 0.10$، $0.156/0.107 = 1.46$. تكون النسبة حسّاسة للقيمة $F$ عندما تكون $F$ صغيرة، وتكاد تكون عديمة الحساسية فوق نحو $10\,\%$؛ وتعتمد كذلك على $D_{\mathrm{Sm}}$، ومن ثمّ على المعادن الباقية.

تمرين 12.10 ★★★

بيّن أنّ المصهور التجزيئي المجمَّع هو متوسط المصهورات اللحظية من 0 إلى $F$، وأنّه يؤول إلى $C_0/F$ عندما $(1 - F)^{1/D} \to 0$. عند $D = 0.01$، من أيّ $F$ يكون ضمن $1\,\%$ من $C_0/F$؟

حل

حل التمرين 12.10.

$\frac1F\int_0^F \frac1D(1 - x)^{1/D - 1}\,\mathrm dx = \frac1F\bigl[-(1 - x)^{1/D}\bigr]_0^F = [1 - (1 - F)^{1/D}]/F$، الصيغة الواردة في الفصل، إذا $(1 - F)^{1/D} \to 0$ فإنّها تؤول إلى $1/F$ مضروبًا في $C_0$. ضمن $1\,\%$: $(1 - F)^{100} < 0.01$، $F > 1 - 0.01^{0.01} = 0.045$، أي نحو $4.5\,\%$.

تمرين 12.11 ★★★

لحمّتين متشابهتين في المنشأ، P وQ، لدينا اللانثانوم 20 و$10\,\mathrm{ppm}$، ونسبة La/Yb تساوي 10 و6. افترض أنّ اللانثانوم غير متوافق تمامًا، وأنّ المصدر يحتوي على $0.44\,\mathrm{ppm}$ من الإيتربيوم، وطبّق طريقة الفصل: أوجد $D_{\mathrm{Yb}}$، واللانثانوم في المصدر، وكسر المصهور لكلّ حممة.

حل

حل التمرين 12.11.

الميل $a = (10 - 6)/(20 - 10) = 0.40\,\mathrm{ppm}^{-1}$؛ والمقطع $b = 10 - 0.40\times20 = 2.0$. $D_{\mathrm{Yb}} = 0.40\times0.44 = 0.176$; $C_0^{\mathrm{La}} = 2.0\times0.44/0.824 = 1.07\,\mathrm{ppm}$. $F_P = 1.07/20 = 5.3\,\%$, $F_Q = 1.07/10 = 10.7\,\%$.

تمرين 12.12 ★★★

في الانصهار غير الشكلي للتمرين 6، حدّد عند أيّ كسر مصهور يُستنفد كلّ معدن، واحسب معامل التوزيع الكلّي للبقايا من اللانثانوم عند $F = 0.2$، واشرح لماذا لا يمكن استعمال صيغة الفصل بعد الاستنفاد الأوّل.

حل

حل التمرين 12.12.

$F = x_i/p_i$: الكلينوبيروكسين $0.12/0.45 = 0.27$، والسبينل $0.03/0.10 = 0.30$، الأورثوبيروكسين $0.27/0.25 = 1.08$، والأوليفين $0.58/0.20 = 2.9$؛ ينفد الكلينوبيروكسين أوّلًا. عند $F = 0.2$: $\bar D = (0.00737 - 0.0254\times0.2)/0.8 = 0.0029$. وبعد $F = 0.27$ تتغيّر القيم $p_i$ (إذ لم يبقَ كلينوبيروكسين لينصهر)، ولم تعد الصيغة، التي تفترض ثبات $p_i$، تنطبق.

12.7 مسألة: حمتان من جزيرة ألدرن

مسألة 12.1

مسألة نهاية الأسبوع — المصدر والعمق ودرجة الانصهار لبازلتين مصطنعتين، استنادًا إلى اللانثانوم والإيتربيوم

على جزيرة ألدرن، وهي جزيرة بركانية مصطنعة، تحتوي الحمم A على $9.6\,\mathrm{ppm}$ من اللانثانوم و$1.7\,\mathrm{ppm}$ من الإيتربيوم، والحمم B على $15.6\,\mathrm{ppm}$ من اللانثانوم و$0.45\,\mathrm{ppm}$ من الإيتربيوم. وتُعامَل الحمتان كلتاهما على أنّهما مصهورات أوّلية لمصدر من الوشاح الأولي مع $0.648\,\mathrm{ppm}$ من اللانثانوم و$0.441\,\mathrm{ppm}$ من الإيتربيوم (كوندريت CI: اللانثانوم 0.232، الإيتربيوم $0.163\,\mathrm{ppm}$). معاملات المعادن: اللانثانوم 0.058 في الكلينوبيروكسين و0.001 في الجارنيت، وفي الأوليفين والأورثوبيروكسين والسبينيل؛ والإيتربيوم 0.58 في الكلينوبيروكسين، و4.5 في الجارنيت، و0.16 في الأوليفين والأورثوبيروكسين والسبينيل. يتألّف الليرزوليت السبينيلي من $58\,\%$ أوليفين، و$27\,\%$ أورثوبيروكسين، و$12\,\%$ كلينوبيروكسين، و$3\,\%$ سبينيل؛ أمّا الليرزوليت الجارنيتي فيتألّف من $54.1\,\%$ أوليفين، و$9.8\,\%$ أورثوبيروكسين، و$19.5\,\%$ كلينوبيروكسين، و$16.7\,\%$ جارنيت. والانصهار هنا شكلي.

الجزء الأول — المصدران.

1. احسب $D_{\mathrm{La}}$ و$D_{\mathrm{Yb}}$ للليرزوليت السبينيلي.
2. احسب المعاملين نفسيهما للليرزوليت الجارنيتي. قرّب جميع القيم الأربع إلى رقمين معنويين لبقيّة المسألة.
3. أيّ المعاملات يختلف أكثر بين المصدرين، ولماذا؟ هل الإيتربيوم متوافق في الليرزوليت الجارنيتي؟
4. احسب $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ المطبَّعة على الكوندريت للمصدر. كيف يبدو نمطه؟

الجزء الثاني — الانصهار الدفعي للحمم A.

5. احسب La في المصهور الدفعي للليرزوليت السبينيلي عند $F = 1$، 5 و$10\,\%$.
6. أوجد كسر المصهور الذي يعطي الحمم A تركيزها من اللانثانوم.
7. توقّع الإيتربيوم فيها ونسبة La/Yb، وقارِن ذلك بالحمم A.
8. احسب La و Yb في الباقي، وكسر لانثانوم المصدر المتبقّي فيه.
9. ما كسر المصهور الذي يُحصل عليه إذا عُدّ اللانثانوم غير متوافق تمامًا؟

الجزء الثالث — الانصهار التجزيئي للحمم A.

10. احسب La في المصهور التجزيئي اللحظي عند $F = 0.1$، 1 و$6\,\%$.
11. احسب La في المصهور التجزيئي المجمَّع عند $F = 6.0\,\%$.
12. أوجد كسر المصهور الذي عنده يحمل المصهور المجمَّع لانثانوم الحمم A. لماذا يقترب كثيرًا من جواب السؤال 9؟
13. قارن لانثانوم الباقي بما ورد في السؤال 8.
14. أيّ تقدير للقيمة $F$ يُعتمد؟

الجزء الرابع — الحمم B والجارنيت.

15. احسب La/Yb و$(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ للحممين كليهما.
16. ما أكبر قيمة لنسبة La/Yb يمكن أن يبلغها المصهور الدفعي من الليرزوليت السبينيلي؟
17. عند أيّ كسر مصهور يملك مصهور الليرزوليت السبينيلي نسبة La/Yb للحمم B، وكم من اللانثانوم سيحتويه؟ استنتج.
18. أوجد كسر مصهور الحمم B انطلاقًا من لانثانومها، من أجل الليرزوليت الجارنيتي، وتوقّع الإيتربيوم فيها.
19. ماذا يقول المصدران عن العمقين اللذين بدأ عندهما انصهار الحمم A و B، وهل يمكن أن تنشأ الحمم A من الليرزوليت الجارنيتي؟
20. احسب ميل ومقطع خط الانصهار الدفعي La/Yb $= a\, \mathrm{La} + b$ للمصدر الجارنيتي باعتبار $D_{\mathrm{La}}$ معدومًا، وتحقّق من الحمم B بمقارنتها بهذا الخط.
21. لو فقدت الحمم A $10\,\%$ من كتلتها على هيئة أوليفين قبل أن تندفع، كيف ستتغيّر نسبة La/Yb وكسر مصهورها؟
22. أجب عن السؤال الوارد في مطلع الفصل بالنسبة إلى الحمم A والحمم B.
23. حدّد درجة الانصهار للحمم A.

حل

حل المسألة 12.1.

1. $D_{\mathrm{La}} = 0.12\times0.058 + 0.88\times0.001 = 0.00784$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.12\times0.58 + 0.88\times0.16 = 0.210$.

2. $D_{\mathrm{La}} = 0.195\times0.058 + 0.167\times0.001 + 0.639\times0.001 = 0.0121$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.195\times0.58 + 0.167\times4.5 + 0.639\times0.16 = 0.967$. بعد التقريب: 0.0078، 0.21، 0.012، 0.97.

3. $D_{\mathrm{Yb}}$، من 0.21 إلى 0.97، لأنّ الجارنيت يحتوي على العناصر الأرضية النادرة الثقيلة ($D = 4.5$). ويبقى الإتربيوم غير متوافق بدرجة طفيفة جدًّا، $0.97 < 1$.

4. $(0.648/0.232)/(0.441/0.163) = 2.79/2.71 = 1.03$: نمط مسطّح نحو 2.8 مرة قيمة الكوندريت.

5. $0.648/(0.0078 + 0.01\times0.9922) = 36.6\,\mathrm{ppm}$؛ عند $5\,\%$، $11.3\,\mathrm{ppm}$؛ وعند $10\,\%$، $6.05\,\mathrm{ppm}$.

6. $F = (0.648/9.6 - 0.0078)/0.9922 = (0.0675 - 0.0078)/0.9922 = 0.0602$, $6.0\,\%$.

7. $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.21 + 0.0602\times0.79) = 1.71\,\mathrm{ppm}$ وLa/Yb $= 5.6$؛ الحمم A لها 1.7 و5.6، فهي تتفق مع مصدر سبينلي.

8. La $= 0.0078\times9.6 = 0.075\,\mathrm{ppm}$، Yb $= 0.21\times1.71 = 0.36\,\mathrm{ppm}$. اللانثانوم المتبقّي: $0.940\times0.075/0.648 = 0.11$، أي نحو $11\,\%$.

9. $F = 0.648/9.6 = 6.75\,\%$.

10. $(0.648/0.0078)(1 - F)^{127.2}$: $73\,\mathrm{ppm}$ عند $0.1\,\%$، $23\,\mathrm{ppm}$ عند $1\,\%$، $0.03\,\mathrm{ppm}$ عند $6\,\%$.

11. $0.648\times(1 - 0.940^{128.2})/0.060 = 10.8\,\mathrm{ppm}$.

12. $F = 6.75\,\%$: عند هذا $F$، $(1 - F)^{1/D} = 1.3 \times 10^{-4}$، فيحتفظ المصهور المجمَّع بكامل اللانثانوم الموجود في المصدر، و$\bar C_L = C_0/F$ كما في عنصر غير متوافق تمامًا.

13. $0.648\times0.9325^{127.2} = 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{ppm}$، أي أقلّ بنحو 800 مرّة من $0.075\,\mathrm{ppm}$ في الانصهار الدفعي.

14. يحصر النموذجان الجواب بين $6.0\,\%$ (الانصهار الدفعي) و$6.75\,\%$ (المصهور التجزيئي المجمَّع). يحدّد اللانثانوم $F$ ضمن نحو $1\,\%$ من الانصهار، أيًّا كان النموذج.

15. الحمم A: La/Yb $= 5.6$، $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N = (9.6/0.232)/(1.7/0.163) = 4.0$. الحمم B: La/Yb $= 34.7$، $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N = (15.6/0.232)/(0.45/0.163) = 24.4$.

16. عندما $F \to 0$: $(0.648/0.0078)/(0.441/0.21) = 83.1/2.10 = 39.6$.

17. $F = 0.11\,\%$، حيث يحتوي المصهور على $72\,\mathrm{ppm}$ من La و$2.1\,\mathrm{ppm}$ من Yb. الحمم B تحتوي على $15.6\,\mathrm{ppm}$ من La: لا يمكن لمصدر سبينلي أن ينتجها.

18. $F = (0.648/15.6 - 0.012)/0.988 = 0.0299$، $3.0\,\%$؛ $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.97 + 0.0299\times0.03) = 0.454\,\mathrm{ppm}$، كما لوحظ.

19. يحلّ الجارنيت محلّ السبينل على عمق نحو 60 إلى $90\,\mathrm{km}$: بدأت الحمم B تنصهر على عمق أكبر من ذلك، والحمم A على عمق أقلّ، في نطاق السبينل. ومصهور الليرزوليت الجارنيتي بمقدار $9.6\,\mathrm{ppm}$ من La ($F \approx 5.6\,\%$) سيكون له La/Yb قريبًا من 21، لا 5.6: الحمم A لم تأتِ من الليرزوليت الجارنيتي.

20. $a = 0.97/0.441 = 2.20\,\mathrm{ppm}^{-1}$, $b = 0.648\times0.03/0.441 = 0.044$؛ عند La $= 15.6$، تكون La/Yb $= 2.20\times15.6 + 0.044 = 34.4$، مقابل 34.7 للحمم B.

21. يرفض الأوليفين العنصرين كليهما: نسبة La/Yb لا تتغيّر. المصهور الأوّلي كان يحتوي على $9.6\times0.9 = 8.64\,\mathrm{ppm}$ من La، لذا $F = (0.648/8.64 - 0.0078)/0.9922 = 6.8\,\%$ بدلًا من 6.0.

22. يمكن لمصدر واحد أن ينتج الحممين معًا: الحمم B مصهور صغير ($3\,\%$) بدأ في نطاق الجارنيت، على عمق يزيد عن نحو 60 إلى $90\,\mathrm{km}$؛ والحمم A مصهور أكبر في نطاق السبينل.

23. الحمم A ناتجة عن الانصهار الدفعي بنسبة $6.0\,\%$ من ليرزوليت سبينلي ($6.75\,\%$ إذا كان المصهور مستخلصًا تجزيئيًا ومجمَّعًا).