7آليات التشوّه ونطاقات القصّ

عند السطح، يتحطّم الغرانيت في الجبال على طول الصدوع. على عمق عشرين كيلومترًا، يتدفّق الغرانيت نفسه كالتوفي في نطاق قصّ عرضه بضع مئات الأمتار، فتتدحرج فلسباراته لتصير عيونًا، ويُمطّ كوارتزه إلى شرائط. ويمكن للبلّورة أن تنساب دون أن تنكسر لأنها ليست كاملة أبدًا: تتحرّك بعيوبها، صفًّا واحدًا من الذرات في كلّ مرّة، أو بانتشار الذرات من أحد أوجه الحبيبة إلى الوجه الآخر. يتتبّع هذا الفصل تلك الآليات من الشبكة البلّورية إلى القوانين التي تستخدمها الجيوديناميكا، وإلى الخرائط التي تبيّن أيّ آلية تغلب، وإلى نطاقات القصّ التي تسجّل فيها الصخرة كيفية حركتها.

ما تعرفه من قبل

تُعرض العيوب النقطية وقانون أرينيوس وطاقة التنشيط في مجلّدات كتب الكيمياء الجامعية؛ ومعامل الانتشار في كتب الفيزياء. الإجهاد والانفعال، والقطع الناقص للانفعال، والقصّ البسيط وقطعه الناقص ($S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2$، والمحور الأطول عند $\theta'$ من اتجاه القصّ مع $\tan2\theta' = 2/\gamma$)، والزحف وفق قانون القوّة بثوابته لكوارتزيت مبلَّل والأوليفين الجاف، ومغلّف المتانة وانتقال الهشاشة–اللدونة موجودان في مجلد السنة الأولى، في فصله عن الإجهاد والانفعال والريولوجيا؛ والتورّق والتخطّط والميلونيت الوصفي في فصله عن الصدوع والطيات والنسُج. وترد اللزوجة الفعّالة للوشاح في الفصل 6.

7.1 عيوب البلّورات

لقصّ بلّورة كاملة، كان يجب أن تنكسر كلّ رابطة عبر مستوى شبكي في آن واحد، ويتطلّب ذلك إجهادًا من رتبة عُشر معامل القصّ، وهو في الوشاح نحو $8 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ (الفصل 6): آلاف الميغاباسكال. أما البلّورات الحقيقية فتخضع عند إجهادات أدنى بكثير، لأنها تنزلق صفًّا واحدًا من الذرات في كلّ مرّة.

تعريف 7.1 (الانخلاع)

الانخلاع عيب خطّي في البلّورة: الحدّ الفاصل داخل البلّورة بين جزء من مستوى شبكي قد انزلق وجزء لم ينزلق. ومتجهة برغرز $\mathbf b$ هي الانزلاق الذي تحمله، بمقدار تباعد شبكي واحد في اتجاه شبكي. وفي الانخلاع الحافّي تكون $\mathbf b$ عمودية على الخطّ، وهو حافّة نصف مستوٍ إضافي من الذرات؛ وفي الانخلاع اللولبي تكون موازية للخطّ. ويتحرّك الانخلاع بالانزلاق على مستوى انزلاقه، ويخرج الانخلاع الحافّي من ذلك المستوى بالتسلّق، إذ تنتشر ذرات أو فجوات إلى حافّة نصف مستواه أو منها.

تقاوم الشبكة انزلاق الانخلاع بإجهاد صغير، هو إجهاد بيرلس، ويعتمد على قوّة الروابط واتجاهها: ولهذا تكون بعض أنظمة الانزلاق في المعدن سهلة وبعضها صعبًا. ومع تشوّه البلّورة تتكاثر الانخلاعات وتتشابك؛ فتعيق بعضها بعضًا، وتتصلّب البلّورة، إلّا إذا استطاعت أن تتسلّق العوائق أو تفنى، وهذا يتطلّب الانتشار، ومن ثَمّ الحرارة.

7.2 آليات الزحف

تعريف 7.2 (آليات الزحف)

في الزحف الانخلاعي تتشوّه البلّورات بانزلاق الانخلاعات، ويُحرّرها التسلّق من العوائق. وفي الزحف الانتشاري تغيّر البلّورات شكلها بانتشار الذرات، عبر الشبكة (زحف نابارو–هيرينغ) أو على طول حدود الحبيبات (زحف كوبل)، من الأوجه الواقعة تحت أعلى إجهاد عمودي إلى الأوجه الواقعة تحت أدنى إجهاد. وفي انزلاق حدود الحبيبات تنزلق الحبيبات بعضها فوق بعض على طول حدودها، وتُغلق الفجوات بالانتشار أو بالزحف الانخلاعي. وفي الإذابة بالضغط تذوب المادّة في غشاء سائل على الأوجه الواقعة تحت إجهاد مرتفع، وتترسّب حيث يكون الإجهاد منخفضًا، أو تُنقل بعيدًا.

قضية 7.3 (اعتماد الزحف الانتشاري على حجم الحبيبات)

عند إجهاد منخفض $\sigma$، تزحف صخرة حجم حبيباتها $d$ بالانتشار بالمعدّل

$$\dot\varepsilon \approx B_L\frac{D_L\Omega}{k_BT}\frac{\sigma}{d^2} \quad\text{(عبر الشبكة)},\qquad \dot\varepsilon \approx B_B\frac{\delta D_B\Omega}{k_BT}\frac{\sigma}{d^3} \quad\text{(على طول الحدود)},$$

حيث $D_L$ و$D_B$ معاملا الانتشار في الشبكة وفي الحدود، و$\delta$ عرض الحدّ، و$\Omega$ حجم الذرة، و$k_B$ ثابت بولتزمان، و$B_L$ و$B_B$ أعداد من رتبة العشرة تعتمد على شكل الحبيبات.

الزحف الانتشاري خطّي بالنسبة إلى الإجهاد، وهو انسياب لزج حقيقي، وهو سريع في الصخور دقيقة الحبيبات: إذ يجعل تنصيف حجم الحبيبات زحف كوبل أسرع ثماني مرات (الشكل أدناه). ولا يعتمد الزحف الانخلاعي على حجم الحبيبات، لكنه يتزايد بأسّ مرتفع للإجهاد.

تُصلح البلورات المشوَّهة نفسها أيضًا أثناء تشوّهها.

تعريف 7.4 (الاستعادة، الحبيبات الفرعية، إعادة التبلور الديناميكية)

الاستعادة هي إعادة ترتيب الانخلاعات بالتسلّق والانزلاق المتقاطع إلى تراكيب أدنى طاقةً، وتلاشيها. وتقسّم الانخلاعات المرتّبة في جدران الحبيبةَ إلى الحبيبات الفرعية، أجزاء من الحبيبة تميل شبكاتها بمقدار بضع درجات بعضها عن بعض. إعادة التبلور الديناميكية هي استبدال الحبيبات المتشوّهة، أثناء التشوّه، بحبيبات جديدة أقلّ انخلاعًا، إمّا بدوران الحبيبات الفرعية حتى تصير حبيبات، أو بهجرة حدود الحبيبات إلى الجيران الأكثر تشوّهًا.

تعريف 7.5 (التوجّه البلوري المفضَّل)

يمتلك الصخرُ التوجّه البلوري المفضَّل (CPO) حين لا تكون شبكات حبيباته موجَّهةً عشوائيًا، بل تتجمّع حول اتجاهات يحدّدها التشوّه؛ ويُنتجه الزحف الانخلاعي بتدوير منظومات الانزلاق في كل حبيبة نحو اتجاه الانسياب.

يرث الصخرُ ذو التوجّه البلوري المفضَّل لاتناحيةَ بلوراته: فسرعاتُ الموجات الزلزالية فيه، مثلًا، تتوقّف على الاتجاه، وهذا ما يتيح لعلم الزلازل أن يرى نسيجَ الوشاحِ العميق. أمّا الزحف الانتشاري وانزلاق حدود الحبيبات، اللذان يتيحان للحبيبات أن تدور بحرّية، فلا يُنشئانه.

7.3 قوانين الانسياب

تعريف 7.6 (قانون الانسياب، أسّ الإجهاد، درجة الحرارة المتجانسة)

يُعطي قانون الانسياب معدّلَ الانفعال لصخرٍ يتشوّه بآلية واحدة، دالّةً للإجهاد التفاضلي $\sigma$ وحجم الحبيبات $d$، ودرجة الحرارة $T$ والضغط $P$:

$$\dot\varepsilon = A\,\sigma^nd^{-m}\exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),$$

حيث $A$، $n$، $m$، وطاقةُ التنشيط $E$، وحجمُ التنشيط $V$ تُقاس في المختبر. أسّ الإجهاد هو $n$، وأسّ حجم الحبيبات $m$. درجة الحرارة المتجانسة لمعدنٍ هي $T/T_m$، وهي درجته المطلقة على درجة حرارة انصهاره المطلقة.

في القوانين المستعملة هنا، يكون للزحف الانخلاعي $n$ قدرُه 3.5 أو 4 و$m = 0$؛ وللزحف الانتشاري $n = 1$ و$m = 2$ أو 3 (انظر القضية 7.3). يزداد الزحف كلّما اقتربت درجة الحرارة المتجانسة من 1. ينصهر الفورستيريت عند $1890\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، فيكون الوشاح عند $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ تبلغ $T/T_m = 0.73$؛ أمّا الجليد عند $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ فيبلغ 0.96، ولهذا السبب تنساب الأنهار الجليدية. وقيم الأوليفين المعتمدة هنا هي تلك الواردة في مجموعة مخبرية واسعة الاستعمال: الأوليفين الجاف في الزحف الانخلاعي، $A = 1.1 \times 10^{5}$، $n = 3.5$، $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$، $V = 14\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$؛ وفي الزحف الانتشاري، $A = 10^{9.2}$، $n = 1$، $m = 3$، $E = 375\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$، $V = 5\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ (الإجهاد بوحدة ميغاباسكال، حجم الحبيبات بالميكرومترات، والزمن بالثواني)؛ أمّا قيم الكوارتزيت الرطب فمأخوذة من مجلد السنة الأولى. يُضعف الماء الأوليفين: عند فوغاسيتية مائية تقارب $300\,\mathrm{MPa}$، تزحف تجمّعات الأوليفين أسرع من الجافة بخمس إلى ست مرات في الزحف الانخلاعي، وأسرع بخمس مرات في الزحف الانتشاري.

قضية 7.7 (اللزوجة الفعّالة)

للصخر الخاضع لقانون الانسياب $\dot\varepsilon = A'\sigma^n$ عند قيم معلومة من $T$ و$P$ و$d$ له اللزوجة الفعّالة

$$\eta_{\mathrm{eff}} = \frac{\sigma}{2\dot\varepsilon} = \tfrac12A'^{-1/n}\,\dot\varepsilon^{(1-n)/n}:$$

من أجل $n > 1$ تنخفض اللزوجة كلّما تشوّه الصخر أسرع.

يحتاج الكوارتزيت الرطب عند $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ الجاري بمعدّل $10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$ إلى $65\,\mathrm{MPa}$ وله لزوجة فعّالة مقدارها $3.3 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$؛ عند $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، $18\,\mathrm{MPa}$ و$9 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: مئةُ درجةٍ تقسم القوّةَ على أكثر من ثلاثة (انظر الشكل أدناه). الأوليفين الجاف عند $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$1\,\mathrm{GPa}$ يحتاج إلى $3\,\mathrm{MPa}$ فقط. تُبنى مغلّفات القوّة في مجلد السنة الأولى انطلاقًا من هذه القوانين بعينها.

7.4 خرائط آليات التشوّه

تعمل عدّة آليات بالتوازي، ويحمل الأسرع منها التشوّه.

تعريف 7.8 (خريطة آليات التشوّه)

خريطة آليات التشوّه لمعدن أو صخر تُظهر، على محورين من المتغيّرات الإجهاد وحجم الحبيبات ودرجة الحرارة، المناطقَ التي تكون فيها كلُّ آليةٍ هي الأسرعَ، مع خطوط كنتورية لمعدّل الانفعال الكلّي.

قضية 7.9 (حدّ الآليات)

عند $T$ و$P$ معلومين، يجري الزحف الانخلاعي ($A_1$، $n_1$، $E_1$، $V_1$، دون اعتماد على حجم الحبيبات)، والزحف الانتشاري ($A_2$، $n_2 = 1$، $m$، $E_2$، $V_2$) يجريان بالسرعة نفسها عند الإجهاد

$$\sigma_b = \biggl(\frac{A_2d^{-m}}{A_1} \exp\frac{(E_1 - E_2) + P(V_1 - V_2)}{RT}\biggr)^{1/(n_1 - 1)} ,$$

فيكون الحدّ خطًّا مستقيمًا ميله $-m/(n_1 - 1)$ على محورين لوغاريتميّين لحجم الحبيبات والإجهاد؛ ويغلب الزحف الانخلاعي فوقه.

بالنسبة إلى الأوليفين الجاف عند $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$2\,\mathrm{GPa}$ يقع الحدّ عند $5\,\mathrm{MPa}$ لحجم حبيبات $1\,\mathrm{mm}$، وعند $79\,\mathrm{MPa}$ لحجم $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ (انظر الشكل أدناه). يزحف الوشاح الدقيق الحبيبات بالانتشار، والوشاح الخشن الحبيبات بالانخلاعات؛ وتشير الأدلّة المخبرية والجيوفيزيائية إلى أنّ النظامين يحدثان في الوشاح العلوي، فالوشاح الساخن الضحل يجري بالزحف الانخلاعي، والأبرد أو الأعمق بالزحف الانتشاري، وأنّه حيث يرتفع الإجهاد وتتقلّص الحبيبات، يضعف الوشاح قرب الحدّ ويتركّز التشوّه موضعيًّا.

يعتمد حجم الحبيبات الذي تُنتجه إعادة التبلور الديناميكية على الإجهاد، وهذا ما يجعل الحبيبات مقياسًا للإجهاد.

تعريف 7.10 (مقياس الإجهاد القديم)

مقياس الإجهاد القديم سمةٌ في صخرٍ مشوَّهٍ يحدّد حجمَه أو كثافتَه الإجهادُ التفاضلي الذي تكوّن تحته، معايَرةً في المختبر، ويُستدلّ منها على إجهاد تشوّهٍ ماضٍ.

بالنسبة إلى الكوارتز، أُجريت تجارب عند $1.5\,\mathrm{GPa}$ ومن 800 إلى $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، وعند إجهادات جريان من 34 إلى $268\,\mathrm{MPa}$، أعطت حبيبات معادة التبلور بأقطار من 46 نزولًا حتى $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$، وقد وُصفت بالعلاقة

دون أثر ملحوظ لدرجة الحرارة. ومثال ذلك صخرُ ميلونيت كوارتزيّ تكوّنت فيه حبيبات معادة التبلور قطرها $20\,\text{µ}\mathrm{m}$، وتشوّه تحت إجهاد نحو $62\,\mathrm{MPa}$.

7.5 نطاقات القصّ

تعريف 7.11 (نطاق القصّ، التليين بالانفعال)

نطاق القصّ منطقة لوحية الشكل، محصورة بين جدارين قليلَي التشوّه، يتركّز فيها الانفعال ويقترب من القصّ البسيط الموازي للنطاق. ويتعرّض الصخر إلى التليين بالانفعال حين تنخفض مقاومته مع تشوّهه.

يُبقي التليين بالانفعال نطاقَ القصّ ضيّقًا، فما إن يصبح شريطٌ أضعفَ من جدرانه، بقي التشوّه محصورًا فيه. ويُضعف الصخر تناقصُ حجم الحبيبات بفعل إعادة التبلور الديناميكية، الذي قد يدفعه إلى الزحف الانتشاري، ونموُّ التوجّه البلوري المفضَّل الذي يصطفّ فيه نظامُ الانزلاق السهل، ودخولُ الماء، والتفاعلات التي تجعل المعادنَ الضعيفة، مثل الميكا، تُليِّن الصخر جميعُها. وصخور الميلونيت في مجلد السنة الأولى هي ناتجُها. وفي نطاق القصّ البسيط، تنحرف إلى داخله علامةٌ كانت تعبره عموديًّا عليه: فإذا كانت داخله، تكوّن زاويةً $\psi$ مع اتجاهها الأصلي، فإنّ انفعال القصّ هو $\gamma = \tan\psi$، والإزاحة عبر نطاق عرضه $w$ هي $\gamma w$.

تعريف 7.12 (المؤشّر الحركي)

المؤشّر الحركي بنيةٌ يسجّل عدمُ تماثلها اتجاه القصّ، أي الاتجاه الذي تحرّك فيه أحدُ جداري نطاق القصّ بالنسبة إلى الآخر، ويُقرأ في المستوى الذي يحتوي التخطّط الامتدادي ويعامد التورّق. نسيج S–C زوجٌ من التورّقات: S، التورّقُ الناتج عن حبيبات مفلطحة، مائلٌ على النطاق ومتّجهٌ نحو اتجاه الامتداد، و C، وهي نطاقات قصّ موازية للنطاق. نظام البورفيروكلاست بلورةٌ قويّةٌ لها ذيولٌ من مادةٍ معادة التبلور: ففي النمط $\sigma$، تتدرّج الذيول من جانبٍ إلى الجانب الآخر من الخطّ المركزي للبلورة دون أن تعبره، أمّا في النمط $\delta$، فتُجرّ حول البلورة بدورانها فتعبره. سمكة الميكا حبيبةُ ميكا معيّنيّة الشكل مائلةٌ على مستوى القصّ، ولها ذيولٌ رقيقة تتدرّج مثل ذيول بلورةٍ من النمط $\sigma$.

وعند قراءتها معًا، تعطي بضعةُ مؤشّرات متّفقةٍ اتجاهَ القصّ بدرجة ثقة عالية؛ ومؤشّرٌ واحد قد يُضلّل، إذ توجد بلورات مرتدّة الدوران وطيّات غير متماثلة ذات منشأ آخر. وتُظهر الصورة الواردة في المربّع أدناه بلورات بورفيروكلاست في صخر الميلونيت.

في المختبر — ضغط الصخر في ظروف الوشاح

في جهاز تشويه بوسط غازي، تُحكَم داخل غلاف معدني رقيق أسطوانةٌ من الصخر أو من مسحوق الأوليفين المكبوس على الساخن، طولها سنتيمتر أو سنتيمتران، ويُوضع مكبساها داخل فرن، في وعاء فولاذي مملوء بغاز خامل مضغوط يحدّد ضغط الاحتواء، وهو بضع مئات من الميغاباسكال. ويدفع محرّك المكبس بمعدّل ثابت، أو تحت حمل ثابت، بينما تقيس خلية حمل داخلية الإجهاد في العيّنة نفسها، بمنأى عن احتكاك الأختام. يُشوَّه الأوليفين بهذه الطريقة عند درجات حرارة قرب $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$؛ وفي نهاية التجربة تُبرَّد العيّنة فجأةً، ثم تُقطَع وتُصقَل وتُفحص بالمجهر الضوئي والمجهر الإلكتروني، حيث يُقاس حجم الحبيبات والحبيبات الفرعية والانخلاعات.

7.6 التمارين

تمرين 7.1 ★

يذوب الفورستيريت عند $1890\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ والجليد عند $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. احسب درجة الحرارة المتجانسة للفورستيريت عند $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ وللجليد عند $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. أيّهما يزحف بسهولة أكبر؟

حل

حل التمرين 7.1.

الفورستيريت: $1573/2163 = 0.73$؛ الجليد: $263/273 = 0.96$. الجليد أقرب بكثير إلى نقطة انصهاره ويزحف بسهولة أكبر: تنساب الأنهار الجليدية على سطح الأرض.

تمرين 7.2 ★

ينحرف قاطعٌ يعبر نطاق قصّ عموديًا داخل النطاق بمقدار $70{}^{\circ}$، وينحرف قاطعٌ آخر بمقدار $80{}^{\circ}$. احسب انفعالات القصّ. لماذا يصعب قياس الانفعالات الكبيرة بهذه الطريقة؟

حل

حل التمرين 7.2.

$\gamma = \tan70{}^{\circ} = 2.75$ و$\tan80{}^{\circ} = 5.67$. بالقرب من $90{}^{\circ}$ يتغيّر الظلّ بسرعة كبيرة مع الزاوية: خطأ بمقدار درجة واحدة عند $\psi = 84{}^{\circ}$ يغيّر $\gamma$ بنحو الخُمس.

تمرين 7.3 ★

باستخدام مقياس الإجهاد القديم للكوارتز، ما الإجهاد الذي يدلّ عليه حجم حبيبات معادة التبلور $10\,\text{µ}\mathrm{m}$؟

حل

حل التمرين 7.3.

$\sigma = (10^{3.56}/10)^{1/1.26} = 363.1^{0.794} = 108\,\mathrm{MPa}$.

تمرين 7.4 ★

باستخدام قانون الانسياب للكوارتزيت الرطب ($A = 1.1 \times 10^{-4}$، $n = 4$، $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$)، $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$)، احسب معدّل الانفعال عند $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ تحت $20\,\mathrm{MPa}$.

حل

حل التمرين 7.4.

$E/RT = 223000/(8.314\times773.15) = 34.69$، إذن $\dot\varepsilon = 1.1 \times 10^{-4}\times20^4\times e^{-34.69} = 1.1 \times 10^{-4}\times1.6 \times 10^{5}\times 8.6 \times 10^{-16} = 1.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$.

تمرين 7.5 ★★

احسب اللزوجة الفعّالة للكوارتزيت الرطب المنساب بمعدّل انفعال $10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($65.4\,\mathrm{MPa}$) وعند $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($18.0\,\mathrm{MPa}$). قارِن بلزوجات الوشاح الواردة في الفصل 6.

حل

حل التمرين 7.5.

$\eta = \sigma/(2\dot\varepsilon)$: $65.4 \times 10^{6}/2 \times 10^{-14} = 3.3 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ عند $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$18.0 \times 10^{6}/2 \times 10^{-14} = 9.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ عند $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: القشرة الوسطى عند هذه درجات الحرارة تماثل تقريبًا لزوجة الوشاح الواقع تحت الأغطية الجليدية.

تمرين 7.6 ★★

تُعطيان عند درجة الحرارة نفسها معدّل انفعال $10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ تحت $100\,\mathrm{MPa}$ و$1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ تحت $200\,\mathrm{MPa}$. احسب أسّ الإجهاد وسمِّ الآلية المرجّحة.

حل

حل التمرين 7.6.

$n = \log(1.6 \times 10^{-4}/10^{-5})/\log2 = \log16/\log2 = 4$: الزحف الانخلاعي، الذي يتجاوز أسّ الإجهاد فيه الواحد بكثير.

تمرين 7.7 ★★

عند الإجهاد نفسه، تزحف عيّنة أسرع عشر مرّات عند $1100\,\mathrm{K}$ منها عند $1000\,\mathrm{K}$. احسب طاقة التنشيط.

حل

حل التمرين 7.7.

$\ln10 = (E/R)(1/1000 - 1/1100)$، إذن $E = 8.314\times2.3026/9.091 \times 10^{-5} = 211\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

تمرين 7.8 ★★

بأيّ عامل يتغيّر معدّل انفعال الزحف الانتشاري عندما يُقسَم حجم الحبيبات على عشرة، في حالتي زحف نابارو–هيرينغ وزحف كوبل؟ لماذا يكون زحف كوبل أكثر حساسيةً؟

حل

حل التمرين 7.8.

نابارو–هيرينغ ($d^{-2}$): أسرع بمقدار 100 مرة؛ كوبل ($d^{-3}$): أسرع بمقدار 1000 مرة. على طول الحدود تسلك الذرات المنتشرة مسارًا مقطعه العرضي، $\delta d$، يتناقص بتناقص الحبيبة، فوق المسافة الأقصر والحجم الأصغر الواجب تحريكه.

تمرين 7.9 ★★

بالنسبة إلى الأوليفين الجاف عند $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$2\,\mathrm{GPa}$، يُعطي كلٌّ من قانوني الانسياب $\dot\varepsilon_{\mathrm{dis}} = 6.54 \times 10^{-17}\,\sigma^{3.5}$ و$\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6}\,\sigma d^{-3}$ (بوحدات النصّ). احسب إجهاد الحدّ من أجل $d = 1\,\mathrm{mm}$ و$d = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$، وميل الحدّ.

حل

حل التمرين 7.9.

$\sigma_b^{2.5} = 3.59 \times 10^{-6}\,d^{-3}/6.54 \times 10^{-17}$: من أجل $d = 1000$، $\sigma_b = 54.9^{0.4} = 5.0\,\mathrm{MPa}$؛ ومن أجل $d = 100$، $\sigma_b = 54\,900^{0.4} = 79\,\mathrm{MPa}$. الميل هو $-3/2.5 = -1.2$: تصغير الحبيبة بعشرة أضعاف يرفع إجهاد الحدود بمقدار $10^{1.2} = 16$.

تمرين 7.10 ★★★

حسب القضية 7.3، فسّر لماذا يعطي المسار الشبكي $d^{-2}$ ومسار الحدود $d^{-3}$، وأظهِر أنّ انتشار الحدود يتفوّق تحت حجم الحبيبات $d^* \approx (B_B/B_L)\,\delta D_B/D_L$.

حل

حل التمرين 7.10.

في المسارين كليهما يكون فرق التركيز المحرّك نفسه، والمسافة هي $d$؛ والحجم الواجب نقله لكل وحدة انفعال هو $d^3$. توفّر الشبيكة مقطعًا عرضيًا $\propto d^2$، فيتناسب المعدّل مع $d^2/(d\,d^3) = d^{-2}$؛ وتوفّر الحدود $\propto\delta d$، فيكون $\delta d/(d\,d^3) = \delta d^{-3}$. نسبة معدّلي الحدود إلى الشبيكة هي $(B_B\delta D_B)/(B_LD_Ld)$، أكبر من 1 عندما $d < (B_B/B_L)\,\delta D_B/D_L$.

تمرين 7.11 ★★★

بالنسبة إلى قانون انسياب ذي $n = 3.5$، بأيّ عامل تنخفض اللزوجة الفعّالة عند ضرب معدّل الانفعال بعشرة؟ لماذا يُرجِّح ذلك تمركُزَ الانفعال في نطاقات القصّ؟

حل

حل التمرين 7.11.

$\eta \propto \dot\varepsilon^{(1-n)/n} = \dot\varepsilon^{-2.5/3.5}$: بمعدّل أسرع بعشر مرات تُقسم اللزوجة على $10^{0.714} = 5.2$. النطاق الذي يتّفق أن يتشوّه بسرعة أكبر يصبح أضعف، فيحمل النصيب الأكبر من التشوّه: يتجمّع الانفعال فيه.

تمرين 7.12 ★★★

في الأوليفين الجاف الوارد في التمرين 9، يُعاد تبلور نطاق قصّ وشاحي تحت $10\,\mathrm{MPa}$ فتتحوّل حبيباته من $3\,\mathrm{mm}$ إلى $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. احسب معدّل الانفعال الكلّي قبل ذلك وبعده، وعامل التليين. أيّ آلية تحمل التشوّه في كلّ حالة؟

حل

حل التمرين 7.12.

قبل: $\dot\varepsilon_{\mathrm{dis}} = 6.54 \times 10^{-17}\times10^{3.5} = 2.07 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$ و$\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6} \times10/3000^3 = 1.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$: $2.08 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$، الزحف الانخلاعي. بعد: $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6}\times10/30^3 = 1.33 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}^{-1}$، الزحف الانتشاري، أسرع بمقدار $6400$ مرة عند الإجهاد نفسه: ليّنت إعادة التبلور النطاق تليينًا كبيرًا.

7.7 مسألة: نطاق القصّ في تلال فاردن

مسألة 7.1

مسألة نهاية الأسبوع — الانفعال والإجهاد ومعدّل الانفعال والعمر لنطاق قصّ متخيَّل

تحت جرانيت تلال فاردن، المنطقة المُتخيَّلة للسلسلة، يكشف كلٌّ من ثقب الحفر وقطع طريق عميق (كلاهما مُتخيَّل) نطاقَ قصّ لدنٍ عرضُه $400\,\mathrm{m}$، تشكّل على عمق نحو $15\,\mathrm{km}$ وعند $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. يصنع قاطعُ دولريتٍ يعبر الجدران على زوايا قائمة، داخل النطاق، زاويةً قدرها $6{}^{\circ}$ فقط مع حدود النطاق. كوارتزُه ميلونيتٌ من حبيبات معادة التبلور عرض كلّ منها $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ (تتراوح بين 15 و$25\,\text{µ}\mathrm{m}$). خذ مقياس الإجهاد القديم للكوارتز $D = 10^{3.56}\sigma^{-1.26}$، وقانون انسياب الكوارتزيت الرطب ($A = 1.1 \times 10^{-4}$، $n = 4$، $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$), $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $1\,\mathrm{yr}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، وفي القصّ البسيط، $\dot\gamma = 2\dot\varepsilon$.

الجزء الأول — الانفعال.

1. احسب انحراف القاطع $\psi$ وانفعال القصّ.
2. احسب إزاحة أحد الجدارين بالنسبة إلى الآخر.
3. احسب الاستطالات الرئيسية للقطع الناقص للانفعال ونسبته المحورية.
4. احسب زاوية المحور الطويل مع النطاق. ماذا يفعل تورّق النطاق مع ازدياد $\gamma$؟
5. عند النظر من الأعلى، يتتبَّع القاطع من الجدار الجنوبي فينعطف نحو الشرق عند دخوله نطاق الشرق–غرب، ثم يعود إلى اتجاهه نحو الشمال عند الجدار الشمالي. في أيّ اتجاه تحرّك الجدار الشمالي، وهل النطاق أيمن أم أيسر؟
6. في أيّ مستوى ينبغي أن تُقطَع شريحة رقيقة لقراءة المؤشّرات الحركية، وكيف ينبغي أن يميل تورّق S فيها؟

الجزء الثاني — الإجهاد.

7. احسب الإجهاد الذي تدلّ عليه الحبيبات البالغ عرضها $20\,\text{µ}\mathrm{m}$.
8. احسب الإجهادين عند 15 و$25\,\text{µ}\mathrm{m}$.
9. هل يقع الإجهاد ضمن مدى المعايرة؟
10. لم يُظهر مقياس الإجهاد القديم أيّ أثر لدرجة الحرارة. لماذا يهمّ ذلك هنا؟
11. ما حجم الحبيبات الذي كان سيُنتجه إجهاد قدره $100\,\mathrm{MPa}$؟

الجزء الثالث — معدّل الانفعال.

12. احسب $E/RT$ عند $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ وعامل أرهينيوس.
13. احسب معدّل انفعال الكوارتز تحت الإجهاد الوارد في السؤال 7 (خذ $62\,\mathrm{MPa}$).
14. احسب معدّل انفعال القصّ.
15. احسب اللزوجة الفعّالة للنطاق وقارنها بالوشاح العلوي من الفصل 6.
16. بأيّ عوامل يتغيّر معدّل الانفعال عند 400 و$500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ عند الإجهاد نفسه؟
17. بأيّ عامل يتغيّر المعدّل لو كان الإجهاد $78\,\mathrm{MPa}$ المقابل لأدقّ الحبيبات؟

الجزء الرابع — الزمن.

18. احسب الزمن اللازم لتراكم انفعال القصّ الوارد في السؤال 1، بالثواني.
19. حوّله إلى آلاف السنين.
20. احسب متوسط معدّل الانزلاق عبر النطاق بوحدة $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.
21. قارنه بمعدّلات حدود الصفائح التي تبلغ عشرات المليمترات في السنة.
22. لو كان النطاق يحمل $20\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$، فما معدّل انفعال القصّ والإجهاد وحجم الحبيبات المعادة التبلور الذي كان سيكون عليه؟
23. كيف تؤثّر حالات عدم اليقين في حجم الحبيبات وفي أسّ مقياس الإجهاد القديم على الزمن؟
24. أعطِ الزمن الذي استغرقه نطاق القصّ في تلال فاردن لتراكم انفعاله، بآلاف السنين.

حل

حل المسألة 7.1.

1. يدور القاطع من $90{}^{\circ}$ إلى $6{}^{\circ}$ بالنسبة إلى النطاق: $\psi = 84{}^{\circ}$ و$\gamma = \tan84{}^{\circ} = 9.51$.

2. $\gamma w = 9.51\times400 = 3804\,\mathrm{m}$، أي نحو $3.8\,\mathrm{km}$.

3. $S_1 = \sqrt{1 + 9.51^2/4} + 9.51/2 = 4.859 + 4.755 = 9.614$, $S_2 = 1/S_1 = 0.104$، و$S_1/S_2 = 92.4$.

4. $\tan2\theta' = 2/9.51 = 0.210$، $\theta' = 5.9{}^{\circ}$: يدور التورّق، القريب من المحور الطويل، يقترب أكثر فأكثر من النطاق كلما $\gamma$ تزايدت.

5. عند تتبّعه نحو الشمال يُحمل القاطع شرقًا داخل النطاق، ويغادره أبعد نحو الشرق: انتقل الجدار الشمالي شرقًا بالنسبة إلى الجنوبي. عند النظر من الجدار الجنوبي تحرّك الجانب البعيد نحو اليمين: النطاق أيمن.

6. في المستوي الذي يحوي تخطّط المطّ، أفقيًا هنا لنطاق انزياحي، وعموديًا على التورّق الرأسي: مقطع أفقي. يميل تورّق S بعكس اتجاه عقارب الساعة عن النطاق، باتجاه شرق-شمال-شرق، مثل المحور الطويل للقطع الناقص للانفعال.

7. $\sigma = (10^{3.56}/20)^{1/1.26} = 181.5^{0.794} = 62\,\mathrm{MPa}$.

8. $242.1^{0.794} = 78\,\mathrm{MPa}$ من أجل $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ و$145.2^{0.794} = 52\,\mathrm{MPa}$ من أجل $25\,\text{µ}\mathrm{m}$.

9. نعم: امتدّت التجارب من 34 إلى $268\,\mathrm{MPa}$.

10. تشوّهت المنطقة عند $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، أدنى بكثير من 800 إلى $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ في التجارب؛ علاقةٌ لا تعتمد على درجة الحرارة يمكن تطبيقها عليها، وإن كانت ما تزال استقراءً.

11. $D = 3631/100^{1.26} = 3631/331 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$.

12. $E/RT = 223000/(8.314\times723.15) = 37.09$ و$e^{-37.09} = 7.79 \times 10^{-17}$.

13. $\dot\varepsilon = 1.1 \times 10^{-4}\times62^4\times7.79 \times 10^{-17} = 1.1 \times 10^{-4}\times1.478 \times 10^{7}\times7.79 \times 10^{-17} = 1.27 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$.

14. $\dot\gamma = 2\dot\varepsilon = 2.53 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$.

15. $\eta = 62 \times 10^{6}/(2\times1.27 \times 10^{-13}) = 2.4 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, قريبةً من $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ للوشاح العلوي تحت بحيرة آردو: كانت المنطقة ضعيفةً بقدر الوشاح.

16. يتغيّر $e^{-E/RT}$ بالعامل 0.064 عند $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (أبطأ ستّ عشرة مرّة)، و11.0 عند $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

17. $(78/62)^4 = 2.5$ مرّة أسرع.

18. $t = 9.51/2.53 \times 10^{-13} = 3.75 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$.

19. $3.75 \times 10^{13}/3.156 \times 10^{10} = 1190\,\mathrm{kyr}$.

20. $3804\,\mathrm{m}/1.19 \times 10^{6}\,\mathrm{yr} = 3.2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

21. أبطأ بعشر مرّات أو أكثر من حدود الصفائح الرئيسية: كانت المنطقة فرعًا ثانويًا، أو واحدًا من عدّة فروع تشترك في حركة حدٍّ.

22. $\dot\gamma = 0.02/(3.156 \times 10^{7}\times400) = 1.58 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$، 6.2 مرّة أسرع؛ يرتفع الإجهاد بمقدار $6.2^{1/4} = 1.58$، إلى $98\,\mathrm{MPa}$، وستكون الحبيبات $3631/98^{1.26} = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$.

23. يتناسب الزمن مع $\sigma^{-4}$: يعطي مدى حجم الحبيبات وحده $(62/78)^4 = 0.40$ إلى $(62/52)^4 = 2.0$ مرّةً من التقدير، وعدم اليقين في الأس $1.26 \pm 0.13$ وفي ثوابت قانون الانسياب يوسّعه أكثر: النتيجة رتبة قدر، لا تاريخًا.

24. استغرق نطاق القصّ في تلال فاردن نحو $1190\,\mathrm{kyr}$ لتراكم انفعاله.