31طرائق الحقل والمختبر III

يقضي فريق جيوفيزيائي أسبوعًا في وادي تلال فاردن، المنطقة المتخيّلة التي رسم مجلد السنة الأولى خريطتها الجيولوجية في فصله عن الخرائط الجيولوجية. تُظهر الخريطة جرانيتًا ظاهرًا على جانبي الوادي، بين الشيست، تحت الحجر الرملي الذي يرتكز على كليهما. أمّا أين يغوص الجرانيت تحت الغطاء وإلى أي مدى يمتد وإلى أي عمق يصل، فلم يشاهده أحد. يحمل الفريق مقياس جاذبية، ومقياسي مغناطيسية، وكبلًا من الأقطاب ورادارًا على عربة صغيرة. لا يرى أيٌّ من هذه الأجهزة صخرًا: كلّ منها يقيس حقلًا عند السطح—الجاذبية، والحقل المغناطيسي، وكمونًا كهربائيًا، وصدى نبضة راديوية—وهي حقول تُخلّ بها الصخور الواقعة تحتها. بنهاية الأسبوع يستطيع الفريق أن يرسم الجرانيت الذي لم يرَه قط، وأن يقول كم يبلغ عمق الرواسب الغرينية في قاع الوادي، وأن يُبلغ عن جسم مغناطيسي لم تُظهره أي خريطة.

يتتبّع هذا الفصل ذلك الأسبوع. يعالج كل طريقة على حدة، بوصفها قياسًا مع تصحيحاته، وبوصفها مسألة مباشرة ذات أجسام قليلة يمكن حساب حقولها بدقة؛ ثم يبيّن كيف تتراكم أخطاء المسح، ولماذا نادرًا ما يحدّد نوعٌ واحد من البيانات نموذجًا بعينه؛ ويختم بمسح تلال فاردن، حيث توضع الطرائق معًا.

ما تعرفه من قبل

شذوذ الجاذبية، وتصحيحا الهواء الحرّ وبوغير وشذوذاهما، والجاذبية المرجعية، واردة في مجلد السنة الأولى، في فصله عن التوازن الأيزوستاتي والجاذبية؛ ودورة المسح لمقياس الجاذبية النسبي موصوفة في الفصل 3. يرد الحقل الرئيسي وميله، وصيغة ثنائي القطب، والمجال المغناطيسي الأرضي المرجعي الدولي موجودة في الفصل 4. والمقاومية وقانون أوم والسماحية النسبية والموجات الكهرطيسية والمغنطة والقابلية المغناطيسية واردة في كتب الفيزياء، ومبرهنة غاوس للجاذبية معها. المسح الزلزالي الانكساري موجود في الفصل 2؛ المسألة المباشرة والمسألة العكسية والمربعات الصغرى الموزونة في الفصل 1؛ والمسامية في كتب المدرسة، وسجلّات الآبار السلكية في الفصل 17. ويرد انتشار عدم اليقين في كتب الكيمياء والرياضيات.

31.1 مسوح الجاذبية

الشذوذات التي يبحث عنها مسح الجاذبية صغيرة. تبلغ الجاذبية عند خط الاستواء نحو $978\,000\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؛ وتُغيّرها البنى الكبيرة بمئات المليغال، والقبة الملحية بنحو عشرة، والجسم المعدني بنحو واحد، وأهداف المسح الجيوتقني بعدة أجزاء من المئة. يقيس الجيوفيزيائيون بالمليغال، أو بوحدات جاذبية قدرها $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؛ ويجب أن يميّز المسح المفيد الفروق بمقدار جزء واحد من مئة مليون من $g$.

تعريف 31.1 (مقياس الجاذبية النسبي؛ الانجراف الآلي)

مقياس الجاذبية النسبي هو جهاز يقيس فروق الجاذبية بين المحطات: كتلة معلّقة بنابض، تُحفظ عند وضع الصفر بقوة ثانية قابلة للضبط يُعطي قراءة مؤشّرها، مضروبةً في ثابت معايرة، الجاذبية بالمليغال حتى ثابت مجهول. ويُسمّى الانجراف الآلي التغيّر البطيء لقراءته عند محطة ثابتة، ناتج عن زحف النابض والحرارة والصدمات؛ ويُقاس بإعادة القراءة بعد بضع ساعات في محطة سبق قراءتها، وهي محطة الأساس.

يغطي مقياس الجاذبية الحقلي مدًى يبلغ عشرات الآلاف من المليغالات، ويقرأ في أفضل حالاته حتى نحو $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؛ ويجب إعادة ضبط المدى بعد النقل. وعند هذه الدقة تكون ارتفاعات المحطات بأهمية قراءتها: فخطأ ارتفاع قدره $3.3\,\mathrm{cm}$ يُفسد $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، لذلك تُمسح المواقع بأجهزة استقبال الأقمار الصناعية أو بالميزان حتى السنتيمتر. وتُعاد زيارة محطة الأساس كل ساعتين تقريبًا. ويتغيّر المدّ الأرضي الصلب، الذي يمكن أن يبلغ $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، ببطء كافٍ خلال تلك الساعات حتى يمكن إزالته مع الانجراف.

طريقة 31.2 (اختزال دورة الجاذبية)

تبدأ الدورة وتنتهي عند محطة أساس، تُقرأ في الزمنين $t_0$ و$t_1$.

1. احسب معدّل الانجراف $(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$ من القراءتين عند محطة الأساس؛ ويتضمّن المدّ.
2. اطرح من كل قراءة الانجراف المتراكم منذ $t_0$، $r - (t - t_0)(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$، واطرح قراءة الأساس فتكون الجاذبية نسبةً إلى محطة الأساس.
3. صحّح الارتفاع $\Delta h$ للمحطة فوق محطة الأساس: أضف تصحيح الهواء الحرّ $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1} \times\Delta h$ واطرح تصحيح بوغير $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times\Delta h$ (الكثافة $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$)، أي أضف $0.1967\,\Delta h$.
4. لمحطة تبعد مسافة $\Delta y$ شمال محطة الأساس، اطرح تغيّر الجاذبية المرجعية، $0.811\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{km}^{-1} \times\sin 2\varphi\times\Delta y$.
5. أضف تصحيح التضاريس لكل محطة.

والنتيجة هي شذوذ بوغير نسبةً إلى محطة الأساس. وبربط محطة الأساس بمحطة ذات جاذبية مطلقة معلومة يُعطى الشذوذ نفسه.

يعامل تصحيح بوغير الأرض الواقعة بين المحطة ومستوى المرجع كأنها لوح مستوٍ. وفي تضاريس حقيقية يكون هذا خاطئًا مرتين: فتلّة ترتفع فوق المحطة تجذب إلى أعلى فتُخفض القراءة، ووادٍ ينخفض دونها يُحسب في اللوح على أنه صخرٌ غير موجود.

تعريف 31.3 (تصحيح التضاريس)

تصحيح التضاريس لمحطة الجاذبية هو الجذب الذي تمارسه انحرافات التضاريس عن لوح بوغير على المحطة: التلالُ فوق مستوى المحطة، والأودية تحتها، محسوبةً بكثافة اللوح. وكلاهما يُخفض الجاذبيةَ المقيسةَ قياسًا على اللوح، لذا يُضاف التصحيح دائمًا.

كان يُحسب يدويًا بمخطط هامر وجداول، منطقةً فمنطقةً بالابتعاد عن المحطة؛ ويُحسب اليوم من نموذج الارتفاع الرقمي. وبعيدًا عن التضاريس الحادة نادرًا ما يتجاوز $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، لكنّ المناطق القريبة من المحطة يصعب ضبطها بدقّة، ولا يُعرف التصحيح عادةً بدقة أفضل من $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

31.1.1 شذوذ الأجسام البسيطة

المسألة المباشرة للجاذبية مجموعٌ: يجذب كلُّ عنصرٍ من جسمٍ ذي تباينِ كثافةٍ $\Delta\rho$ المحطةَ وفق قانون نيوتن، ويقيس المسحُ المركبةَ الرأسية للمجموع. وتُعطي أجسامٌ قليلةٌ ذلك في صورة مغلقة.

مبرهنة 31.4 (الكرة والأسطوانة الأفقية)

عند مسافة أفقية $x$ عن النقطة الواقعة فوق مركزها، تُعطي كرةٌ مدفونةٌ ذاتُ كتلةٍ زائدةٍ $\Delta m$ ومركزُها على عمق $z$ الشذوذَ الآتي:

$$\Delta g(x) = \frac{G\,\Delta m\,z}{(x^2 + z^2)^{3/2}} ,$$

ويهبط الشذوذ إلى نصف قمّته عند $x_{1/2} = z\sqrt{2^{2/3} - 1}$، بحيث يكون $z = 1.305\,x_{1/2}$. وتُعطي أسطوانةٌ أفقيةٌ طويلةٌ ذاتُ كتلةٍ زائدةٍ $\lambda$ لكل وحدة طول، ومحورُها على عمق $z$، يُعطي عبر امتدادها الشذوذَ الآتي:

$$\Delta g(x) = \frac{2G\lambda z}{x^2 + z^2} ,$$

و$z = x_{1/2}$.

للجسم غير الكروي عرضٌ عند نصف القمة أيضًا، وتُعطي القاعدةُ حينئذٍ عمقَ كرةٍ مكافئةٍ لا عمقَ الجسم نفسه. والقاعدةُ تقديرٌ أوليّ يُجرى قبل ملاءمة أيّ نموذج.

قضية 31.5 (الأسطوانة الرأسية على محورها)

أسطوانةٌ رأسية نصف قطرها $a$ وتباين كثافتها $\Delta\rho$، وقمّتُها وقاعدتُها على عمقَي $z_1 < z_2$ تحت المحطة، تُعطي على محورها

$$\Delta g = 2\pi G\Delta\rho\left[(z_2 - z_1) + \sqrt{z_1^2 + a^2} - \sqrt{z_2^2 + a^2}\right] .$$

وعندما $a \to \infty$ يكون هو لوح بوغير $2\pi G\Delta\rho(z_2 - z_1)$؛ أمّا الأسطوانة الممتدةُ من السطح إلى عمق كبير فتؤول إلى $2\pi G\Delta\rho\,a$.

قضية 31.6 (الكتلة الزائدة من خريطة الجاذبية)

مهما كان شكلُ جسمٍ يقع بكامله تحت مستوٍ أفقي، فإنّ كتلتَه الزائدةَ هي

$$\Delta m = \frac{1}{2\pi G}\iint \Delta g\,\mathrm{d}A ,$$

حيث يشمل التكامل المستوى كلّه.

تُعطي المبرهنةُ الكتلةَ لا الشكلَ أبدًا؛ والخريطةُ لا تغطي إلا جزءًا من المستوى، بينما يتناقص شذوذُ الجسم العميق ببطء، فتكون الكتلة المستخلصة من الخريطة أصغرَ من الحقيقة ما لم تُمدّ حوافُّه بنموذج.

31.1.2 جرانيت فاردن

يُعدّ نموذج الجيولوجيين للجرانيت جسمًا ناقصيًّا يقع أسفل عدم التوافق، بعرض $760\,\mathrm{m}$ من الشرق إلى الغرب و$1120\,\mathrm{m}$ من الشمال إلى الجنوب عند التقائه بالغطاء، ويتّسع نحو الأسفل؛ أمّا على جانبي الوادي فيصل إلى السطح. الجرانيت أخفّ من الشيست: تقع مديات الكثافة المنشورة في $2.50\text{ ⁧إلى⁩ }2.81$ و$2.39\text{ ⁧إلى⁩ }2.80\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. ويأخذ نموذج المسح $2620\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ للجرانيت و$2750\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ للشيست، بتباين قدره $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، ويُوقف الجرانيت عند عمق $1500\,\mathrm{m}$ تحت مستوى سطح البحر، وهذا افتراض لأنّ لا شيء يُظهر قاعَه. يُقسَّم إلى $5533$ منشورًا قائمًا جواذبها ذات صيغة مغلقة، فيُعطي النموذج شذوذ الخريطة أعلاه: انخفاضًا مغلقًا قدره $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ فوق مركز الجرانيت، وتمتدّ خطوطه الكنتورية ممتدّة من الشمال إلى الجنوب شبهًا بالجسم.

31.2 المسوح المغناطيسية

يبلغ المجال الرئيسي للأرض نحو $25\,000\,\mathrm{nT}$ عند خطّ الاستواء المغناطيسي ونحو $70\,000\,\mathrm{nT}$ قرب القطبين المغناطيسيين. الصخور التي تحوي المغنتيت تضيف إليه مجالها الخاصّ، المُستحَثّ بالمجال الرئيسي بنسبة إلى قابليتها المغناطيسية، أو المغنطة المتبقّية المحمولة منذ الزمن الذي تكوّنت فيه. للصخر الناري الفلسي قابلية مغناطيسية أقلّ من نحو $2 \times 10^{-3}$، أمّا المافي فيتراوح من نحو $2 \times 10^{-3}$ إلى $0.4$؛ وعلى المقياس نفسه، تعطي واحد بالمئة من المغنتيت بالحجم نحو $0.03$.

تعريف 31.7 (شذوذ المجال الكلي؛ التصحيح اليومي؛ الاختزال إلى القطب)

ليكن $\mathbf{F}$ المجال الرئيسي عند المسح و$\Delta\mathbf{B}$ مجال الصخور المُمغنطة.

• شذوذ المجال الكلي هو الشدّة المقاسة مطروحًا منها شدّة المجال الرئيسي، $\Delta T = |\mathbf{F} + \Delta\mathbf{B}| - |\mathbf{F}|$؛ عندما $|\Delta\mathbf{B}| \ll |\mathbf{F}|$ فهو الإسقاط $\Delta\mathbf{B}\cdot\mathbf{F}/|\mathbf{F}|$.
• التصحيح اليومي يزيل تغيّرات المجال مع الزمن: يسجّل مقياس المغناطيسية عند محطة قاعدة ثابتة المجالَ طوال المسح، وكلّ قراءة $T(t)$ للجهاز المتحرّك تُستبدل بالقيمة $T(t) - T_\mathrm{base}(t)$.
• الاختزال إلى القطب يحسب، انطلاقًا من الشذوذ المقاس، الشذوذ الذي تعطيه الصخور نفسها لو كان المجال الرئيسي رأسيًا، كما هو عند قطب مغناطيسي، فيقع الشذوذ عندئذٍ فوق مصدره.

تنشأ التغيّرات الزمنية عن تيّارات في الغلاف الأيوني، على ارتفاع نحو $110\,\mathrm{km}$ فوق سطح الأرض. وتبلغ هذه التغيّرات في اليوم عادةً ما يتراوح من $20\text{ ⁧إلى⁩ }50\,\mathrm{nT}$، أي بقدر شذوذ هدف صغير؛ وقد تُغيّر العاصفة المغناطيسية المجال بآلاف النانوتسلا. تقيس محطة القاعدة التغيّر، على افتراض أنّه هو نفسه على امتداد المسح كلّه. ويُزال المجال الرئيسي نفسه، أو مجال البنى الأكبر من مساحة المسح، باستخدام IGRF، بوصفه ثابتًا أو اتّجاهًا مُلاءَمًا.

يقيس مقياس المغناطيسية ذو تقدّم البروتونات التردّدَ الذي يتقدّم عنده دوران البروتونات في المجال، وهو متناسب مع المجال؛ ويقرأ بدقّة $1\,\mathrm{nT}$ ويحتاج إلى أكثر من ثانية لكلّ قراءة. أمّا ويُعدّ مقياس المغناطيسية بالسيزيوم المُضَخّ ضوئيًا أكثر حساسيةً بعشر إلى مئة مرّة، ويقرأ بدقّة $0.01\,\mathrm{nT}$. ويجب أن تكون المحطّات متقاربةً بما يكفي لوضع ما لا يقل عن نحو ثلاث قراءات عبر نصف عرض أضيقِ شذوذ يُبحث عنه، وكلّما كان المصدر أقرب إلى السطح وجب أن تكون المحطّات أكثر تقاربًا.

قضية 31.8 (شذوذ قاطع رفيع)

قاطعٌ رأسي سمكه $t$ وقابليته المغناطيسية $\kappa$، يمتدّ على طول خط الزوال المغناطيسي، وقمّته عند عمق $z$، ويمتدّ إلى الأسفل بعيدًا، ممغنطًا بالحثّ في مجال رئيسي $F$ ذي ميل $I$، فيعطي عبر امتداده، إذا كان $t \ll z$،

$$\Delta T(x) = \frac{\kappa F t\sin^2 I}{2\pi}\,\frac{z}{x^2 + z^2} ,$$

شذوذًا متناظرًا يهبط إلى نصف قمّته عند $x = \pm z$: العمق إلى قمّة القاطع يساوي نصف العرض الكامل للشذوذ عند نصف قمّته.

عندما يمتدّ القاطع عبر خط الزوال، تقع الأجزاء الأفقية من المغنطة والمجال الرئيسي كلاهما في مستوي المقطع، فتحمل الأوجه الجانبية شحنات، ويصبح الشذوذ غير متناظر، مع انخفاض على جهة القطب. ويحسب الشكل أدناه ذلك بدقّة لقاطع ذي عرض منتهٍ، بجمع الحقول المغلقة لأوجهه الأربعة المشحونة. ويُحوِّل الاختزال إلى القطب هذا الشذوذ إلى الشذوذ المتناظر لحقل رأسي.

31.3 الطرائق الكهربائية

تمتدّ المقاومية في مدى أوسع من أيّ خاصّية أخرى للصخور: تقع الصخور النارية والمتحوّلة غير المتجوّية بين نحو $1000$ و$100\,000\,\Omega\mathrm{m}$، والطَّفل بين نحو $3$ و$30$، والحصى والرمل الجافّان بين بضع مئاتٍ وعشرة آلاف؛ وتقع المياه العذبة بين نحو $1.5$ و$130\,\Omega\mathrm{m}$، والمياه المالحة دون الواحد. تُوصّل مياه المسام الكهرباء أفضل من معظم المعادن المكوّنة للصخور، بفضل أيوناتها، فيسري التيار أساسًا عبر المسام، وتتحكّم المسامية والتشبّع وملوحة الماء في مقاومية الصخر.

مبرهنة 31.9 (مصدر نقطي على أرض منتظمة)

يُحقن تيار $I$ عند نقطة من سطح أرض منتظمة مقاومتها $\rho$، ويولّد عند مسافة $r$ الكمونَ

$$V(r) = \frac{\rho I}{2\pi r} .$$

مع قطبي التيار A ($+I$) وB ($-I$) وقطبي الكمون M وN، يكون فرق الكمون المقاس

$$\Delta V_{MN} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac{1}{AM} - \frac{1}{BM} - \frac{1}{AN} + \frac{1}{BN}\right) .$$

تعريف 31.10 (المقاومية الظاهرية؛ ترتيب الأقطاب؛ السبر الكهربائي الرأسي؛ التصوير المقطعي للمقاومية الكهربائية)

• المقاومية الظاهرية لقياسٍ بأربعة أقطاب هي $\rho_a = K\,\Delta V_{MN}/I$، مع العامل الهندسي $K = 2\pi/(1/AM - 1/BM - 1/AN + 1/BN)$: مقاومية الأرض المتجانسة التي تعطي القراءة نفسها.
• ترتيب الأقطاب قاعدةٌ تضع الأقطاب الأربعة: ترتيب فينر يضعها متباعدةً بالتساوي بمسافة $a$، بالترتيب AMNB؛ وترتيب شلمبرجر يضع M وN متباعدين بمقدار $2l$، في مركز AB أطول كثيرًا، نصف طوله $s$؛ ترتيبات ثنائي القطب–ثنائي القطب، وقطب–ثنائي القطب وقطب–قطب تفصل زوج التيار عن زوج الكمون أو ترسل قطبًا واحدًا بعيدًا.
• السبر الكهربائي الرأسي يوسّع ترتيبًا حول مركز ثابت، ويرسم $\rho_a$ مقابل المسافة على مقياسين لوغاريتميين: كلّما كانت المسافة أكبر، تغلغل التيار إلى عمق أكبر.
• التصوير المقطعي للمقاومية الكهربائية يضع عددًا كبيرًا من الأقطاب على طول خط، يقيس عددًا كبيرًا من تراكيب الأقطاب الأربعة، ويعكسها معًا للحصول على مقطع للمقاومية.

لترتيب فينر يكون العامل $K = 2\pi a$؛ ولترتيب شلمبرجر $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$، و$\rho_a \approx 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ عندما $l \ll s$، ويبلغ $l$ نحو عُشر $s$ في الممارسة. ولا يحرّك سبر شلمبرجر إلّا A وB في معظم القراءات، بينما يحرّك سبر فينر الأقطاب الأربعة كلّها. والتيار موجة مربّعة عكسية، تتعاقب فيها حالات: تشغيل، إيقاف، عكس، إيقاف، لمدّة بضع ثوانٍ لكلّ منها، لأنّ الأرض تحمل كمونات ذاتية طبيعية ذات منشأ كهروكيميائي، لا يمكن تمييزها عن تيار مستمر. تحتاج السبورات الصغيرة، التي تتباعد أقطابها حتى نحو $100\,\mathrm{m}$، إلى بضع مئات من المِلِّيواط؛ أما السبورات التي يبلغ عرضها كيلومترًا فتستعمل مرسلات بعشرات الكيلوواط.

فوق الأرض الطبقية تنتقل المقاومية الظاهرية للسبر من مقاومية الطبقة العليا عند المسافات القصيرة، إلى مقاومية الطبقة السفلى عند المسافات الطويلة. ويمثّل منحناها بين الطرفين المسألة المباشرة للسبر.

قضية 31.11 (السبر فوق الطبقات)

فوق طبقات أفقية ذات مقاوميات $\rho_1, \dots, \rho_n$ وسماكات $h_1, \dots, h_{n-1}$، تكون المقاومية الظاهرية لشلمبرجر عند نصف المسافة $s$ هي

$$\rho_a(s) = s^2\int_0^\infty T(\lambda)\,\lambda\,J_1(\lambda s)\,\mathrm{d}\lambda ,$$

حيث $J_1$ دالة بسل من الرتبة الأولى، ويُعرَّف تحويل المقاومية $T$ يُبنى من الأسفل إلى الأعلى، مع $T_n = \rho_n$ و

$$T_i = \frac{T_{i+1} + \rho_i\tanh(\lambda h_i)}{1 + T_{i+1}\tanh(\lambda h_i)/\rho_i} , \qquad T = T_1 .$$

في حالة طبقتين، مع $k = (\rho_2 - \rho_1)/(\rho_2 + \rho_1)$،

$$\frac{\rho_a}{\rho_1} = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} k^n \left[1 + \left(\frac{2nh_1}{s}\right)^2\right]^{-3/2} ,$$

مجموع صور المصدر في الحدّ الفاصل وفي السطح.

يُقبل الشكل التكاملي؛ وتنتج متسلسلة الطبقتين من المبرهنة 31.9 بطريقة الصور، ويُعكس المصدر مرارًا وتكرارًا، بعامل $k$ في كلّ مرّة، في الحدّ الفاصل وفي السطح.

قضية 31.12 (غطاء موصل فوق قاعدة عازلة)

إذا كانت طبقات ذات ناقلية طولية كلّية $S = \sum_i h_i/\rho_i$ تستقرّ على قاعدة أشدّ مقاومةً بكثير، فإنّ المقاومية الظاهرية لشلمبرجر عند مسافاتٍ أكبر بكثير من الغطاء تساوي $\rho_a = s/S$: خطًّا مستقيمًا ميله واحد على المخطط اللوغاريتمي، ويعطي $S$ دون السماكات والمقاوميات كلّ على حدة.

قضية 31.13 (قانون آرتشي)

صخرٌ نظيف (خالٍ من الطَّفل) مشبَّع تمامًا بماءٍ مقاومتُه $\rho_w$ يكون له المقاومية

$$\rho = a\,\rho_w\,\phi^{-m} ,$$

حيث $\phi$ هي المسامية، و$a$ معامل يقارب عادةً $1$ و$m$ أسّ التلاحم، ويتراوح عادةً بين $1.3$ و$2.8$ عندما $a = 1$. والنسبة $F = \rho/\rho_w$ تمثّل عامل التكوين.

هذا هو قانون آرتشي، وهو علاقة تجريبية وضعها آرتشي عام 1942؛ ليس لها برهان، بل مدى صلاحية فحسب. وهي تحوّل مقاومية إلى مسامية متى عُرفت مقاومية الماء، وعدم اليقين في $m$ هو الأكبر في النتيجة.

31.4 المسح الزلزالي الانكساري والرادار في الميدان

المسح الزلزالي الانكساري الوارد في الفصل 2 هو الوسيلة الأخرى لبلوغ عمق طبقة لدى الجيوفيزيائي الميداني: خطٌّ من المستقبلات الزلزالية، وسقوطُ ثقلٍ بوصفه المصدر، وأولُ الوصولات المرسومة بدلالة الإزاحة، التي تعطي ميولها السرعات، وتعطي مقاطعها أعماقَ الطبقات الانكسارية. وفوق قاع فاردن سيُرصد قمّةَ الغرانيت، وهو أسرع من أيّ رواسب تعلوه؛ وهو لا يستطيع أن يرصد طبقةً أبطأ من التي فوقها، وهذه هي النقطة العمياء للطريقة.

تعريف 31.14 (الرادار المخترق للأرض؛ المخطط الراداري)

الرادار المخترق للأرض يرسل نبضات قصيرة من الموجات الراديوية، يتراوح ترددها من نحو $100\,\mathrm{MHz}$ إلى $1\,\mathrm{GHz}$ ومدد تبلغ بضعَ نانوثوانٍ، من هوائيٍّ على سطح الأرض، ويسجّل الأصداء الناتجة عن تباينات السماحية الكهربائية والموصلية أسفله. المخطط الراداري هو عرض للآثار المسجّلة جنبًا إلى جنب على طول المقطع، حيث يزداد زمن الانتقال ذهابًا وإيابًا نحو الأسفل.

قضية 31.15 (سرعة الرادار والانعكاس والاختراق)

في تربةٍ غيرِ مغناطيسية، تكون ناقليتها $\sigma$ صغيرةً مقارنةً مع $\omega\varepsilon$، ينتقل نبض الرادار بالسرعة

$$V = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} ,$$

يعكس سطحٌ فاصلٌ بين السماحيتين النسبيتين $\varepsilon_1$ و$\varepsilon_2$ عند السقوط العمودي الكسرَ $R = (\sqrt{\varepsilon_1} - \sqrt{\varepsilon_2})/(\sqrt{\varepsilon_1} + \sqrt{\varepsilon_2})$ من السعة، وتنخفض السعة بعامل $\mathrm{e}$ عبر عمق الجلد

$$\delta = \frac{2}{\sigma}\sqrt{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r}{\mu_0}} \approx 0.0053\,\mathrm{S}\times\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\sigma} .$$

تتراوح السرعات من $0.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$ في الهواء إلى نحو $0.15$ في الرمل الجاف، و$0.13$ في الغرانيت، و$0.06$ في الرمل المشبع أو الطين، حيث تغلب سماحية الماء. والعمق المفيد يساوي نحو ثلاثة أعماق جلد: ففي الحجر الجيري ذي السماحية 6 والموصلية $1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$، يبلغ عمق الجلد نحو $13\,\mathrm{m}$، وفي الطين ذي السماحية 20 والموصلية $10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$ نحو $2.4\,\mathrm{m}$. وتُرصد الطبقة إذا كان سمكها على الأقل ربعَ طول موجة، لذا تعطي الترددات الأعلى صورًا أدقَّ للأرض الأقل عمقًا.

قضية 31.16 (القطع الزائد للحيود)

يُحرَّك هوائي على امتداد السطح فوق جسم مدفون صغير عند $(x_p, d)$، في وسط سرعته $V$، يسجّل صداه عند زمن الذهاب والإياب

$$t(x) = \frac{2}{V}\sqrt{(x - x_p)^2 + d^2} ,$$

وهو قطع زائد قمّته $t_0 = 2d/V$ فوق الجسم. وأيّ نقطة أخرى $(x, t)$ منه تعطي $V = 2|x - x_p|/\sqrt{t^2 - t_0^2}$، ومنه $d = Vt_0/2$.

31.5 المعالجة وعدم اليقين

يحمل كلّ عدد في المسح خطأً، ويضيف الاختزال أخطاء التصحيحات إلى خطأ القراءة. وإذا كانت الأخطاء مستقلّة، فإنّ تبايناتها تُجمع.

طريقة 31.17 (ميزانية الخطأ)

1. عدّد المصادر المستقلّة لخطأ القيمة المختزلة: القراءة، الموضع والارتفاع، والكثافة أو القابلية المغناطيسية المفترضة، ونموذج الانجراف أو التغيّر اليومي، والتضاريس.
2. حوّل كلًّا منها إلى وحدة النتيجة بضربه في مشتقّة الاختزال بالنسبة إليه.
3. اجمع المربّعات، ثم خُذ الجذر التربيعي.
4. قارن المجموع بمقدار الشذوذ المطلوب: فإن كان أكبر فحسّن الحدّ الأكبر أوّلًا.

يُحكم على النموذج بمدى إعادته إنتاج البيانات، ويجب أن يزن المقياس كلّ معطى بعدم يقينه.

تعريف 31.18 (عدم تطابق البيانات)

عدم التطابق لنموذج مع $N$ من المعطيات $d_i$ ذات الانحرافات المعيارية $\sigma_i$ هو

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^N\left(\frac{d_i - d_i^{\,\mathrm{model}}}{\sigma_i}\right)^2 .$$

يُفسّر النموذج المعطيات ضمن حدود أخطائها إذا كان $\chi^2$ قريبًا من $N$؛ وقيمة أكبر بكثير تعني أنّ النموذج خاطئ، وقيمة أصغر بكثير تعني أنّه يُطابق الضجيج.

تصغير عدم التطابق هو المربعات الصغرى المرجَّحة المُشار إليها في الفصل 1. وتكمن صعوبة طرائق الحقول الكامنة في أنّ نماذج كثيرة تبلغ عدم التطابق نفسه. وخارج الجسم، جاذبيّته تُماثل جاذبيةَ عدد لا نهائي من غيره: فكلّ كرة لها الفائض الكتلي نفسه والمركز نفسه تعطي الشذوذ نفسه مهما كان نصف قطرها، وكثافتها؛ وخريطة الجاذبية تحدّد الفائض الكتلي، لا الشكل؛ والسبر فوق غطاء ناقل يحدّد الموصلية $S$، لا السماكات؛ وشذوذ القاطع الرقيق يحدّد الجداء $\kappa t$، لا $\kappa$ و$t$ منفصلين. ويختار القلب من بين النماذج المتكافئة بإضافة معلومات: كثافة مقيسة على العيّنات، وعمق من ثقب حفر، وملاسة مفروضة على النموذج. وأوثق إضافة هي طريقة أخرى حسّاسة لخاصية أخرى: ترى الجاذبية الكثافة، والمغناطيسية المغنتيت، والمقاومية الماء، والرادار السماحية، وكلّ منها يرى ما تُغفله الأخرى.

31.6 مشروع رسم الخرائط

في الميدان — أسبوع في الوادي

يوزّع طاقم مسح فاردن أسبوعه على الطرائق. يحمل أحد الأعضاء مقياس الجاذبية حول شبكة من المحطات تفصل بينها $200\,\mathrm{m}$ وتُسوّى عند كلّ منها، بينما يمسح زميل له الارتفاعات بمستقبل ساتلي؛ وكلّ ساعتين يعودون إلى محطة القاعدة عبر الجسر. ويُترك مقياس المغناطيسية عند محطة قاعدة بعيدة عن خطّ الكهرباء والطريق، يسجّل طوال النهار، بينما يُحمل جهاز ثانٍ سيرًا على طول الخطوط. وفي قاع الوادي يمدّ اثنان آخران الكابل، يغرزان الأقطاب الفولاذية في الرواسب الغرينية ويوسّعان سبرًا من بضعة أمتار إلى مئتين؛ ويُجرّ رادار صغير على عربة مسارًا على قاع الوادي. وفي المساء تُختزل القراءات، وتُختار خطوط اليوم التالي انطلاقًا من خرائط اليوم السابق.

مثال 31.19 (مسح فاردن)

تُظهر خريطة الجاذبية انخفاضًا مغلقًا بنحو $-2.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ مركزه في الغرانيت، ممتدّ شمال–جنوب: فالغرانيت الخفيف يمتدّ تحت الغطاء، وأطول ما يكون في ذلك الاتجاه. ويمتدّ الانخفاض نحو $1\,\mathrm{km}$ من الانكشاف، لذا يتّسع الجسم مع العمق. ويعطي نصف عرضه عمقًا أوّليًا لكرة مكافئة؛ وتُظهر نماذج لها جانب رأسي وقاع أنّ قاعًا يقع بين واحد وعدّة كيلومترات في العمق يفسّر القمّة بالقدر نفسه، ضمن بضعة أعشار من المليغال، فيبقى القاع مجهولًا—وهو اللاوحدانية في القسم السابق. وعلى قاع الوادي فوق الغرانيت، يبدأ السبر عند مقاومية الحصى الجاف، ويهبط حيث يدخل التيار الرواسب الغرينية المشبعة بالماء، ثم يرتفع على طول خط مستقيم ميله واحد: غطاء ناقل فوق قاعدة شديدة المقاومية، هي الغرانيت، على عمق بضعة أمتار. ويُظهر الرادار المجرور على القاع نفسه صدًى مستويًا عند نحو $20\,\mathrm{ns}$: منسوب المياه الجوفية. أمّا الخطّ المغناطيسي عبر الجناح الغربي للطية، حيث الغطاء سميك ويقع الشيست القاعدي على عمق مئتي متر تقريبًا، ويسجّل ذروةً متناظرة بمقدار نحو $20\,\mathrm{nT}$ لا تفسّرها أيّ خريطة: قاطعًا مافيًا غنيًا بالمغنتيت، مطمورًا تحت الغطاء؛ وامتداده على طول خط الزوال المغناطيسي هو سبب تناظر الشذوذ. ويصف الجيوفيزيائيون ذلك بأنّه قاطع من الدولوريت ينقطع عند عدم التوافق، والذي يُخفيه غطاء الخريطة. وتختزل مسألة نهاية الأسبوع بيانات المسح.

31.7 التمارين

تمرين 31.1 ★

(أ) ما الكسر من $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ الذي تمثّله $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؟ (ب) بأيّ مقدار يجب رفع مقياس الجاذبية حتى تتغيّر قراءته بمقدار $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ بتأثير الهواء الحر وحده؟ (ج) بتأثير الهواء الحر وبوغير معًا، عند كثافة $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$؟

حل

حل التمرين 31.1.

(أ) $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، و$10^{-7}/9.81 = 1.0 \times 10^{-8}$: جزء واحد من مئة مليون.

(ب) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$، أي نحو $3.2\,\mathrm{cm}$.

(ج) يغيّر التأثيران معًا الجاذبية بمقدار $0.1967\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$، وهو الفرق $0.3086 - 0.1119$، لذا يجب أن يتغيّر الارتفاع بمقدار $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$.

تمرين 31.2 ★

كرة نصف قطرها $50\,\mathrm{m}$ وتباين كثافتها $+500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ومركزها على عمق $100\,\mathrm{m}$. احسب الكتلة الفائضة، وذروة شذوذها، ونصف عرضه $x_{1/2}$.

حل

حل التمرين 31.2.

$\Delta m = \tfrac43\pi(50\,\mathrm{m})^3\times500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 2.62 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$. تبلغ القمّة $G\Delta m/z^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times2.62 \times 10^{8}/10^{4} = 1.75 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, أي $0.175\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. نصف العرض هو $x_{1/2} = z/1.305 = 77\,\mathrm{m}$.

تمرين 31.3 ★

ترتيب ونر ذو التباعد $a = 10\,\mathrm{m}$ يحقن $0.1\,\mathrm{A}$ ويقيس $0.239\,\mathrm{V}$. (أ) احسب العامل الهندسي والمقاومية الظاهرية. (ب) بيّن أنّ ترتيب شلمبرجر الذي فيه $s = 15\,\mathrm{m}$ و$l = 5\,\mathrm{m}$ له العامل الهندسي نفسه، واشرح السبب.

حل

حل التمرين 31.3.

(أ) بفرض $AM = MN = NB = a$، فإنّ $K = 2\pi/(1/a - 1/2a - 1/2a + 1/a) = 2\pi a = 62.83\,\mathrm{m}$، و$\rho_a = 62.83\times0.239/0.1 = 150\,\Omega\mathrm{m}$. (ب) $K = \pi(15^2 - 5^2)/(2\times5) = \pi\times 200/10 = 62.83\,\mathrm{m}$. تقع الأقطاب عندئذٍ عند $0$، $10$، $20$ و$30\,\mathrm{m}$، بالترتيب AMNB: وهي ترتيب فينر ذو تباعد $10\,\mathrm{m}$.

تمرين 31.4 ★

للغرانيت $\varepsilon_r = 5$. (أ) احسب سرعة الرادار. (ب) يقع كسر على عمق $10\,\mathrm{m}$: احسب زمن الذهاب والإياب لصداه. (ج) مع $\sigma = 1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$، احسب عمق الاختراق والعمق المفيد، أي نحو ثلاثة أعماق اختراق. (د) قارن مع طين رطب ذي $\varepsilon_r = 20$ و$\sigma = 10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$.

حل

حل التمرين 31.4.

(أ) $V = 0.2998/\sqrt5 = 0.134\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. (ب) $t = 2\times10/0.134 = 149\,\mathrm{ns}$. (ج) $\delta = 0.0053\sqrt5/10^{-3} = 11.9\,\mathrm{m}$، وعمق مفيد نحو $36\,\mathrm{m}$. (د) في الطين $\delta = 0.0053\sqrt{20}/0.01 = 2.4\,\mathrm{m}$، وعمق مفيد نحو $7\,\mathrm{m}$، وسرعة لا تتعدّى $0.067\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. ويبقى التقريب صالحًا هنا: عند $100\,\mathrm{MHz}$، $\omega\varepsilon = 2\pi\times10^{8}\times20\times8.85 \times 10^{-12} = 0.11\,\mathrm{S}\,\mathrm{m}^{-1}$، أي عشرة أمثال $\sigma$.

تمرين 31.5 ★★

(أ) استنتج شذوذ أسطوانة أفقية طويلة نصف قطرها $R$ وتباين كثافتها $\Delta\rho$، ومحورها على عمق $z$، انطلاقًا من شذوذ كتلة خطّية، وبيّن أنّ $z = x_{1/2}$. (ب) تعطي أسطوانة وكرة الذروة نفسها ونصف العرض نفسه $x_{1/2} = 100\,\mathrm{m}$. قارن عمقيهما. أيّ التفسيرين يعطي الجسم الأعمق؟

حل

حل التمرين 31.5.

(أ) تملك الأسطوانة $\lambda = \pi R^2\Delta\rho$ لكلّ وحدة طول، ووخارجها تكون جاذبيتها كجاذبية كتلة خطية على محورها (مبرهنة غاوس على أسطوانة متحدة المحور): $\Delta g = 2G\pi R^2\Delta\rho\,z/(x^2 + z^2)$. يبلغ نصف القمّة عندما $x^2 + z^2 = 2z^2$، إذن $z = x_{1/2}$. (ب) تقع الكرة عند $1.305\times100 = 130\,\mathrm{m}$، والأسطوانة عند $100\,\mathrm{m}$: المقطع نفسه، إذا قُرئ ككرة، يضع الجسم أعمق بنسبة $30\,\%$. يتناقص شذوذ الكرة أسرع مع المسافة، لذا يجب أن تكون الكرة أعمق لتكون بالاتساع نفسه.

تمرين 31.6 ★★

شذوذ بوغير لنموذج غرانيت فاردن، مأخوذًا كلّ $100\,\mathrm{m}$ على خريطة من $1120$ نقطة تغطّي $3.5\,\mathrm{km} \times 3.2\,\mathrm{km}$، ومجموعه $-438\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (أ) احسب عجز الكتلة بتطبيق القضية 31.6. (ب) عجز كتلة النموذج هو $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. ما الكسر الذي تستعيده الخريطة، وأين يقع الباقي؟

حل

حل التمرين 31.6.

(أ) تمثّل كل نقطة مساحة $100\,\mathrm{m}\times100\,\mathrm{m} = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$، إذن $\iint\Delta g\,\mathrm{d}A \approx -438 \times 10^{-5}\times10^{4} = -43.8\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$، و$\Delta m = -43.8/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}) = -1.04 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. (ب) $1.04/1.74 = 60\,\%$. يقع الباقي في أطراف الشذوذ خارج الخريطة: يصل الغرانيت إلى عمق يزيد على كيلومتر، وشذوذ جزئه العميق يتناقص ببطء مع المسافة. ويؤدي توسيع الخريطة بما يكفي، أو بنموذج، إلى استعادته.

تمرين 31.7 ★★

(أ) لقاطع رقيق قمّته على عمق $30\,\mathrm{m}$. باستعمال قاعدة الثلاث قراءات لكلّ نصف عرض، حيث نصف العرض هو العرض الكامل للشذوذ عند نصف ذروته، ما تباعد المحطات الذي يحتاجه؟ (ب) والأمر نفسه لقمّة على عمق $220\,\mathrm{m}$. (ج) لماذا لا يستطيع مسح واحد تمييز الجسمين الضحل والعميق معًا إلّا إذا صُمّم المسح لأجل الضحل؟

حل

حل التمرين 31.7.

(أ) بالنسبة إلى القاطع الرفيع، يهبط الشذوذ إلى نصف قمّته عند $x = \pm z$: يبلغ عرضه الكامل عند نصف القمّة $2z = 60\,\mathrm{m}$، وثلاث قراءات عبره تحتاج إلى تباعد لا يزيد على $20\,\mathrm{m}$. (ب) $2\times 220/3 = 147\,\mathrm{m}$. (ج) يتناسب تباعد المحطات المطلوب مع عمق أقرب جسم مهم: إن مسحًا مصمَّمًا للقاطع العميق عند $150\,\mathrm{m}$، سيُشوّه شذوذ القاطع الضحل، الذي لا يزيد عرضه على $60\,\mathrm{m}$؛ والمسح المصمَّم للجسم الضحل يرى القاطع العميق أيضًا، بقراءات كثيرة تفوق ما يحتاجه.

تمرين 31.8 ★★

حجر رملي مشبع بماء مقاومته $8\,\Omega\mathrm{m}$ له مقاومة تساوي $80\,\Omega\mathrm{m}$. (أ) مع $a = 1$ و$m = 2$، احسب مسامّيته. (ب) كرّر مع $m = 1.8$ و$m = 2.2$. أيّ حدّ في القياس يتحكّم في عدم اليقين في المسامية؟

حل

حل التمرين 31.8.

(أ) $F = 80/8 = 10$ و$\phi = F^{-1/m} = 10^{-1/2} = 0.316$. (ب) $10^{-1/1.8} = 0.278$ و$10^{-1/2.2} = 0.351$. ويؤدي تغيّرٌ قدره $0.2$ في $m$ إلى تحريك المسامية بنحو أربع نقاط مئوية؛ أما قيم المقاومية، المقاسة بدقة بضعة بالمئة، فتحرّكها أقل بكثير. أُسّ التلاحم يتحكّم في عدم اليقين، ويجب معايرته على عيّنات من الصخر نفسه.

تمرين 31.9 ★★

(أ) احسب الحدود الثلاثة الأولى من المتسلسلة ذات الطبقتين الواردة في القضية 31.11 عند $s = 2h_1$ من أجل $k = 0.5$ و$k = -0.5$، والمقاوميات الظاهرية التي تعطيها. (ب) ما نهايات $\rho_a/\rho_1$ من أجل $s \ll h_1$ و$s \gg h_1$؟ (ج) ما نسب المقاومية $\rho_2/\rho_1$ التي تناظر $k = \pm 0.5$؟

حل

حل التمرين 31.9.

(أ) عند $s = 2h_1$، و$(2nh_1/s)^2 = n^2$، فتكون الحدود $k^n(1 + n^2)^{-3/2}$: $0.3536k$، $0.0894k^2$، $0.0316k^3$. عند $k = 0.5$: $0.1768$، $0.0224$، $0.0040$، و$\rho_a/\rho_1 \approx 1 + 2\times0.2031 = 1.406$ (يعطي المجموع الكامل $1.409$). عند $k = -0.5$ تتناوب الحدود في الإشارة، $-0.1768 + 0.0224 - 0.0040$، و$\rho_a/\rho_1 \approx 0.683$ (المجموع الكامل $0.685$). (ب) عند $s \ll h_1$ تتلاشى كل الحدود و$\rho_a \to \rho_1$، وعند $s \gg h_1$ يؤول كل قوس إلى 1 و$1 + 2\sum k^n = 1 + 2k/(1 - k) = (1 + k)/(1 - k) = \rho_2/\rho_1$. (ج) $\rho_2/\rho_1 = (1 + k)/(1 - k) = 3$ و$1/3$.

تمرين 31.10 ★★★

(أ) استنتج العامل الهندسي لترتيب فينر من المبرهنة 31.9. (ب) استنتج العامل المناظر لترتيب شلمبرجر، وبيّن أنّ $\rho_a \to 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ عندما $l/s \to 0$. (ج) بكم يبالغ العامل التقريبي $\pi s^2/(2l)$ في تقدير العامل الدقيق عندما $l = s/10$؟

حل

حل التمرين 31.10.

(أ) بالترتيب AMNB وبتباعد $a$: $AM = a$، $BM = 2a$، $AN = 2a$، $BN = a$، فيكون القوس $2/a - 1/a = 1/a$ و$K = 2\pi a$. (ب) بوضع A وB عند $\mp s$ وM وN عند $\mp l$: $AM = BN = s - l$، $BM = AN = s + l$، ويكون القوس $2/(s - l) - 2/(s + l) = 4l/(s^2 - l^2)$، و$K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$. عندما $l \ll s$، فإنّ $\Delta V_{MN} \approx 2l\,E$ حيث $E = 2(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)$ عند المركز، أي حقل القطبين الكهربائيين؛ ثم $\rho_a = K\Delta V/I \to \pi s^2/(2l)\times 4l(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I = 2\pi s^2(- \mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I$. (ج) نسبة العامل التقريبي إلى العامل الدقيق هي $s^2/(s^2 - l^2) = 1/(1 - 0.01) = 1.010$: أي واحد بالمئة.

تمرين 31.11 ★★★

تقع محطة على ارتفاع $50\,\mathrm{m}$ فوق القاعدة، وقراءتها دقيقة حتى $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، وارتفاعها حتى $5\,\mathrm{cm}$؛ وعدم اليقين في كثافة صفيحة بوغير يبلغ $100\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، وفي تصحيح التضاريس بمقدار $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (أ) أعدّ ميزانية الخطأ لشذوذ بوغير الخاص بها. (ب) أيّ حدّ يهيمن، وأيّ حدّ ينبغي تحسينه لرصد شذوذ قدره $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؟ (ج) ما المجموع من دون حدّ التضاريس؟

حل

حل التمرين 31.11.

(أ) القراءة: $0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. الارتفاع: $0.1967\times0.05 = 0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. الكثافة: تصحيح بوغير هو $0.04191\,h\,d$ مع $d$ بالوحدة $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$، لذا $0.04191\times50\times0.1 = 0.210\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. التضاريس: $0.200\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. المجموع: $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2 + 0.200^2} = 0.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (ب) تهيمن الكثافة والتضاريس، كلٌّ منهما نحو عشرين ضعف خطأ القراءة. ولرصد $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، يجب قياس كثافة اللوح المندس على عيّنات أو تُضبط بملاءمتها للبيانات (القيمة التي تعكس الطبوغرافيا بأقل قدر ممكن)، ويُصحَّح تأثير التضاريس انطلاقًا من نموذج ارتفاع دقيق. (ج) $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2} = 0.21\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

تمرين 31.12 ★★★

قراءات الجاذبية الخمس عبر جسم مدفون، عند $x = -600$، $-300$، $0$، $300$ و$600\,\mathrm{m}$، هي $-0.69$، $-2.17$، $-4.16$، $-2.10$ و$-0.73\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، كلّ منها بانحراف معياري $\sigma = 0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (أ) بالنسبة إلى نماذج الكرة المتمركزة تحت $x = 0$ على أعماق $300$، $400$ و$500\,\mathrm{m}$، اختر الكتلة التي تطابق القراءة المركزية، واحسب مربّع عدم التطابق $\chi^2$ لكلّ منها. (ب) أيّ نموذج يطابق البيانات ضمن أخطائها؟ (ج) هل يمكن لجسم بشكل آخر يطابقها بالقدر نفسه؟ ما الذي سيحسم الأمر؟

حل

حل التمرين 31.12.

(أ) الكتلة التي تطابق القراءة المركزية هي $\Delta m = \Delta g(0)z^2/G = -4.16 \times 10^{-5}z^2/6.674 \times 10^{-11}$: $-5.61 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ عند $300\,\mathrm{m}$، $-9.97 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ عند $400\,\mathrm{m}$، $-1.56 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$ عند $500\,\mathrm{m}$. القراءات المتوقعة عند $x = \pm300$ و$\pm600$ هي $-1.47$ و$-0.37$، $-2.13$ و$-0.71$، $-2.62$ و$-1.09\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. وقيم عدم التطابق هي $\chi^2 = 1238$، $3.7$ و$856$. (ب) لا يقع ضمن حدود الخطأ إلا النموذج عند $400\,\mathrm{m}$، مع $\chi^2 = 3.7$ لخمس بيانات. (ج) نعم: أيّ جسم متناظر كرويًا بالكتلة نفسها والمركز نفسه يعطي الشذوذ نفسه تمامًا، ويمكن لأشكال أخرى أن تقع ضمن حدود الأخطاء. كثافة تُقاس على عيّنات، أو في ثقب حفر، أو بطريقة أخرى هي التي ستحسم الأمر.

31.8 مسألة: الأجسام المخفية في تلال فاردن

مسألة 31.1

مسألة نهاية الأسبوع — اختزال مسح فاردن

استخدم $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$، وتدرّج الهواء الحر $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$، ومعامل بوغير $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ (الكثافة $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$).

الجزء الأول — حلقة الجاذبية. تُعطي الحلقة على المقطع الجاذبي القراءات (بالمليغال بعد المعايرة، والارتفاعات بالمتر، والأزمنة بالساعات بعد الساعة 09:00):

المحطة	القاعدة	$3.0\,\mathrm{km}$	$3.5\,\mathrm{km}$	$4.0\,\mathrm{km}$	القاعدة
الزمن	0	0.5	0.9	1.3	2.0
الارتفاع	176.1	149.0	145.5	158.0	176.1
القراءة	2846.512	2851.075	2850.497	2849.392	2846.708

1. احسب معدّل انجراف الحلقة.
2. صحّح قراءات المحطات الثلاث من أجل الانجراف، وعبّر عنها بالنسبة إلى القاعدة.
3. طبّق تصحيحي الهواء الحر وبوغير لفروق الارتفاع، واحسب شذوذ بوغير لكلّ محطة بالنسبة إلى القاعدة.
4. كان الانجراف الآلي وحده $0.040\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$. ما الذي سبّب بقية التغيّر عند القاعدة، ولماذا يمكن إزالته مع الانجراف؟
5. يعطي النموذج الذي أُخذت منه القراءات الشذوذات الثلاثة بالنسبة إلى القاعدة: $-0.825$، $-2.131$ و$-0.825\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. احسب أخطاء الاختزال. والارتفاعات في الجدول مُقرَّبة إلى $0.1\,\mathrm{m}$: ما الخطأ الذي يمكن أن يُدخله هذا التقريب، وهل يفسّر ذلك الأخطاء؟
6. ما دقّة الارتفاع التي تُبقي الشذوذ المختزل ضمن $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؟ لماذا تطلب أدلّة المسح $3.3\,\mathrm{cm}$، وهو رقم أكثر صرامة؟

الجزء الثاني — شذوذ الغرانيت. على طول المقطع يبلغ الشذوذ أدنى قيمة له، $-2.293\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، عند $x = 3.50\,\mathrm{km}$، ويمرّ بنصف تلك القيمة عند $x = 3.048$ و$3.952\,\mathrm{km}$. يملك نموذج الغرانيت تباينًا في الكثافة مقداره $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، وسطح الأرض عند المركز على ارتفاع $145.5\,\mathrm{m}$ فوق مستوى سطح البحر.

7. احسب نصف العرض $x_{1/2}$ وعمق مركز الكرة المكافئة.
8. احسب عجز كتلة تلك الكرة، ونصف قطرها من أجل تباين الكثافة للغرانيت. ما الغريب في النتيجة؟
9. يبلغ مركز كتلة النموذج $864\,\mathrm{m}$ تحت سطح الأرض، وعجز كتلته $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. لماذا تعطي قاعدة نصف العرض جسمًا أقلّ عمقًا وأخفّ كتلةً؟
10. أسطوانة رأسية لها المساحة نفسها للغرانيت عند عدم التوافق ونصف قطرها $461\,\mathrm{m}$. احسب شذوذها على المحور من أجل قمّة عند سطح الأرض وقاع عند عمق $1645\,\mathrm{m}$، ومن أجل عمق غير محدود.
11. أوجد، بالتجربة أو بالحل، عمق القاع الذي تعطي عنده هذه الأسطوانة الشذوذ المرصود $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.
12. احسب شذوذ الأسطوانة وقمّتها على عمق $6\,\mathrm{m}$ (القاع $1645\,\mathrm{m}$). هل تستطيع الجاذبية أن تبيّن ما إذا كان الغرانيت يصل إلى السطح تحت الرواسب الفيضية؟

الجزء الثالث — قاع الوادي. يُعطي السبر الكهربائي بترتيب شلمبرجر على القاع فوق الغرانيت (نصف المسافة $s$ بالأمتار، $\rho_a$ بوحدة $\Omega\mathrm{m}$):

$s$	1	2	4	6	10	20	30	40
$\rho_a$	577	526	387	350	449	821	1309	1684

على مقطع راداري على امتداد القاع نفسه، يعطي أنبوبٌ قطعًا زائدًا قمّته عند $10.7\,\mathrm{ns}$، وزمنًا قدره $17.1\,\mathrm{ns}$ على بُعد $1\,\mathrm{m}$ جانبًا؛ ويصل صدًى مسطّح عند $20.0\,\mathrm{ns}$.

13. عند $s = 20\,\mathrm{m}$ كان طول MN هو $2\,\mathrm{m}$، وكان التيار $50\,\mathrm{mA}$. احسب العامل الهندسي وفرق الجهد المقيس.
14. احسب سرعة الرادار، والسماحية النسبية للرواسب الفيضية وعمق الأنبوب.
15. الصدى المسطّح هو منسوب المياه الجوفية. ما عمقه؟
16. قدّر الموصلية $S$ للرواسب الفيضية من القراءات عند 20، 30 و$40\,\mathrm{m}$.
17. للرواسب الفيضية الجافة مقاومية $600\,\Omega\mathrm{m}$، وللرواسب الفيضية المشبعة $222\,\Omega\mathrm{m}$. احسب سمك الطبقة المشبعة من الرواسب الفيضية وعمق قمّة الغرانيت. هل التقدير مرتفع أم منخفض، ولماذا؟
18. مقاومية المياه الجوفية $20\,\Omega\mathrm{m}$. احسب مسامية الرواسب الفيضية بقانون آرتشي عند $m = 2$، ومدى $m$ بين $1.3$ و$2.8$.

الجزء الرابع — الخط المغناطيسي. يمتدّ الخط شرقًا من $x = 1.70\,\mathrm{km}$، محطة كل $50\,\mathrm{m}$ وكل دقيقتين؛ وسجّلت محطة القاعدة في الدقائق نفسها. أمّا القراءات، بعد طرح $48\,000\,\mathrm{nT}$، فهي:

$x$ (كم)	1.70	1.75	1.80	1.85	1.90	1.95	2.00	2.05	2.10	2.15	2.20
الخط	3.4	4.8	6.3	8.1	10.3	12.8	15.8	19.2	22.9	26.2	28.0
القاعدة	0.0	0.7	1.5	2.2	2.9	3.6	4.3	5.0	5.7	6.4	7.0
$x$ (كم)	2.25	2.30	2.35	2.40	2.45	2.50	2.55	2.60	2.65	2.70
الخط	27.7	25.8	23.3	20.9	19.0	17.6	16.6	15.9	15.5	15.2
القاعدة	7.6	8.2	8.8	9.4	9.9	10.4	10.9	11.3	11.7	12.1

المجال الرئيسي يبلغ $48\,000\,\mathrm{nT}$، ويميل بزاوية $65{}^{\circ}$.

19. طبّق التصحيح اليومي، وأعطِ الشذوذ المصحَّح عند كل محطة.
20. بيّن أنّه بدون التصحيح لا ينخفض الشذوذ أبدًا إلى نصف قمّته على الجانب الشرقي.
21. حدّد القمّة والنقطتين اللتين يساوي فيهما الشذوذ المصحَّح نصف القمّة بالاستيفاء الخطي، واحسب نصف العرض.
22. الشذوذ متناظر. ماذا يدلّ ذلك على امتداد الجسم، وأيّ نوع من الأجسام تفترضه قاعدة نصف العرض؟
23. احسب الجداء $\kappa t$ للقابلية المغناطيسية والسماكة. إذا كان القاطع دولريتًا قابليته المغناطيسية $0.03$، فما مقدار سماكته؟
24. هل كانت المحطات متقاربة بما يكفي؟
25. أعطِ عمق قمّة القاطع المدفون تحت سطح الأرض، مقرّبًا إلى أقرب عشرة أمتار، وقارنه بعمق عدم التوافق في النموذج الجيولوجي للمنطقة، البالغ $222\,\mathrm{m}$ عند هذه النقطة.

حل

حل المسألة 31.1.

1. $(2846.708 - 2846.512)/2.0\,\mathrm{h} = 0.098\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$.

2. $2851.075 - 0.098\times0.5 - 2846.512 = 4.514\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2850.497 - 0.088 - 2846.512 = 3.897\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2849.392 - 0.127 - 2846.512 = 2.753\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

3. الارتفاعات فوق القاعدة هي $-27.1$، $-30.6$ و$-18.1\,\mathrm{m}$؛ وبإضافة $0.1967\,\Delta h$ تُعطي شذوذات بوغير $-0.817$، $-2.122$ و$-0.808\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. المحطات أدنى من القاعدة وأقرب إلى مركز الأرض، لذا تكون قراءاتها الخام أعلى؛ ويزيل التصحيح ذلك ويُبقي انخفاضًا فوق الغرانيت.

4. الفرق الإضافي $0.098 - 0.040 = 0.058\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$، $0.12\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ على امتداد الحلقة هو المدّ الأرضي الصلب. خلال ساعتين يتغيّر تقريبًا تغيّرًا خطيًا، لذا يُزال مع الانجراف بمستقيم يمرّ بقراءتي القاعدتين.

5. الأخطاء هي $0.008$، $0.009$ و$0.017\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. قد يجعل تقريب كل ارتفاع إلى $0.1\,\mathrm{m}$ فرقَ الارتفاع خاطئًا بمقدار يصل إلى $0.1\,\mathrm{m}$، أي $0.020\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: يفسّر التقريب الأخطاء، أمّا المدّ المتبقي بعد المستقيم فدون $0.001\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

6. $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$. أمّا $3.3\,\mathrm{cm}$ الواردة في الكتيّبات فتساوي $0.01/0.3086$: لا يتعلّق شذوذ الهواء الحر بالكثافة المختارة لتصحيح بوغير، ويجب أن يخدم الارتفاع ذلك أيضًا.

7. $x_{1/2} = (3.952 - 3.048)/2 = 0.452\,\mathrm{km}$، و$z = 1.305 \times452 = 590\,\mathrm{m}$ تحت سطح الأرض.

8. $\Delta m = \Delta g\,z^2/G = -2.293 \times 10^{-5}\times590^2/ 6.674 \times 10^{-11} = -1.20 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. مع $\Delta\rho = -130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ يبلغ حجمه $9.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$ ونصف قطره $603\,\mathrm{m}$، أكبر من عمق مركزه، فالكرة ستبرز من سطح الأرض. لا توجد كرة بتباين كثافة الغرانيت تطابق القياسات؛ فيجب أن يبلغ الجسم قرب السطح.

9. يمتدّ الغرانيت من السطح إلى عمق كبير. أمّا جزؤه الضحل الواقع قرب المحطات فيجعل القمّة ضيّقة، والقاعدة التي لا تعرف إلا العرض، تضع كرةً واحدة عند عمق متوسط؛ والجزء العميق يضيف جوانب عريضة تفتقر إليها الكرة (انظر شكل المقطع)، والكتلة التي تحويها تغيب عن الحساب.

10. $2\pi G\Delta\rho = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times(-130) = -5.45 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}^{-2}$. مع $z_1 = 0$، $z_2 = 1645\,\mathrm{m}$، $a = 461\,\mathrm{m}$: القوس يساوي $1645 + 461 - 1708.4 = 397.6\,\mathrm{m}$، و$\Delta g = -2.17\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. أمّا عند عمق غير محدود فيؤول القوس إلى $a$، و$\Delta g = -2.51\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

11. يجب أن يكون القوس $2.29/5.45 \times 10^{-3} = 420\,\mathrm{m}$، وهو ما يعطيه قاع عند نحو $2.6\,\mathrm{km}$. وأيّ قاع بين نحو $1.6\,\mathrm{km}$ وعمقٍ غير محدود يغيّر القمّة بأعشار قليلة من الميليغال فقط، وجسم أعرض قليلًا أو أكثف يعطي القمّة نفسها بقاع أقرب إلى السطح، فالقاع غير محسوم.

12. مع $z_1 = 6\,\mathrm{m}$: $1639 + 461.0 - 1708.4 = 391.6$، و$\Delta g = -2.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، بأقلّ بمقدار $0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ من حالة القمّة عند سطح الأرض. وهو دون أخطاء التضاريس والكثافة في المسح: لا تستطيع الجاذبية أن تحدّد هل يصل الغرانيت إلى السطح تحت الطمي. أمّا السبر فيستطيع ذلك.

13. $K = \pi(20^2 - 1^2)/(2\times1) = 626.7\,\mathrm{m}$، و$\Delta V = \rho_a I/K = 821\times0.050/626.7 = 65.5\,\mathrm{mV}$.

14. $V = 2\times1/\sqrt{17.1^2 - 10.7^2} = 2/13.34 = 0.150\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$، $\varepsilon_r = (0.2998/0.150)^2 = 4.0$، أي رمل جاف؛ والأنبوب على عمق $0.150\times10.7/2 = 0.80\,\mathrm{m}$.

15. $0.150\times20.0/2 = 1.50\,\mathrm{m}$.

16. $20/821 = 0.0244$, $30/1309 = 0.0229$, $40/1684 = 0.0238$: $S \approx 0.0237\,\mathrm{S}$.

17. تُسهم الطبقة الجافة بمقدار $1.5/600 = 0.0025\,\mathrm{S}$، أمّا المشبعة فبمقدار $0.0212\,\mathrm{S}$، لذا يكون سمكها $0.0212\times222 = 4.7\,\mathrm{m}$، ويقع الغرانيت على عمق $1.5 + 4.7 = 6.2\,\mathrm{m}$ تحت القاع. التقدير مرتفع: الغرانيت ليس لا نهائي المقاومية، لذا عند هذه المسافات ما زال $\rho_a$ دون الخط $s/S$، و$s/\rho_a$ يُبالغ في تقدير $S$. (يتضمّن نموذج المنطقة $6\,\mathrm{m}$ من الطمي.)

18. $\phi = (20/222)^{1/2} = 0.30$. مع $m = 1.3$، $\phi = 0.0901^{1/1.3} = 0.16$؛ ومع $m = 2.8$، $\phi = 0.42$.

19. بطرح القاعدة من الخط نحصل، من الغرب إلى الشرق: 3.4, 4.1, 4.8, 5.9, 7.4, 9.2, 11.5, 14.2, 17.2, 19.8, 21.0, 20.1, 17.6, 14.5, 11.5, 9.1, 7.2, 5.7, 4.6, 3.8 و$3.1\,\mathrm{nT}$.

20. قبل التصحيح، تبلغ القمّة $28.0\,\mathrm{nT}$ عند $2.20\,\mathrm{km}$، ونصفها، $14.0\,\mathrm{nT}$، لا يُبلغ أبدًا إلى الشرق: ينتهي الخط عند $15.2\,\mathrm{nT}$، لأنّ الحقل ارتفع بمقدار $12\,\mathrm{nT}$ أثناء السير.

21. القمّة هي $21.0\,\mathrm{nT}$ عند $2.20\,\mathrm{km}$؛ ونصفها هو $10.5\,\mathrm{nT}$. غربًا: بين $9.2$ عند $1.95$ و$11.5$ عند $2.00\,\mathrm{km}$، عند $1.95 + 0.05\times1.3/2.3 = 1.978\,\mathrm{km}$. شرقًا: بين $11.5$ عند $2.40$ و$9.1$ عند $2.45\,\mathrm{km}$، عند $2.40 + 0.05\times1.0/2.4 = 2.421\,\mathrm{km}$. نصف العرض هو $(2.421 - 1.978)/2 = 0.221\,\mathrm{km}$.

22. الشذوذ المتناظر في حقل مائل بزاوية $65{}^{\circ}$ يعني أنّ المغنطة الرأسية وحدها هي المؤثّرة: يمتدّ الجسم على امتداد خط الزوال المغناطيسي، شمال–جنوب. وتفترض القاعدة الواردة في القضية 31.8 أنّ القاطع رقيق، عمودي، ثنائي البعد يمتدّ عميقًا إلى الأسفل، ممغنط بالحثّ، وتعمل قمّته بوصفها خطًّا من الشحنة المغناطيسية.

23. $\kappa t = 2\pi z\,\Delta T_\mathrm{max}/(F\sin^2 I) = 2\pi\times 221\times21.0/(48000\times0.8214) = 0.74\,\mathrm{m}$. مع $\kappa = 0.03$، $t = 25\,\mathrm{m}$. الجداء وحده هو المحدّد، فقاطع ضعف السماكة بنصف القابلية المغناطيسية يعطي الشذوذ نفسه.

24. عرض الشذوذ عند نصف قمّته $443\,\mathrm{m}$، والمحطات تبعد $50\,\mathrm{m}$ عن بعضها: تسع قراءات عبره، أي ثلاثة أمثال الحدّ الأدنى الذي تشترطه القاعدة.

25. قمّة القاطع $220\,\mathrm{m}$ تحت سطح الأرض. ويضع النموذج الجيولوجي عدم التوافق على عمق $222\,\mathrm{m}$ عند هذه النقطة: ويرتفع القاطع حتى قاعدة الغطاء ويُقطع عندها، وهو أقدم من الحجر الرملي الترياسي الذي يدفنه.