1علم الزلازل والتصوير الأرضي

في 22 مايو 1960، عند الساعة 19:11 بالتوقيت العالمي، كسر أكبرُ زلزال سُجّل منذ 1900، منطقةَ الاندساس قبالة جنوب تشيلي، بمقدار 9.5.

وصلت موجات P إلى محطات في الجانب البعيد من الكوكب بعد نحو عشرين دقيقة؛ وطافت موجاتها السطحية حول الكرة الأرضية عدّة مرات؛ ولأيام بعدها سجّلت أبطأ الأجهزة الأرضَ كلّها تهتزّ بدورات قريبة من ساعة، كجرسٍ مضروب. وتحمل كلّ من هذه الإشارات معلومات عن الصخور التي عبرتها. ومن أزمنة وصول ملايين من موجةٍ، تُقرأ في آلاف المحطات، بنى الزلزاليون لا النموذجَ الطبقيّ للأرض المذكورَ أدناه فحسب، بل صورًا ثلاثية الأبعاد للوشاح، تظهر فيها الألواحُ المندسّة والأعمدةُ الصاعدة مناطقَ تسير فيها الموجات أسرع قليلًا أو أبطأ من المتوسط. يبيّن هذا الفصل كيف: تنتقل الأشعّة في أرض كروية، وكيف تسبر الموجات السطحية القشرةَ والوشاحَ عبر تشتّتها، وكيف تُوصف الذبذبات الحرّة للكوكب بأكمله، وكيف تتحوّل بضعة آلاف من أزمنة الانتقال إلى صورةٍ بحلّ مسألة عكسية خطية.

ما تعرفه من قبل

في جسم صلب مرن متماثل الخواص تنتقل نوعان من الموجات الجسمية: موجات P، بسرعة $\alpha = \sqrt{(K + \tfrac43\mu)/\rho}$، وموجات S بسرعة $\beta = \sqrt{\mu/\rho}$، حيث $K$ و$\mu$ معاملا الحجم والقصّ و$\rho$ الكثافة؛ لا تعبر موجات S السائلَ (من كتب الفيزياء، مجلد السنة الثالثة، في الفصل المتعلّق بمرونة الأوساط المتصلة). تُسمّى الموجة التي تتوقف سرعتها الطورية على ترددها موجةً مشتّتة؛ وتنتقل طاقتها بسرعة الزمرة $U = \mathrm d\omega/\mathrm dk$ (من كتب الفيزياء، مجلد السنة الثانية، في الموجات). يهتزّ جسم مرن محدود اهتزازًا حرًّا وفق مجموعة منفصلة من الأنماط العادية (المجلد نفسه). المسافة الإبيسنترية $\Delta$ لمحطة هي الزاوية عند مركز الأرض بين الإبيسنتر والمحطة؛ ويعطي منحنى زمن الانتقال زمنَ الوصول الأول بدلالة $\Delta$، وتُحدث النواةُ منطقةَ ظلّ لموجات P المباشرة (الكتاب 2، الصف 11). والنموذجُ المرجعيّ للأرض، والانقطاعاتُ الزلزالية وموجةُ الرأس، قد عُرضت في مجلد السنة الأولى، في فصله عن الأرض الطبقية. وتنتمي المربعات الصغرى وقانون الأخطاء الغوسي إلى كتب الرياضيات.

1.1 الأشعّة في أرض كروية

تُتبَع جبهةُ الموجة الزلزالية، بعيدًا عن مصدرها وفي وسط تتغيّر خواصه ببطء على مدى طول موجة، بأشعّتها: وهي المنحنيات العمودية في كل مكان على جبهة الموجة، والتي تنتقل عليها الطاقة. وفي وسط ذي سرعة منتظمة تكون الأشعّة مستقيمة؛ وحيث تتغيّر السرعة تنحني بحسب قانون سنل للانكسار. وفي الأرض تتعلّق السرعات أساسًا بالعمق، ولذلك يكون النموذج الأول متماثلًا كرويًّا: السرعة $v(r)$ للموجة المدروسة (P أو S) دالةٌ لنصف القطر $r$ وحده.

مبرهنة 1.1 (قانون سنل في أرض كروية)

في أرض متماثلة كرويًّا ذات سرعة موجية $v(r)$، ليكن $i$ الزاوية بين شعاعٍ ونصف القطر عند النقطة التي نصف قطرها $r$. على طول الشعاع كلّه،

$$\frac{r\sin i}{v(r)} = p$$

يبقى ثابتًا.

تعريف 1.2 (معامل الشعاع، نقطة الانعطاف)

الثابت $p = r\sin i/v(r)$ للشعاع في أرض متماثلة كرويًّا هو معامل الشعاع، ويُقاس بالثانية لكل راديان. وعند السطح يكون $p = R\sin i_0/v_0$، حيث $i_0$ زاوية الإقلاع و$v_0$ السرعة عند السطح. النقطة التي يصبح عندها الشعاع أفقيًّا ($i = 90{}^{\circ}$) هي نقطة انعطاف الشعاع، عند نصف القطر $r_t$ حيث

$$\frac{r_t}{v(r_t)} = p .$$

تحته يصعد الشعاع ثانيةً، متماثلًا حول نصف القطر المارّ بنقطة الانعطاف.

نكتب $\eta(r) = r/v(r)$. لا يمكن أن يوجد شعاع معامله $p$ إلا حيث $\eta \ge p$، لأنّ $\sin i = p/\eta \le 1$. فإذا تناقصت $\eta$ مع العمق، كما يحدث عبر معظم الوشاح، ينعطف كل شعاع عند العمق الذي تنخفض عنده $\eta$ إلى $p$، وتنعطف الأشعّة التي تغادر بانحدار أشدّ (أصغر $p$) على عمق أكبر. وحيث تتزايد $\eta$ مع العمق، لأنّ السرعة تنخفض بحدّة مع العمق (يحدث ذلك عند الحدّ بين اللبّ والوشاح، حيث تنخفض سرعة P من 13.7 إلى $8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$)، فلا يمكن لأيّ شعاع أن ينعطف: تنحني الأشعّة إلى الأسفل، وتعبر الطبقة ثم تخرج بعيدًا. ويُلقي مثل هذا القفز ظلًّا على السطح.

يمكن استنتاج معامل الشعاع لا من كونه ثابتًا للشعاع فحسب، بل من منحنى زمن الانتقال كذلك.

مبرهنة 1.3 (ميل منحنى زمن الانتقال)

ليكن $T(\Delta)$ زمن انتقال شعاع من مصدر سطحي إلى محطة سطحية على بعد مركزي $\Delta$ (بالراديان). عندئذٍ

$$\frac{\mathrm dT}{\mathrm d\Delta} = p ,$$

هو معامل الشعاع الواصل إلى $\Delta$.

تمثّل المبرهنة الصيغة الكروية للعلاقة $\mathrm dT/\mathrm dx = 1/c$ بين ميل منحنى زمن الانتقال والسرعة الظاهرية $c$ على السطح. يمكن كتابة الدالتين $T(p)$ و$\Delta(p)$ بوصفهما تكاملين على مقطع السرعة.

قضية 1.4 (زمن الانتقال والمسافة بوصفهما تكاملين)

مع كون $\eta = r/v(r)$ متناقصًا مع العمق، فإنّ الشعاع ذا المعامل $p$ الذي ينعطف عند $r_t$ يبلغ

$$\Delta(p) = 2\int_{r_t}^{R}\frac{p\,\mathrm dr}{r\sqrt{\eta^2 - p^2}}, \qquad T(p) = 2\int_{r_t}^{R}\frac{\eta^2\,\mathrm dr}{r\sqrt{\eta^2 - p^2}},$$

وزمن القطع $\tau(p) = T - p\Delta$ هو $\tau(p) = 2\int_{r_t}^{R}\sqrt{\eta^2 - p^2}\,\mathrm dr/r$.

تُحسب بهذه التكاملات جداول أزمنة الانتقال انطلاقًا من نموذج. ويُجري برنامج تتبّع الأشعة في هذا الفصل الحساب نفسه بجمعٍ على قشور بسماكة $2\,\mathrm{km}$ من النموذج المرجعي PREM، ويتحقّق منه بطريقتين: في كرة ذات سرعة ثابتة، حيث الأشعة أوتار، و$T = 2R\sin(\Delta/2)/v$ تمامًا (التمرين 5)، والمبرهنة 1.3، وهي المبرهنة التي لا يستعملها البرنامج.

يبيّن الشكل أعلاه ما تتنبّأ به المبرهنات. أشدّ شعاع في الوشاح الذي يكاد يمسّ اللبّ يبلغ $98.5{}^{\circ}$ في PREM؛ والشعاع التالي، الأشدّ بجزء من الدرجة، يدخل اللبّ فيُنكسر نحو نصف القطر، ويخرج من الجهة المقابلة، بعد $140{}^{\circ}$. وبرسم الزمن مقابل المسافة لكلّ شعاع نحصل على منحنيات زمن الانتقال الواردة أدناه.

تبلغ أزمنة انتشار P المحسوبة عبر PREM $273.5\,\mathrm{s}$ عند $20{}^{\circ}$، $369.6\,\mathrm{s}$ عند $30{}^{\circ}$، و$607.2\,\mathrm{s}$ عند $60{}^{\circ}$ و$779.7\,\mathrm{s}$ عند $90{}^{\circ}$: ثلاث عشرة دقيقة لقطع ربع الكرة الأرضية.

وتختلف أزمنة الوصول الفعلية عن مثل هذا المنحنى ببضع ثوانٍ على الأكثر، وهذه الثواني القليلة هي بيانات التصوير المقطعي (انظر القسم 1.5).

تعريف 1.5 (جدول أزمنة الانتقال)

جدول أزمنة الانتقال يعطي، لكلّ طور زلزالي (P، S، PKP، PcP، …) ولكلّ عمق للمصدر، زمنَ الانتقال بوصفه دالّةً للمسافة المركزية، محسوبًا من نموذج مرجعي متماثل كرويًّا عُدِّلت سرعاتُه نفسُها لتلائم أزمنةَ مجموعةٍ كبيرةٍ من الزلازل المحدَّدة المواقع جيدًا. وتمثّل فروقها عن وصولٍ مرصود نقطةَ الانطلاق لتحديد موقع الزلزال وللتصوير المقطعي.

تُحسب الجداول المستخدمة اليوم من نماذج مرجعية بُنيت لهذا الغرض. ففي النموذج ak135 مثلًا، للقشرة طبقتان، بسرعتَي P و S تبلغان 5.80 و$3.46\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ فوق $20\,\mathrm{km}$، و6.50 و$3.85\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ حتى الموهو عند $35\,\mathrm{km}$، حيث يبدأ الوشاح بسرعتَي 8.04 و$4.48\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ ويقع حدُّ اللبّ–الوشاح عند $2891.5\,\mathrm{km}$، وحدُّ اللبّ الداخلي عند $5153.5\,\mathrm{km}$.

ويصف مؤلّفوه أنفسُهم الوشاحَ العلويّ بوصفه بناءً اصطناعيًّا صُمِّم ليلائم الأزمنةَ حتى $30{}^{\circ}$، فهو متوسّطٌ لا يمثّل البنيةَ تحت أيّ مكان بعينه.

قضية 1.6 (قلب هيرغلوتس–فيشرت)

لنفترض أنّ $\eta = r/v(r)$ يتناقص تناقصًا صارمًا مع العمق عبر أنصاف الأقطار المأخوذة كعيّنات، ومنحنى زمن الانتقال $T(\Delta)$ معلوم، فيكون $p(\Delta) = \mathrm dT/\mathrm d\Delta$ معلوم. فالشعاع ذو المعامل $p_1$، الذي يبلغ السطح عند $\Delta_1$، وينعطف عند نصف القطر

$$r_1 = R\,\exp\!\left(-\frac1\pi\int_0^{\Delta_1} \operatorname{arccosh}\frac{p(\Delta)}{p_1}\,\mathrm d\Delta\right),$$

حيث السرعةُ $v(r_1) = r_1/p_1$. ويستعيد انعكاس هيرغلوتس–فيشرت $v(r)$ بهذه الطريقة، نقطةً بنقطة، من منحنى زمن الانتقال.

تنشأ الصيغة من تكامل $\Delta(p)$ الوارد في القضية 1.4، وهو معادلة تكامل آبل للدالة المجهولة $r(\eta)$؛ ويُسلَّم بقلبها هنا دون برهان. ويتحقّق منها التمرينُ 12 على الكرة المتجانسة. وتقيّدها شرطان. يتطلّب الأوّل أن يتناقص $\eta$ مع العمق، فطبقةٌ منخفضة السرعة تُحدث فجوةً في منحنى زمن الانتقال، ولا يستطيع القلب أن يرى داخل الطبقة. ويتطلّب الثاني المنحنى كلَّه، بما فيه الفروع المتأخّرة من كلّ تثلّث، التي يصعب تمييزها على المخطّط الزلزالي. وهذه القيود هي السبب في أنّ النماذج المرجعية تُبنى اليوم بالنمذجة الأمامية والمربعات الصغرى (انظر القسم 1.4).

1.2 الموجات السطحية

يحبس السطحُ الحرّ الموجات. وقرب سطح نصف فضاء، يمكن لحركتَي P و S في المستوي الشاقولي للانتشار أن تتركّبا في موجةٍ تسير على طول السطح وتخفت مع العمق؛ وحيث تقع طبقةٌ بطيئة فوق صخرٍ أسرع، تُحبس موجات القصّ الأفقية في الطبقة بالانعكاس الكلّي.

تعريف 1.7 (موجة رايلي، موجة لوف)

موجة رايلي هي موجة سطحية تقع فيها حركة الجسيمات في المستوي الشاقولي الذي يحوي اتّجاه الانتشار: حركةُ P وحركةُ S المستقطبةُ شاقوليًّا تقترنان بالسطح الحرّ، مع حركةِ جسيمات إهليلجيّة رجعيّةٍ عند سطح نصف فضاء متجانس، التي تتناقص سعتُها مع العمق على نحو طول موجة واحد. أمّا موجة لوف هي موجة سطحية تكون فيها حركة الجسيمات أفقيّةً وعموديّةً على اتّجاه الانتشار: موجات S المستقطبة أفقيًّا والمحبوسة في طبقاتٍ أبطأ من الصخر الذي تحتها.

على نصف فضاء متجانس مع $\lambda = \mu$ (جسم بواسون) تسير موجة رايلي بسرعة $0.9194\,\beta$ ولا تتشتّت (التمرين 6). أمّا موجة لوف فلا يمكن أن توجد على نصف فضاء متجانس البتّة: فهي تحتاج إلى التطبّق، وتقع سرعتُها بين سرعة S في الطبقة وفي الصخر الذي تحتها.

مبرهنة 1.8 (تشتّت موجات لوف في طبقة فوق نصف فضاء)

طبقةٌ سماكتها $H$ ومعامل القصّ $\mu_1$ وسرعة S فيها $\beta_1$ تقع فوق نصف فضاء معامل قصّه $\mu_2$ وسرعة S فيه $\beta_2 > \beta_1$. تنتشر موجة لوف ذات التردّد الزاوي $\omega$ والعدد الموجي $k$ بسرعة الطور $c = \omega/k$، $\beta_1 < c < \beta_2$، إذا وفقط إذا

$$\tan\!\left(kH q_1\right) = \frac{\mu_2 q_2}{\mu_1 q_1}, \qquad q_1 = \sqrt{\frac{c^2}{\beta_1^2} - 1},\quad q_2 = \sqrt{1 - \frac{c^2}{\beta_2^2}} .$$

النمط الأساسي هو الجذر الذي يحقّق $0 < kHq_1 < \pi/2$؛ أمّا التوافقيّات فيكون لها $kHq_1$ واقعًا في $(n\pi, n\pi + \pi/2)$.

من أجل دورٍ معطى تُحلّ المعادلة لإيجاد $c$ بالتنصيف؛ وتُستنتج سرعة الزمرة من $U = \mathrm d\omega/\mathrm dk$. أمّا عند الأدوار القصيرة ($kH$ كبيرة) يقترب الجذر من $c = \beta_1$: تعيش الموجة في الطبقة. وعند الأدوار الطويلة ($kH \to 0$) يجب أن يكون $kHq_1 \to 0$ مع صغر الطرف الأيمن أيضًا، وهذا يفرض $c \to \beta_2$: تصل الموجة عميقًا في نصف الفضاء وتنتشر بسرعته. وبين الحالتين تزداد سرعة الطور باطّراد مع الدور.

تعريف 1.9 (تشتّت الموجات السطحية)

تشتّت الموجات السطحية هو اعتماد سرعتي الطور والزمرة لموجة رايلي أو لوف على دورها. وفي أرضٍ ذات طبقات ينشأ لأنّ الموجة ذات الدور الأطول تصل إلى عمق أكبر (نحو ثلث طول الموجة في النمط الأساسي) وتتوسّط صخرًا أسرع؛ وتُقاس منحنيات التشتّت $c(T)$ و$U(T)$ بين زلزالٍ ومحطّة أو بين محطّتين، وتُعكس لاستخراج سرعة S بوصفها دالةً للعمق.

في هذا النموذج تبلغ سرعة الطور عند $20\,\mathrm{s}$ القيمة $3.79\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ وعند $100\,\mathrm{s}$ القيمة $4.444\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ وسرعتا الزمرة هما 3.384 و$4.333\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. على مخطط زلزالي سُجّل على بعد بضعة آلاف من الكيلومترات، تصل الأدوار الطويلة أوّلًا وتصل موجات $20\,\mathrm{s}$ أخيرًا، فتمتدّ سلسلةُ الموجات إلى تذبذب طويل يتناقص ببطء. ويؤدّي قياسُ سرعة الزمرة عند أدوار كثيرة على امتداد مسارات عديدة إلى خرائط لسمك القشرة وللوشاح الأعلى، مستقلّةً عن أزمنة انتقال الموجات الجسمية.

1.3 الأرض ترنّ: الأنماط العادية

تملك الموجة السطحية ذات الدور الطويل جدًّا طول موجة مماثلًا لنصف قطر الأرض؛ فهي تجوب الكرة الأرضية وتلتقي بنفسها. والموجات التي تتداخل تداخلًا بنّاءً هي الموجات الواقفة في الكرة كلّها، أي أنماطها العادية، وهي بعد زلزال كبير آخر إشارة تتلاشى. أمّا نظريتها، وهي مسألة قيم ذاتية للأرض المرنة ذاتية الجاذبية، فهي خارج نطاق هذا الفصل؛ أمّا وصفها فداخل فيه.

تكوّن أنماط الأرض ذات التماثل الكروي عائلتين. وفي الأنماط الحلقية، ${}_nT_\ell$، تكون الحركة أفقية، وهي التواء لقشرات كروية متجاورة ضد بعضها، دون تغيّر في نصف القطر أو الحجم: الموجات الواقفة لموجات لوف. وفي الأنماط الإهليلجية، ${}_nS_\ell$، تتضمّن الحركة مركّبة شعاعية وأخرى أفقية، فتتغيّر هيئة الأرض: الموجات الواقفة لموجات رايلي، المقترنة بالموجات الجسمية وبالجاذبية. ودليل $\ell$ هو الدرجة الزاوية، أي عدد الخطوط العقدية لنمط السطح؛ و$n$ يعدّ عُقد الحركة بدلالة نصف القطر، حيث $n = 0$ للنمط الأساسي. ويمدّد النمط الإهليلجي الأخفض، ${}_0S_2$، الأرض بالتناوب إلى مجسّم إهليلجي مستطيل ثم مفلطح؛ أمّا النمط الحلقي الأخفض، ${}_0T_2$، يلتوي نصفا الكرة الشمالي والجنوبي في اتجاهين متعاكسين. وأدوارها المرصودة هي:

كلّ دور هو متوسّط على الكوكب كلّه لمعاملاته المرنة وكثافته، موزونًا بموضع حركة النمط: الأنماط الحلقية لا تستشعر إلّا الوشاح الصلب والقشرة، أمّا الأنماط الإهليلجية فتستشعر اللبّ أيضًا. ويُعدّ ملاءمة أدوار مئات الأنماط هي الوسيلة الزلزالية الوحيدة لتقييم باطن الأرض: فهي تقيّد الكثافة لا السرعات وحدها، وقد بُني PREM ليلائم هذه الأدوار معًا مع أزمنة الانتقال. ويقسّم دوران الأرض وتفلطحها كلّ نمط من الدرجة $\ell$ إلى $2\ell + 1$ ترددات مختلفة قليلًا، وذلك نظير تأثير زيمان.

لمحة تاريخية — الأرض بعد الزلزال التشيلي

سجّل الزلزال التشيلي عام 1960 بمقاييس زلزالية نواسية ذات دور طويل وبمقاييس الانفعال، وهي أجهزة تقيس تغيّر طول قضيب أو سلك أفقي طويل مثبّت في الصخر. وأظهر التحليل الطيفي لبضعة أيام من التسجيل ذروات حادّة عند الأدوار المتوقّعة للأنماط الأخفض: فقد اهتزّت الأرض كلّها، وتحقّقت تنبّؤات النظرية المرنة لأرض كروية ذاتية الجاذبية. أمّا تسجيل مقياس الانفعال في إيزابيلا بكاليفورنيا، فقد أُعيد تحليله عام 1978 بطرائق أحدث، فأظهر بوضوح انشطار ${}_0T_3$، ${}_0T_4$، ${}_0S_4$ و${}_0S_5$ بفعل دوران الأرض وتفلطحها، وأكّد أنّ انشطار ${}_0S_2$ و${}_0S_3$ يجري على النحو نفسه.

ولدت زلزالية الأنماط العادية من زلزال واحد، وهي تعتمد اليوم على شبكات المحطات فائقة العرض الترددي التي تسجّل كلّ زلزال كبير.

1.4 المسائل العكسية الخطّية

تحسب كلّ طريقة وردت في هذا الفصل حتى الآن البيانات انطلاقًا من نموذج. أمّا مهمّة التصوير فهي العكس.

تعريف 1.10 (المسألة المباشرة، المسألة العكسية)

ليكن نموذج الأرض موصوفًا بالمتجهة $\mathbf m$ المؤلّفة من $M$ وسيطًا والرصدات بالمتجهة $\mathbf d$ المكوّنة من $N$ معطًى. أمّا المسألة المباشرة فهي حساب المعطيات $\mathbf d = g(\mathbf m)$ التي يُنتجها نموذج معطى وفق نظرية فيزيائية. أمّا المسألة العكسية فهي تقدير النموذج من معطيات تحمل أخطاءً، $\mathbf d = g(\mathbf m) + \mathbf e$، وتحديد مدى جودة تعيين كلّ جزء من النموذج. وتكون المسألة خطّية عندما يكون $g(\mathbf m) = \mathsf G\mathbf m$ من أجل المصفوفة الثابتة $N\times M$ $\mathsf G$، وتُسمّى النواة.

يُعدّ تركيب مستقيم عبر أزمنة الانتقال مسألةً عكسيةً خطّيةً ذات $M = 2$ (التمرين 7)؛ أمّا التصوير المقطعي بأزمنة الانتقال فمسألة ذات آلاف من الوسطاء. وتنشأ ثلاث حالات. إذا كان $N > M$ وقيّدت المعطيات كلّ وسيط، تكون المسألة فائضة التحديد: لا يُطابق أيّ نموذج كلّ معطًى تطابقًا تامًّا، ويُبحث عن الأفضل بالمعنى الإحصائي. وإذا تركت تركيبةٌ ما من الوسطاء المعطيات دون تغيير ($\mathsf G\mathbf m_0 = \mathbf 0$ من أجل متجهة $\mathbf m_0 \ne \mathbf 0$ ما)، فإنّ المسألة ناقصة التحديد في ذلك الاتجاه، ولا كمّية من المعطيات من هذا النوع تستطيع تثبيته. والمسائل الواقعية مختلطة: فائضة التحديد في بعض أجزاء النموذج وناقصة التحديد في أجزاء أخرى.

مبرهنة 1.11 (تقدير المربعات الصغرى الموزونة)

ليكن $\mathbf d = \mathsf G\mathbf m + \mathbf e$، حيث الأخطاء $\mathbf e$ ذات متوسّط صفري، ومصفوفة التغاير $\mathsf C_d$ (قطرية $\sigma_i^2$ من أجل الأخطاء المستقلّة). وإذا كانت المصفوفة $\mathsf N = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathsf G$ قابلة للعكس، فإنّ النموذج الذي يُصغّر عدم التطابق

$$\chi^2(\mathbf m) = (\mathbf d - \mathsf G\mathbf m)^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1} (\mathbf d - \mathsf G\mathbf m)$$

هو تقدير المربعات الصغرى الموزونة

$$\hat{\mathbf m} = \mathsf N^{-1}\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathbf d ,$$

فهو غير متحيّز، ومصفوفة تغايره هي $\mathsf C_{\hat m} = \mathsf N^{-1}$.

تفعل الأوزان ما يطلبه الحدس: معطًى نصف خطئه يُحسب وزنه أربعة أمثال. وتمنح مصفوفة التغاير كلّ وسيط خطأه المعياري $\sqrt{(\mathsf N^{-1})_{jj}}$ والارتباطات بينها. إذا كان النموذج صحيحًا والأخطاء غاوسية، فإنّ الحدّ الأدنى $\chi^2$ يتبع قانون $\chi^2$ بدرجات حرّية $N - M$: قيمة أعلى بكثير من $N - M$ تعني أنّ الأخطاء قُدِّرت بأقلّ من قيمتها، أو أنّ النموذج أبسط من اللازم؛ وقيمة أدنى بكثير تعني أنّ الأخطاء قُدِّرت بأكبر من قيمتها.

عندما تكون $\mathsf N$ شاذّة أو قريبة منها، فلا يوجد التقدير أو يكون مسيطرًا عليه الضجيج المُضخَّم على الاتجاهات ضعيفة التقييد. والعلاج المعتاد هو طلب نموذج يطابق المعطيات بقدر معقول ولا يكون كبيرًا بلا داعٍ.

تعريف 1.12 (المربعات الصغرى المخمَّدة، منحنى المقايضة)

لوسيط التخميد $\varepsilon > 0$، فإنّ تقدير المربعات الصغرى المخمَّدة هو النموذج الذي يصغّر

$$\Phi_\varepsilon(\mathbf m) = \chi^2(\mathbf m) + \varepsilon^2\|\mathbf m\|^2 , \qquad \mathbf m_\varepsilon = \left(\mathsf N + \varepsilon^2\mathsf I\right)^{-1} \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathbf d .$$

ومنحنى المقايضة هو المنحنى المرسوم عند تغيّر $\varepsilon$، بالزوج (حجم النموذج $\|\mathbf m_\varepsilon\|$، عدم التطابق $\chi^2(\mathbf m_\varepsilon)$): التخميد الصغير يطابق المعطيات عن قرب مع نموذج كبير وخشن، والتخميد الكبير يعطي نموذجًا صغيرًا وتطابقًا ضعيفًا.

تُستنتج الصيغة كما في المبرهنة 1.11: التدرّج تدرّج الدالة $\Phi_\varepsilon$ هو $-2\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}(\mathbf d - \mathsf G\mathbf m) + 2\varepsilon^2\mathbf m$، و$\mathsf N + \varepsilon^2 \mathsf I$ قابلة للقلب دائمًا، لأنّ قيمها الذاتية هي قيم $\mathsf N$ (وكلّها $\ge 0$) مزيدةً بمقدار $\varepsilon^2$. ويُختار التخميد عادةً قرب كوع منحنى المقايضة، أو بحيث تكون $\chi^2$ قريبةً من عدد المعطيات، أي عدم التطابق المتوقّع من الأخطاء وحدها. والثمن أنّ التقدير لم يعد غير متحيّز.

تعريف 1.13 (مصفوفة استبانة النموذج)

لتقدير خطّي $\mathbf m_\varepsilon = \mathsf H_\varepsilon \mathbf d$ للنموذج $\mathbf m$ من المعطيات $\mathbf d = \mathsf G\mathbf m + \mathbf e$، فإنّ مصفوفة استبانة النموذج هي $\mathsf R = \mathsf H_\varepsilon\mathsf G$، بحيث

$$\mathbf m_\varepsilon = \mathsf R\,\mathbf m + \mathsf H_\varepsilon\mathbf e .$$

في حالة المربعات الصغرى المخمَّدة، $\mathsf R = (\mathsf N + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1} \mathsf N$. يبيّن الصفّ $j$ من $\mathsf R$ كيف يتوسّط تقدير الوسيط $j$ الوسائطَ الحقيقية؛ و$\mathsf R = \mathsf I$ يعني استبانة تامّة.

إذا امتلكت $\mathsf N$ متجهات ذاتية متعامدة منظَّمة $\mathbf u_k$ وقيمًا ذاتية $\lambda_k$، فإنّ $\mathsf R = \sum_k \frac{\lambda_k}{\lambda_k + \varepsilon^2} \mathbf u_k\mathbf u_k^{\mathsf T}$: الاتجاهات التي تقيّدها المعطيات تقييدًا جيدًا ($\lambda_k \gg \varepsilon^2$) تمرّ بلا تغيير يُذكر، أمّا التي تقيّدها ضعيفًا فتُكبَح. ويعدّ أثر $\mathsf R$ الوسائطَ التي تستبينها المعطيات فعليًّا، وتغايُر التقدير $\mathsf H_\varepsilon\mathsf C_d\mathsf H_\varepsilon^{\mathsf T}$، يتقلّص بتقلّص الاستبانة نفسها: التخميد يقايض الاستبانة بالثبات.

1.5 التصوير المقطعي الزلزالي

تعريف 1.14 (التصوير المقطعي الزلزالي، باقي زمن الانتقال)

باقي زمن الانتقال لوصول ما هو زمن الانتقال المرصود ناقص الزمن المتنبَّأ به من نموذج مرجعي، $\delta t = T_{\text{مرصود}} - T_{\text{مرجعي}}$، بعد التصحيح لموقع المصدر وزمن البدء، وارتفاع المحطة، وإهليلجية الأرض. التصوير المقطعي الزلزالي هو تقدير الانحرافات ثلاثية الأبعاد لسرعات الموجات الزلزالية عن نموذج مرجعي، $\delta v(\mathbf x)$، انطلاقًا من مجموعة كبيرة من البواقي (أو من الأشكال الموجية)، بحلّ مسألة عكسية.

اكتب $s = 1/v$ للبطء. يُعطى زمن الانتقال على طول شعاع $\Gamma$ بالعلاقة $T = \int_\Gamma s\,\mathrm dl$؛ لكنّ الشعاع نفسه يتعلّق بالسرعات، ممّا يوحي بأنّ المسألة غير خطّية. الجواب من الرتبة الأولى أنّ ذلك لا يغيّر شيئًا.

قضية 1.15 (باقي زمن الانتقال المخطّى)

إذا اضطرب بطء النموذج المرجعي $s_0$ إلى $s_0 + \delta s$، فإنّ زمن الانتقال بين نقطتين ثابتتين يتغيّر، من الرتبة الأولى في $\delta s$، بالمقدار

$$\delta t = \int_{\Gamma_0}\delta s\,\mathrm dl ,$$

ويُؤخذ التكامل على طول الشعاع $\Gamma_0$ للنموذج المرجعي؛ وشذوذ السرعة النسبي هو $\delta v/v_0 = -\delta s/s_0$ من الرتبة نفسها.

قسّم المنطقة إلى $M$ خلية ذات اضطراب بطء منتظم $\delta s_j$. يصبح باقي الشعاع $i$ هو $\delta t_i = \sum_j L_{ij}\,\delta s_j$، حيث $L_{ij}$ طول الشعاع المرجعي $i$ في الخلية $j$: مسألة عكسية خطّية نواتها مصفوفة أطوال الأشعة، ومعظم مدخلاتها أصفار. البواقي صغيرة: ففي وشاح بسرعة $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، منطقة عرضها $200\,\mathrm{km}$ أسرع بنسبة $3\,\%$ تُقدّم شعاعًا رأسيًّا بنحو $0.7\,\mathrm{s}$ (التمرين 9).

طريقة 1.16 (تصوير مقطعي بأزمنة الانتقال)

1. اختر أزمنة وصول طور واحد (لنفترض P) في جميع المحطات، لزلازل يُعرف موقعها جيدًا؛ واحسب البواقي بالنسبة إلى جدول أزمنة انتقال، مع التصحيح للإهليلجية وارتفاع المحطة.
2. ارسم الأشعة المرجعية وقسّم المنطقة إلى خلايا (أو مدّد $\delta s$ على دوال ملساء)؛ واملأ مصفوفة أطوال الأشعة.
3. أعطِ كل باقٍ خطأه، انطلاقًا من دقّة الالتقاط، وحُلَّ مسألة المربعات الصغرى المخمَّدة لمدى من قيم التخميد؛ وارسم منحنى المقايضة واختر التخميد قرب ركنه.
4. اختبر الاستبانة: احسب البواقي التي يعطيها نموذج تركيبي معروف عبر الأشعة نفسها، وأضف ضجيجًا، وعكسها بالتخميد نفسه، ثم قارن.
5. فسّر الشذوذات التي يُظهر الاختبار أنّ الأشعة قادرة على استعادتها فقط، مع فهم سعاتها بوصفها حدودًا دنيا.

تعريف 1.17 (اختبار رقعة الشطرنج)

اختبار رقعة الشطرنج اختبار استبانة يكون فيه النموذج التركيبي نمطًا منتظمًا من خلايا متناوبة سريعة وبطيئة: تُحسب بواقٍ تركيبية عبر هندسة الأشعة الحقيقية، مع ضجيج بحجم الأخطاء الحقيقية، ثم تُعكس بالتقسيم نفسه والتخميد نفسه. حيث يُستعاد النمط، يمكن استبانة بنيات بذلك الحجم؛ وحيث يُمسح أو يضيع، فلا يمكن استبانتها.

تُجري الأشكال الآتية الاختبار على مقطع نموذج عرضه $800\,\mathrm{km}$ وعمقه $400\,\mathrm{km}$، مقسّم إلى 128 خلية، كل منها $50\,\mathrm{km}$. تقع عشرون منبعًا على قاعدته، واثنتان وثلاثون محطةً على قمّته، ولا تُستعمل إلا الأشعة التي تبعد عن الرأسي بمقدار $45{}^{\circ}$ على الأكثر: 480 شعاعًا كلّها تصعد بانحدار حادّ نحو الأعلى، وهي هندسة أشعة الزلازل البعيدة الصاعدة تحت شبكة. يتكوّن النموذج التركيبي من كتل مكوّنة من $2\times2$ خلية، أسرع أو أبطأ بنسبة $3\,\%$ حول $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ وتحمل البواقي ضجيجًا غوسيًّا قدره $0.05\,\mathrm{s}$.

يوضّح الاختبار الحدود الثلاثة لكلّ صورة تصويرية مقطعية. الاستبانة تحدّدها الأشعة: حيث تكون جميع الأشعة متوازية، يُمدَّد الشذوذ على طولها، وتكون الخلية التي تعبرها أشعة قليلة مقيَّدةً بالكاد. يخفّض التخميد السعات: الشذوذات المستعادة حدودٌ دنيا. ويتوقّف التصوير على النموذج المرجعي والتوسيط البارامتري: لا يُرسم إلا الانحرافات عن المرجع، ولا شيء أصغر من الخلية. مع هذه التحفّظات، تُظهر الصور العالمية لموجتَي P وS الألواحَ المندسّةَ من مجلد السنة الأولى (في فصله عن الاندساس) على هيئة مناطق سريعة لوحية تهبط من الخنادق، ويتسطّح بعضها فوق انقطاع 670-km، وينغرس بعضها الآخر في الوشاح السفلي؛ ومناطق بطيئة واسعة تحت المحيط الهادئ وأفريقيا فوق اللبّ، مع قنوات بطيئة أضيق تحت بعض البقع الساخنة، وهي المرشّحة لأعمدة الوشاح في المجلد نفسه.

في الميدان — محطة عريضة النطاق ونشر في قاع المحيط

المحطة الدائمة عريضة النطاق مكانٌ هادئ: يقف مقياس الزلازل على رصيفٍ خرسانيٍّ مثبَّتٍ بالصخر الأساسي في خزنةٍ مدفونةٍ أو نفقٍ قصير، تحت درعٍ حراريّ، لأنّ تيّارًا هوائيًّا أو تغيّرًا بمقدار بضعة أجزاء من مئة من الدرجة يُميل الجهاز أكثر من زلزال بعيد. مركّباته الثلاث، الرأسية والشمالية والشرقية، تُرقمَن باستمرار وتُرسَل إلى مركز البيانات مع ختمٍ زمنيّ مستمَدٍّ من القمر الصناعي. ولتصوير منطقةٍ تحت المحيط، يُلقي فريق المسح بدلًا من ذلك مقاييسَ الزلازل في قاع المحيط من سفينة: يغوص كلٌّ منها على مرساة، يسجّل لمدّة سنة على قاع البحر، ويعود إلى السطح حين تعود السفينة وترسل إشارةً صوتيةً لتحريره. ثم يقرأ الطاقم انحراف ساعته، ويصحّح التسجيلات، ويضيف آلاف أزمنة الوصول إلى التصوير المقطعي.

1.6 التمارين

تمرين 1.1 ★

يغادر شعاعُ P السطحَ ($R = 6371\,\mathrm{km}$، $v_0 = 5.80\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$) بمعامل الشعاع $p = 500\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$. (أ) احسب زاوية انطلاقه. (ب) يعطي PREM سرعات P تبلغ $11.066\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند عمق $771\,\mathrm{km}$ و$11.245\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $871\,\mathrm{km}$. احسب $r/v$ عند العمقين، ثم أوجد عمق انعطاف الشعاع بالاستيفاء الخطّي.

حل

حل التمرين 1.1.

(أ) $\sin i_0 = pv_0/R = 500\times5.80/6371 = 0.4552$، ومنه $i_0 = 27.1{}^{\circ}$. (ب) عند $771\,\mathrm{km}$، $r = 5600\,\mathrm{km}$ و$r/v = 5600/11.066 = 506.1\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$؛ عند $871\,\mathrm{km}$، $r = 5500\,\mathrm{km}$ و$r/v = 5500/11.245 = 489.1\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$. ينعطف الشعاع حيث $r/v = p = 500$: $z_t = 771 + 100\times(506.1 - 500)/(506.1 - 489.1) = 771 + 36 = 807\,\mathrm{km}$.

تمرين 1.2 ★

أزمنة P المحسوبة عبر PREM في هذا الفصل هي $369.6\,\mathrm{s}$ عند $30{}^{\circ}$ و$455.5\,\mathrm{s}$ عند $40{}^{\circ}$. (أ) قدّر ميل منحنى زمن الانتقال بينهما، بوحدة $\mathrm{s}$ لكلّ درجة وبوحدة $\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$. (ب) استنتج السرعة الظاهرية لجبهة الموجة على طول السطح، بوحدة $\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ج) ما سرعة P عند نقطة انعطاف الشعاع الواصل عند $35{}^{\circ}$، إذا كان ينعطف عند نصف القطر $5450\,\mathrm{km}$؟

حل

حل التمرين 1.2.

(أ) $(455.5 - 369.6)/10 = 8.59\,\mathrm{s}$ لكل درجة، و$8.59\times180/\pi = 492.2\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$. (ب) درجة القوس الواحدة تساوي $6371\pi/180 = 111.19\,\mathrm{km}$، ومنه تمسح الجبهة الموجية السطح بسرعة $111.19/8.59 = 12.94\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، أسرع بكثير من أيّ صخر عند السطح: يصل الشعاع بميل حادّ. (ج) عند نقطة الانعطاف $v = r_t/p = 5450/492.2 = 11.07\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، وهي سرعة موجة P في الوشاح السفلي.

تمرين 1.3 ★

في نموذج موجة لوف لهذا الفصل، للطبقة $\beta_1 = 3.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، $\rho_1 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ونصف الفضاء $\beta_2 = 4.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، $\rho_2 = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (أ) احسب معاملَي القصّ. (ب) عند $20\,\mathrm{s}$ تكون سرعة الطور $3.79\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: احسب طول الموجة وقارنه مع الطبقة سُمكها $35\,\mathrm{km}$. (ج) مع سرعتَي الزمرة $3.384\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $20\,\mathrm{s}$ و$4.333\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $100\,\mathrm{s}$، بكم دقيقةً تصل الموجات 20-s بعد الموجات 100-s إلى محطة تبعد $4000\,\mathrm{km}$؟

حل

حل التمرين 1.3.

(أ) $\mu_1 = \rho_1\beta_1^2 = 2700\times3500^2 = 3.31 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ ($33.1\,\mathrm{GPa}$); $\mu_2 = 3300\times4500^2 = 6.68 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ ($66.8\,\mathrm{GPa}$). (ب) $\lambda = cT = 3.79\times20 = 75.8\,\mathrm{km}$، أي 2.17 ضعف سمك الطبقة: تصل الموجة بعمق كبير داخل نصف الفضاء، وهذا ما يفسّر لماذا تتجاوز سرعتها $\beta_1$. (ج) $4000/3.384 = 1182\,\mathrm{s}$ و$4000/4.333 = 923\,\mathrm{s}$: تصل الموجات ذات الفترة 20 ثانية بتأخّر $259\,\mathrm{s}$ أي $4.3\,\mathrm{min}$، عن الموجات ذات الفترة 100 ثانية.

تمرين 1.4 ★

الأدوار المرصودة للنمطين ${}_0S_2$ و${}_0T_2$ هي $53.89\,\mathrm{min}$ و$44.01\,\mathrm{min}$. (أ) احسب ترددَيهما بوحدة $\mathrm{mHz}$. (ب) كم ذبذبةً من كلٍّ منهما تُنجزها الأرض في اليوم؟ (ج) لا يمكن فصل قمّتين طيفيّتين إلا إذا دام التسجيل على الأقلّ مقلوب فرق ترددَيهما. كم ينبغي أن يكون طول التسجيل لفصل هذين النمطين؟

حل

حل التمرين 1.4.

(أ) ${}_0S_2$: $1/(53.89\times60) = 3.093 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz} = 0.3093\,\mathrm{mHz}$؛ ${}_0T_2$: $1/(44.01\times60) = 0.3787\,\mathrm{mHz}$. (ب) $1440/53.89 = 26.7$ و$1440/44.01 = 32.7$ تذبذبًا في اليوم. (ج) الفرق هو $0.0694\,\mathrm{mHz}$، ومقلوبه $14\,400\,\mathrm{s}$: يلزم زمن تسجيل لا يقل عن $4.0\,\mathrm{h}$، وفي الممارسة يكون أطول بكثير، لأنّ القمم تتّسع بفعل التوهين وتنشطر.

تمرين 1.5 ★★

في كرةٍ نصف قطرها $R$ وسرعةٍ منتظمةٍ $v$، تكون الأشعة أوتارًا مستقيمة. (أ) بيّن أنّ الشعاع الواصل إلى $\Delta$ زمنُ انتقاله $T = 2R\sin(\Delta/2)/v$. (ب) مع $R = 6371\,\mathrm{km}$ و$v = 10.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، احسب $T$ عند $30{}^{\circ}$ و$90{}^{\circ}$، وقارِنه بأزمنة PREM، $369.6\,\mathrm{s}$ و$779.7\,\mathrm{s}$. (ج) فسّر لماذا الكرةُ المنتظمة أسرعُ من اللازم عند $30{}^{\circ}$ وأبطأُ من اللازم عند $90{}^{\circ}$.

حل

حل التمرين 1.5.

(أ) الوتر بين نقطتين من الكرة تفصل بينهما الزاوية $\Delta$ عند المركز يبلغ طوله $2R\sin(\Delta/2)$، ويُقطع بالسرعة $v$. (ب) عند $30{}^{\circ}$: $2\times6371\times\sin15{}^{\circ}/10.0 = 329.8\,\mathrm{s}$، مقابل $369.6\,\mathrm{s}$؛ عند $90{}^{\circ}$: $2\times6371\times\sin45{}^{\circ}/10.0 = 901.0\,\mathrm{s}$، مقابل $779.7\,\mathrm{s}$. (ج) ينعطف الشعاع المتّجه إلى $30{}^{\circ}$ في الوشاح العلوي، حيث تبلغ السرعة الحقيقية نحو 8 إلى $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، أدنى من القيمة المنتظمة $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ أمّا الشعاع المتّجه إلى $90{}^{\circ}$ فيقضي معظم مساره في الوشاح السفلي بسرعة 11 إلى $13.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، وينحني نحوه، فتكون الأرض الحقيقية أسرع.

تمرين 1.6 ★★

في جسم بواسون ($\lambda = \mu$، أي $\alpha^2 = 3\beta^2$) تُحقِّق سرعةُ موجة رايلي $c$ المعادلةَ الآتية، مع $\xi = c^2/\beta^2$، $(2 - \xi)^2 = 4\sqrt{1 - \xi/3}\,\sqrt{1 - \xi}$. (أ) ربِّعها وبيّن أنّ الجذور تحقّق $(\xi - 4)(3\xi^2 - 12\xi + 8) = 0$. (ب) بيّن أنّ الجذر الوحيد الذي يُحقّق $0 < \xi < 1$ هو $\xi = 2 - 2/\sqrt3$، واحسب $c/\beta$. (ج) في القشرة العليا من النموذج ak135، $\beta = 3.46\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: احسب سرعةَ رايلي وتأخّرَ موجة رايلي خلف الموجة S عند $1000\,\mathrm{km}$.

حل

حل التمرين 1.6.

(أ) بالتربيع، $(2 - \xi)^4 = 16(1 - \xi/3)(1 - \xi)$. بالنشر: $16 - 32\xi + 24\xi^2 - 8\xi^3 + \xi^4 = 16 - \tfrac{64}{3}\xi + \tfrac{16}{3}\xi^2$, ومنه $\xi^4 - 8\xi^3 + \tfrac{56}{3}\xi^2 - \tfrac{32}{3}\xi = 0$، أي $\xi\,(3\xi^3 - 24\xi^2 + 56\xi - 32) = 0$، و$3\xi^3 - 24\xi^2 + 56\xi - 32 = (\xi - 4)(3\xi^2 - 12\xi + 8)$. الجذر $\xi = 0$ لا يمثّل موجة. (ب) جذور المعادلة التربيعية هي $2 \pm 2/\sqrt3$، أي 3.155 و0.8453؛ لا يقع سوى $\xi = 0.8453$ في $(0, 1)$ (و$\xi = 4$ لا يقع فيها)، ويحقّق المعادلة غير المربّعة، إذ يساوي كلّ من الطرفين $4/3$. إذن $c/\beta = \sqrt{0.8453} = 0.9194$. (ج) $c = 0.9194\times3.46 = 3.181\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ على مسافة $1000\,\mathrm{km}$، $314.4 - 289.0 = 25.3\,\mathrm{s}$ بعد موجة S.

تمرين 1.7 ★★

أزمنة وصول موجة الرأس عند أربع محطات من خطّ انكسار، على أبعاد 50، 100، 150 و$200\,\mathrm{km}$ من نقطة الإطلاق، هي 9.0، 15.3، 21.5 و$27.9\,\mathrm{s}$، بأخطاء 0.1، 0.1، 0.2 و$0.2\,\mathrm{s}$. أجرِ ملاءمةً $T = a + bx$ بطريقة المربعات الصغرى الموزونة: اكتب $\mathsf G$ و$\mathsf C_d$، وكوِّن المعادلات الطبيعية، وأعطِ $a$، $b$، وأخطاءهما المعيارية، والسرعة $1/b$ مع خطئها، وأدنى $\chi^2$. هل الملاءمة مقبولة؟

حل

حل التمرين 1.7.

صفوف $\mathsf G$ هي $(1, x_i)$، و$\mathsf C_d^{-1} = \operatorname{diag} (100, 100, 25, 25)$ ($\mathrm{s}^{-2}$). تكون المعادلات الناظمية

$$\begin{pmatrix} 250 & 23750 \\ 23750 & 2\,812\,500 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3665 \\ 418125 \end{pmatrix},$$

ومحدِّدها $1.390\,625 \times 10^{8}$. ومنه $b = (250\times418125 - 23750\times3665)/1.390\,625 \times 10^{8} = 0.125\,75\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$ و$a = (2812500\times3665 - 23750\times418125)/1.390\,625 \times 10^{8} = 2.713\,\mathrm{s}$. التباين المشترك هو $\mathsf N^{-1}$: $\sigma_b = \sqrt{250/1.390\,625 \times 10^{8}} = 0.001\,34\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$, $\sigma_a = \sqrt{2812500/1.390\,625 \times 10^{8}} = 0.142\,\mathrm{s}$. السرعة هي $1/b = 7.95\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، والخطأ $\sigma_b/b^2 = 0.08\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: وهي سرعة في أعلى الوشاح. البواقي هي $-0.001$، $0.011$، $-0.076$ و$0.036\,\mathrm{s}$، و$\chi^2 = 0.19$ عند $4 - 2 = 2$ درجتَي حرية: أصغر ممّا هو متوقَّع، ومنه تكون الأخطاء المذكورة، إن صحّ القول، مبالغًا فيها؛ والملاءمة مقبولة.

تمرين 1.8 ★★

يعبر شعاعٌ واحد خليّتين، طولاهما $30\,\mathrm{km}$ و$40\,\mathrm{km}$، وله باقٍ قدره $0.50\,\mathrm{s}$. (أ) لماذا يكون $\mathsf N = \mathsf G^{\mathsf T} \mathsf G$ منفردة؟ (ب) من بين النماذج التي تطابق الباقي تمامًا، النموذجُ الذي له أصغر نظيم هو $\mathbf m = \mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T})^{-1}\mathbf d$: احسبه. (ج) احسب المصفوفة $\mathsf R = \mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T})^{-1}\mathsf G$ وأثرها. (د) إذا كان الشذوذ الحقيقي $0.01\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$ في الخلية الأولى وحدها، فما الذي يُستعاد؟

حل

حل التمرين 1.8.

(أ) $\mathsf G = (30\;\;40)$ صفٌّ واحد: $\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G$ مصفوفةٌ $2\times2$ من الرتبة واحد، ومنه فهي مفردة؛ ويمكن إضافة أيّ نموذج يحقّق $30m_1 + 40m_2 = 0$ دون تغيير المعطى. (ب) $\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} = 900 + 1600 = 2500$، ومنه $\mathbf m = (30, 40)\times0.50/2500 = (0.006, 0.008)\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$. (ج) $\mathsf R = \frac{1}{2500} \begin{pmatrix} 900 & 1200 \\ 1200 & 1600 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.36 & 0.48 \\ 0.48 & 0.64 \end{pmatrix}$، أثرها 1: معطى واحد يحلّ توليفة واحدة من الوسائط. (د) $\mathsf R\,(0.01, 0) = (0.0036, 0.0048)\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$: يتوزّع الشذوذ على طول الشعاع، أكثر في الخلية التي يكون فيها الشعاع أطول.

تمرين 1.9 ★★

منطقةٌ من اللوح المندس في الوشاح أسرع من محيطها بنسبة $3\,\%$، حيث $v = 9.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (أ) احسب باقي شعاع يعبر $200\,\mathrm{km}$ منه رأسيًّا، حسب القضية 1.15، وبدقّة تامّة. (ب) وبالمثل لشعاع يعبر سُمكًا قدره $100\,\mathrm{km}$ منه بزاوية $40{}^{\circ}$ عن العمودي على اللوح المندس. (ج) ما الخطأ النسبي في التقريب الخطّي؟

حل

حل التمرين 1.9.

(أ) بالتقريب الخطّي: $\delta t = -(\delta v/v)L/v = -0.03\times200/9.0 = -0.667\,\mathrm{s}$؛ وبالضبط، $L/(1.03v) - L/v = 200/9.27 - 200/9.0 = -0.647\,\mathrm{s}$. (ب) يبلغ المسار داخل اللوح المندس $100/\cos40{}^{\circ} = 130.5\,\mathrm{km}$: $-0.03\times130.5/9.0 = -0.435\,\mathrm{s}$ بالتقريب الخطّي و$-0.422\,\mathrm{s}$ بالضبط. (ج) القيمة الدقيقة هي القيمة الخطّية مقسومةً على $1.03$: خطأ قدره $3\,\%$، من مرتبة $\delta v/v$ نفسه، كما هو متوقَّع من نظرية من الرتبة الأولى.

تمرين 1.10 ★★★

في المبرهنة 1.8، توجد توافقية من الرتبة $n$ فقط عند دورات قصيرة بما يكفي. (أ) بيّن أنّه عند تردّد القطع تكون سرعة طوره $\beta_2$ و$kHq_1 = n\pi$. (ب) استنتج التردّد الزاوي للقطع $\omega_n = n\pi\beta_1\beta_2/\bigl(H\sqrt{\beta_2^2 - \beta_1^2}\bigr)$. (ج) احسب دور القطع للتوافقية الأولى لنموذج الفصل ($H = 35\,\mathrm{km}$، $\beta_1 = 3.5$، $\beta_2 = 4.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$). (د) بيّن أنّ النمط الأساسي لا يملك قطعًا، وأنّ سرعة طوره تؤول إلى $\beta_1$ عند الدورات القصيرة.

حل

حل التمرين 1.10.

(أ) يوجد النمط التوافقي ما دام جزؤه في نصف الفضاء يتلاشى، $c < \beta_2$؛ وعند قطعه $c = \beta_2$، ومنه $q_2 = 0$ و$\tan(kHq_1) = 0$، مع $kHq_1$ في $[n\pi, n\pi + \pi/2)$: $kHq_1 = n\pi$. (ب) مع $k = \omega/\beta_2$ و$q_1 = \sqrt{\beta_2^2/\beta_1^2 - 1} = \sqrt{\beta_2^2 - \beta_1^2}/\beta_1$, $\omega_nH\sqrt{\beta_2^2 - \beta_1^2}/(\beta_1\beta_2) = n\pi$، وهي الصيغة. (ج) $\sqrt{4.5^2 - 3.5^2} = \sqrt8 = 2.828$؛ $\omega_1 = \pi\times3.5\times4.5/(35\times2.828) = 0.4998\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$، أي فترة $2\pi/0.4998 = 12.57\,\mathrm{s}$: عند الفترات الأطول لا يوجد إلّا النمط الأساسي. (د) من أجل $n = 0$ يكون تردّد القطع صفرًا: يوجد النمط الأساسي عند جميع الفترات. عند الفترات القصيرة يتجه $kH \to \infty$ بينما $kHq_1$ يبقى أقلّ من $\pi/2$، ومنه $q_1 \to 0$ و$c \to \beta_1$.

تمرين 1.11 ★★★

خذ الشعاع من التمرين 8، مع خطأ معطيات يساوي الواحد. (أ) بيّن أنّه، من أجل أيّ $\varepsilon > 0$، $(\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1}\mathsf G^{\mathsf T} = \mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1}$. (ب) استنتج مصفوفة الاستبانة المخمَّدة $\mathsf R_\varepsilon = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G/(\|\mathbf g\|^2 + \varepsilon^2)$، حيث $\mathbf g = (30, 40)$، وأثرها. (ج) احسب الأثر وباقي المعطيات من أجل $\varepsilon^2 = 0$، 2500 و$10\,000$ (بالوحدة $\mathrm{km}^{2}$). صِف المقايضة.

حل

حل التمرين 1.11.

(أ) $\mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} + \varepsilon^2\mathsf I) = (\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G + \varepsilon^2\mathsf I)\mathsf G^{\mathsf T}$; نضرب من اليسار في $(\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G + \varepsilon^2 \mathsf I)^{-1}$ ومن اليمين في $(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1}$، كلاهما قابل للعكس من أجل $\varepsilon > 0$. (ب) هنا $\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} = \|\mathbf g\|^2 = 2500$، وهو عدد، ومنه $\mathsf R_\varepsilon = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G/(2500 + \varepsilon^2)$، أثرها $2500/(2500 + \varepsilon^2)$. (ج) المعطى المتنبَّأ به هو $\mathbf g\cdot\mathbf m_\varepsilon = 0.50\times2500/(2500 + \varepsilon^2)$ والباقي $0.50\,\varepsilon^2/(2500 + \varepsilon^2)$. من أجل $\varepsilon^2 = 0$: الأثر 1، والباقي 0؛ ومن أجل 2500: الأثر 0.5، والباقي $0.25\,\mathrm{s}$؛ ومن أجل $10\,000$: الأثر 0.2، والباقي $0.40\,\mathrm{s}$. يعطي المزيد من التخميد نموذجًا أصغر، واستبانةً أضعف، وعدم تطابق أكبر.

تمرين 1.12 ★★★

في الكرة المتجانسة من التمرين 5: (أ) بيّن حسب المبرهنة 1.3 أنّ $p(\Delta) = (R/v)\cos(\Delta/2)$، وتحقّق من ذلك بمقارنته بتعريف $p$ (زاوية الإقلاع لوتر). (ب) بيّن أنّ الشعاع الواصل إلى $\Delta_1$ ينعطف عند $r_1 = R\cos(\Delta_1/2)$. (ج) بقبول أنّ $\int_0^{\Delta_1}\operatorname{arccosh}\bigl(\cos(\Delta/2) /\cos(\Delta_1/2)\bigr)\,\mathrm d\Delta = \pi\ln\bigl(1/\cos(\Delta_1/2)\bigr)$، بيّن أنّ صيغة انعكاس هيرغلوتس–فيشرت تُعيد $r_1$ والسرعة $v$.

حل

حل التمرين 1.12.

(أ) من التمرين 5، $T = (2R/v)\sin(\Delta/2)$، ومنه $\mathrm dT/\mathrm d\Delta = (R/v)\cos(\Delta/2)$. الوتر الذي يصنع الزاوية $\Delta$ عند المركز يمثّل قاعدةَ مثلث متساوي الساقين زاويةُ رأسه $\Delta$، فهو يلتقي نصف القطر عند المصدر بالزاوية $i_0 = (\pi - \Delta)/2$، و$p = R\sin i_0/v = (R/v)\cos(\Delta/2)$: وهي النتيجة نفسها. (ب) نقطة الانعطاف هي منتصف الوتر، على بُعد $R\cos(\Delta_1/2)$ من المركز؛ أو بعبارة أخرى $r_1 = p_1v$. (ج) هنا $p(\Delta)/p_1 = \cos(\Delta/2)/\cos(\Delta_1/2)$، وتعطي الصيغة $r_1 = R\exp\bigl(-\ln(1/\cos(\Delta_1/2))\bigr) = R\cos(\Delta_1/2)$، كما في (ب)؛ والسرعة هي $r_1/p_1 = R\cos(\Delta_1/2)\big/ \bigl((R/v)\cos(\Delta_1/2)\bigr) = v$.

1.7 مسألة: اللوح المندس تحت المحطة K

مسألة 1.1

مسألة نهاية الأسبوع — أشعّة وموجات لوف وتصوير مقطعي صغير تحت محطة مُتخيَّلة

تقع المحطة K على قارّة فوق منطقة اندساس. تستعمل هذه المسألة سجلّاتها بثلاث طرق: أشعّة في قشرتها، وتشتّت موجات لوف عبرها، وتصويرًا مقطعيًّا صغيرًا للوشاح تحتها.

الجزء الأول — الأشعّة في تدرّج. على مسافات قصيرة بما يكفي لإهمال انحناء الأرض، تزداد سرعة الموجة P تحت K خطّيًّا مع العمق، $v(z) = v_0 + gz$، مع $v_0 = 5.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ و$g = 0.05\,\mathrm{s}^{-1}$ ($z$ بالكيلومتر).

1. في الطبقات المستوية، يُبقي قانون سنل $p = \sin i/v$ ثابتًا. ينطلق شعاع من K حيث $\sin i_0 = 0.8$: احسب $i_0$ و$p$.
2. عند أيّ عمق ينعطف، وما السرعة هناك؟
3. بيّن أنّ $\mathrm di/\mathrm ds = pg$ على طول الشعاع، فيكون قوسًا من دائرة؛ أعطِ نصف قطرها وعمق مركزها.
4. احسب المسافة الأفقية $X$ التي يعود عندها الشعاع إلى السطح.
5. بيّن أنّ $\mathrm dT = \mathrm di/(g\sin i)$ واحسب زمن الانتقال $T$ بدقّة.
6. احسب $X$ و$T$ من أجل $p = 0.15\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$، وتحقّق من أنّ $\Delta T/\Delta X$ بين الشعاعين يقع بين قيمتي $p$.

الجزء الثاني — موجات لوف والقشرة. القشرة تحت K طبقةٌ ذات سرعة S $\beta_1 = 3.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ وكثافة $\rho_1 = 2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ فوق وشاحٍ ذي سرعة S $\beta_2 = 4.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، $\rho_2 = 3.3\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$؛ سُمكها $H$ مجهولٌ. بين K ومحطة مجاورة تُقاس سرعة طور موجة لوف فتبلغ $3.99\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $25\,\mathrm{s}$ و$4.25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $40\,\mathrm{s}$.

7. احسب $\mu_1$ و$\mu_2$ بالوحدة $\mathrm{GPa}$.
8. عند $25\,\mathrm{s}$، احسب $k$، $q_1$ و$q_2$.
9. حلّ معادلة التشتّت للنمط الأساسي من أجل $H$.
10. أعِد الحساب نفسه عند $40\,\mathrm{s}$. هل النتيجتان متّسقتان؟
11. قدّر سرعة الزمرة بين الدورين بالصيغة $\Delta\omega/\Delta k$، وقارنها بسرعات الطور.
12. احسب طول الموجة عند كلّ دور، واشرح لماذا يستشعر كلٌّ من الدورين القشرةَ والجزءَ الأعلى من الوشاح بنسب مختلفة.

الجزء الثالث — تصوير مقطعي في أربع خلايا. تحت K، كتلةٌ من الوشاح بأبعاد $200\,\mathrm{km}$ × $200\,\mathrm{km}$ في مقطع رأسي، مقسَّمةٌ إلى أربع خلايا مربّعة ضلعها $100\,\mathrm{km}$: 1 (أعلى اليسار)، 2 (أعلى اليمين)، 3 (أسفل اليسار) و4 (أسفل اليمين)؛ يقع الخندق والمحيط إلى اليسار. السرعة المرجعية $v_0 = 8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. في تجربة مثالية تعبره ستّة أشعّة مستقيمة: A على طول الصفّ العلوي (الخليتين 1 و2)، B على طول الصفّ السفلي (3 و4)، C على طول العمود الأيسر (1 و3)، D على طول العمود الأيمن (2 و4)، E على طول القطر المارّ بالخليتين 1 و4، F على طول القطر المارّ بالخليتين 2 و3. وبواقيها هي:

الشعاع	A	B	C	D	E	F
$\delta t$ ($\mathrm{s}$)	$0.16$	$-0.48$	$-0.36$	$0.11$	$-0.15$	$-0.27$
الخطأ $\sigma$ ($\mathrm{s}$)	0.05	0.05	0.05	0.05	0.10	0.10

خذ النموذج $\mathbf m$ على أنّه اضطرابات البطء للخلايا بوحدة $\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$ ($1\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1} = 10^{-3}\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$)، بحيث تكون عناصر $\mathsf G$ هي أطوال الأشعّة بوحدة $\mathrm{km}$ مقسومةً على 1000.

13. اكتب $\mathsf G$، وهي مصفوفة $6\times4$.
14. بيّن أنّ $\mathsf N = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathsf G$ لها الصفوف $(10, 4, 4, 2)$، $(4, 10, 2, 4)$، $(4, 2, 10, 4)$، $(2, 4, 4, 10)$.
15. احسب $\mathbf b = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathbf d$.
16. تحقّق من أنّ $(1,1,1,1)$، $(1,-1,-1,1)$، $(1,1,-1,-1)$ و$(1,-1,1,-1)$ متجهات ذاتية للمصفوفة $\mathsf N$، بالقيم الذاتية 20، 4، 8 و8، واستنتج أنّ $\mathsf N^{-1}$ لها الصفوف $(11, -4, -4, 1)/80$، $(-4, 11, 1, -4)/80$، $(-4, 1, 11, -4)/80$ و$(1, -4, -4, 11)/80$.
17. احسب تقدير المربعات الصغرى الموزونة $\hat{\mathbf m}$.
18. حوّله إلى شذوذات نسبية للسرعة $\delta v/v_0$ بالنسبة المئوية.
19. أعطِ الخطأ المعياري لكلّ خلية بوحدة $\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$ وبالنسبة المئوية، والترابط بين الخليتين 1 و2، وبين الخليتين 1 و4. فسّر إشاراتها.
20. احسب بواقي الأشعّة الستّة بعد الملاءمة، وأدنى $\chi^2$. هل تتّسق مع الأخطاء المعطاة؟

الجزء الرابع — التخميد والاستبانة واللوح المندس.

21. من أجل $\varepsilon^2 = 4$ (بوحدات $\mathsf N$)، أعطِ القيم الذاتية للمصفوفة $\mathsf R = (\mathsf N + 4\mathsf I)^{-1}\mathsf N$ وبيّن أنّ $\mathsf R$ قطرها $2/3$، وأنّ المدخلات $1/12$ بين الخلايا التي تتشارك شعاعَ صفٍّ أو عمودٍ، و$0$ بين الخليتين 1 و4 وبين الخليتين 2 و3.
22. احسب التقدير المخمَّد للخلية 3 وشذوذ سرعتها. لماذا يكون أصغر من غير المخمَّد؟
23. النموذج المخمَّد له $\chi^2 = 15.8$ ونظيم قدره $2.91\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$؛ وغير المخمَّد، $\chi^2 = 0.50$ و$4.24\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$. أيّهما يُستبقى، ولماذا لا تحتاج هذه المسألة إلى تخميد؟
24. اقرأ الصفّ 3 من المصفوفة $\mathsf R$ المخمَّدة: مع أيّ خلايا يكون تقدير الخلية 3 مموَّهًا؟
25. أيّ خلية سريعة وأيّها بطيئة؟ فسّر الخلية السريعة الواقعة تحت K وعلى جهة المحيط منها، بدلالة منطقة الاندساس.
26. أعطِ شذوذ سرعة الموجة P لخلية اللوح المندس بالنسبة المئوية، مع خطئها المعياري.

حل

حل المسألة 1.1.

1. $i_0 = \arcsin 0.8 = 53.13{}^{\circ}$ و$p = 0.8/5.0 = 0.16\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$.

2. ينعطف الشعاع حيث $v = 1/p = 6.25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، أي عند $z = (6.25 - 5.0)/0.05 = 25\,\mathrm{km}$.

3. بتفاضل $\sin i = pv$ على طول الشعاع، $\cos i\,\mathrm di/ \mathrm ds = pg\,\mathrm dz/\mathrm ds = pg\cos i$، ومنه $\mathrm di/\mathrm ds = pg$: يدور الاتجاه بمعدّل ثابت، وهو انحناء دائرة نصف قطرها $1/(pg) = 1/(0.16\times0.05) = 125\,\mathrm{km}$. عند نقطة الانعطاف يكون الشعاع أفقيًّا على عمق $25\,\mathrm{km}$، ويقع المركز رأسيًّا على بُعد $125\,\mathrm{km}$ فوقه: عند $z = -100\,\mathrm{km}$، أي على ارتفاع $v_0/g$ فوق السطح، حيث ستنعدم السرعة المستقرأة.

4. عند المصدر يكون نصف قطر الدائرة عموديًّا على الشعاع، فيصنع زاوية $i_0$ مع الأفق، ويقع المركز على بُعد $125\cos i_0$ أفقيًّا؛ وبالتناظر $X = 2\times125\times\cos i_0 = 2\times125\times0.6 = 150\,\mathrm{km}$، أو $X = 2\sqrt{1 - p^2v_0^2}/(pg)$.

5. $\mathrm dT = \mathrm ds/v$ مع $\mathrm ds = \mathrm di/(pg)$ و$v = \sin i/p$: $\mathrm dT = \mathrm di/(g\sin i)$. ثم

$$T = \frac2g\int_{i_0}^{\pi/2}\frac{\mathrm di}{\sin i} = \frac2g\ln\cot\frac{i_0}2 = \frac2g\operatorname{arccosh}\frac1{pv_0} .$$

هنا $\cot(26.57{}^{\circ}) = 2$، ومنه $T = 40\ln2 = 27.73\,\mathrm{s}$.

6. من أجل $p = 0.15$: $pv_0 = 0.75$، $\sqrt{1 - 0.5625} = 0.6614$، $X = 2\times0.6614/0.0075 = 176.4\,\mathrm{km}$ و$T = 40\operatorname{arccosh} (1.3333) = 40\times0.7954 = 31.81\,\mathrm{s}$. ثم $\Delta T/\Delta X = 4.08/26.4 = 0.155\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$، بين 0.15 و0.16، كما تقتضي $\mathrm dT/\mathrm dX = p$.

7. $\mu_1 = 2700\times3500^2 = 33.1\,\mathrm{GPa}$ و$\mu_2 = 3300\times4500^2 = 66.8\,\mathrm{GPa}$.

8. $k = 2\pi/(cT) = 2\pi/(3.99\times25) = 0.062\,99\,\mathrm{rad}\,\mathrm{km}^{-1}$; $q_1 = \sqrt{(3.99/3.5)^2 - 1} = 0.5474$; $q_2 = \sqrt{1 - (3.99/4.5)^2} = 0.4624$.

9. $\tan(kHq_1) = 66.825\times0.4624/(33.075\times0.5474) = 1.707$؛ يأخذ النمط الأساسي $kHq_1 = \arctan1.707 = 1.041$، ومنه $H = 1.041/(0.06299\times0.5474) = 30.2\,\mathrm{km}$.

10. عند $40\,\mathrm{s}$: $k = 2\pi/170 = 0.03696$، $q_1 = 0.6888$، $q_2 = 0.3287$، $\tan(kHq_1) = 0.964$، $kHq_1 = 0.7671$ و$H = 0.7671/(0.03696\times0.6888) = 30.1\,\mathrm{km}$. تتّفق القيمتان ضمن دقة السرعات الطورية: سُمك القشرة نحو $30\,\mathrm{km}$.

11. $\omega = 0.2513$ و$0.1571\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$، $k = 0.06299$ و$0.036\,96\,\mathrm{rad}\,\mathrm{km}^{-1}$: $U \approx 0.0942/0.02603 = 3.62\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, أصغر من السرعتين الطوريتين كلتيهما، كما يجب أن يكون حين تزداد $c$ مع الدور.

12. $\lambda = 3.99\times25 = 99.8\,\mathrm{km}$ و$4.25\times40 = 170\,\mathrm{km}$. يسبر النمط الأساسي عمقًا يعادل جزءًا من طول موجته: تقع موجة $25\,\mathrm{s}$ في القشرة في معظمها، وتصل موجة $40\,\mathrm{s}$ بعمق كبير في الوشاح، فتكون سرعتها أقرب إلى $\beta_2$. ويُعدّ تحديدُ $H$ نفسه بدورين مختلفين تحقّقًا من ملاءمة نموذج الطبقتين.

13. مع أعمدة الخلايا 1 إلى 4 وصفوف A إلى F، بوحدات $1000\,\mathrm{km}$ ($\sqrt2\times100/1000 = 0.1414$):

$$\mathsf G = \begin{pmatrix} 0.1 & 0.1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.1 & 0 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0.1 & 0 & 0.1 \\ 0.1414 & 0 & 0 & 0.1414 \\ 0 & 0.1414 & 0.1414 & 0 \end{pmatrix}.$$

14. $\mathsf C_d^{-1} = \operatorname{diag}(400, 400, 400, 400, 100, 100)$. يسهم شعاع الصف أو العمود بمقدار $0.1^2\times400 = 4$، والشعاع القطري بمقدار $0.1414^2\times100 = 2$. تعبر الخلية 1 الشعاعان A و C بمقدار 4 لكلٍّ منهما، والشعاع E بمقدار 2: 10. والخليتان 1 و2 تتشاركان الشعاع A: 4؛ والخليتان 1 و3 تتشاركان C: 4؛ والخليتان 1 و4 تتشاركان E: 2؛ وهكذا بالتناظر، وهو ما يعطي الصفوف الأربعة المذكورة.

15. يسهم شعاع الصف أو العمود بمقدار $0.1\times400\,\delta t = 40\, \delta t$ في كلّ من خلاياه، والشعاع القطري $0.1414\times100\,\delta t = 14.14\,\delta t$. الخلية 1: $40(0.16 - 0.36) + 14.14\times(-0.15) = -10.12$؛ الخلية 2: $40(0.16 + 0.11) + 14.14\times(-0.27) = 6.98$؛ الخلية 3: $40(-0.48 - 0.36) + 14.14\times(-0.27) = -37.42$؛ الخلية 4: $40(-0.48 + 0.11) + 14.14\times(-0.15) = -16.92$.

16. لأجل $(1,1,1,1)$، مجموع كلّ صفّ من $\mathsf N$ يساوي 20. ولأجل $(1,-1,-1,1)$، يعطي الصفّ 1 القيمة $10 - 4 - 4 + 2 = 4$، وتتّبع الصفوف الأخرى النمط نفسه. ولأجل $(1,1,-1,-1)$، فإنّ $10 + 4 - 4 - 2 = 8$، وأمّا لأجل $(1,-1,1,-1)$، فإنّ $10 - 4 + 4 - 2 = 8$. المتجهات متعامدة ونظيمها 2، ومنه $\mathsf N^{-1} = \sum_k \mathbf u_k\mathbf u_k^{\mathsf T}/(4\lambda_k)$؛ عنصرها $(1,1)$ يساوي $\tfrac14(\tfrac1{20} + \tfrac14 + \tfrac18 + \tfrac18) = \tfrac{11}{80}$، وعنصره $(1,2)$ يساوي $\tfrac14(\tfrac1{20} - \tfrac14 + \tfrac18 - \tfrac18) = -\tfrac4{80}$، وعنصره $(1,4)$ يساوي $\tfrac14(\tfrac1{20} + \tfrac14 - \tfrac18 - \tfrac18) = \tfrac1{80}$، وهكذا.

17. $\hat{\mathbf m} = \mathsf N^{-1}\mathbf b$: $\hat m_1 = (11\times(-10.121) - 4\times6.982 - 4\times(-37.418) - 16.921)/80 = -0.081$؛ وبالمثل $\hat m_2 = 1.844$، $\hat m_3 = -3.706$ و$\hat m_4 = -0.931\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$.

18. $\delta v/v_0 = -v_0\,\delta s = -8.0\times10^{-3}\,\hat m$، وبالنسبة المئوية $-0.8\,\hat m$: الخلية 1 $+0.07$، الخلية 2 $-1.48$، الخلية 3 $+2.96$، الخلية 4 $+0.75\,\%$.

19. كلّ عنصر قطري في $\mathsf N^{-1}$ يساوي $11/80$: لكلّ خلية الخطأ المعياري $\sqrt{0.1375} = 0.371\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$، أي $0.30\,\%$. أمّا ترابط الخليتين 1 و2 فيساوي $-4/11 = -0.36$: إذ تتشاركان الشعاع A، فيمكن أن يُقايَض التباطؤ المُدخَل في إحداهما بالتباطؤ في الأخرى. أمّا الخليتان 1 و4، اللتان لا تتشاركان إلّا الشعاع القطري E الأقلّ دقّة، فترتبطان ارتباطًا ضعيفًا وموجبًا، $+1/11 = +0.09$.

20. البواقي المتوقَّعة هي $0.176$، $-0.464$، $-0.379$، $0.091$، $-0.143$ و$-0.263\,\mathrm{s}$؛ والبواقي بعد الملاءمة هي $-0.016$، $-0.016$، $0.019$، $0.019$، $-0.007$ و$-0.007\,\mathrm{s}$، و$\chi^2 = 0.50$ بدرجات حرية $6 - 4 = 2$: متّسقة مع الأخطاء المذكورة، وإن كان ثمّة انحراف فهو نحو الأصغر.

21. المتجهات الذاتية هي متجهات $\mathsf N$ والقيم الذاتية $\lambda/(\lambda + 4)$: $20/24 = 5/6$، $4/8 = 1/2$، $8/12 = 2/3$ مرّتين. كما في السؤال 16، $R_{11} = \tfrac14(\tfrac56 + \tfrac12 + \tfrac23 + \tfrac23) = \tfrac23$; $R_{12} = \tfrac14(\tfrac56 - \tfrac12 + \tfrac23 - \tfrac23) = \tfrac1{12}$; $R_{13} = \tfrac14(\tfrac56 - \tfrac12 - \tfrac23 + \tfrac23) = \tfrac1{12}$; $R_{14} = \tfrac14(\tfrac56 + \tfrac12 - \tfrac23 - \tfrac23) = 0$.

22. نُسقِط $\mathbf b$ على المتجهات الذاتية: $\mathbf b\cdot\mathbf u_k/4 = -14.37$، $0.849$، $12.80$ و$-9.40$ للقيم الذاتية 20، 4، 8 و8. يقسم التقدير المخمَّد هذه القيم على $\lambda + 4$ بدلًا من $\lambda$؛ وبالنسبة إلى الخلية 3 (المركِّبات $1, -1, -1, 1$)، $m_3 = -14.37/24 - 0.849/8 - 12.80/12 - 9.40/12 = -2.555\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$, أي شذوذ في السرعة مقداره $+2.04\,\%$. يسحب التخميد كلّ مركِّبة نحو الصفر، وأشدّها تأثّرًا المركِّبات ضعيفة القيد.

23. النموذج غير المخمَّد، الذي يلائم المعطيات ضمن أخطائها ($\chi^2 = 0.50$ بدرجتي حرية)، في حين أنّ النموذج المخمَّد يخالفها بشدّة ($15.8$). لا يلزم التخميد إلّا حين تكون $\mathsf N$ منفردة أو قريبة من ذلك؛ وهنا قيمتها الذاتية الأصغر، 4، ليست صغيرة، فالتقدير مستقرّ وأخطاؤه معتدلة.

24. الصفّ 3 هو $(1/12, 0, 2/3, 1/12)$: التقدير المخمَّد للخلية 3 يساوي ثلثي قيمتها الحقيقية مضافًا إليه جزء من اثني عشر من الخليتين 1 و4، وهما جارتاها على الشعاع C والشعاع B، ولا شيء من الخلية 2.

25. الخلية 3، وهي الخلية السفلى على اليسار، سريعة بنحو $3\,\%$؛ والخلية 2 بطيئة. اللوح المندس البارد الكثيف من الغلاف الصخري المحيطي الذي يندسّ تحت القارة أسرع من الوشاح المحيط به، لذا تكون الخلية السريعة، العميقة والواقعة على جانب المحيط من K، هي اللوح المندس؛ أمّا الخلية البطيئة فوقه على الجانب الآخر فتقع حيث يكون إسفين الوشاح ساخنًا.

26. من السؤالين 18 و19، شذوذ السرعة الموجية P لخلية اللوح المندس هو $(3.0 \pm 0.3)\,\%$.