20الديناميكا الجوية

على خريطة شتوية للتروبوسفير العلوي لا يدور التيار النفّاث حول القطب بل يتعرّج في عدد قليل من الموجات الكبيرة حول نصف الكرة، فتمتدّ الأخاديد نحو تحت المدارية والظهرات نحو القطب، وعلى السطح تنشأ المنخفضات وتنمو بضعة أيام ثم تضمحلّ تحتها. تنجرف الموجات ببطء، وأحيانًا عكس الريح التي تحملها عددها وسرعتها ونمو العواصف الواقعة تحتها تتبع كمية محفوظة واحدة، هي دوّامية الهواء كما تُرى من الفضاء، ومن الطاقة المخزّنة في تباين درجة الحرارة بين المناطق المدارية والقطبين.

ما تعرفه من قبل

الدوّامية والدوران موجودان في كتب الفيزياء. أمّا موجات روسبي في التروبوسفير العلوي، الأخاديد والظهرات والمنخفض الجوي خارج المداري، ومبدأ التنبّؤ العددي بالطقس موصوفة في مجلد السنة الثانية في فصله عن أنظمة الطقس. أمّا خلايا هادلي وفيرل والقطبية والتيارات النفّاثة والرياح الغربية وريح كمية الحركة الزاوية لحلقة من الهواء موجودة في مجلد السنة الأولى، في فصله عن الدورة العامة للغلاف الجوي، ونقل الحرارة نحو القطبين في فصله عن الإشعاع ونقل الحرارة. ويرد معامل كوريوليس $f$ والمستوي $\beta$، ونصف قطر روسبي والريح الحرارية في الفصل 19.

20.1 الدوّامية

دوّامية المائع، أي تدوّر سرعته، تساوي ضعف سرعته الزاوية المحلية. وبالنسبة إلى الغلاف الجوي واسع المقياس لا يهمّ إلّا مركّبته الشاقولية، ويسهم فيها دوران الأرض.

تعريف 20.1 (الدوّامية النسبية والكوكبية والمطلقة)

من أجل سرعة أفقية $(u, v)$، الدوّامية النسبية هي المركّبة الشاقولية لدوّارة السرعة بالنسبة إلى الأرض، $\zeta = \partial v/\partial x - \partial u/\partial y$، موجبة للدوران عكس عقارب الساعة كما يُرى من الأعلى. أمّا الدوّامية الكوكبية فهي المركّبة الشاقولية لدوّامية دوران الأرض، $2\Omega\sin\varphi = f$. أمّا الدوّامية المطلقة فهي مجموعهما، $\zeta + f$.

في نصف الكرة الشمالي، يدور الهواء في المنخفض عكس عقارب الساعة، فيكون له $\zeta > 0$ ويسمّى منخفضيًّا، وللمرتفع الجوي $\zeta < 0$. مثلًا ريحٌ بسرعة $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ تدور على دائرة نصف قطرها $1000\,\mathrm{km}$ لها $\zeta = 2V/R = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ في الدوران الصلب، أي ثلث $f$ عند $45{}^{\circ}$: والجزء الكوكبي عادةً هو الأكبر.

مبرهنة 20.2 (معادلة الدوّامية الباروتروبية)

في جريان ثنائي البعد لا لزوجة فيه ولا تباعد أفقي على المستوي $\beta$، تُحفظ الدوّامية المطلقة لكلّ كتلة هوائية:

$$\frac{\mathrm D(\zeta + f)}{\mathrm Dt} = 0 , \qquad\text{أي أنّ}\qquad \frac{\partial\zeta}{\partial t} + u\frac{\partial\zeta}{\partial x} + v\frac{\partial\zeta}{\partial y} + \beta v = 0 .$$

وهذه هي معادلة الدوّامية الباروتروبية.

وأعطى البرهان أيضًا القانون العام، $\mathrm D(\zeta + f)/\mathrm Dt = -(\zeta + f)\delta$: يُسرّع التقارب دوران العمود، ويُبطئه التباعد، كالمتزلّجة حين تضمّ ذراعيها أو تفرّدهما. وفي طبقة يتغيّر عمقها، يرتبط التقارب بمطّ العمود، وتصير الكمية المحفوظة نسبةً.

تعريف 20.3 (الدوّامية الكامنة)

الدوّامية الكامنة لعمود من طبقة متجانسة عمقها $h$ هي $q = (\zeta + f)/h$. وفي مائع متطبّق باستمرار، تكون دوّامية إرتل الكامنة $q = (\vec\omega_a\cdot \nabla\theta)/\rho$، حيث $\vec\omega_a$ متجهة الدوّامية المطلقة و$\theta$ درجة الحرارة الكامنة.

مبرهنة 20.4 (حفظ الدوّامية الكامنة)

في طبقة متجانسة هيدروستاتيكية عديمة اللزوجة ذات عمق متغيّر $h$ تكون السرعة الأفقية فيها لا تتغيّر مع الارتفاع، $\mathrm Dq/\mathrm Dt = 0$ من أجل $q = (\zeta + f)/h$.

يُحفظ شكل إرتل بالطريقة نفسها في جريان أديباتي عديم الاحتكاك لمائع متطبّق، وتقوم المسافة بين سطحين ثابتٍ فيهما $\theta$ مقام $h$. ويعبر عمودٌ من الهواء سلسلةً جبلية، فيُضغط في أثناء الصعود: تنخفض دوّاميته المطلقة، وتدور دورانًا مرتفعيًّا فوق القمّة، وتُمَطّ وتدور دورانًا منخفضيًّا في الجانب المحمي من الريح. ويُعدّ حفظ الدوّامية المطلقة أو الكامنة هو آلية الاستعادة للموجات في القسم التالي، كما يُبيّن الشكل أدناه.

20.2 موجات روسبي

وصف مجلد السنة الثانية موجات روسبي في التروبوسفير العلوي. وتفسّرها معادلة الدوّامية الباروتروبية. نكتب الجريان على صورة رياح غربية منتظمة $U$ مضافًا إليها اضطراب صغير بدالة التيار $\psi'$، بحيث أنّ $u' = -\partial\psi'/\partial y$، $v' = \partial\psi'/\partial x$ و$\zeta' = \nabla^2\psi'$.

مبرهنة 20.5 (تشتّت موجات روسبي)

تُحقّق الاضطرابات الصغيرة $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$ في رياح غربية منتظمة $U$ على المستوي $\beta$ علاقةَ تشتّت موجة روسبي

$$\omega = Uk - \frac{\beta k}{k^2 + l^2} .$$

وتكون سرعة طورها شرقًا $c = \omega/k = U - \beta/K^2$، حيث $K^2 = k^2 + l^2$، وسرعة زمرتها شرقًا $c_g = \partial\omega/\partial k = U + \beta(k^2 - l^2)/K^4$.

بالنسبة إلى الهواء، تتحرّك الموجات دائمًا غربًا، وتزداد سرعتها كلّما طالت الموجة. تحمل الرياح الغربية الموجات القصيرة شرقًا، أمّا الطويلة فلا تستطيع حملها، فتنجرف غربًا عكس الرياح. وبين الحالتين يوجد طول موجي واحد يبقى ساكنًا.

قضية 20.6 (موجات روسبي الثابتة)

في رياح غربية $U > 0$، تكون الموجة التي لا بنية لها في الاتجاه الشمالي الجنوبي ($l = 0$) ساكنةً عندما يكون طولها طول موجة روسبي الثابتة $\lambda_s = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. حول دائرة العرض $\varphi$ يكون هذا عددًا صحيحًا من الموجات قريبًا من $n_s = \sqrt{2\Omega a\cos^3\varphi/U}$.

عند $45{}^{\circ}$ شمالًا في رياح غربية سرعتها $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، مع $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$، $\lambda_s = 6050\,\mathrm{km}$ و$n_s = 4.7$: أربع أو خمس موجات تلتفّ حول نصف الكرة. ومع متوسط الرياح النطاقية لكانون الثاني عند $300\,\mathrm{hPa}$، قرابة $21\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $45{}^{\circ}$ شمالًا، فإنّ $n_s$ يبلغ نحو أربعة من $35{}^{\circ}$ إلى $55{}^{\circ}$ شمالًا، ويتناقص نحو القطب. وتتجاوز السرعة الزمرية لموجةٍ ذات $l = 0$ سرعةُ طورها بمقدار $2\beta/k^2$: تسبق الطاقةُ الموجةَ، فيُنشئ اضطراب يُطلق في موضع واحد أخاديد جوّية وظهرات جديدة في اتجاه مجرى الرياح منه، بعد بضعة أيام، وعلى بُعد آلاف الكيلومترات شرقًا، بينما يكاد النمط نفسه لا يتحرّك. وتُولِّد سلاسلُ الجبال وتباينات درجة الحرارة بين القارات والمحيطات موجاتٍ ثابتةً من هذا النوع بعينه، عبر مطّ الدوّامية الكامنة وضغطها.

20.3 عدم الاستقرار الباروكليني

الموجات في القسم الأخير محايدة، فلا تنمو ولا تضمحلّ. تنمو العواصف في خطوط العرض الوسطى، وتستمدّ طاقتها من تباين درجة الحرارة الذي تعبّر عنه الريح الحرارية.

تعريف 20.7 (طاقة الوضع المتاحة)

طاقة الوضع المتاحة للمائع المتطبّق هي الفرق بين طاقته الكامنة الكلّية (الثقالية والداخلية) وأصغر طاقة كامنة كلّية يمكن أن يبلغها بإعادة ترتيب كتلته ترتيبًا أديباتيًّا، وهي الحالة التي تكون فيها أسطح درجة الحرارة الكامنة الثابتة، أو الكثافة الكامنة، أفقيةً.

المائع ذو المتساويات الإنتروبية الأفقية لا يملك أيّ طاقة وضع متاحة، مهما بلغت الطاقة الكامنة التي يحملها؛ أمّا المائع الذي تميل متساوياته الإنتروبية، دافئًا وخفيفًا على جانب، وباردًا وكثيفًا على الجانب الآخر، فيمكنه أن يحرّر بعضًا منها بترك تلك المتساويات تنهار. ويُبيّن تبادلُ طردين كيفيةَ ذلك. خذ طردًا دافئًا منخفضًا على الجانب الاستوائي، وطردًا باردًا مرتفعًا على الجانب القطبي، كلاهما على المتساوي الإنتروبي نفسه في جوّ مستقرّ ترتفع فيه المتساويات الإنتروبية نحو القطب. ولا يتغيّر شيء إن تبادلهما على امتداد المتساوي الإنتروبي. أمّا تبادلهما على مسار أقلّ انحدارًا من المتساوي الإنتروبي فيُصعد الطرد الدافئ نحو الأعلى وباتجاه القطب إلى هواء أبرد منه، ويهبط الطرد البارد إلى أسفل وباتجاه الاستواء إلى هواء أدفأ: يصعد الدافئ، ويهبط البارد، وينخفض مركز الكتلة، وتتحرّر الطاقة الحركية. والمسارات الواقعة داخل هذه الإسفينة بين الأفقي والمتساويات الإنتروبية تحرّر الطاقة؛ والاضطرابات الدوّامية في خطوط العرض الوسطى هي تبادلات من هذا النوع، تنقل الحرارة نحو القطب وإلى الأعلى.

تعريف 20.8 (عدم الاستقرار الباروكليني)

عدم الاستقرار الباروكليني هو عدمُ استقرار لتدفّق دوّار متطبّق في توازن الريح الحرارية، تنمو عبره الاضطرابات بتحويل طاقة الوضع المتاحة للمتساويات الإنتروبية المائلة إلى طاقة حركية خاصة بها.

تعريف 20.9 (نموذج إيدي)

نموذج إيدي هو مائع بوسينسك على المستوي $f$ بين سطحين أفقيين صلبين عند $z = 0$ و$z = H$، مع تردّد طفو منتظم $N$ وريح غربية تزداد خطيًّا مع الارتفاع، $U = \Lambda z$، في توازن الريح الحرارية مع انخفاض منتظم لدرجة الحرارة نحو القطب؛ وتخضع اضطراباته للمعادلات شبه الجيوستروفية.

مبرهنة 20.10 (معدّل نموّ إيدي)

في نموذج إيدي، تكون الاضطرابات $\propto \mathrm e^{\mathrm ik(x - ct)}$ مع $\mu = kL_d$، $L_d = NH/f$، تنمو أُسّيًّا عندما $\mu < \mu_c = 2.40$، بالمعدّل

$$\sigma = \frac{f\Lambda}{N}\left[\left(\coth\frac{\mu}{2} - \frac{\mu}{2}\right)\left(\frac{\mu}{2} - \tanh\frac{\mu}{2}\right)\right]^{1/2} .$$

للاضطراب الأسرع نموًّا $\mu = 1.61$، وطول الموجة $2\pi L_d/1.61 \approx 3.9\,L_d$، وينمو بمعدّل $\sigma_{\max} = 0.31\,f\Lambda/N$.

يعتمد معدّل النموّ على القصّ والتطبّق وحدهما، عبر $f\Lambda/N$، ويعتمد الحجم المفضّل على نصف قطر روسبي وحده. وبالنسبة إلى متوسط كانون الثاني عند $45{}^{\circ}$ شمالًا تزداد الريح بمقدار $17.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بين $850\,\mathrm{hPa}$ و$250\,\mathrm{hPa}$، على بُعد نحو $8.9\,\mathrm{km}$ في الغلاف الجوي المعياري، بقصٍّ مقداره $1.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ ومع متوسط تردّد الطفو في التروبوسفير $N = 0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$ و$H = 11\,\mathrm{km}$، و$L_d = 1210\,\mathrm{km}$، ويبلغ طول موجة الاضطراب الأسرع $4700\,\mathrm{km}$ وينمو بعامل $e$ خلال $2.1$ يومًا. والاضطرابات الأقصر من $3200\,\mathrm{km}$ لا تنمو على الإطلاق. وهذان هما حجم المنخفضات الجوية وزمن نموّها كما تُرى على خريطة الطقس.

المنخفض الجوي خارج المداري الوارد في مجلد السنة الثانية هو الوجه السطحي لموجة باروكلينية نامية: قطاعها الدافئ يحمل الهواء الدافئ نحو القطب وإلى الأعلى، والهواء البارد خلفه ينزلق نحو خط الاستواء وإلى الأسفل، والأخدود الجوي في الأعلى يميل غربًا مع الارتفاع، كما يقتضيه إطلاق طاقة الوضع المتاحة.

20.4 الدوران العام

يُوصف الدوران العام بحساب المتوسط على دوائر خطوط العرض، وما يُهمله المتوسط لا يقلّ أهمّيةً عمّا يُبقيه.

تعريف 20.11 (المتوسط النطاقي والاضطرابات الدوّامية)

يُعرَّف المتوسط النطاقي لكمية $A$ بأنّه متوسطها على دائرة عرض عند ارتفاع أو ضغط ثابت، $[A] = (1/2\pi)\int_0^{2\pi} A\,\mathrm d\lambda$. والانحراف $A^* = A - [A]$ هو جزؤه الدوّامي؛ والاضطراب الدوّامي في الغلاف الجوي هو أيّ انحراف للجريان عن متوسطه النطاقي: الموجات المتنقّلة، والموجات الثابتة، والمنخفضات والمرتفعات الجوية.

يتجزّأ المتوسط النطاقي لناتج الضرب إلى حدّين: $[vT] = [v][T] + [v^*T^*]$. والحدّ الأوّل هو النقل بالدوران الطولي المتوسط، أي الخلايا الواردة في مجلد السنة الأولى؛ والثاني هو النقل بالاضطرابات الدوّامية. وفي خطوط العرض الوسطى تكون الريح الطولية المتوسطة ضعيفة، ويهيمن حدّ الاضطراب الدوّامي: الهواء المتحرّك نحو القطب أدفأ من الهواء المتحرّك نحو خط الاستواء عند خط العرض نفسه، كما في الشكل أدناه، و$[v^*T^*] > 0$. وتنقل الاضطرابات الدوّامية أيضًا زخم الريح الغربية، $[u^*v^*]$، من تحت المدارية إلى خطوط العرض التي يقع فيها تيّار النفّاثة، وبذلك يُحافَظ على التيّار والرياح الغربية عند السطح رغم الاحتكاك. وخليّة فيريل من مجلد السنة الأولى هي الدوران الطولي المتوسط الذي يفرضه هذا النقل الدوّامي.

في المناطق المدارية تكون الاضطرابات الدوّامية ضعيفة، ويحمل الدوران المتوسط الحرارة نحو القطب، وهي خليّة هادلي. وجد مجلد السنة الأولى أنّ الهواء المغادر خط الاستواء ساكنًا ويحتفظ بكمّية حركته الزاوية سيهبّ بسرعة مئات الأمتار في الثانية عند $40{}^{\circ}$، وترك مفتوحًا سببَ انتهاء الخليّة قرب $30{}^{\circ}$. يُجيب نموذج بسيط عن ذلك.

تعريف 20.12 (كمية الحركة الزاوية للغلاف الجوي؛ نموذج هيلد–هو)

تُعرَّف كمية الحركة الزاوية للغلاف الجوي لكلّ وحدة كتلة حول محور الأرض هي $M = (\Omega a\cos\varphi + u)\,a\cos\varphi$، لريح متجهة شرقًا $u$ عند خط العرض $\varphi$. ونموذج هيلد–هو لخليّة هادلي هو دوران متناظر محوريًّا ومستقرّ لغلاف جوي جافّ بتقريب بوسينسك، عمقه $H$، يُسخَّن بالاسترخاء نحو درجة الحرارة الكامنة للتوازن الإشعاعي $\theta_E/\theta_0 = 1 + \Delta/3 - \Delta\sin^2\varphi$؛ فرعه العلوي يحفظ $M$، وفرعه السفلي ذو ريح مُهمَلة، ويكون الجريان في توازن الريح الحرارية.

مبرهنة 20.13 (امتداد خليّة هادلي)

في حالة الزوايا الصغيرة، تبلغ خليّة هيلد–هو خط العرض

$$\varphi_H = \left(\frac{5\,gH\Delta}{3\,\Omega^2a^2}\right)^{1/2}$$

في كلّ نصف كرة، وتكون ريح فرعها العلوي $u_M = \Omega a\varphi^2$.

تنتهي الخليّة حيث تلتقي درجة الحرارة التي يفرضها حفظ كمّية الحركة الزاوية بالتوازن الإشعاعي؛ وما بعد ذلك يلزم أن يكون الغلاف الجوي أبرد ممّا يجعله الإشعاع. يتضمّن النموذج معلمتين غير مرصودتين مباشرةً. من أجل $H = 15\,\mathrm{km}$ و$\Delta$ بين $1/6$ و$1/3$، المختارة للتوضيح، تتراوح $\varphi_H$ بين $25{}^{\circ}$ و$35{}^{\circ}$. أمّا الخلايا المرصودة، المستخلصة من الريح الطولية للمتوسط النطاقي، فتنتهي عند $33.3{}^{\circ}$ شمالًا و$32.5{}^{\circ}$ جنوبًا في المتوسط السنوي، والخلايا الشتوية، القوية منها، عند $30.8{}^{\circ}$ شمالًا في كانون الأوّل–شباط و$29.1{}^{\circ}$ جنوبًا في حزيران–آب. والمهمّ هنا هو قانون القياس: خليّة تتّسع مع تروبوسفير أعمق وتباين تسخين أقوى، وتضيق على كوكب يدور أسرع. وريح الفرع العلوي للنموذج، $u_M = 88\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند حافّته من أجل $\Delta = 1/6$، ضعف تيّار النفّاثة المرصود: تُزيل الاضطرابات الدوّامية الفائض.

لمحة تاريخية — من الموجات الطويلة إلى أوّل توقّع محسوب

في عام 1939 شرع روسبي وزملاؤه، في مجلة Journal of Marine Research، في تفسير عدّة ظواهر تبدو مستقلّة في الطقس من منظور واحد. ودفعته أنماط جوّية تتحرّك باتّجاه المنبع عكس الجريان الغربي السائد، فصاغ روسبي نظرية خطّية تميل فيها الاضطرابات الكبيرة المقياس إلى التحرّك غربًا، والأصغر منها إلى التحرّك شرقًا نسبةً إلى الريح: الموجات والمستوي $\beta$ المذكوران في هذا الفصل. بعد أحد عشر عامًا، حلّ تشارني وفيورتوفت وفون نويمان عدديًّا معادلةَ الدوّامية الباروتروبية على الحاسوب الإلكتروني ENIAC: أربعة توقّعات، مدّة كلّ منها 24 ساعة، على مستوى $500\,\mathrm{mb}$، بخطوة شبكة $736\,\mathrm{km}$، و8 درجات من خطوط الطول عند $45{}^{\circ}$. استغرق حساب كلّ توقّع نحو 24 ساعة، وكانوا، كما كتبوا، بالكاد قادرين على مجاراة الطقس.

20.5 التمارين

تمرين 20.1 ★

(أ) احسب الدوّامية النسبية لدوّامة في دوران صلب تدور مرّةً واحدة في اليوم. (ب) احسب الدوّامية الكوكبية عند $30{}^{\circ}$ و$60{}^{\circ}$ شمالًا ($\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) وقارن بين النتيجتين.

حل

حل التمرين 20.1.

(أ) $\zeta = 2\omega = 2\times2\pi/86\,400 = 1.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ب) $f = 7.29 \times 10^{-5}$ و$1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$: تبلغ الدوّامة تقريبًا ضعف الدوّامية الكوكبية عند $30{}^{\circ}$ شمالًا، وأكثر قليلًا من تلك عند $60{}^{\circ}$ شمالًا.

تمرين 20.2 ★

جسيم هوائي بلا دوّامية نسبية عند $30{}^{\circ}$ شمالًا ينتقل إلى $40{}^{\circ}$ شمالًا في جريان بلا تباعد. احسب دوّاميته النسبية هناك. هل هي حلزونية أم مضادّة للحلزون؟

حل

حل التمرين 20.2.

$\zeta = f_{30} - f_{40} = 7.29 \times 10^{-5} - 9.37 \times 10^{-5} = -2.08 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: مضادّة للإعصار.

تمرين 20.3 ★

عند $45{}^{\circ}$ شمالًا، ومن دون ريح متوسطة، احسب سرعة الطور لموجة روسبي ذات طول الموجة $5000\,\mathrm{km}$ مع $l = 0$. في أيّ اتّجاه تتحرّك؟

حل

حل التمرين 20.3.

$k = 2\pi/(5\times10^6) = 1.257 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$; $c = -\beta/k^2 = -1.62 \times 10^{-11}/1.58 \times 10^{-12} = -10.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: متجهة غربًا.

تمرين 20.4 ★

عند $60{}^{\circ}$ شمالًا في ريح غربية مقدارها $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، احسب $\beta$ وطول الموجة الثابتة وعدد الموجات الثابتة حول دائرة خط العرض ($a = 6371\,\mathrm{km}$).

حل

حل التمرين 20.4.

$\beta = 2\Omega\cos60{}^{\circ}/a = 1.14 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\lambda_s = 2\pi\sqrt{10/1.14 \times 10^{-11}} = 5870\,\mathrm{km}$؛ الدائرة، $20\,015\,\mathrm{km}$، يتّسع لنحو $n_s = 3.4$ موجة.

تمرين 20.5 ★★

عمود هوائي بعمق $10\,\mathrm{km}$، بلا دوّامية نسبية عند $45{}^{\circ}$ شمالًا، يعبر سلسلة جبلية تضغطه إلى $8\,\mathrm{km}$، ثم حوضًا يصل عمقه إلى $12\,\mathrm{km}$. بافتراض أنّه يبقى قرب $45{}^{\circ}$ شمالًا، احسب دوّاميته النسبية فوق السلسلة وفوق الحوض. أين تميل المنخفضات إلى التشكّل؟

حل

حل التمرين 20.5.

$q = f/h$ محفوظة: عبر السلسلة $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$، مضادّة للإعصار؛ وفوق الحوض $f(12/10) - f = +2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$، إعصارية. حيث تُمَطّ الأعمدة، في الجانب المحمي من السلسلة وفوق الحوض تتولّد دوّامية إعصارية، وفيها تميل المنخفضات الجوية إلى التكوّن.

تمرين 20.6 ★★

من أجل الموجة ذات الخمسة قمم حول دائرة $45{}^{\circ}$ شمالًا ($l = 0$) في ريح غربية مقدارها $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، احسب سرعة الطور وسرعة الزمرة. كم يستغرق انتقال طاقة الموجة مسافة $5000\,\mathrm{km}$ شرقًا، وكم يستغرق انتقال النمط ذاته؟

حل

حل التمرين 20.6.

$k = 5/(a\cos45{}^{\circ}) = 1.11 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\beta/k^2 = 13.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $c = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $c_g = 28.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. تقطع الطاقة $5000\,\mathrm{km}$ خلال $2.1$ يومًا، والنمط خلال $31$ يومًا.

تمرين 20.7 ★★

عند $45{}^{\circ}$ شمالًا في ريح غربية مقدارها $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، تكون موجة محصورة بين خطّي عرض بحيث $l = \pi/(6000\,\mathrm{km})$. (أ) احسب العدد الموجي الزونالي الثابت وطول الموجة. (ب) بيّن أنّه لا توجد موجة ثابتة من أجل $l = \pi/(3000\,\mathrm{km})$.

حل

حل التمرين 20.7.

(أ) $k^2 = \beta/U - l^2 = 1.079 \times 10^{-12} - 2.74 \times 10^{-13} = 8.05 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{-2}$, $k = 8.97 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{-1}$: $\lambda = 7000\,\mathrm{km}$ و$n = 4.0$، بعدد موجات أقلّ مما عند $l = 0$. (ب) $l^2 = 1.097 \times 10^{-12} > \beta/U = 1.079 \times 10^{-12}$: $k^2$ سيكون سالبًا.

تمرين 20.8 ★★

في نموذج إيدي عند $45{}^{\circ}$ شمالًا، $\Lambda = 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$، $N = 0.012\,\mathrm{s}^{-1}$ و$H = 10\,\mathrm{km}$. احسب $L_d$، ومعدّل النموّ وزمن التضاعف الأسّي بعامل $e$ لأسرع الاضطرابات نموًّا، وطول موجتها.

حل

حل التمرين 20.8.

$L_d = 0.012\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1164\,\mathrm{km}$; $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2 \times 10^{-3}/0.012 = 5.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$، أي زمن التضاؤل الأسّي $e$ البالغ $2.2$ يومًا؛ وطول الموجة $2\pi\times1164/1.61 = 4540\,\mathrm{km}$.

تمرين 20.9 ★★

على امتداد دائرة خط عرض، تكون الريح النصف-طولية للاضطراب الدوّامي $v^* = V\cos kx$ ودرجة حرارة الاضطراب الدوّامي $T^* = T_0\cos(kx - \delta)$، مع $V = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و$T_0 = 5\,\mathrm{K}$. احسب $[v^*T^*]$ من أجل $\delta = 0$، $60{}^{\circ}$، و$90{}^{\circ}$، وتدفّق الحرارة المقابل $\rho c_p[v^*T^*]$ لكلّ $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ من الهواء ($c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). أيّ ترتيب لا ينقل حرارة؟

حل

حل التمرين 20.9.

$[v^*T^*] = (VT_0/2)\cos\delta$: $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $12.5\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و0؛ دفق الحرارة $25\,100$، $12\,600$ و$0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. عندما تكون درجة الحرارة خارج الطور مع الريح بمقدار ربع طول موجة، فيتّجه الهواء الدافئ جنوبًا بقدر ما يتّجه شمالًا: فلا يوجد نقل.

تمرين 20.10 ★★★

انطلاقًا من معادلة الدوّامية الباروتروبية، استنتج علاقة تشتّت موجات روسبي في رياح غربية منتظمة، وبيّن أنّ كلّ موجة روسبي تتحرّك غربًا بالنسبة إلى الهواء.

حل

حل التمرين 20.10.

بالتقريب الخطّي حول $U$ مع $\zeta' = \nabla^2\psi'$ و$v' = \partial_x\psi'$: $(\partial_t + U\partial_x)\nabla^2\psi' + \beta\partial_x \psi' = 0$. حيث $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$، $(\omega - Uk)K^2 = -\beta k$، ومنه $\omega = Uk - \beta k/K^2$. بالنسبة إلى الهواء، تكون سرعة الطور $c - U = -\beta/K^2 < 0$ لكلّ موجة.

تمرين 20.11 ★★★

في نموذج هيلد–هو خذ $H = 12\,\mathrm{km}$ و$\Delta = 1/4$. احسب $\varphi_H$، وريح الزاوية الصغيرة $u_M$ عند الحافة، وريح كمية الحركة الزاوية الدقيقة عندها، وقارنها بالتيّار النفّاث شبه المداري البالغ $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ للمتوسط النطاقي لشهر يناير.

حل

حل التمرين 20.11.

$\varphi_H = [5\times9.81\times12\,000\times0.25/(3\times(7.292 \times 10^{-5})^2 \times(6.371 \times 10^{6})^2)]^{1/2} = 0.477\,\mathrm{rad}$, $27.3{}^{\circ}$. $u_M = \Omega a\varphi_H^2 = 106\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وبصورة دقيقة، $\Omega a\sin^2 \varphi_H/\cos\varphi_H = 110\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ضعفين ونصفًا من التيّار النفّاث المرصود.

تمرين 20.12 ★★★

تختلف طبقتان من الهواء في درجة الحرارة الكامنة بمقدار $10\,\mathrm{K}$ عند $300\,\mathrm{K}$؛ يميل سطح فصلهما نحو القطب صعودًا بميل $s$ عبر نطاق عرضه $4000\,\mathrm{km}$، و$\rho = 0.7\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (أ) بيّن أنّ السماح لسطح الفصل بالتسطّح يحرّر $\rho g' s^2L^2/24$ لكلّ وحدة مساحة، حيث $g' = g\,\Delta\theta/\theta$. (ب) احسب ذلك من أجل $s = 10^{-3}$ و$2\times10^{-3}$ وقارنه بالطاقة الحركية لريح $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ تعبر $10\,\mathrm{km}$ من الهواء نفسه.

حل

حل التمرين 20.12.

(أ) عبر النطاق يُزاح السطح البيني بمقدار $\eta = sy$، $-L/2 \le y \le L/2$، عن وضعه المستوي. طبقة ذات تباين كثافة مُخفَّض تُزاح بمقدار $\eta$ تخزّن $\tfrac12\rho g'\eta^2$ لكلّ وحدة مساحة؛ ويُحسب المتوسّط على النطاق، $\langle\eta^2\rangle = s^2L^2/12$. (ب) $g' = 0.327$: $1.5 \times 10^{5}$ و$6.1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$، مقابل $\tfrac12\times0.7\times15^2 \times10^4 = 7.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ من طاقة الحركة: متقاربتان.

20.6 مسألة: الموجة التي وقفت ساكنة

مسألة 20.1

مسألة نهاية الأسبوع — الدوّامية، وموجات روسبي، ونموّ الموجة الباروكلينية عند $45{}^{\circ}$ شمالًا

يعبر جريان هوائيّ غربيّ بسرعة $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ خطوط العرض الوسطى لقارّة متخيّلة، على امتداد $45{}^{\circ}$ شمالًا. خذ $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، و$a = 6371\,\mathrm{km}$ و$g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. جميع قيم الجريان متخيّلة.

الجزء الأول — كتلة هوائية مزاحة.

1. كتلة هوائية عديمة الدوّامية النسبية عند $45{}^{\circ}$ شمالًا تُدفع إلى $50{}^{\circ}$ شمالًا. احسب $f$ عند خطّي العرض، والدوّامية النسبية عند $50{}^{\circ}$ شمالًا، إذا كان الجريان بلا تباعد.
2. متحرّكةً بسرعة $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، على أيّ نصف قطر انحناء تنعطف؟ (خذ $\zeta = -V/R$، على أنّ كلّها ناتج عن الانحناء)؟ في أيّ اتّجاه تنعطف؟
3. إذا انكمش عمودها أيضًا من $10.0\,\mathrm{km}$ إلى $9.5\,\mathrm{km}$ في أثناء الطريق، فما دوّاميتها النسبية عند $50{}^{\circ}$ شمالًا؟
4. إذا دُفعت بدلًا من ذلك إلى $40{}^{\circ}$ شمالًا، دون تباعد، فما الدوّامية النسبية التي تكتسبها؟ اشرح لماذا تتذبذب كتلةٌ هوائية أُزيحت عن خطّ عرضها حولَه.

الجزء الثاني — الموجات المتنقّلة.

5. احسب $\beta$ عند $45{}^{\circ}$ شمالًا وطول دائرة خط العرض.
6. من أجل $n = 3$ إلى 8 موجات حول الدائرة ($l = 0$)، احسب طول الموجة، وسرعة الطور، وسرعة المجموعة في الرياح الغربية البالغة $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
7. أيّ الموجات تتحرّك غربًا، وأيّ منها شرقًا؟ كم يومًا تستغرق الموجة $n = 5$ لتقطع $1000\,\mathrm{km}$؟
8. تشتدّ الظهرة فوق غرب القارّة. أين، وبعد كم من الزمن، سيبلغ أثر الموجة $n = 6$ مسافة $5000\,\mathrm{km}$ في اتّجاه الجريان؟

الجزء الثالث — الموجة التي وقفت ساكنة.

9. احسب طول الموجة الثابتة وعدد الموجة الثابتة عند $45{}^{\circ}$ شمالًا.
10. احسب عدد الموجة الثابتة من أجل رياح غربية بسرعتَي 10 و$20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ماذا يحدث للموجات الثابتة عندما تشتدّ الرياح الغربية في الشتاء؟
11. احسب عدد الموجة الثابتة عند $35{}^{\circ}$ شمالًا و$55{}^{\circ}$ شمالًا في الرياح الغربية البالغة $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
12. ترتفع الجبال الغربية للقارّة $2\,\mathrm{km}$ داخل التروبوسفير التي يبلغ عمقها $10\,\mathrm{km}$. احسب الدوّامية النسبية لعمود يعبر هذه الجبال دون أن يتغيّر خطّ عرضه. لماذا تفرض الجبال موجات ثابتة؟
13. لماذا لا يظلّ نمط الموجة الذي تفرضه الجبال ساكنًا إلّا عندما يكون طول موجته قريبًا من $\lambda_s$؟

الجزء الرابع — عاصفة تتعاظم.

14. تزداد الرياح الغربية من سطح الأرض حتى $10\,\mathrm{km}$ بمقدار $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. احسب القصّ $\Lambda$، وتدرّج درجة الحرارة نحو القطب الذي يقتضيه بالريح الحرارية عند متوسط درجة حرارة $250\,\mathrm{K}$.
15. مع $N = 0.011\,\mathrm{s}^{-1}$، احسب عدد ريتشاردسون $N^2/\Lambda^2$. هل الجريان غير مستقرّ أمام اضطراب القصّ صغير المقياس؟
16. احسب نصف قطر روسبي $L_d$ من أجل $H = 10\,\mathrm{km}$.
17. احسب طول موجة الاضطراب الأسرع نموًّا في نموذج إيدي، وعدد هذه الموجات حول دائرة خط العرض.
18. احسب أقصر طول موجة ينمو.
19. احسب معدّل النموّ $\sigma_{\max}$.
20. بأيّ عامل ينمو الاضطراب خلال ثلاثة أيّام؟
21. قارن طول موجة العاصفة النامية بطول الموجة الثابتة في الجزء الثالث: أيّهما أطول، وماذا يعني ذلك لحركة العواصف بالنسبة إلى الموجات الثابتة؟
22. في أيّ اتّجاه يميل قاعُ الموجة النامية مع الارتفاع، ولماذا يجب أن يكون كذلك؟
23. أعطِ زمن الزيادة بعامل $e$ للاضطراب الأسرع نموًّا في نموذج إيدي.

حل

حل المسألة 20.1.

1. $f_{45} = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f_{50} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\zeta = f_{45} - f_{50} = -8.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$.

2. $R = V/|\zeta| = 15/8.6 \times 10^{-6} = 1750\,\mathrm{km}$؛ في اتّجاه عقارب الساعة، عائدةً نحو الجنوب.

3. $\zeta = f_{45}(9.5/10) - f_{50} = -1.38 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$، أكثر مضادّةً للإعصار.

4. $\zeta = f_{45} - f_{40} = +9.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$، إعصارية: فهي تعود شمالًا. وعند إزاحة الكتلة الهوائية في أيّ من الاتّجاهين، تكتسب الدوّامية التي تعيدها: تأثيرٌ استعاديّ، وتذبذبٌ.

5. $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ تبلغ الدائرة $28\,306\,\mathrm{km}$ طولًا.

6. $n = 3$ إلى 8: أطوال الموجات 9435، 7076، 5661، 4718، 4044 و$3538\,\mathrm{km}$؛ $c = -21.5$، $-5.5$، 1.9، 5.9، 8.3 و$9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $c_g = 51.5$، 35.5، 28.1، 24.1، 21.7 و$20.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

7. $n = 3$ و4 تتحرّك غربًا، $n \ge 5$ شرقًا. تستغرق الموجة $n = 5$ $10^6/1.86 = 5.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$، $6.2$ يومًا، لتتحرّك مسافة $1000\,\mathrm{km}$.

8. مع اتّجاه الريح، شرقًا: عند $c_g = 24.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ تقطع الطاقة $5000\,\mathrm{km}$ خلال $2.4$ يومًا.

9. $\lambda_s = 2\pi\sqrt{15/1.62 \times 10^{-11}} = 6050\,\mathrm{km}$, $n_s = 4.7$.

10. $n_s = 5.7$ عند $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و4.1 عند $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ريح غربية أقوى تفضّل موجات ثابتة أطول، وعددًا أقلّ حول نصف الكرة.

11. $n_s = 5.8$ عند $35{}^{\circ}$ شمالًا، و3.4 عند $55{}^{\circ}$ شمالًا.

12. $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: الانضغاط فوق الجبال يجعل العمود مرتفعًا جويًّا، والمطّ في الجانب الخلفي منخفضًا جويًّا. تفرض الجبال نمطًا ثابتًا من الدوّامية على الجريان، قوةً قسرية لا تتحرّك.

13. قوةٌ قسرية ثابتة تُنتج استجابةً مستقرّة؛ وتكون الاستجابة أقوى ما يكون حين يكون النمط المقسور نفسه موجةً حرّةً تبقى ساكنةً، أي الرنين عند $\lambda_s$.

14. $\Lambda = 25/10^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $|\partial T/\partial y| = \Lambda fT/g = 2.5 \times 10^{-3}\times1.031 \times 10^{-4} \times250/9.81 = 6.6\,\mathrm{K}$ لكلّ $1000\,\mathrm{km}$.

15. $\mathrm{Ri} = 0.011^2/(2.5 \times 10^{-3})^2 = 19$: أعلى بكثير من 0.25، لا يوجد اضطراب ناتج عن القصّ.

16. $L_d = 0.011\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1067\,\mathrm{km}$.

17. $2\pi\times1067/1.61 = 4160\,\mathrm{km}$; $28306/4160 = 6.8$ موجات.

18. $2\pi\times1067/2.40 = 2790\,\mathrm{km}$.

19. $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2.5 \times 10^{-3}/0.011 = 7.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$، $0.63$ يوم$^{-1}$.

20. $\exp(3\times0.627) = 6.6$.

21. العاصفة، $4160\,\mathrm{km}$، أقصر من طول موجة روسبي الثابتة، $6050\,\mathrm{km}$: بوصفها موجة روسبي تُحمل شرقًا بفعل الرياح الغربية، وتتحرّك العواصف شرقًا عبر الموجات الطويلة الأبطأ أو الواقفة.

22. تتجّه الريح غربًا مع الارتفاع: عندها فقط يكون الهواء المتحرّك نحو القطب أدفأ من الهواء المتحرّك نحو خط الاستواء، فتنتقل الحرارة نحو القطب، وتنطلق طاقة الوضع المتاحة.

23. الاضطراب الأسرع نموًّا يتزايد بعامل $e$ كلّ $1.6$ يومًا ($1.59$ يومًا حسب الحساب).