21ديناميكا المحيطات

عبر مضيق فلوريدا يحمل تيار الخليج نحو الشمال قرابة $32\,\mathrm{Sv}$ من الماء، ويزداد حجمه كلّما تبع الساحل شمالًا حتى قرابة $150\,\mathrm{Sv}$ قرب $40{}^{\circ}$ شمالًا. وعلى الجانب الآخر من المحيط نفسه، قبالة البرتغال وشمال إفريقيا، لا يجري شيء يشبهه نحو الجنوب: فالماء الذي يحمله تيار الخليج شمالًا يعود نحو خطّ الاستواء على شكل انجراف بطيء واسع عبر آلاف الكيلومترات من البحر المفتوح. ولكلّ حوض محيطي في نصف الكرة الشمالي الشكل غير المتماثل نفسه، وتيّاره السريع على جانبه الغربي. أمّا عدم التماثل فيرجع إلى الرياح، وإلى احتكاك البحر، وإلى حقيقة واحدة عن الأرض: يتزايد معامل كوريوليس نحو القطب.

ما تعرفه من قبل

قوة المدّ للقمر والشمس، والمدّ الربيعي والمدّ الميّت، واردة في كتب الفيزياء. أمّا إجهاد الريح وطبقة إيكمان ونقل إيكمان وحلزون إيكمان، والصعود والهبوط، والدوّامات المحيطية، وتيارات الحدّ الغربي، السفيردروب ($1\,\mathrm{Sv} = 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$)، والدورة الانقلابية الميريدية، وتكوين الماء العميق واردة في مجلد السنة الأولى، في فصله عن دوران المحيطات؛ وهناك يُكتب إجهاد الريح $\vec T$، وهنا $\vec\tau$. يرد معامل كوريوليس والمستوي $\beta$ ونصف قطر روسبي والتوازن الجيوستروفي في الفصل 19؛ والدوّامية والدوّامية الكامنة في الفصل 20.

21.1 اشتقاق طبقة إيكمان

في مجلد السنة الأولى استُخرج نقل إيكمان من توازن القوى على الطبقة كلّها، وذُكر حلزون السرعات داخلها. ومع احتكاك مضطرب بلزوجة دوّامية ثابتة $A_z$، يُستنتج الحلزون من المعادلات في بضعة أسطر. نكتب السرعة الأفقية عددًا مركّبًا $W = u + \mathrm iv$، وإجهاد الريح $\tau = \tau_x + \mathrm i\tau_y$؛ والضرب في $-\mathrm i$ يُدير المتجهة بمقدار $90{}^{\circ}$ في اتجاه عقارب الساعة، إلى يمينها كما تُرى من الأعلى.

مبرهنة 21.1 (مقطع السرعة لطبقة سطحية مستقرة يحرّكها الريح)

في محيط مستقر متجانس أفقيًا، بالغ العمق وذي كثافة ثابتة $\rho$، ولزوجة دوّامية رأسية ثابتة $A_z$، ومعامل كوريوليس $f > 0$، فإنّ التيار المحرَّك بإجهاد ريح $\tau$ هو

$$W(z) = W_0\,\mathrm e^{(1+\mathrm i)z/\delta},\qquad W_0 = \frac{\tau}{\rho\sqrt{fA_z}}\,\mathrm e^{-\mathrm i\pi/4},\qquad \delta = \sqrt{\frac{2A_z}{f}} ,$$

حيث $z \le 0$. ويُدار التيار السطحي بمقدار $45{}^{\circ}$ إلى يمين الإجهاد؛ ومع العمق يدور أكثر نحو اليمين، ويتضاءل وفق $\mathrm e^{z/\delta}$؛ ونقل الكتلة الكلّي $\int_{-\infty}^0 W\,\mathrm dz = -\mathrm i\tau/(\rho f)$ عمودي على اتجاه يمين الإجهاد.

تستعيد المبرهنة النتيجتين الواردتين في مجلد السنة الأولى: التيار السطحي لإيكمان عند $45{}^{\circ}$، والنقل $\tau/(\rho f)$، العمودي على الإجهاد والمستقلّ عن $A_z$، وهو معامل لا يُعرف جيدًا أبدًا. وعند العمق $\pi\delta$ يجري التيار عكس التيار السطحي، بعد أن يتضاءل بعامل $\mathrm e^{-\pi}$ حتى يبلغ $4\,\%$.

تعريف 21.2 (عمق إيكمان؛ ضخّ إيكمان)

عمق إيكمان هو $D_E = \pi\delta = \pi\sqrt{2A_z/f}$، وهو العمق الذي يجري عنده تيار حلزون إيكمان عكس التيار السطحي؛ وهو يقيس سمك طبقة إيكمان. ضخّ إيكمان هو السرعة الرأسية $w_E$ عند قاعدة طبقة إيكمان التي تفرضها تقارُب أو تباعُد نقل إيكمان: نحو الأسفل حيث تتقارب النقول، ونحو الأعلى، ويُسمّى أحيانًا شفط إيكمان، حيث تتباعد.

قضية 21.3 (ضخّ إيكمان)

مع انعدام السرعة الرأسية عند سطح البحر، يكون ضخّ إيكمان

$$w_E = \operatorname{curl}_z\frac{\vec\tau}{\rho f} = \frac{1}{\rho f}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} - \frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) + \frac{\beta\tau_x}{\rho f^2} ,$$

ويُعدّ الاتجاه الصاعد موجبًا.

الريح التي تدور دورانًا إعصاريًّا فوق البحر، وتكون دوّاميّتها موجبة، تسحب الماء من تحت الطبقة؛ والريح المضادّة للإعصار تدفعه نحو الأسفل. وفوق المحيطات شبه المدارية تهبّ الرياح التجارية من الشرق على الجانب المتّجه نحو خط الاستواء، والرياح الغربية من الغرب على الجانب المتّجه نحو القطب. ويتّجه نقل إيكمان شمالًا تحت الرياح التجارية وجنوبًا تحت الرياح الغربية، فيتقارب بينهما: يتراكم ماء السطح ويُضخّ نحو الأسفل، كما في الشكل أدناه. وعلى امتداد ساحل تهبّ فيه الريح والساحل على يسارها (في نصف الكرة الشمالي)، وفي هذه الحالة يبتعد النقل عن الشاطئ، والصعود الساحلي المذكور في مجلد السنة الأولى هو شفط إيكمان مركَّز عند جدار.

21.2 توازن سفيردروب

تحت طبقة إيكمان يكون المحيط جيوستروفيًّا. وعمودُ الماء الذي يُضغط بفعل ضخّ إيكمان، وللحفاظ على دوّامته الكامنة $f/h$، يجب أن ينتقل إلى حيث تكون $f$ أصغر: نحو خط الاستواء. وفي عام 1947 جعل H. U. سفيردروب الحجّةَ كمّيةً لكامل عمق الجريان المدفوع بالرياح.

مبرهنة 21.4 (توازن سفيردروب)

في محيط مستقرّ تكون فيه الحدود غير الخطّية والاحتكاك الجانبي مهمَلَين، ويكون الداخل جيوستروفيًّا أسفل طبقة إيكمان، وتنعدم السرعة الشاقولية عند عمقٍ ما $-H$، فإنّ نقل الحجم الشمالي الكلّي لكلّ وحدة عرض من الجريان المدفوع بالرياح يحقّق توازن سفيردروب

$$\beta V = \frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau = \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} - \frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) .$$

يلفت التوازن الانتباه إلى ما لا يحتاجه: لا عمق الجريان، ولا بنيته الشاقولية، ولا لزوجة الاضطراب الدوّامي، بل فقط دوّامية الريح و$\beta$. استنتج سفيردروب التوازن من معادلات الحركة المكاملة حتى عمق انعدام الحركة، واختبره مقابل المقاطع الهيدروغرافية لسفينتَي الأبحاث كارنيغي وبوشنل في شرق المحيط الهادئ الاستوائي، بين $34{}^{\circ}$ شمالًا و$10{}^{\circ}$ جنوبًا، بعمق انعدام الحركة عند $1000\,\mathrm{m}$: تطابقت النقول المحسوبة من الريح مع تلك المحسوبة من حقل الكثافة، حتى حيث كانت التيارات تجري عكس اتّجاه الريح. وجدت أعمال لاحقة بريّاح أفضل توافقًا مع عمق انعدام الحركة قرب $500\,\mathrm{m}$، وقياسات متوسّط الإجهاد في المحيط الهادئ الاستوائي عام 1999 وجدت أنّ الجريان هناك في توازن سفيردروب. وإثبات أنّ التوازن يصحّ في كلّ مكان أصعب من افتراضه: تقريبًا كلّ نظرية عن دوران المحيط تنطلق منه.

خذ الحوض المتخيَّل في مسألة هذا الفصل: بين $20{}^{\circ}$ و$50{}^{\circ}$ شمالًا، بعرض $6000\,\mathrm{km}$، تحت إجهاد زونالي $\tau_x = -\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$ مع $\tau_0 = 0.1\,\mathrm{Pa}$، شرقيًّا عند $20{}^{\circ}$ شمالًا، غربيًّا عند $50{}^{\circ}$ شمالًا، صفرًا عند $35{}^{\circ}$ شمالًا. وعلى معظم الحوض تكون دوّامية الإجهاد سالبة: يُضخّ الماء إلى الأسفل بمقدار نحو $35\,\mathrm{m}$ في السنة عند $35{}^{\circ}$ شمالًا، ويجري الداخل جنوبًا، بنقل $4.9\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ لكلّ متر من العرض عند $35{}^{\circ}$ شمالًا، $29.4\,\mathrm{Sv}$ عبر الحوض. وإذا حُسب من الرياح المرصودة، يبلغ نقل سفيردروب في الدوّامة المحيطية شبه المدارية لشمال الأطلسي نحو $30\,\mathrm{Sv}$ قرب $28{}^{\circ}$ شمالًا.

يحدّد نقل سفيردروب قيمة $V$ عند كلّ نقطة، لكنّ دالّة التيار تحتاج إلى شرط حدّي، والجدار الزوالي لا يتّسع إلا لشرط واحد. فإذا لا يُحقِّق الداخل تدفّقًا عبر الجدار الشرقي، فإنّ التدفّق الجنوبي لا يجد مخرجًا عند الجدار الغربي؛ فتُعاد الكتلة بتيار لا تستطيع معادلات سفيردروب، من دون احتكاك، أن تصفه.

21.3 الاشتداد الغربي

في عام 1948 أضاف ستوميل أبسط احتكاك إلى أبسط محيط، ووجد أنّ التدفّق الراجع يتكدّس عند الجدار الغربي، كما في شكل مجلد السنة الأولى لدوّامته. ولم يجده إلّا مع معامل كوريوليس الذي يتزايد نحو الشمال؛ فمن دون دوران، أو مع معامل منتظم، كانت دوّامته متماثلة.

تعريف 21.5 (الاشتداد الغربي؛ نموذج ستوميل؛ طبقة مونك الحدّية)

الاشتداد الغربي هو تكدّس التدفّق الراجع لدوّامة محيطية محرَّكة بالرياح في تيار ضيّق وسريع يجري بمحاذاة الجانب الغربي للحوض. أمّا نموذج ستوميل فهو محيط متجانس ذو عمق ثابت في حوض مستطيل، يحرّكه إجهاد ريح زونالي، ويُكبح باحتكاك القاع المتناسب مع السرعة المتكاملة عبر العمق، بمعدّل $r$؛ ودالّة التيار للنقل $\psi$ ($U = -\partial\psi/\partial y$، $V = \partial\psi/\partial x$) تخضع للمعادلة الآتية

$$r\nabla^2\psi + \beta\frac{\partial\psi}{\partial x} = \frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau ,\qquad \psi = 0 \text{ على الجدران.}$$

أمّا طبقة مونك الحدّية فهي الطبقة الحدّية الغربية للدوّامة نفسها حين تحلّ لزوجة دوّامية جانبية $A_H$ محلّ احتكاك القاع، ومقياس عرضها هو $\delta_M = (A_H/\beta)^{1/3}$.

المعادلة هي توازن سفيردروب مع إضافة دوّامة احتكاك القاع، متكاملةً عبر العمق: $\beta V = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z \vec\tau - r\zeta_T$، حيث $\zeta_T = \nabla^2\psi$ هي دوّامية النقل.

مبرهنة 21.6 (الطبقة الحدّية الغربية لدوّامة ستوميل)

في حوض $0 \le x \le X$، و$0 \le y \le L$، مع $\tau_x = -\tau_0 \cos(\pi y/L)$، و$\delta_S = r/\beta \ll X$، فإنّ دالّة تيار ستوميل هي، إلى الرتبة الأولى في $\delta_S/X$،

$$\psi = A\sin\frac{\pi y}{L}\Big[(X - x) - X\mathrm e^{-x/\delta_S}\Big], \qquad A = \frac{\pi\tau_0}{\rho\beta L} .$$

يحمل الداخل $AX\sin(\pi y/L)$ جنوبًا، وتُعيد طبقة حدّية بعرض $\delta_S$ مقابل الجدار الغربي تعيده شمالًا؛ ولا يمكن أن توجد طبقة حدّية مقابل الجدار الشرقي.

يأتي الجواب نفسه من الدوّامية. فوق الداخل تمنح الرياحُ كلَّ عمود دوّامية سالبة، ويدفع العمود ثمن ذلك بالتحرّك جنوبًا، نحو $f$ أصغر. وفي طريق العودة شمالًا يكتسب الدوّامية الكوكبية، ويجب أن يفقدها، ولا يفعل ذلك إلّا الاحتكاك. وفي تيار متجه شمالًا تتناقص سرعته شرقًا انطلاقًا من قرب الجدار الغربي، فإنّ $\partial v/\partial x < 0$ على معظم عرضه: دوّامية التيار سالبة، والاحتكاك يعمل ضدّها، فيوفّر الدوّامية الموجبة التي تحتاجها الأعمدة. أمّا تيار متجه شمالًا عند جدار شرقي فستكون دوّاميته موجبة، وكان الاحتكاك سيُزيل الإشارة الخاطئة.

مع $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $35{}^{\circ}$ شمالًا، و$\delta_S = 53\,\mathrm{km}$، ويشغل التدفّق الشمالي أوّل $250\,\mathrm{km}$ من الجدار. وفي عام 1950 و. ه. مونك استبدل الاحتكاك القاعي بلزوجة الاضطراب الدوّامي الجانبية $A_H$، الذي يؤثّر في القصّ داخل التيار؛ فتكتسب المعادلة حدًّا $A_H\nabla^4\psi$، وقرب الجدار الغربي يصبح التصحيح $\mathrm e^{-x/2\delta_M}$ مضروبًا في تذبذب، $\cos(\sqrt3x/2\delta_M)$ و$\sin(\sqrt3x/2\delta_M)$. ومع $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ يكون التيار الشمالي عرضه نحو $225\,\mathrm{km}$ (في حوض الشكل، $233\,\mathrm{km}$)، يليه تيار مضاد ضعيف، وهو شكل قريب من تيار الخليج وكوروشيو. كما في طبقة ستوميل، لا يتعلّق نقل التيار بالاحتكاك، بل بدوّامية إجهاد الريح وعرض الحوض و$\beta$. ومن رياح عصره حسب مونك $36\,\mathrm{Sv}$ لتيار الخليج، و$39\,\mathrm{Sv}$ لتيار كوروشيو، نحو نصف قيم النقل المقاسة آنذاك؛ ومع معامل السحب الأفضل ومتوسّطات أدقّ للإجهاد، وُجد $32\,\mathrm{Sv}$ لتيار الخليج عام 1978. ويُقاس في معظمه بكابل بحري، ظلّ تيار الخليج في مضيق فلوريدا يحمل $31.7\,\mathrm{Sv}$ على المتوسّط منذ عام 2004. ويزداد تدفّقه باتجاه المصبّ حتى نحو $150\,\mathrm{Sv}$ قرب $40{}^{\circ}$ شمالًا، وقبالة رأس هاتيراس يحدث تدوير قوي لا تتضمّنه النظرية الخطّية، فيُفسد التوافق.

21.4 الدوران الأعماقي

يُملأ المحيط العميق من أماكن قليلة. وفي مجلد السنة الأولى، يتكوّن الماء العميق حيث يُبرَّد الماء السطحي ويُجعل كثيفًا في أقصى شمال الأطلسي وحول القارة القطبية الجنوبية، وينتشر عبر الأحواض بوصفه ماء الأطلسي الشمالي العميق وماء القاع القطبي الجنوبي. بين عامَي 1958 و1960 ه. ستوميل وأ. ب. آرونز وأ. ج. فالر تساءلوا كيف ينتشر، مستعينين بالحجّة الدوّامية نفسها التي استعملها سفيردروب.

تعريف 21.7 (نموذج ستوميل–آرونز)

نموذج ستوميل–آرونز للدوران الأعماقي يفترض أنّ الماء العميق يُغذّى بالحمل عند عدد قليل من المنابع عالية العرض، وأنّه يعود إلى المحيط العلوي عبر صعود بطيء منتظم $W_0$ عبر قاعدة المنحدر الحراري، يوازنه خلط الحرارة نحو الأسفل، وأنّ التدفّق الداخلي جيوستروفي ويحفظ الدوّامية الكامنة. وتُغلق الدورة بتيارات الحدّ الغربي العميقة.

قضية 21.8 (التدفّق الداخلي في الأعماق نحو القطبين)

في نموذج ستوميل–آرونز، فوق قاع مستوٍ، يكون النقل المكامَل على العمق نحو الشمال للداخل الأعماقي يُعطى بالعلاقة

$$V = \frac{f}{\beta}W_0 = a\tan\varphi\,W_0 ,$$

متّجهًا نحو القطبين في نصفي الكرة كليهما عندما $W_0 > 0$.

النتيجة مخالفة للحدس: يتدفّق الداخل الأعماقي نحو المنابع، لا مبتعدًا عنها. أجرى ستوميل وآرونز تجارب بالأحواض الدوّارة ليقتنعا بها. يسير الماء القادم من المنابع على امتداد الجدران الغربية، في تيارات الحدّ الغربي العميقة التي تغذّي الداخل في أثناء مسيرها. وفي قطاع من المحيط بين خطّ الاستواء والقطب يقع فيه المنبع كلّه $S_0$ قرب القطب، ويحمل تيار الحدّ الغربي $2S_0\sin\varphi$ نحو خطّ الاستواء، أي ضعف المنبع عند القطب ولا شيء عند خطّ الاستواء: الفائض عن $S_0$ هو ماء معاد تدويره من الداخل. يجعل النموذج الدوران العميق مدفوعًا بالخلط لا بالهبوط: لو غاب الصعود لاقتصر الحمل على ملء الأعماق ببركة راكدة من الماء البارد. وتتراوح أزمنة عبورها بين بضعة قرون قرب المنابع إلى ما يقارب ألف سنة في شمال الهادئ. وفوق قاع المحيط الفعلي تقسّم الظهرات الأحواض، ويكون الخلط قويًّا فوق التضاريس الخشنة، والتدفّق العميق نطاقيّ أكثر بكثير من تدفّق النموذج. وأبقى تنبّؤاته هو تيار الحدّ الغربي العميق: ففي شمال الأطلسي يعود نحو $14\,\mathrm{Sv}$ من الماء عند $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ جنوبًا، بينما يحمل تيار الخليج الماء الدافئ شمالًا.

المنطقة الداخلية للنموذج، كما عند سفيردروب، جيوستروفية، والتيارات الجيوستروفية للبحر العميق تُقاس بالطريقة التي قاس بها سفيردروب تياراته: من الكثافة.

تعريف 21.9 (الطريقة الديناميكية)

الطريقة الديناميكية تحسب التيار الجيوستروفي بين محطتين هيدروغرافيتين من الكثافة المقاسة في كلتيهما، بالنسبة إلى مستوى ضغط مرجعي يُفترض عنده أن التيار معدوم أو معلوم. تُقسَم المسافة الجهدية بين سطحي ضغط، أي $\int\alpha\,\mathrm dp$ حيث $\alpha = 1/\rho$ هو الحجم النوعي، إلى جزء قياسي متساوٍ في المحطتين، والشذوذ الجهدي الأرضي $\Delta\Phi$؛ ويكون التيار عند السطح العلوي، عموديًا على الخط الواصل بين المحطتين $A$ و$B$، والمسافة بينهما $L$ هو

$$v = \frac{\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A}{fL} .$$

لماذا لا يُقاس الضغط مباشرةً، كما يفعل علماء الأرصاد الجوية؟ يحتاج تيار جيوستروفي مقداره $10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ عند $30{}^{\circ}$ إلى تدرّج ضغط مقداره $7.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$، أي $750\,\mathrm{Pa}$ عبر $100\,\mathrm{km}$، وهو وزن $7.4\,\mathrm{cm}$ من ماء البحر. ولا يمكن ضبط أي مقياس ضغط على قاع البحر بهذه الدقة. أما الكثافة، المحسوبة بدقة بضعة أجزاء في المليون، فتعطي ميل سطح ضغط بالنسبة إلى آخر. يقع الماء الأخفّ والأدفأ على يمين التيار، عند النظر في اتجاهه، في نصف الكرة الشمالي. وعبر تيار الخليج تتغيّر أعماق أسطح الكثافة الثابتة بأكثر من $1\,\mathrm{km}$ عبر $100\,\mathrm{km}$.

طريقة 21.10 (التيار الجيوستروفي من محطتين)

1. عند كل محطة، احسب شذوذ الحجم النوعي $\delta = \alpha(S, T, p) - \alpha(35, 0, p)$ من الملوحة المقاسة، ودرجة الحرارة والضغط.
2. أجرِ التكامل من مستوى الضغط المرجعي حتى كل ضغط $p$: $\Delta\Phi(p) = \int_p^{p_{\text{مرجع}}}\delta\,\mathrm dp$.
3. عند كل ضغط، يكون $v(p) = (\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A)/(fL)$ هو التيار بالنسبة إلى المستوى المرجعي، موجبًا عندما تكون المحطة $B$ على اليمين.
4. أضِف تيار المستوى المرجعي إن كان معلومًا، من عوّامة تنجرف عنده، أو من ميل سطح البحر المقاس بالأقمار الصناعية.

في الميدان — مصفوفة من العوّامات

أرقام عام 2024

تنجرف نحو أربعة آلاف عوّامة من نوع Argo عبر المحيط العالمي. تُنزَل من جانب السفينة فتغوص عوّامة إلى نحو $1000\,\mathrm{m}$ وتنجرف هناك نحو تسعة أيام؛ ثم تغوص إلى $2000\,\mathrm{m}$ وتصعد إلى السطح، فتقيس الناقلية والحرارة والضغط في أثناء الصعود، ويبدأ الدورة من جديد كل نحو عشرة أيام؛ وتصل عوّامات أرغو العميقة في قياساتها إلى $6000\,\mathrm{m}$. وفي يوليو 2024 جمعت المصفوفة قياسها رقم ثلاثة ملايين. ومن هذه القياسات يحسب علماء المحيطات الشذوذات الجهدية الأرضية للطريقة الديناميكية عند كل عوّامة، والإزاحة الذاتية للعوّامة بين صعودين متتاليين تعطي متوسط التيار عند عمق توقّفها، وهي السرعة المرجعية التي اضطرّ سفيردروب إلى افتراضها، وقد أصبحت تُقاس الآن.

21.5 المدّ في المحيطات

يحدث المدّ مرتين كل يوم، ويتأخّر كل يوم بما يقلّ قليلًا عن ساعة، فيرتفع البحر وينخفض. تشرح كتب الفيزياء قوة المدّ: فجذب القمر أقوى في الجانب القريب من الأرض منه في مركزها، وأضعف في الجانب البعيد، فيُسحب الماء بالنسبة إلى المركز على امتداد الخط الواصل إلى القمر على الجانبين معًا.

تعريف 21.11 (مدّ التوازن؛ المكوّن المدّي)

مدّ التوازن هو الشكل الذي تتّخذه سطح محيط يغطي الأرض كلها لو تبع جهد توليد المدّ لحظيًا دون قصور ذاتي. المكوّن المدّي هو أحد الحدود التوافقية، ولكلّ منها تردّد ثابت تحدّده حركات القمر والشمس، وسعة وطور يُحسبان عند كل مكان، ويجتمع مجموعها ليكوّن المدّ؛ وتُسمّى بحرف وعدد الدورات في اليوم، مثل M$_2$، المكوّن القمري نصف اليومي الرئيسي.

مبرهنة 21.12 (مدّ التوازن للقمر)

بالنسبة إلى القمر، ذي الكتلة $M$ على بُعد $d$ من مركز الأرض، ذات الكتلة $M_E$ ونصف القطر $a$، فإنّ مدّ التوازن عند زاوية $\theta$ من النقطة الواقعة تحت القمر يساوي

$$\eta = K\,\frac{3\cos^2\theta - 1}{2},\qquad K = \frac{M}{M_E}\Big(\frac{a}{d}\Big)^3 a .$$

مع نسبة الكتلة $0.0123$، و$d = 384\,400\,\mathrm{km}$ و$a = 6371\,\mathrm{km}$، و$K = 0.357\,\mathrm{m}$، يقف البحر على ارتفاع $0.36\,\mathrm{m}$ تحت القمر وفي الجهة المقابلة، وينخفض $0.18\,\mathrm{m}$ على الدائرة العظمى الواقعة بينهما، فيكون المدى $0.54\,\mathrm{m}$. عند خط العرض $\varphi$، والقمر في الانحراف $\delta$ وزاوية الساعة $H$، يكون $\cos\theta = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H$. ومع دوران الأرض تحت الانتفاختين يمرّ المكان بمدّين عاليين في اليوم القمري، $24\,\mathrm{h}$ $50\,\mathrm{min}$: هو المدّ نصف اليومي. وحين يقع القمر شمال خط الاستواء أو جنوبه تميل الانتفاختان، ويكون المدّان العاليان في اليوم غير متساويين، كما يبيّن الشكل أدناه. وتُحدث الشمس مدًّا من الشكل نفسه، أكبر منه بمقدار $0.46$ مرّة؛ ويتراكب المدّان عند المحاق والبدر، فيكوّنان المدّ الربيعي، ويتلاشى كلٌّ منهما جزئيًا عند التربيعين.

يعطي التحليل التوافقي لمدّ التوازن مكوّناته. وأكبرها خمسة، مع سعات التوازن الخاصة بها، ترد في الجدول أدناه. ويلزم ما لا يقلّ عن 39 مكوّنًا للتنبؤ بمدّ ميناء بدقة واحد في الألف من أكبر حدّ فيه، ويجب أن يعمل مقياس المدّ أكثر من 18.6 سنة، وهي دورة تعديل المدّ القمري، حتى يمكن فصلها جميعًا.

المدّ الحقيقي ليس مدّ التوازن. فلكي يبقى انتفاخ تحت القمر على خط الاستواء، يجب أن يدور المدّ حول الأرض في يوم قمري، بسرعة نحو $460\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، وهي سرعة لا تبلغها موجة الجاذبية الطويلة إلا في محيط عمقه $22\,\mathrm{km}$؛ وتوقفه القارات. بل المدّ موجة طويلة مُجبَرة، تتذبذب في كل حوض قرب الرنين، ويجعله دوران الأرض يدور حول الحوض.

تعريف 21.13 (موجة كلفن)

موجة كلفن المحيطية هي موجة جاذبية طويلة تسير على طول ساحل، أو على طول خط الاستواء، دون سرعة عبره، ويتناقص ارتفاعها أُسيًّا مبتعدًا عن الساحل على مسافة نصف قطر روسبي. وعلى طول الساحل تسير والساحل على يمينها في نصف الكرة الشمالي، وعلى يسارها في نصف الكرة الجنوبي.

مبرهنة 21.14 (موجة كلفن الساحلية)

في محيط ذي عمق منتظم $H$ على المستوي $f$، حيث $f > 0$، محصور بساحل مستقيم على طول $y = 0$ ويقع في $y > 0$، تملك معادلات المياه الضحلة الخطية حلولًا عندما $v = 0$

$$\eta = \mathrm e^{-y/L_R}F(x - ct),\qquad u = \frac{g}{c}\,\eta,\qquad c = \sqrt{gH},\quad L_R = \frac{c}{f},$$

لأيّ شكل $F$، ولا يوجد حل عندما $v = 0$ ينتشر في الاتجاه $-x$.

في المحيط العميق الذي عمقه $4000\,\mathrm{m}$، تكون $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ونصف قطر روسبي نحو $2000\,\mathrm{km}$ عند خطوط العرض المتوسطة: يجتاح المدّ الحوض بأكمله. وفوق بحر رصيفي عمقه $50\,\mathrm{m}$، تكون $c = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، ونصف قطر روسبي أقلّ من $200\,\mathrm{km}$، وطول موجة M$_2$ نحو $1000\,\mathrm{km}$. وفي الخليج، يدخل المدّ على طول ساحل واحد كموجة كلفن، ويعود على طول الساحل المقابل، والساحل على يمينه مجددًا؛ ويلغي الموجتان أحدهما الآخر عند النقاط الواقعة بينهما.

تعريف 21.15 (النقطة الأمفيدرومية؛ خط تساوي زمن المدّ؛ خط تساوي مدى المدّ)

النقطة الأمفيدرومية هي نقطة تنعدم عندها سعة مكوّن مدّي ويدور حولها أعلى المدّ. خط تساوي زمن المدّ يصل بين الأماكن التي يبلغ فيها أعلى المدّ للمكوّن نفسه في الوقت ذاته؛ وخط تساوي مدى المدّ يصل الأماكن ذات المدى المدّي المتساوي. تنبعث خطوط تساوي زمن المدّ من النقاط الأمفيدرومية؛ أمّا خطوط تساوي مدى المدّ فتدور حولها.

خرائط مدّ المحيط المستخلصة من القياس الارتفاعي بالأقمار الصناعية، والدقيقة إلى نحو $2\,\mathrm{cm}$ في أعماق البحار، تُظهر هذه البنية في كل مكان: ذروة M$_2$ تدور عكس عقارب الساعة حول النقاط الأمفيدرومية في أحواض نصف الكرة الشمالي وباتجاه عقارب الساعة في أحواض نصف الكرة الجنوبي، وتقع أكبر المديات على السواحل. ويبدّد المدّ $3.75\,\mathrm{TW}$، منها $3.5\,\mathrm{TW}$ في المحيط، نحو ثلثَي طاقة M$_2$ على الرصيف وفي البحار الضحلة، وثلثها عبر الموجات الداخلية في المحيط العميق. وهذه الطاقة تطيل اليوم بنحو $2.07\,\mathrm{ms}$ كل قرن، وتدفع القمر بعيدًا بمقدار $3.86\,\mathrm{cm}$ كل سنة؛ ويخلط الجزء المفقود في المحيط العميق مياهه، موفّرًا جزءًا من الخلط الذي يقود، في نموذج ستوميل–آرونز، الدورةَ في الأعماق السحيقة.

21.6 التمارين

تمرين 21.1 ★

إجهاد ريح غربية مقداره $0.12\,\mathrm{Pa}$ يهبّ فوق البحر عند $40{}^{\circ}$ شمالًا ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$). احسب نقل إيكمان لكل متر من العرض واتجاهه، والنقل عبر مقطع طوله $1000\,\mathrm{km}$، بوحدة سفيردروب.

حل

حل التمرين 21.1.

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\tau/(\rho f) = 0.12/(1025\times9.37 \times 10^{-5}) = 1.25\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، على يمين الريح: جنوبًا. عبر $1000\,\mathrm{km}$، $1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، $1.25\,\mathrm{Sv}$.

تمرين 21.2 ★

مع $A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، احسب عمق إيكمان عند $45{}^{\circ}$ شمالًا. ما نسبة التيار السطحي المتبقية عند ذلك العمق؟

حل

حل التمرين 21.2.

$f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/1.031 \times 10^{-4}} = 98\,\mathrm{m}$. يساوي التيار هناك $\mathrm e^{-\pi} = 0.043$ من تيار السطح، ويجري في الاتجاه المعاكس.

تمرين 21.3 ★

عند $30{}^{\circ}$ شمالًا يبلغ دوّار إجهاد الريح $-1 \times 10^{-7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$ عبر حوض عرضه $5000\,\mathrm{km}$ ($a = 6371\,\mathrm{km}$). احسب $\beta$، ونقل سفيردروب لكل وحدة عرض، والنقل الكلّي مع اتجاهه.

حل

حل التمرين 21.3.

$\beta = 2\Omega\cos30{}^{\circ}/a = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $V = -1 \times 10^{-7}/(1025\times1.98 \times 10^{-11}) = -4.92\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$؛ عبر $5000\,\mathrm{km}$، $-24.6\,\mathrm{Sv}$: جنوبًا.

تمرين 21.4 ★

انطلاقًا من دوري M$_2$ وS$_2$، احسب دورة المدّ الربيعي والمدّ الميّت، أي الزمن الفاصل بين اصطفافين متتاليين للمكوّنين.

حل

حل التمرين 21.4.

يعود المكوّنان إلى الطور نفسه بعد $1/(1/12 - 1/12.4206) = 354\,\mathrm{h}$، $14.77$ يومًا، نصف الشهر الاقتراني.

تمرين 21.5 ★★

يتزايد إجهاد ريح غربية خطّيًّا من 0 عند $35{}^{\circ}$ شمالًا إلى $0.1\,\mathrm{Pa}$ عند $45{}^{\circ}$ شمالًا، أبعد شمالًا بمسافة $1110\,\mathrm{km}$. احسب ضخّ إيكمان عند $40{}^{\circ}$ شمالًا، مع الإبقاء على الحدّين كليهما من القضية 21.3، بوحدة المتر في السنة. هل يُدفع الماء صعودًا أم هبوطًا؟

حل

حل التمرين 21.5.

عند $40{}^{\circ}$ شمالًا، $f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$، $\beta = 1.75 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$، $\tau_x = 0.05\,\mathrm{Pa}$ و$\partial\tau_x/\partial y = 0.1/1.11 \times 10^{6} = 9.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. الحدّ الأول، $-9.0 \times 10^{-8}/(1025\times9.37 \times 10^{-5}) = -9.38 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ الحدّ الثاني، $0.05\times1.75 \times 10^{-11}/(1025\times (9.37 \times 10^{-5})^2) = +9.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. $w_E = -8.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $-26.5\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$: يُدفع الماء إلى الأسفل.

تمرين 21.6 ★★

في الدوّامة المحيطية لستوميل ذات $r = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ و$\beta = 2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$، احسب العرض $\delta_S$. إذا حمل تيار الحدّ $30\,\mathrm{Sv}$ في الطبقة العليا $800\,\mathrm{m}$، ضمن عرض $\delta_S$، فما متوسط سرعته؟

حل

حل التمرين 21.6.

$\delta_S = 2 \times 10^{-6}/2 \times 10^{-11} = 100\,\mathrm{km}$؛ السرعة $= 30 \times 10^{6}/(1 \times 10^{5}\times800) = 0.375\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

تمرين 21.7 ★★

احسب عرض مونك $\delta_M$ وعرض النفّاث المتّجه شمالًا، $(2\pi/\sqrt3)\,\delta_M$، عند $30{}^{\circ}$ شمالًا من أجل $A_H = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. كيف يتغيّر العرض إذا كان $A_H$ أصغر ثماني مرّات؟

حل

حل التمرين 21.7.

$\beta = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\delta_M = (10^4/1.98 \times 10^{-11})^{1/3} = 79.6\,\mathrm{km}$، والتيار النفاث عرضه $3.628\,\delta_M = 289\,\mathrm{km}$. مع $A_H$ أصغر ثماني مرّات ينخفض كلٌّ منهما إلى النصف، لأنّ $8^{1/3} = 2$.

تمرين 21.8 ★★

تقع محطّتان على بُعد $80\,\mathrm{km}$ من بعضهما على خطّ يمتدّ من الغرب ($A$) إلى الشرق ($B$) عند $36{}^{\circ}$ شمالًا. بالنسبة إلى سطح $1000\,\mathrm{dbar}$، فإنّ شذوذ الجهد الأرضي لسطح البحر هو $14.5\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ عند $A$ و$21.3\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ عند $B$. احسب تيار السطح بالنسبة إلى $1000\,\mathrm{dbar}$ واتجاهه. أيّ المحطّتين تحوي عمود الماء الأدفأ؟

حل

حل التمرين 21.8.

$f = 8.57 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $v = (21.3 - 14.5)/(8.57 \times 10^{-5}\times8 \times 10^{4}) = 0.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، موجبة مع $B$ على اليمين: بالنظر من $A$ إلى $B$، شرقًا، يتّجه التيار شمالًا. يعلو سطح البحر $6.8/9.81 = 0.69\,\mathrm{m}$ أعلى عند $B$؛ عمود الماء عند $B$ هو الأخفّ والأدفأ، على يمين التيار.

تمرين 21.9 ★★

مع مدّ التوازن للقمر، $K = 0.357\,\mathrm{m}$، ونسبة $0.46$ من مدّ الشمس إلى مدّ القمر، احسب مدى التوازن (أعلى مستوى للماء تحت الجرمين ناقص أدنى مستوى عند $90{}^{\circ}$) عند المدّ الربيعي وعند المدّ الميّت، ونسبتهما.

حل

حل التمرين 21.9.

مدى المدّ الربيعي $1.5K(1 + 0.46) = 0.78\,\mathrm{m}$؛ مدى المدّ النيابي $1.5K(1 - 0.46) = 0.29\,\mathrm{m}$؛ النسبة $1.46/0.54 = 2.7$.

تمرين 21.10 ★★★

على المستوي $\beta$ الاستوائي، $f = \beta_0y$ حيث $\beta_0 = 2\Omega/a$. بيّن أنّ موجة كلفن $\eta = G(y)F(x - ct)$، $v = 0$، تصبح $G = \exp(-\beta_0y^2/2c)$، محصورة على جانبي خطّ الاستواء، وتنتقل شرقًا. احسب مقياس حصرها $\sqrt{c/\beta_0}$ من أجل موجة سرعتها $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

حل

حل التمرين 21.10.

كما في المبرهنة 21.14، $u = \pm(g/c)\eta$ من أجل $F(x \mp ct)$، و$fu = -g\,\partial\eta/\partial y$ يصبح $\beta_0y(\pm g/c)G = -gG'$، إذن $G = \exp(\mp\beta_0y^2/2c)$. لا يُحصر على جانبي خط الاستواء إلا الإشارة العليا، أي الموجة المتجهة شرقًا. $\beta_0 = 2.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$، $\sqrt{2.5/2.29 \times 10^{-11}} = 330\,\mathrm{km}$.

تمرين 21.11 ★★★

(أ) استنتج $V = a\tan\varphi\,W_0$ للداخل القاعي من $\beta v = f\,\partial w/\partial z$. (ب) مع $W_0 = 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، احسب $V$ عند $30{}^{\circ}$ شمالًا والنقل الكلّي نحو القطب عبر حوض عرضه $5000\,\mathrm{km}$. (ج) من أين يجب أن يأتي الماء؟

حل

حل التمرين 21.11.

(أ) بتكامل $\beta v = f\,\partial w/\partial z$ من القاع، $w = 0$، حتى أعلى الطبقة اللُّجّية، $w = W_0$: $\beta V = fW_0$، و$f/\beta = a\tan\varphi$. (ب) $V = 6.371 \times 10^{6}\times0.577\times10^{-7} = 0.368\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، $1.84\,\mathrm{Sv}$ عبر $5000\,\mathrm{km}$، نحو القطب. (ج) من تيار الحدّ الغربي العميق الذي تغذّيه المنابع في خطوط العرض العالية؛ يجري الجزء الداخلي نحو المنابع، ويجري تيار الحدّ بعيدًا عنها.

تمرين 21.12 ★★★

يجري تيار جيوستروفي $W_g = u_g + \mathrm iv_g$ فوق قاع بحر مستوٍ عند $z = 0$، مع لزوجة الاضطراب الدوّامي $A_z$ وعدم انزلاق عند القاع. (أ) بيّن أنّ $W = W_g(1 - \mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta})$، حيث $\delta = \sqrt{2A_z/f}$. (ب) بيّن أنّ عجز النقل في طبقة إيكمان القاعية هذه تضخّ السرعة الرأسية $w = \tfrac12\delta\zeta_g$ إلى الداخل، حيث $\zeta_g$ دوّامية التيار الجيوستروفي. (ج) من أجل $A_z = 0.01\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، و$f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ ومحيط عمقه $4000\,\mathrm{m}$، احسب $\delta$، ومعدّل تباطؤ الدوران $r = f\delta/2H$، ومقلوبه بالأيّام.

حل

حل التمرين 21.12.

(أ) مع $z$ موجّهًا نحو الأعلى انطلاقًا من القاع، $A_zW'' = \mathrm if(W - W_g)$، إذ يكون تدرّج الضغط هو تدرّج الجريان الجيوستروفي الذي فوقه. $W - W_g = C\mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta}$ محدودة نحو الأعلى، و$W(0) = 0$ يعطي $C = -W_g$. (ب) عجز النقل هو $\int_0^\infty(W - W_g)\,\mathrm dz = -W_g\delta/(1+\mathrm i) = -\tfrac12\delta(1 - \mathrm i)W_g$، أي $-\tfrac12\delta(u_g + v_g,\ v_g - u_g)$. ولأنّ الجريان الجيوستروفي عديم التباعد، $w = -\nabla\cdot(\text{العجز}) = \tfrac12\delta(\partial_x v_g - \partial_y u_g) = \tfrac12\delta\zeta_g$. (ج) $\delta = \sqrt{0.02/10^{-4}} = 14.1\,\mathrm{m}$; $r = 10^{-4}\times14.1/8000 = 1.77 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-1}$، زمن تباطؤ الدوران $65$ يومًا.

21.7 مسألة: دوّامة في بحر عمّار

مسألة 21.1

مسألة نهاية الأسبوع — ضخّ إيكمان ونقل سفيردروب، تيار الحدّ الغربي ومدّ محيط مُتخيَّل

بحر عمّار حوض محيطي متخيَّل، مستطيل يمتدّ من $20{}^{\circ}$ إلى $50{}^{\circ}$ شمالًا، وعرضه $6000\,\mathrm{km}$، وعمقه $4000\,\mathrm{m}$. إجهاد الريح موازٍ لدوائر العرض، $\tau_x = -\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$ حيث $\tau_0 = 0.1\,\mathrm{Pa}$. خُذ $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، و$\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، $a = 6371\,\mathrm{km}$، $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، و، حيث يُطلب المستوي $\beta$، قيمته عند $35{}^{\circ}$ شمالًا.

الجزء الأول — طبقة إيكمان.

1. احسب إجهاد الريح عند $20{}^{\circ}$، و$35{}^{\circ}$، و$50{}^{\circ}$ شمالًا.
2. احسب $f$ عند خطوط العرض نفسها.
3. احسب نقل إيكمان الحجمي لكل وحدة عرض عند $20{}^{\circ}$ و$50{}^{\circ}$ شمالًا، مع اتجاهه. هل يتقارب النقلان أم يتباعدان في الحوض؟
4. مع $A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، احسب عمق إيكمان عند $35{}^{\circ}$ شمالًا.
5. احسب ضخّ إيكمان عند $35{}^{\circ}$ شمالًا، بالمتر في الثانية وبالمتر في السنة.
6. كم سنةً يلزم هذا الضخّ لدفع مياه السطح إلى الأسفل مسافة $500\,\mathrm{m}$؟

الجزء الثاني — الداخل وفق توازن سفيردروب.

7. احسب طول الحوض $L$ من الجنوب إلى الشمال و$\beta$ عند $35{}^{\circ}$ شمالًا.
8. احسب دوّار إجهاد الريح عند $35{}^{\circ}$ شمالًا.
9. احسب نقل سفيردروب لكل وحدة عرض عند $35{}^{\circ}$ شمالًا، مع اتجاهه.
10. احسب النقل الكلّي الداخلي عبر الحوض عند $35{}^{\circ}$ شمالًا، بوحدات السفيردروب.
11. إذا توزّع هذا التدفّق على الطبقة العليا $1000\,\mathrm{m}$، فما متوسط سرعته، وكم سنة تستغرق كتلة الماء لتنتقل $1000\,\mathrm{km}$ جنوبًا؟
12. بيّن أنّ $fw_E/\beta$ عند $35{}^{\circ}$ شمالًا يعطي النقل نفسه، وفسّر السبب باستعمال الدوّامية الكامنة لعمود الماء.

الجزء الثالث — تيار الحدّ الغربي.

13. فسّر لماذا لا يمكن للتدفّق العائد أن يجري على الجانب الشرقي من الحوض.
14. مع احتكاك قاعي $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$، احسب عرض ستوميل $\delta_S$.
15. احسب النقل المتّجه شمالًا لكل وحدة عرض عند الجدار الغربي، $A(X/\delta_S - 1)$، ومتوسط السرعة إذا ملأ الطبقة العليا $1000\,\mathrm{m}$.
16. على أيّ مسافة من الجدار ينتهي التدفّق المتّجه شمالًا؟
17. احسب النقل المتّجه شمالًا في طبقة ستوميل الحدّية، وفسّر لماذا يقصر عن النقل الداخلي بنحو $1.5\,\mathrm{Sv}$.
18. مع $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، احسب $\delta_M$ وعرض نفّاث مونك المتّجه شمالًا.
19. يحمل نفّاث مونك $1 + \mathrm e^{-\pi/\sqrt3}$ ضعف النقل الداخلي. احسب هذا النقل، وبيّن أين يذهب الفائض.

الجزء الرابع — مدّ بحر عمّار.

20. احسب سرعة موجة كلفن في الحوض ونصف قطر روسبي عند $35{}^{\circ}$ شمالًا.
21. احسب طول موجة كلفن للمكوّن M$_2$.
22. كم من الوقت تستغرق موجة كلفن لتقطع دورة كاملة حول سواحل الحوض، وكم دورةً للمكوّن M$_2$ تعادل ذلك؟
23. بأيّ سرعة يجب أن ينتقل مدّ التوازن حول دائرة العرض $35{}^{\circ}$ شمالًا لكي يبقى تحت القمر، وفي أيّ عمق من المحيط تنتشر موجة طويلة بهذه السرعة؟
24. أين تتوقّع أن تقع النقطة الأمفيدرومية للحوض، وفي أيّ اتجاه يدور حولها أعلى مستوى للماء؟
25. احسب سعة مدّ التوازن نصف اليومي عند $35{}^{\circ}$ شمالًا، $\tfrac34 K\cos^2\varphi$، مع $K = 0.357\,\mathrm{m}$، للقمر الواقع على خطّ الاستواء.
26. أعطِ نقل تيار الحدّ الغربي الذي يُغلق دوّامة بحر عمّار.

حل

حل المسألة 21.1.

1. $\tau_x = -0.1\,\mathrm{Pa}$ (شرقية)، 0 و$+0.1\,\mathrm{Pa}$ (غربية).

2. $f = 4.99 \times 10^{-5}$، $8.37 \times 10^{-5}$ و$1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$.

3. $V_E = -\tau_x/(\rho f)$: $+1.96\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (شمالًا) عند $20{}^{\circ}$ شمالًا و$-0.87\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (جنوبًا) عند $50{}^{\circ}$ شمالًا. ويتقاربان.

4. $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/8.37 \times 10^{-5}} = 109\,\mathrm{m}$.

5. $\tau_x = 0$ عند $35{}^{\circ}$ شمالًا، إذن $w_E = -(1/\rho f)\, \partial\tau_x/\partial y = -\pi\tau_0/(\rho fL) = -1.10 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $-34.7\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$، إلى الأسفل.

6. $500/34.7 = 14.4\text{ سنة}$.

7. $L = a\times\pi/6 = 3336\,\mathrm{km}$; $\beta = 1.875 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

8. $\operatorname{curl}_z\vec\tau = -\pi\tau_0/L = -9.42 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

9. $V = -9.42 \times 10^{-8}/(1025\times1.875 \times 10^{-11}) = -4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، جنوبًا.

10. $4.90\times6 \times 10^{6} = 2.94 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، $29.4\,\mathrm{Sv}$ جنوبًا.

11. $4.9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$؛ $1000\,\mathrm{km}$ في $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$، $6.5$ سنة.

12. $fw_E/\beta = 8.37 \times 10^{-5}\times(-1.10 \times 10^{-6})/ 1.875 \times 10^{-11} = -4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: القيمة نفسها، لأنّ نقل إيكمان ينعدم حيث $\tau_x = 0$. عمود مضغوط بالمعدّل $w_E$ يحتفظ بدوّاميته الكامنة $f/h$ فقط بالانتقال نحو $f$ أصغر، جنوبًا، بالمعدّل $\beta V_g = fw_E$.

13. لا يمكن أن تكون الطبقة الحدّية إلّا طبقةً يتلاشى فيها التصحيح المطبَّق على الداخل بالابتعاد عن الجدار؛ ومع $\beta > 0$ يكون ذلك $\mathrm e^{-x/\delta_S}$، وهو يتلاشى شرقًا، انطلاقًا من الجدار الغربي فقط. بلغة الدوّامية، يزيل الاحتكاك في تيار متّجه شمالًا ضد جدار شرقيّ يزيل الدوّامية الموجبة، وهي الإشارة الخاطئة.

14. $\delta_S = 10^{-6}/1.875 \times 10^{-11} = 53.3\,\mathrm{km}$.

15. $A = 4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، $X/\delta_S = 112.5$: $4.90\times111.5 = 546\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، $0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عبر $1000\,\mathrm{m}$.

16. حيث $(X/\delta_S)\mathrm e^{-x/\delta_S} = 1$: $x = \delta_S\ln(X/\delta_S) = 252\,\mathrm{km}$.

17. $A(X - \delta_S - x_0) = 4.90\times(6000 - 53 - 252)\times 10^3 = 27.9\,\mathrm{Sv}$. يستمرّ التدفّق الداخلي جنوبًا في الشريط المجاور للجدار؛ أمّا النقص، $A(x_0 + \delta_S) = 1.5\,\mathrm{Sv}$، فهو النقل الداخلي الذي كان سيعبر ذلك الشريط.

18. $\delta_M = (5 \times 10^{3}/1.875 \times 10^{-11})^{1/3} = 64.4\,\mathrm{km}$; التيار النفّاث $3.628\times64.4 = 233\,\mathrm{km}$.

19. $1.163\times29.4 - A\times233\,\mathrm{km} = 34.2 - 1.1 = 33.0\,\mathrm{Sv}$؛ الفائض، $16\,\%$ من النقل الداخلي يعود جنوبًا في التيار المعاكس مباشرةً شرق التيار النفّاث.

20. $c = \sqrt{9.81\times4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R = 198/8.37 \times 10^{-5} = 2370\,\mathrm{km}$.

21. $198\times12.4206\times3600 = 8860\,\mathrm{km}$.

22. محيط الحوض $2(6000 + 3336) = 18\,670\,\mathrm{km}$، $26.2\,\mathrm{h}$، 2.1 M$_2$ دورات.

23. الدائرة هي $2\pi a\cos35{}^{\circ} = 32\,790\,\mathrm{km}$، تُقطع في يوم قمري، $24.84\,\mathrm{h}$: $367\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، وهذا يتطلّب $c^2/g = 13.7\,\mathrm{km}$ من الماء.

24. مع نصف قطر روسبي مماثل لعرض الحوض، وطول موجة M$_2$ مماثلًا لطوله، تقريبًا نقطة أمفيدرومية واحدة قرب مركز الحوض؛ يدور المدّ المرتفع عكس اتّجاه عقارب الساعة حولها، مُبقيًا الساحل على يمينه.

25. $\tfrac34\times0.357\times\cos^235{}^{\circ} = 0.18\,\mathrm{m}$.

26. يُعيد تيار الحدّ الغربي شمالًا $29\,\mathrm{Sv}$ الذي يحمله الداخل جنوبًا ($29.4\,\mathrm{Sv}$ وفق الحساب).