6الحمل في الوشاح والقوى المحرّكة للصفائح

يرتفع ساحل شمال السويد من البحر بنحو سنتيمتر واحد في السنة، بعد عشرة آلاف سنة من ذوبان الغطاء الجليدي الذي كان يغطيه؛ وترتفع سواحل خليج هدسون بالسرعة نفسها. لا يدفعها إلى أعلى سوى الوشاح، يتدفّق ببطء عائدًا أسفل الموضع الذي ضغطه الجليد نحو الأسفل. ويدلّ معدّل ارتداد الأرض على لزوجة الوشاح، وتحدّد اللزوجة نفسها سرعة حمل الوشاح وحركة الصفائح. يتساءل هذا الفصل لماذا يحمل الوشاح الصلب أصلًا، وبأيّ سرعة يجب أن يتدفّق لينقل حرارة الأرض، وما القوى التي تحرّك الصفائح، وماذا يقول ارتداد الأرض عن لزوجة الوشاح.

ما تعرفه من قبل

اللزوجة، أي الجريان الزاحف لمائع لزج (معادلات ستوكس $\nabla p = \eta\nabla^2\mathbf u$، $\nabla\cdot\mathbf u = 0$)، وقانون ستوكس للكرة، وعدد رينولدز والطفو واردة في المجلّدات الجامعية لكتب الفيزياء. وقد ورد الحمل في الوشاح والارتداد الأيزوستاتي في مجلّد المرحلة الثانوية (الصف 12)، وقوة دفع الظهرة وشدّ اللوح المندس في جزئه الخاص بالصف 11. الطبقة الحدّية الحرارية والغلاف الصخري الحراري والمنحنى الأدياباتي للوشاح موجودة في مجلد السنة الأولى، في فصلها عن ميزانية الحرارة الأرضية؛ والبقع الساخنة، وأعمدة الوشاح والأقاليم البركانية الكبرى في فصلها عن البقع الساخنة. ويرد نموذج تبريد نصف الفضاء في الفصل 5، وانثناء الغلاف الصخري في الفصل 3، والتصوير المقطعي الزلزالي في الفصل 1.

6.1 لماذا يحدث الحمل في الوشاح

الوشاح صلب، إذ ينقل الموجة S. غير أنّه على مدى ملايين السنين يزحف زحفًا كمائع بالغ اللزوجة، وطبقةٌ من مائع تُسخَّن من الأسفل وتُبرَّد من الأعلى قد تبقى ساكنة، وتعبرها الحرارة بالتوصيل، أو تنقلب. كتلةٌ من مائع ساخن حجمها $d$، أخفّ من محيطها بمقدار $\rho\alpha\,\Delta T$، ترتفع بسرعة من رتبة $\rho g\alpha\,\Delta T d^2/\eta$؛ وتفقد حرارتها بالانتشار خلال زمن من رتبة $d^2/\kappa$. فإن استطاعت أن ترتفع عبر الطبقة قبل أن تبرد، تنقلب الطبقة.

تعريف 6.1 (عدد رايلي)

بالنسبة لطبقة مائعة سُمكها $d$، وكثافتها $\rho$، ومعامل التمدّد الحراري $\alpha$، والانتشارية الحرارية $\kappa$ واللزوجة $\eta$، تحت تأثير الجاذبية $g$، وبفرق درجة الحرارة $\Delta T$ بين قاعدتها وقمّتها، فإنّ عدد رايلي هو

$$\mathrm{Ra} = \frac{\rho g\alpha\,\Delta T d^3}{\kappa\eta},$$

أي نسبة زمن الانتشار $d^2/\kappa$ إلى زمن الارتفاع بالطفو $\eta/(\rho g\alpha\,\Delta Td)$.

تعريف 6.2 (عدد رايلي الحرج)

عدد رايلي الحرج $\mathrm{Ra}_c$ لطبقة ما هي قيمة عدد رايلي التي فوقها يكبر الاضطراب الصغير في حالة السكون فيتحوّل إلى حمل، وأدنى منها يتلاشى.

قضية 6.3 (بداية الحمل)

لطبقة خلا سطحاها العلوي والسفلي من إجهاد القصّ، وثُبِّتت درجتا حرارتهما ثابتتين، ينمو اضطراب ذو عدد موجي أفقي $k$ (بوحدات $1/d$) عندما $\mathrm{Ra} > (\pi^2 + k^2)^3/k^2$. وتبلغ أدنى قيمة للطرف الأيمن، عند $k = \pi/\sqrt2$، ما يعطي

$$\mathrm{Ra}_c = \frac{27\pi^4}{4} \approx 657.5,$$

وأولى الخلايا التي تظهر بعرض $2\sqrt2\,d$. وبين حدود صلبة، $\mathrm{Ra}_c \approx 1708$.

تحليل الاستقرار الخطّي الذي يقوم عليه، وهو اضطراب لمعادلتي الحرارة وستوكس حول الحالة التوصيلية، وهو وارد في معالجة كتب الفيزياء للحمل؛ ويتحقّق التمرين 11 من الحدّ الأدنى.

يُظهر الشكل أدناه الطبقة التي يحدث فيها الحمل. وقيم الوشاح، مع عمق الحدّ بين اللبّ والوشاح، $d = 2891\,\mathrm{km}$، والكثافة المتوسطة للوشاح، $4476\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$g$ بين 9.8 و$10.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، وكلّها مأخوذة من نموذج الأرض الزلزالي PREM؛ و$\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ و$\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ من نموذج الصفيحة في الفصل 5؛ و$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ و$\eta$ بين $10^{21}$ و$10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (انظر القسم 6.5)، فتعطي $\mathrm{Ra}$ بين $4.9 \times 10^{6}$ و$4.9 \times 10^{7}$، نحو سبعة آلاف إلى سبعين ألف مرّة قيمة الحدّ الحرج. فلا يستطيع الوشاح إلّا أن يحمل.

ويُسخَّن الوشاح كذلك من داخله، بتحلّل العناصر المشعّة، ومن الأسفل، بفعل اللبّ. الطبقة المُسخَّنة من داخلها وحدها لا تملك طبقة حدّية حارّة عند قاعدتها: يُدفع جريانها بصفائح باردة تهبط من الأعلى، بينما يكون الجريان الصاعد عودةً واسعةً سلبية. والألواح المندسة من هذه الصفائح، والأعمدة تحتاج إلى الحرارة القادمة من اللبّ.

6.2 الطبقات الحدّية وقوّة الحمل

تعريف 6.4 (عدد نوسلت)

يُعرَّف عدد نوسلت لطبقة يجري فيها الحمل بأنّه نسبة التدفق الحراري عبرها إلى التدفق الذي يحمله التوصيل وحده عبر الطبقة نفسها، $\mathrm{Nu} = q\,d/(k\,\Delta T)$.

مبرهنة 6.5 (قياس الحمل بالطبقة الحدّية)

في طبقة يجري فيها الحمل عند $\mathrm{Ra} \gg \mathrm{Ra}_c$، إذا نمت كلّ طبقة حدّية حرارية حتى يبلغ عدد رايلي الخاص بها، المبنيّ على سماكتها $\delta$ وفرق درجة الحرارة $\Delta T/2$ عبرها، يبلغ $\mathrm{Ra}_c$، فإنّ

$$\delta = d\Bigl(\frac{2\mathrm{Ra}_c}{\mathrm{Ra}}\Bigr)^{1/3},\qquad \mathrm{Nu} = \frac12\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{1/3}, \qquad u = \frac\kappa d\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{2/3},$$

حيث $u$ هو مقياس سرعة الجريان، المعرَّف باشتراط أن تنمو الطبقة إلى $\delta$ بينما يعبر المائع الخليّة. وهذا هو قياس الحمل بالطبقة الحدّية.

لا يزداد التدفق الحراري إلّا بمقدار الجذر التكعيبي للعدد $\mathrm{Ra}$: فلزوجة أدنى بمائة مرّة تُعطي حرارة أكثر بأقلّ من خمس مرّات. ومع عدد رايلي للوشاح $\mathrm{Ra} = 4.9 \times 10^{7}$، يُعطي القياس $\delta \approx 87\,\mathrm{km}$، $\mathrm{Nu} \approx 17$، وتدفّقًا حراريًا قدره $\mathrm{Nu}\,k\Delta T/d \approx 26\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ مع $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$، و$u \approx 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (الشكل أدناه). وتساوي الطبقة الحدّية سماكة الصفيحة المحيطية في الفصل 5، $95\,\mathrm{km}$؛ أمّا الجذر التربيعي المتوسّط لسرعات الصفائح اليوم، فيتراوح من $1.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (أمريكا الجنوبية) إلى $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (كوكوس)، و$4.4\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ للغلاف الصخري كلّه. ويبلغ متوسط التدفق الحراري للأرض $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، ثلاثة إلى أربعة أضعاف القياس: فالحرارة المتولّدة داخل الوشاح، التي تُغفلها طبقة مُسخَّنة من الأسفل، والثوابت من رتبة الواحد التي يُغفلها القياس كلاهما يسهم في الفرق. وأمّا قانون بمدخل واحد، فرتب المقادير صحيحة: فالصفائح هي الطبقة الحدّية العليا لوشاح ذي $\mathrm{Ra} \sim 10^7$.

6.3 القوى المؤثّرة في الصفيحة

تتحرّك الصفيحة بسرعة ثابتة، فتتوازن القوى المؤثّرة فيها. وتدفعها ثلاث قوى أو تقاومها من حوافّها وقاعدتها (الشكل أدناه). والقوّة التي يؤثّر بها اللوح المندس الغائص في صفيحته، أي شدّ اللوح المندس، تنشأ عن الكثافة الزائدة للوح مندس بارد في الوشاح الأدفأ. أمّا قوّة دفع الظهرة، وهي دفع الظهرة المرتفعة الساخنة للصفيحة الأبرد المجاورة لها، فتُستنتج من نموذج تبريد نصف الفضاء في الفصل 5.

قضية 6.6 (قوة دفع الظهرة)

في نموذج تبريد نصف الفضاء، مع درجة حرارة الوشاح $T_m$ ودرجة حرارة السطح $T_0$ والتعويض الأيزوستاتي، فإنّ القوّة الأفقية لكلّ وحدة طولٍ من الظهرة التي يؤثّر بها العمودُ عند الظهرة في الصفيحة ذات العمر $t$، وهي قوة دفع الظهرة، وتُعطى بالعلاقة:

$$F_{rp} = g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t\Bigl[1 + \frac{2\rho_m\alpha(T_m - T_0)}{\pi(\rho_m - \rho_w)}\Bigr].$$

يتزايد دفع الظهرة خطيًّا مع العمر: فهو ليس دفعًا عند المحور، بل تدرّجًا في الضغط موزّعًا على الصفيحة المتبرّدة كلّها. وبالقيم الواردة في الفصل 5، يبلغ الحدّ بين القوسين 1.04 و$F_{rp} = 3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ عند $100\,\mathrm{Myr}$. وفي نموذج الصفيحة يتوقّف النموّ مع العمق، عند نحو $2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ (الشكل أدناه). وشدّ اللوح المندس أكبر: لوحٌ مندس سُمكُه $95\,\mathrm{km}$، وهو أبرد في المتوسّط بمقدار $(T_m - T_0)/2$ من الوشاح، ومن ثَمّ أكثف بمقدار $\rho_m\alpha(T_m - T_0)/2 \approx 74\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، ويمتدّ حتى $670\,\mathrm{km}$، ويزن $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ أكثر من الوشاح الذي يزيحه، أي اثني عشر ضعفًا لقوّة دفع الظهرة. ويُنفَق جزءٌ كبير من هذا الوزن على الوشاح اللزج الذي يقاوم غوص اللوح المندس، ولا يصل إلى الصفيحة إلّا جزءٌ منه.

تعريف 6.7 (السحب القاعدي)

السحب القاعدي هو قوّة القصّ لكلّ وحدة مساحة التي يؤثّر بها الوشاح تحت الصفيحة في قاعدتها. وبالنسبة إلى صفيحة تتحرّك بسرعة $u$ فوق طبقة سُمكها $h$ ولزوجتها $\eta$ وقاعدتها ساكنة، فإنّها تساوي $\eta u/h$، وهي معاكسة للحركة؛ وتدفع الصفيحة حيث يتحرّك الوشاح الذي تحتها أسرع من الصفيحة.

وأيّ القوى هي المهمّة يمكن قراءته من الصفائح نفسها. ويبيّن توازن العزوم على كلّ صفيحة، والمطابَق مع حركات الصفائح، أنّ القوى المؤثّرة في اللوح المندس الغائص هي التي تتحكّم في سرعة الصفائح المحيطية، وهي أقوى بنحو عشرة أضعاف من أيّ قوّة أخرى، وأنّ المقاومة عند القاعدة أكبر تحت القارّات منها تحت المحيطات. وتتّفق السرعات: فأسرع الصفائح، كوكوس بسرعة $75\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$، وناسكا بسرعة 70، والمحيط الهادئ بسرعة $66\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$، صفائحُ محيطيةٌ تغوص حوافّها في خنادق طويلة؛ وأبطؤها هي التي تحمل قارّات كبيرة: أوراسيا بسرعة 23، وأمريكا الشمالية بسرعة 20، وأمريكا الجنوبية بسرعة $11\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

6.4 أعمدة الوشاح

تنتظم الطبقات الحارّة الصاعدة من قاعدة الوشاح في أعمدة، لها رأس كبير وذيل رفيع، وهي أعمدة الوشاح المذكورة في مجلد السنة الأولى (الشكل أدناه). يقيس الانتفاخُ فوق البقعة الساخنة، وهو ارتفاعٌ واسع لقاع البحر حول البراكين وفي اتجاه حركة الصفيحة بعدها، مقدارَ الطفو الذي يجلبه عمودُها.

تعريف 6.8 (دفق طفو العمود)

دفق طفو العمود $B$ هو العجز في الكتلة، بالنسبة إلى الوشاح المحيط، الذي يحمله العمود إلى أعلى في وحدة الزمن؛ ولعمود ذي دفق حجمي $Q_v$ وزيادةٍ في درجة الحرارة $\Delta T$، $B = \rho\alpha\,\Delta T\,Q_v$.

قضية 6.9 (دفق الطفو من انتفاخ)

إذا تحرّكت صفيحة بالسرعة $u$ فوق عمود يحمل انتفاخًا مساحةُ مقطعه العرضي $A$ عبر المسار، ويُسنَد أيزوستاتيًّا بمادة العمود التي تحته، فإنّ دفق الطفو للعمود هو

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,u .$$

استنادًا إلى المقاطع العرضية للانتفاخات، تتراوح دفوق الطفو للبقع الساخنة ضمن عامل قدره عشرون: هاواي، وهي الأكبر، بمقدار $8.7\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$؛ وآيسلندا بمقدار $1.4\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$؛ و37 بقعة ساخنة معًا نحو $50\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$. وكلّ كيلوغرام من الطفو يعادل $c_p/\alpha$ جول من الحرارة الزائدة، فيكون التدفق الحراري $c_pB/\alpha$؛ مع $c_p = k/(\rho_m\kappa) = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ و$\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$، تحمل 37 بقعة ساخنة نحو $1.9\,\mathrm{TW}$، أي $3.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ على سطح الأرض البالغ $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$، وهو قريب من $4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ المنشورة مع الدفوق: بضعة في المئة من $47\,\mathrm{TW}$ التي تفقدها الأرض. الأعمدة شريك ثانوي في ميزانية الحرارة؛ أما الباقي فتحمله الصفائح.

يمثّل رأس العمود كرةً من وشاح طافٍ صاعدًا عبر الوشاح اللزج: يعطي قانونُ ستوكس المذكور في كتب الفيزياء، $v = 2\Delta\rho\,ga^2/(9\eta)$، سرعتَه بالرتبة العددية، وهي كسرٌ من المتر في السنة لرأس يبلغ عرضه بضع مئات الكيلومترات (التمرين 8)، فيعبر الوشاح في ملايين السنين.

6.5 التكيّف الأيزوستاتي الجليدي ولزوجة الوشاح

تعريف 6.10 (التكيّف الأيزوستاتي الجليدي، لزوجة الوشاح)

التكيّف الأيزوستاتي الجليدي (GIA) هو التشوّه البطيء للأرض الصلبة، وتغيّرُ مجالها الثقالي، ومستوى سطح البحر، أثناء عودتها نحو التوازن الأيزوستاتي بعد أن ينمو الغطاء الجليدي أو يذوب. أما لزوجة الوشاح فهي اللزوجة الفعّالة $\eta$ التي تربط الزحف البطيء المستقرّ للوشاح بالإجهادات التي تحرّكه، على مدى آلاف السنين وأكثر.

عندما يذوب الغطاء الجليدي، يكون الانخفاض الذي يتركه خارج التوازن الأيزوستاتي: فيكون ضغط الوشاح تحته أقلّ منه حوله، فيتدفّق الوشاح إليه ليرفع القاع من جديد. اليوم يرتفع ساحل خليج بوثنيا بمقدار يصل إلى $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ قرب أومو، ويرتفع خليج هدسون بنحو $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$، حيث كان الجليد أسمك ما يكون، في حين تهبط الأرض جنوب البحيرات العظمى بمقدار من 1 إلى $2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$، إذ يهبط الانتفاخ الذي رفعه الجليد حولها. وعلى السواحل تقف خطوط الشاطئ القديمة الآن فوق مستوى سطح البحر، وهي الشواطئ المرتفعة الموضّحة في صندوق الحقل أدناه.

مبرهنة 6.11 (استرخاء نصف فضاء لزج)

ليكن الانخفاض $w(x, t) = w_m(t)\cos(2\pi x/\lambda)$ في سطح نصف فضاء ذي لزوجة منتظمة $\eta$ وكثافة $\rho$، يُترك دون حمولة، فتتناقص السعة بحسب $w_m(t) = w_m(0)e^{-t/\tau}$ مع

$$\tau = \frac{4\pi\eta}{\rho g\lambda} .$$

تعريف 6.12 (زمن الارتخاء الأيزوستاتي)

زمن الارتخاء الأيزوستاتي $\tau$ لحمولة ذات مقياس أفقي $\lambda$ هو الزمن الذي يتناقص فيه انحرافها عن التوازن الأيزوستاتي بالعامل $e$.

يرتخي نصف الفضاء المنتظم الانخفاضات الواسعة أسرع من الضيّقة، والتدفّق تحت حمولة طول موجتها $\lambda$ يتناقص مع العمق وفق $e^{-kz}$، على عمق $\lambda/2\pi$: يُحرّك الغطاء الجليدي الكبير الوشاح عميقًا، بينما لا تُحرّك بحيرة صغيرة إلّا قمّته. بالنسبة إلى انخفاض عرضه $3000\,\mathrm{km}$ و$\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، مع $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، $\tau = 4.1\,\mathrm{kyr}$ (الشكل أدناه): بعد عشرة آلاف سنة، يبقى $e^{-2.4} = 9\,\%$ من الانخفاض، ولأنّ $\dot w = -w/\tau$، فإنّ رفعًا بمقدار $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ يعني أنّ نحو $40\,\mathrm{m}$ من الارتفاع ما زال قادمًا.

لا يكون الوشاح الحقيقي منتظمًا، ويُقرأ ارتداده بنماذج تُقسّمه إلى طبقات وتُضيف غلافًا صخريًا مرنًا يحمل الحمولات الضيّقة بالانثناء. وقد أعطى التقدير الأول، المستمدّ من ارتداد فينوسكانديا، $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، وتناقص الرفع عند نهر أنغرمان في السويد وعند خليج ريتشموند على خليج هدسون يُعطي متوسطًا من 0.65 إلى $1.1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، ابتداءً من قاعدة الغلاف الصخري حتى عمق نحو $1400\,\mathrm{km}$، ويكون الوشاح العلوي أقلّ لزوجة من السفلي بنحو عشرة أضعاف. وتُعطي انعكاسات معدّلات الرفع بنظام GNSS في فينوسكانديا لزوجات الوشاح العلوي من $5 \times 10^{20}$ إلى $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ في دراسة، ومن $3.4 \times 10^{20}$ إلى $5.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ في دراسة أخرى، ولزوجات الوشاح السفلي من $5 \times 10^{21}$ إلى $5 \times 10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، وسماكة الغلاف الصخري من 93 إلى $110\,\mathrm{km}$. تختلف التقديرات بعوامل من اثنين إلى ثلاثة، لكنها تتفق على رتبة القدر وعلى الزيادة مع العمق.

تعريف 6.13 (زمن ماكسويل)

زمن ماكسويل لمادّة لزوجتها $\eta$ ومعامل القصّ $\mu$ هو $\tau_M = \eta/\mu$: الحمولات المطبّقة لمدّة أقصر بكثير من $\tau_M$ تلقى جسمًا مرنًا، والحمولات المطبّقة لمدّة أطول بكثير منه تلقى مائعًا لزجًا.

بأخذ $\mu = \rho v_S^2 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ على عمق $300\,\mathrm{km}$ في PREM و$\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، $\tau_M = 1.3 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$، أي نحو أربعمئة سنة. أمّا الموجة الزلزالية، التي تدوم ثوانٍ، فتعبر وشاحًا مرنًا؛ والعصر الجليدي، والحمل، يُشوّهان مائعًا. والصخر نفسه يكون الاثنين، بحسب المدّة التي يُدفع فيها.

في الميدان — شواطئ مرتفعة

على سواحل الأراضي التي غطّاها الجليد سابقًا، يجد الجيومورفولوجي عمل البحر القديم مُخلَّفًا في الداخل: حواجز من الحصى المستدير، وتجاويف، ومنصّات مسطّحة نحتتها الأمواج، وتقف الآن فوق مدى أعلى المدّ الحالي، وتتّخذ أحيانًا شكل درج من عدّة مستويات. وكان كلّ مستوى شاطئًا حين كان البحر واقفًا عنده؛ وقد ارتفعت الأرض منذ ذلك الحين. وتُؤرَّخ الأصداف وقطع الخشب المنجرف في الشواطئ القديمة بالكربون المشعّ، وتُعطي ارتفاعات المستويات المؤرَّخة، مُسوّاةً بعلامة مرجعية، الرفعَ بدلالة الزمن. وعند تتبّع شاطئ قديم على امتداد ساحل، يُلاحظ أنّ الشاطئ القديم مائل، وأعلاه حيث كان الجليد أسمك: فالميل يرسم شكل الارتداد.

6.6 الحمل الوشاحي الكامل وبنيته العميقة

هل يتحرّك الوشاح حملًا في طبقة واحدة، أم في طبقتين، فوق الانقطاع عند $670\,\mathrm{km}$ وتحته؟ يُجيب التصوير المقطعي (انظر الفصل 1) جزئيًا عن ذلك: تتسطّح بعض اللوحات المندسّة فوق الانقطاع، بينما تغوص أخرى عبره إلى الوشاح السفلي، فتعبر الكتلة منه، ولا تكون الطبقتان معزولتين إحداهما عن الأخرى. يجعل ازدياد اللزوجة مع العمق الوشاح السفلي يتدفّق ببطء أكبر، وتتباطأ اللوحات المندسّة وتتثخّن عند دخولها إليه.

عند قاع الوشاح، يُظهر التصوير المقطعي منطقتين واسعتين ذواتي سرعة منخفضة لموجات S تحت أفريقيا وتحت المحيط الهادئ، وهما الأقاليم الكبيرة ذات السرعة المنخفضة للقصّ (LLSVPs). يُرجَّح أنّها متمايزة كيميائيًا عن الوشاح الذي يعلوها وأكثف منه، فهي أكوام لا أعمدة حارّة. أمّا الأقاليم البركانية النارية الكبيرة والكيمبرلايتات في المئات القليلة الأخيرة من ملايين السنين اندفعت في معظمها فوق حوافّها، كأنّ الأعمدة صعدت من أطراف الأكوام، حيث تُجرف الطبقة الحدّية الحارّة عند قاع الوشاح باتجاهها.

6.7 التمارين

تمرين 6.1 ★

احسب عدد رايلي لطبقة من الوشاح العلوي سمكها $670\,\mathrm{km}$ مع $\rho = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، و$\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$، و$\Delta T = 1000\,\mathrm{K}$، و$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$\eta = 5 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. كم مرّة يتجاوز عدد رايلي الحرج، بالنسبة إلى حدود انزلاق حرّ؟

حل

حل التمرين 6.1.

$\mathrm{Ra} = 3500\times9.9\times3 \times 10^{-5}\times1000\times(6.7 \times 10^{5})^3/ (10^{-6}\times5 \times 10^{20}) = 6.25 \times 10^{5}$، نحو 950 ضعف عدد رايلي الحرج 657.5: تحمل الطبقة حملًا قويًّا.

تمرين 6.2 ★

احسب زمن ماكسويل لوشاح لزوجته $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ومعامل القصّ $7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$، بالسنوات. هل يستجيب الوشاح مرنًا أم لزجًا للمدّ الأرضي نصف اليومي، ولذوبان الغطاء الجليدي، ولغوص لوح مندسّ؟

حل

حل التمرين 6.2.

$\tau_M = 10^{21}/7.7 \times 10^{10} = 1.30 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$، نحو $412\,\mathrm{yr}$. أمّا المدّ الذي يدوم ساعات فيلتقي بوشاح مرن؛ وأمّا ذوبان الغطاء الجليدي على مدى آلاف السنين، وهبوط اللوح المندس على مدى ملايين السنين، فيلتقيان بوشاح لزج.

تمرين 6.3 ★

مع $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، و$\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، احسب زمن الارتخاء الأيزوستاتي لنصف فضاء منتظم لأحمال طول موجتها 1000 و$3000\,\mathrm{km}$. أيّهما يتعافى أسرع؟

حل

حل التمرين 6.3.

$\tau = 4\pi\times10^{21}/(3300\times9.8\lambda)$: $3.89 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ = $12.3\,\mathrm{kyr}$ من أجل $1000\,\mathrm{km}$، و$4.1\,\mathrm{kyr}$ من أجل $3000\,\mathrm{km}$. أمّا الحمل الأوسع فيتعافى أسرع.

تمرين 6.4 ★

مع $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، و$\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$\rho_w = 1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$، و$T_m - T_0 = 1450\,\mathrm{K}$، و$\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$1\,\mathrm{Myr}$ $= 3.156 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$، احسب قوة دفع الظهرة عند $50\,\mathrm{Myr}$. كم مرّة تكون أصغر من شدّ لوح مندسّ قدره $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$؟

حل

حل التمرين 6.4.

$g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t = 9.8\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450 \times0.8 \times 10^{-6}\times50\times3.156 \times 10^{13} = 1.835 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$؛ والقوس يساوي $1 + 2\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450/(\pi\times2270) = 1.0416$، لذا $F_{rp} = 1.91 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$، أصغر بنحو 24 مرّة من شدّ اللوح المندس.

تمرين 6.5 ★★

كتلة من الوشاح عرضها $10\,\mathrm{km}$، أسخن من محيطها بمقدار $300\,\mathrm{K}$، تصعد بالسرعة $\rho g\alpha\Delta Td^2/\eta$ (خذ $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، و$\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$، $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، و$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$). (أ) احسب زمن صعودها عبر حجمها نفسه وزمن انتشارها $d^2/\kappa$، وبيّن أنّ نسبتهما هي عدد رايلي لها. (ب) هل تصعد أولًا أم تبرد أولًا؟ (ج) كم ينبغي أن يكون حجمها حتى يبلغ عدد رايلي لها 657.5؟

حل

حل التمرين 6.5.

(أ) $v = 3300\times9.8\times3 \times 10^{-5}\times300\times(10^{4})^2/10^{21} = 2.91 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ زمن الصعود عبر $10\,\mathrm{km}$ هو $d/v = 3.44 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$، $10.9\,\mathrm{Myr}$، وزمن الانتشار $d^2/\kappa = 10^{14}\,\mathrm{s}$، $3.2\,\mathrm{Myr}$. ونسبتهما هي $(d^2/\kappa)/(d/v) = vd/\kappa = \rho g\alpha\Delta Td^3/(\kappa\eta) = \mathrm{Ra} = 0.29$. (ب) يبرد أوّلًا: الكتل الصغيرة لا يحدث فيها الحمل. (ج) $\mathrm{Ra} \propto d^3$، لذا $d = 10\times(657.5/0.291)^{1/3} = 131\,\mathrm{km}$.

تمرين 6.6 ★★

لطبقة عمقها $2891\,\mathrm{km}$ عند $\mathrm{Ra} = 10^{7}$، مع $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$، و$\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$، و$\mathrm{Ra}_c = 657.5$، احسب سمك الطبقة الحدّية، وعدد نوسلت، ومقياس السرعة بوحدة $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$، وتدفّق الحرارة التدفق الحراري.

حل

حل التمرين 6.6.

$2\mathrm{Ra}_c = 1315$ و$\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c = 7604$، والتي جذرها التكعيبي يساوي 19.66. $\delta = 2891/19.66 = 147\,\mathrm{km}$، $\mathrm{Nu} = 19.66/2 = 9.8$, $u = (10^{-6}/2.891 \times 10^{6})\times19.66^2 = 1.34 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.42\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$، و$q = 9.8\times3.1\times1450/2.891 \times 10^{6} = 15\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

تمرين 6.7 ★★

لدينا انتفاخ افتراضي للبقعة الساخنة مساحة مقطعه العرضي $8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ عبر المسار، والصفيحة فوقه تتحرّك بسرعة $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$. مع $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، احسب دفق طفوه، ودفق حرارته مع $c_p = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ و$\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. ما الكسر الذي يمثّله من $46.7\,\mathrm{TW}$ للأرض؟

حل

حل التمرين 6.7.

$u = 0.09/3.156 \times 10^{7} = 2.85 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ و$B = 2270\times8 \times 10^{8} \times2.85 \times 10^{-9} = 5.18 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1} = 5.2\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$، نحو ثلاثة أخماس تدفّق هاواي. ويساوي التدفّق الحراري $1170\times5178/3.1 \times 10^{-5} = 1.95 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$، $0.2\,\mathrm{TW}$، أو $0.42\,\%$ من الفقد الحراري للأرض.

تمرين 6.8 ★★

رأس عمود نصف قطره $400\,\mathrm{km}$، أخفّ من الوشاح بمقدار $30\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، يصعد عبر وشاح لزوجته $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. باستخدام قانون ستوكس، احسب سرعته بوحدة $\mathrm{m}/\mathrm{yr}$، والزمن الذي يستغرقه لصعود $2000\,\mathrm{km}$.

حل

حل التمرين 6.8.

$v = 2\times30\times9.8\times(4 \times 10^{5})^2/(9\times10^{21}) = 1.05 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$؛ ويستغرق قطع $2000\,\mathrm{km}$ زمنًا $2 \times 10^{6}/1.05 \times 10^{-8} = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$، نحو $6\,\mathrm{Myr}$.

تمرين 6.9 ★★

انخفضت منطقة بمقدار $300\,\mathrm{m}$ عندما ذاب جليدها، قبل $10\,\mathrm{kyr}$، وتتعافى بثابت زمني $\tau = 4.4\,\mathrm{kyr}$. احسب الانخفاض المتبقّي اليوم ومعدّل الرفع الحالي. قارن بالرفع $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ المقيس قرب أوميو.

حل

حل التمرين 6.9.

$w = 300e^{-10/4.4} = 30.9\,\mathrm{m}$ و$\dot w = w/\tau = 30.9/4400 = 7.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$، وهو ثلثا المعدّل المقيس قرب أوميو. ونصف الفضاء المتجانس بهذا $\tau$ يقع في النطاق الصحيح، لكنّ الارتداد الحقيقي أسرع، أو أنّ انخفاضه أعمق.

تمرين 6.10 ★★★

(أ) من تعبير $F_{rp}$ في برهان القضية 6.6، بيّن أنّ الحد الأول، $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2$، هو الحد الثاني داخل القوس. (ب) بيّن أنّ $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = 1/4$، بالتكامل بالتجزئة. (ج) باستخدام قيم التمرين 4، احسب الحدّين عند $100\,\mathrm{Myr}$.

حل

حل التمرين 6.10.

(أ) بوضع $w = 2\rho_m\alpha\Delta T\sqrt{\kappa t/\pi}/(\rho_m - \rho_w)$،

$$\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = \frac{2g\rho_m^2\alpha^2\Delta T^2\kappa t} {\pi(\rho_m - \rho_w)} = g\rho_m\alpha\Delta T\kappa t\times \frac{2\rho_m\alpha\Delta T}{\pi(\rho_m - \rho_w)} .$$

(ب) بالتكامل بالتجزئة، $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = [\tfrac{x^2}2\operatorname{erfc} x]_0^\infty + \int_0^\infty\tfrac{x^2}2\,\tfrac2{\sqrt\pi}e^{-x^2}\,\mathrm dx = 0 + \tfrac1{\sqrt\pi}\cdot\tfrac{\sqrt\pi}4 = \tfrac14$. (ج) عند $100\,\mathrm{Myr}$، $\rho_mg\alpha\int z\theta = 3.67 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ وبوضع $w = 3705\,\mathrm{m}$، $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = 1.53 \times 10^{11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$: حدّ الماء لا يمثّل سوى $4\,\%$ من القوّة.

تمرين 6.11 ★★★

بيّن أنّ $f(k) = (\pi^2 + k^2)^3/k^2$ يبلغ أصغر قيمة له عند $k = \pi/\sqrt2$، حيث يساوي $27\pi^4/4$. استنتج عرض زوج من خلايا الحمل عند البدء، بوحدات $d$، وعرض خلية واحدة.

حل

حل التمرين 6.11.

$\ln f = 3\ln(\pi^2 + k^2) - 2\ln k$، ومشتقّتها $6k/(\pi^2 + k^2) - 2/k$ تنعدم عندما $3k^2 = \pi^2 + k^2$، $k^2 = \pi^2/2$. وعندئذٍ $f = (3\pi^2/2)^3/ (\pi^2/2) = 27\pi^4/4$. يضمّ طول الموجة $2\pi/k = 2\sqrt2\,d = 2.83\,d$ زوجًا من الخلايا المتعاكسة الدوران، عرض كلّ منها $\sqrt2\,d = 1.41\,d$.

تمرين 6.12 ★★★

صفيحة طولها $6000\,\mathrm{km}$ تتحرّك بسرعة $6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ فوق طبقة من الوشاح سمكها $150\,\mathrm{km}$، لزوجتها $10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، وقاعدتها ساكنة. (أ) احسب السحب القاعدي بوحدة $\mathrm{MPa}$ وقوة السحب لكل وحدة طول من الصفيحة. (ب) قارنها بدفع ظهرة قدره $3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ وشدّ لوح مندسّ قدره $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (ج) إذا وصل عُشر شدّ اللوح المندس إلى الصفيحة، فبأيّ سرعة يتعادل السحب مع قوى الدفع؟

حل

حل التمرين 6.12.

(أ) $u = 1.90 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$، $\eta u/h = 10^{20}\times1.90 \times 10^{-9}/ 1.5 \times 10^{5} = 1.27\,\mathrm{MPa}$، وعلى مدى $6000\,\mathrm{km}$، $7.6 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (ب) ضعف قوة دفع الظهرة وسدس شدّ اللوح المندس: يستطيع السحب القاعدي أن يقاوم قوة دفع الظهرة وحدها، لا اللوح المندس. (ج) $\eta uL/h = 3.8 \times 10^{12} + 4.6 \times 10^{12}$ يعطي $u = 8.4 \times 10^{12}\times1.5 \times 10^{5}/(6 \times 10^{6}\times10^{20}) = 2.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 6.6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$، وهي سرعة الصفائح المحيطية السريعة.

6.8 مسألة: ارتداد بحيرة أردو

مسألة 6.1

مسألة نهاية الأسبوع — ارتداد حوض بحيرة متخيَّلة، لزوجة الوشاح أسفله، والحمل الذي تُتيحه تلك اللزوجة

بحيرة أردو، وهي بحيرة متخيَّلة، ملأت حوضًا عرضه $250\,\mathrm{km}$، حجزها غطاءٌ جليدي، وبقيت بعمق $300\,\mathrm{m}$ نحو خمسين ألف سنة. وقبل أربعة عشر ألف سنة انهار السدّ الجليدي، وتصرّفت البحيرة في بضعة أسابيع. وأعلى خط شاطئ لها، وكان أفقيًّا حين تكوّن، فهو الآن مائل؛ وخطوط الشاطئ المؤرَّخة للبحيرات الصغيرة المتبقّية في الحوض تعطي رفع المركز منذ التصرّف، بالنسبة إلى الحافة، التي بالكاد تحرّكت:

الزمن منذ التصرّف ($\mathrm{kyr}$)	1	2	4	6	9	14
الرفع في المركز (m)	11.5	21.6	38.0	50.5	64.0	77.2

ليكن $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، و$1\,\mathrm{yr}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، ونعامل الوشاح بوصفه نصف فضاء لزج متجانس.

الجزء الأول — الحمولة.

1. احسب ضغط البحيرة على قاعها.
2. احسب هبوط القاع عند التوازن الأيزوستاتي، وبيّن لماذا تظهر فيه كثافة الوشاح لا كثافة القشرة.
3. عامِل البحيرة قرصًا واحسب كتلة مائها.
4. فسّر لماذا أعلى خط شاطئ مائل الآن، واحسب متوسط ميله من الحافة إلى المركز، بالمتر لكل كيلومتر.
5. عامِل الهبوط توافقيًّا واحدًا نصفه المنخفض، من $-\lambda/4$ إلى $\lambda/4$، يغطي البحيرة. أعطِ $\lambda$ و$k = 2\pi/\lambda$.
6. عند أيّ عمق يتناقص التدفق تحت حمولة كهذه بالمعامل $e$؟

الجزء الثاني — زمن الارتخاء.

7. بافتراض أنّ البحيرة بلغت التوازن، احسب الهبوط المتبقّي عند كلّ تاريخ في الجدول.
8. بيّن أنّه إذا تناقص الهبوط أُسّيًّا، فإنّ لوغاريتمه يتناقص خطيًّا مع الزمن.
9. احسب $\tau$ من التاريخين 1 و$14\,\mathrm{kyr}$.
10. تنبّأ بالرفع عند $6\,\mathrm{kyr}$ باستعمال $\tau$ المحسوبة، وقارنه مع الجدول.
11. احسب الهبوط المتبقّي اليوم ومعدّل الرفع الحالي للمركز، بوحدة $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.
12. كم من الرفع ما زال باقيًا؟
13. بعد كم سنة أخرى سينخفض معدّل الرفع دون $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$؟

الجزء الثالث — اللزوجة.

14. احسب لزوجة نصف الفضاء من $\tau$.
15. قارنها بلزوجات الوشاح العلوي المحصورة بين $3.4 \times 10^{20}$ و$1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ التي وُجدت أسفل فينوسكانديا. أيّ جزء من الوشاح يسبره ارتداد بحيرة أردو؟
16. بتلك اللزوجة، احسب زمن الارتخاء لحمولة $3000\,\mathrm{km}$ طول موجتها. لماذا يرتخي غطاء جليدي حقيقي بهذا الحجم أبطأ من هذا؟
17. ماذا يفعل الغلاف الصخري المرن، الذي أُهمل هنا، في ارتداد حمولة لا يتجاوز عرضها $250\,\mathrm{km}$؟
18. احسب زمن ماكسويل للوشاح باستخدام $\mu = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$، وبيّن إن كان النموذج اللزج مبرَّرًا.
19. تحقّق من الفرضية في السؤال 7: ما كسر هبوط التوازن الذي بلغته خلال بقاء البحيرة؟
20. بمقدار كم سيتغيّر $\log_{10}\eta$ لو أُخذ $\lambda$ يساوي $250\,\mathrm{km}$؟

الجزء الرابع — الحمل. ليكن طبقة من الوشاح العلوي عمقها $670\,\mathrm{km}$ وكثافتها $\rho = 3700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، و$\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$، و$\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$، و$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ واللزوجة الواردة في الجزء الثالث.

21. احسب عدد رايلي للطبقة.
22. كم مرّةً يتجاوز الحدّ الحرج ($\mathrm{Ra}_c = 657.5$)؟
23. احسب سمك الطبقة الحدّية وعدد نوسلت.
24. احسب مقياس السرعة بوحدة $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$، وقارنه بسرعات الصفائح التي تتراوح من 1 إلى $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$.
25. احسب التدفق الحراري، وأعطِ سببين يفسّران قصوره عن المتوسط الأرضي البالغ $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.
26. أعطِ لزوجة الوشاح العلوي أسفل بحيرة أردو بوصفها $\log_{10}$ لقيمة $\eta$ بوحدة $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

حل

حل المسألة 6.1.

1. $p = 1000\times9.8\times300 = 2.94\,\mathrm{MPa}$.

2. $w = \rho_wh/\rho_m = 300\times1000/3300 = 90.9\,\mathrm{m}$. تهبط القشرة ككتلة واحدة؛ وما يتدفّق من تحت الحمل ثم يعود هو الوشاح، لذا يُوازَن العمود بالوشاح المُزاح في العمق.

3. $\pi\times(1.25 \times 10^{5})^2 = 4.91 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$، والماء يزن $4.91 \times 10^{10}\times300\times1000 = 1.47 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

4. تشكّل خط الشاطئ أفقيًّا، حين كان القاع أشدّ انخفاضًا عند المركز؛ فقد ارتفع المركز أكثر من الحافّة منذ ذلك الحين، لذا يصعد الخطّ الآن نحو المركز، بمقدار $77.2\,\mathrm{m}$ على امتداد $125\,\mathrm{km}$: $0.62\,\mathrm{m}/\mathrm{km}$.

5. $\lambda/2 = 250\,\mathrm{km}$، فإنّ $\lambda = 500\,\mathrm{km}$ و$k = 2\pi/5 \times 10^{5} = 1.257 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$.

6. $1/k = \lambda/2\pi = 79.6\,\mathrm{km}$.

7. $w = 90.9 - \text{الرفع}$: 79.4، 69.3، 52.9، 40.4، 26.9، و$13.7\,\mathrm{m}$.

8. $w = w_0e^{-t/\tau}$ يعطي $\ln w = \ln w_0 - t/\tau$، خطًّا مستقيمًا ميله $-1/\tau$.

9. $\tau = (14 - 1)/\ln(79.4/13.7) = 13/1.7571 = 7.40\,\mathrm{kyr}$.

10. $w(6) = 79.4\,e^{-5/7.40} = 40.4\,\mathrm{m}$، بمقدار رفع $50.5\,\mathrm{m}$، كما في الجدول.

11. تبقى $13.7\,\mathrm{m}$؛ $\dot w = 13.7/7400 = 1.85\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

12. كامل $13.7\,\mathrm{m}$، يُقترب منه ببطء متزايد.

13. يتناقص المعدّل وفق $e^{-t/\tau}$: $t = 7.40\ln(1.85/0.5) = 7.40\times1.309 = 9.7\,\mathrm{kyr}$، أي نحو 9700 سنة إضافية.

14. $\tau = 7399\times3.156 \times 10^{7} = 2.335 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$، و$\eta = \tau\rho_mg\lambda/(4\pi) = 2.335 \times 10^{11}\times3300\times9.8\times5 \times 10^{5}/ 12.566 = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

15. أدنى قليلًا من الطرف الأدنى لمدى فينوسكانديا. يتلاشى الجريان أسفل حمل طول موجته $500\,\mathrm{km}$ على امتداد $80\,\mathrm{km}$: يُعاين الارتداد أضعف الوشاح وأقربه إلى السطح، أسفل ما هو في الأرض الحقيقية جزئيًّا، داخل الغلاف الصخري.

16. $\tau = 4\pi\times3.0 \times 10^{20}/(3300\times9.8\times3 \times 10^{6}) = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 1.2\,\mathrm{kyr}$. تحت حمل بهذا الاتّساع يصل الجريان إلى عمق $477\,\mathrm{km}$ فأكثر، نحو وشاح سفليّ أكثر لزوجةً بعشر مرّات، وهو ما يُبطئه.

17. يحمل جزءًا من حمل ضيّق بالانثناء: الانخفاض عند التوازن أقلّ عمقًا وأوسع من الانخفاض الأيزوستاتي البالغ $90.9\,\mathrm{m}$، وجزءٌ من الارتداد مرنٌ وفوريّ. نصفُ فضاءٍ لزِجٍ متجانسٍ يُلائِم الرفعَ ثم يُعطي لزوجةً تمزج التأثيرين معًا.

18. $\tau_M = 3.0 \times 10^{20}/7.7 \times 10^{10} = 3.9 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$، نحو $124\,\mathrm{yr}$، أقصر بستّين مرّة من $\tau$: على مدى آلاف السنين يستجيب الوشاح استجابةَ مائعٍ لزِج.

19. $1 - e^{-50/7.40} = 0.9988$: بلغ $99.9\,\%$ من الانخفاض عند التوازن، والافتراض صحيح.

20. $\eta \propto \lambda$: تنصيف $\lambda$ يُنصّف $\eta$، و$\log_{10}\eta$ يتناقص بمقدار $\log_{10}2 = 0.30$.

21. $\mathrm{Ra} = 3700\times9.9\times3.1 \times 10^{-5}\times1450\times (6.7 \times 10^{5})^3/(10^{-6}\times3.0 \times 10^{20}) = 1.65 \times 10^{6}$.

22. $1.65 \times 10^{6}/657.5 \approx 2500$ مرّة قدر الحرج.

23. $(\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c)^{1/3} = (1254)^{1/3} = 10.78$: $\delta = 670/10.78 = 62\,\mathrm{km}$ و$\mathrm{Nu} = 5.4$.

24. $u = (10^{-6}/6.7 \times 10^{5})\times10.78^2 = 1.73 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.55\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$، أبطأ من الصفائح بما بين مرّتين وأربع عشرة مرّة.

25. $q = 5.4\times3.1\times1450/6.7 \times 10^{5} = 36\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. تُهمل الطبقةُ الحرارةَ المتولّدةَ داخل الوشاح والحرارةَ الآتية من اللبّ والوشاح السفليّ، والقياسُ يُسقط ثوابتَه من رتبة الواحد، بينما تفقد الصفائح، إذ تبرد بوصفها أنصاف فضاءات منطلقةً من الظهرات، حرارةً أكبر بكثير على القاع الفتيّ مما كانت ستفقده طبقة حدّية متوسّطة.

26. $\eta = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: $\log_{10}\eta = \textbf{$20.48$}$.