19ديناميكا الموائع الجيوفيزيائية

حرّك كوبًا من الشاي فيتلاشى الدوران خلال دقيقة، وتتجمّع أوراق الشاي في وسط القاع، ولا يحدث شيء آخر. أمّا المحيط والغلاف الجوي فيُحرَّكان أيضًا بفعل الشمس والرياح، لكن على كوكب دوّار وفي طبقات مختلفة الكثافة. يجعلهما الدوران والتطبّق يخضعان لقواعد لا يُظهرها فنجان الشاي: تهبّ الرياح موازيةً لخطوط تساوي الضغط لا عابرةً لها، ولا تقبل أعمدة المائع أن تميل، وريح الطبقة العليا من التروبوسفير تتحدّد بدرجات الحرارة الواقعة تحتها. يُرسي هذا الفصل معادلات هذه التدفّقات الكبيرة البطيئة الرقيقة، والأعداد القليلة التي تقرّر أيّ الحدود يُعتدّ بها.

ما تعرفه من قبل

قوى كوريوليس والطرد المركزي في إطار دوّار، ومعادلتا نافييه–ستوكس والاستمرارية، واللزوجة، وعدد رينولدز، والعلاقة الهيدروستاتيكية موجودة في كتب الفيزياء. ومعامل كوريوليس $f = 2\Omega \sin\varphi$، وقوة تدرّج الضغط، والتوازن الجيوستروفي، والرياح الجيوستروفية والتدرّجية والتيارات النفّاثة موجودة في مجلد السنة الأولى، في فصله عن الدوران العام للغلاف الجوي؛ وطبقة إيكمان في فصله عن دوران المحيط؛ ودرجة الحرارة الكامنة والاستقرار السكوني واهتزاز كتلة هوائية مرفوعة في فصله عن بنية الغلاف الجوي والمحيط.

19.1 المعادلات في إطار دوّار

في إطار يدور مع الأرض بالسرعة الزاوية $\vec\Omega$، تخضع كتلة مائع سرعتها $\vec u$ للمعادلتين الآتيتين

حيث $\mathrm D/\mathrm Dt = \partial/\partial t + \vec u\cdot\nabla$ هي المشتقة المتبعة للكتلة، و$\nu$ هي اللزوجة الحركية. وأُضيفت قوة الطرد المركزي إلى الجاذبية: مجموعهما $\vec g$ هو الجاذبية الفعّالة، وهي العمودية على السطوح المتساوية للجهد الأرضي، ويُحدَّد الاتجاه الرأسي بها. لا يبقى من الدوران سوى حدّ كوريوليس $-2\vec\Omega\times \vec u$، وهو لا يبذل شغلًا، إذ يُدير الكتلة دون أن يغيّر سرعتها. وتدور الأرض بمعدّل $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، أي دورة واحدة كلّ يوم نجمي مدّته $23.9345\,\mathrm{h}$.

بالنسبة إلى الحركة على مسافات أصغر بكثير من نصف قطر الأرض $a$، يكفي إطار ديكارتي موضعي: $x$ شرقًا، و$y$ شمالًا، و$z$ نحو الأعلى، عند خط العرض $\varphi$، أي المستوي المماسّ للشكل أدناه. وهنا $\vec\Omega = \Omega\,(0, \cos\varphi, \sin\varphi)$، وتكون المركّبات الثلاث لمعادلة كمية الحركة هي

حيث $\vec F$ قوة الاحتكاك. وبالنسبة إلى التدفّقات الرقيقة شبه الأفقية في المحيط والغلاف الجوي تُهمَل الحدود المتضمّنة $\tilde f$: فالحدّ $\tilde f w$ صغير مقارنةً بالحدّ $fv$ لأنّ $w \ll v$، و$\tilde f u$ جزء من عشرة آلاف من $g$ (انظر التمرين 19.5). وتؤثّر قوة كوريوليس عندئذٍ فقط في الاتجاه الأفقي، عبر المركّبة الرأسية المحلية للدوران، أي $\Omega\sin\varphi$.

تعريف 19.1 (المستوي $f$ والمستوي $\beta$)

بالقرب من خط عرض مرجعي $\varphi_0$، يأخذ تقريب المستوي $f$ معامل كوريوليس ثابتًا، $f = f_0 = 2\Omega\sin\varphi_0$. أمّا تقريب المستوي $\beta$ يحتفظ بتغيّره من الرتبة الأولى مع المسافة نحو الشمال $y$: $f = f_0 + \beta y$، حيث $\beta = \mathrm df/\mathrm dy = 2\Omega \cos\varphi_0/a$.

عند $45{}^{\circ}$، ونصف القطر المتوسط $a = 6371\,\mathrm{km}$، تكون $f_0 = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ و$\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$: على مسافة $1000\,\mathrm{km}$ من خط العرض يتغيّر $f$ بمقدار $16\,\%$. ويصلح المستوي $f$ للحركات الأصغر بكثير من ذلك، بينما يلزم المستوي $\beta$ من أجل التيارات الواسعة النطاق في الأحواض والموجات الكوكبية.

تُبسّط تقريبان آخران المعادلات دون أن نفقد ما يهمّ. ويتعلّق الأول بالكثافة.

تعريف 19.2 (تقريب بوسينسك)

يكتب تقريب بوسينسك الكثافة على الصورة $\rho = \rho_0 + \rho'$، حيث $\rho_0$ ثابت و$|\rho'| \ll \rho_0$، ويُبقي على $\rho'$ فقط حيث تُضرب في $g$. تصبح معادلة الاستمرار $\nabla\cdot\vec u = 0$، وتأخذ معادلة كمية الحركة الشكلَ التالي:

$$\frac{\mathrm D\vec u}{\mathrm Dt} + f\,\vec k\times\vec u = -\frac{1}{\rho_0}\nabla p' + b\,\vec k + \nu\nabla^2\vec u , \qquad b = -g\,\frac{\rho'}{\rho_0} ,$$

حيث $p'$ هو انحراف الضغط عن الضغط الهيدروستاتيكي للكثافة $\rho_0$، و$\vec k$ متجهُ الوحدة نحو الأعلى، و$b$ الطفو.

في المحيط تكون $\rho'$ بضعة $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ على $1025$، أي كسرًا من المائة، والتقريب ممتاز. وفي الغلاف الجوي تنخفض الكثافة بمقدار عامل $e$ في نحو $8.5\,\mathrm{km}$؛ ويصحّ التقريب للطبقات الأرقّ بكثير من ذلك، وتستبدل التدفّقات الأعمق $\rho_0$ بتابع متوسّط $\rho_0(z)$، مع بقاء الفيزياء نفسها.

يكون المائع الساكن في توازن هيدروستاتيكي. ويحافظ المائع المتحرّك على هذا التوازن بتقريب جيد جدًّا عندما تكون الحركة أوسع بكثير من عمقها.

تعريف 19.3 (التقريب الهيدروستاتيكي)

يستبدل التقريب الهيدروستاتيكي معادلة كمية الحركة الرأسية لمائع متحرّك بالعلاقة الهيدروستاتيكية، $\partial p/\partial z = -\rho g$.

قضية 19.4 (متى يكون التقريب الهيدروستاتيكي صحيحًا)

بالنسبة إلى حركة ذات مقياس أفقي $L$ وعمق $H$ وسرعة $U$، مع عدد روسبي $U/(fL)$ لا يتجاوز مرتبة الواحد، يكون التسارع الرأسي أصغر من التدرّج الرأسي لاضطراب الضغط بعامل من مرتبة $(U/fL)\,(H/L)^2$.

لمنظومة طقس عرضها $1000\,\mathrm{km}$ في التروبوسفير عمقه $10\,\mathrm{km}$ تكون $(H/L)^2 = 10^{-4}$ وعدد روسبي نحو 0.1: يبلغ خطأ التقريب الهيدروستاتيكي من مرتبة $10^{-5}$. ولا يفشل إلا في الحركات الضيّقة العميقة: تيّار صاعد من عاصفة رعدية، وعمود حملي في المحيط.

19.2 مقاييس التدفّق الدوّار

تتحدّد الحدود ذات الأهمية في معادلة كمية الحركة بنسبتين.

تعريف 19.5 (عددا روسبي وإيكمان)

بالنسبة إلى تدفّق سرعته $U$ ومقياسه الأفقي $L$ وعمقه $H$ على كوكب ذي معامل كوريوليس $f$، يكون عدد روسبي هو $\mathrm{Ro} = U/(fL)$، أي نسبة التسارع، من مرتبة $U^2/L$، إلى قوة كوريوليس، من مرتبة $fU$. أمّا عدد إيكمان فهو $\mathrm{Ek} = \nu/(fH^2)$، أي نسبة قوة اللزوجة، من مرتبة $\nu U/H^2$، إلى قوة كوريوليس؛ وفي التدفّق المضطرب يُستبدل $\nu$ بلزوجة الاضطراب الدوّامي.

لحوض استحمام يُفرَغ بسرعة $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ على مسافة $0.3\,\mathrm{m}$ عددُ روسبي له بضعة آلاف: لا يحدّد دوران الأرض اتجاه دوامته. لمنخفض جوّي عرضه $1000\,\mathrm{km}$ تهبّ فيه رياح بسرعة $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، يبلغ عددُ روسبي له $\mathrm{Ro} \approx 0.14$، وللدوّامة المحيطية $\mathrm{Ro} \sim 10^{-4}$. اللزوجة أضعف من ذلك: تبلغ اللزوجة الجزيئية للماء $10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، أمّا لزوجات الاضطراب الدوّامي التي تمثّل اضطراب المحيط، $10^{-5}\text{ ⁧إلى⁩ }10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ في الاتجاه الرأسي، فتعطي $\mathrm{Ek} \sim 10^{-5}$ على عمق $1000\,\mathrm{m}$. ويرتبط العددان بعدد رينولدز بالعلاقة $\mathrm{Re} = UL/\nu = (\mathrm{Ro}/\mathrm{Ek})(L/H)^2$.

عندما يكون العددان صغيرين، تُبقي معادلة كمية الحركة الأفقية المستقرّة على قوة كوريوليس وتدرّج الضغط فقط: يكون التدفّق في توازن جيوستروفي، $f\,\vec k\times\vec u_g = -(1/\rho)\nabla_h p$، وهو ما قرأه مجلد السنة الأولى من خرائط الطقس. والجيوستروفية هي الحالة الحدّية حين $\mathrm{Ro}, \mathrm{Ek}\to 0$؛ وتصحيحاتها من مرتبة $\mathrm{Ro}$، ولا يؤثّر الاحتكاك إلا في طبقات ذات سُمك نسبي $\sqrt{\mathrm{Ek}}$، وهي طبقات إيكمان عند قاع الغلاف الجوي وأعلى المحيط وقاعه. وعلى المستوي $f$ تكون السرعة الجيوستروفية خالية من التباعد الأفقي: $\partial u_g/\partial x + \partial v_g/\partial y = -(1/\rho f)(\partial^2 p/\partial x\partial y - \partial^2 p/\partial y\partial x) = 0$ إذا كانت $\rho$ منتظمة.

النهاية المعاكسة، أي الدوران بلا تدرّج للضغط، هي أبسط حركة يمكن لمائع دوّار أن يقوم بها.

تعريف 19.6 (الاهتزاز القصوري)

الاهتزاز القصوري هو الحركة الأفقية لمائع لا تؤثّر فيه أيّ قوّة أفقية سوى قوّة كوريوليس.

مبرهنة 19.7 (الدوائر القصورية)

على المستوي $f$، جسيمة مائع تتحرّك بسرعة $U$ دون أيّ قوّة أفقية سوى قوّة كوريوليس تحتفظ بسرعتها وتصف دائرة نصف قطرها $U/|f|$، في اتجاه عقارب الساعة في نصف الكرة الشمالي وعكسه في الجنوبي، ودورها القصوري $2\pi/|f|$، وهو نصف يوم نجمي مقسومًا على $\sin\varphi$.

عند $45{}^{\circ}$ يبلغ الدور القصوري $16.9\,\mathrm{h}$، ويدور تيّار مقداره $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ على دائرة نصف قطرها $1.94\,\mathrm{km}$؛ وعند $30{}^{\circ}$ يكون الدور يومًا نجميًا كاملًا، وعند خطّ الاستواء لا توجد دوائر قصورية. بعد أن حرّكت عاصفة طبقة سطح المحيط ثمّ هدأت، يفعل الماء هذا تمامًا. وعوامات الانجراف المزوّدة بمظلّة بحرية عند $15\,\mathrm{m}$ في شمال المحيط الهادئ رسمت حلقات لعدّة أيّام بعد عاصفة في أكتوبر 1987، محمولةً بالتيّار المتوسّط: المسار الثالث في الشكل أدناه، بعد الدائرة والحلزون.

يقع بين الجيوستروفية والدائرة القصورية الجريان حول مركز ضغط مرتفع أو منخفض، حيث تكون خطوط تساوي الضغط منحنية، ولم يعد التسارعُ باتّجاه المركز مهملًا.

تعريف 19.8 (الريح التدرّجية)

الريح التدرّجية هي الجريان الثابت عديم الاحتكاك على طول خطوط تساوي الضغط المنحنية، تتوازن فيه قوّة تدرّج الضغط، وقوّة كوريوليس، والتسارع المركزي.

قضية 19.9 (تصحيح الانحناء)

لتكن خطوط تساوي الضغط دوائر نصف قطرها $r$ في نصف الكرة الشمالي، و$V_g$ السرعة الجيوستروفية التي يعطيها تدرّج ضغطها، مع $\mathrm{Ro}_g = V_g/(fr)$. حول منخفض، تكون الريح التدرّجية $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 + 4\mathrm{Ro}_g})$، أبطأ من $V_g$؛ وحول مرتفع، $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 - 4\mathrm{Ro}_g})$، أسرع، ولا توجد إلا إذا كان $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$. وبالتقريب من الدرجة الأولى، $V = V_g(1 \mp \mathrm{Ro}_g)$.

يقيس عدد روسبي لخطوط تساوي الضغط حجم التصحيح، وهو نحو عُشر في حالة منخفض متوسّط الحجم. والشرط $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$ هو سبب لماذا يتّسم مركز المرتفع الجوي بتدرّجات ضعيفة ورياح خفيفة، بينما أمّا مركز المنخفض فيمكن أن يحمل تدرّجات شديدة وعواصف.

19.3 الدوران دون تطبّق

يسلك مائع دوّار ذو كثافة منتظمة، في حركة بطيئة، كما لو كان مؤلَّفًا من أعمدة صلبة موازية لمحور الدوران.

مبرهنة 19.10 (تايلور–برودمان)

في جريان ثابت لمائع عديم اللزوجة منتظم الكثافة، يدور بالمتجه $\vec\Omega$، ومع عدد روسبي صغير، لا تتغيّر متجهة السرعة على طول اتّجاه محور الدوران: $(\vec\Omega\cdot\nabla)\vec u = 0$.

مع كون $\vec\Omega$ موازية للمحور $z$، يكون $\partial\vec u/\partial z = 0$: تتساوى المركّبات الثلاث للسرعة على كل ارتفاع. وإذا منعت قاعدة صلبة $w$ عندها، فإنّ $w = 0$ في كل مكان، ويكون الجريان الأفقي واحدًا على كل مستوى. ومن ثمّ يُحسّ عائق على قاع خزّان دوّار بتأثيره حتى السطح: إذ لا يستطيع المائع الذي فوقه أن يتجاوزه صعودًا، لأنّ ذلك يمطّ عمودًا أو يضغطه، فيلتفّ حوله على كل ارتفاع. وعمود المائع الذي يبقى فوق العائق يُسمّى عمود تايلور.

الغلاف الجوي والمحيط متطبّقان، ويُخفّف التطبّق من القيد: فالمائع المتطبّق يمكن أن يتغيّر مع الارتفاع، على النحو الذي تفرضه مبرهنة الريح الحرارية.

19.4 التطبّق والريح الحرارية

رفع مجلد السنة الأولى طردًا هوائيًّا في غلاف جوي مستقرّ، فوجد أنّه يهتزّ حول مستواه. والأمر نفسه في أيّ مائع متطبّق، وتردّد الاهتزاز هو مقياس التطبّق.

تعريف 19.11 (تردّد الطفو)

يُعرَّف تردّد الطفو $N$ لمائع ساكن بالعلاقة

$$N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dz}\ \text{(الهواء)}, \qquad N^2 = -\frac{g}{\rho_0}\frac{\mathrm d\rho_\theta}{\mathrm dz}\ \text{(ماء البحر)},$$

حيث $\theta$ هي درجة الحرارة الكامنة للهواء، و$\rho_\theta$ الكثافة الكامنة للماء، أي الكثافة التي يبلغها لو نُقل أديباتيًّا إلى ضغط مرجعي.

مبرهنة 19.12 (اهتزاز طرد مزاح)

يخضع طرد يُزاح رأسيًّا مسافة صغيرة $\zeta$ عن مستواه في مائع ساكن، أديباتيًّا ودون امتزاج، للمعادلة $\ddot\zeta = -N^2\zeta$. فإذا كان $N^2 > 0$ يهتزّ بالتردّد الزاوي $N$؛ وإذا كان $N^2 < 0$ تكبر الإزاحة ويكون المائع غير مستقرّ.

في التروبوسفير من الغلاف الجوي القياسي، التي تبرد بمعدّل $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ مقابل $9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ للانحدار الأديباتي الجاف ($g/c_p$، مع $c_p = \gamma R/(\gamma - 1)$، و$\gamma = 1.4$ و$R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$)، ويبلغ متوسط $N$ نحو $0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$، أي دورًا قدره $9.3\,\mathrm{min}$؛ وفي الستراتوسفير السفلي شبه المتساوي الحرارة يبلغ $0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$. وفي المحيط، يكون عمود الماء في شمال الأطلسي عند $40.5{}^{\circ}$ شمالًا، $30.5{}^{\circ}$ غربًا، في المتوسط السنوي، أقوى تطبّق له في طبقة الانتقال الكثافي الموسمية، حيث $N = 0.0106\,\mathrm{s}^{-1}$ عند نحو $30\,\mathrm{m}$، أي ست دورات في الساعة، وتكون القيم أضعف كثيرًا تحتها: بضع دورات في الساعة على الأكثر، كما يُلاحَظ عبر المحيط العلوي.

يتيح التطبّق أن يتغيّر الجريان مع الارتفاع، ويتوقّف ذلك على ما إذا كانت أسطح الكثافة الثابتة تتبع أسطح الضغط الثابت.

تعريف 19.13 (السوائل الباروتروبية والباروكلينية)

المائع باروتروبي إذا كانت كثافته دالّةً للضغط وحده، فتتطابق أسطح الكثافة الثابتة مع أسطح الضغط الثابت؛ وهو باروكليني إذا تقاطعت معها.

في الغلاف الجوي، يجعل التدرّجُ الأفقي لدرجة الحرارة على طول سطح ضغط الهواءَ باروكليًّا. ثم يجعل الاتزان الهيدروستاتيكي أسطح الضغط أشدّ ميلًا مع الارتفاع، ويحوّل الاتزان الجيوستروفي الميلَ المتزايد إلى ريح متزايدة.

مبرهنة 19.14 (الريح الحرارية)

في غلاف جوي في اتزان هيدروستاتيكي وجيوستروفي، تتغيّر الريح الجيوستروفية مع الضغط كما يلي

$$\frac{\partial u_g}{\partial\ln p} = \frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_p , \qquad \frac{\partial v_g}{\partial\ln p} = -\frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_p .$$

بين مستويين للضغط $p_b > p_t$، فإنّ الريح الحرارية، أي فرق الريحين الجيوستروفيتين، تساوي

$$\vec u_g(p_t) - \vec u_g(p_b) = \frac{R}{f}\,\ln\frac{p_b}{p_t}\;\vec k\times\nabla_p\bar T ,$$

حيث $\bar T$ متوسط درجة حرارة الطبقة: تهبّ الريح على طول خطوط تساوي الحرارة في الطبقة، والهواء البارد عن يسارها في نصف الكرة الشمالي.

نتيجة 19.15 (الريح الحرارية بدلالة الارتفاع)

في إحداثيات الارتفاع، وبالنسبة إلى الغلاف الجوي، $\partial u_g/\partial z = -(g/fT)\,\partial T/\partial y + (u_g/T)\,\partial T/\partial z$؛ وبالنسبة إلى المحيط في تقريب بوسينسك، $\partial u_g/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial y$ و$\partial v_g/\partial z = -(g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial x$.

الحدّ الثاني في الصيغة الجوّية، الناتج عن انخفاض درجة الحرارة مع الارتفاع، أصغر من الحدّ الأول، ويتلاشى في طبقة متساوية الحرارة؛ وعند التكامل عبر طبقة بمتوسط درجة حرارتها، يعطي الحدّ الأول وحده تقريبًا الصيغة الضغطية، لأنّ $\Delta z \approx (R\bar T/g) \ln(p_b/p_t)$ (المسألة، الجزء الرابع). وفي المحيط تحوّل المبرهنة نفسها مقطعًا للكثافة عبر تيّار إلى قصّه الرأسي، وهي أساس الطريقة الديناميكية لدى علماء المحيطات.

التيّارات النفّاثة الواردة في مجلد السنة الأولى رياح حرارية. وفي المتوسط النطاقي لشهر يناير للفترة 1991–2020، تزداد الريح الغربية عند $30{}^{\circ}$ شمالًا من $4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $850\,\mathrm{hPa}$ إلى $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $250\,\mathrm{hPa}$؛ ومع $f$ عند $30{}^{\circ}$ و$R$، يدلّ هذا القصّ على طبقة متوسط درجة حرارتها ينخفض نحو الشمال بمقدار $7.5\,\mathrm{K}$ لكلّ $1000\,\mathrm{km}$. وعند $45{}^{\circ}$ شمالًا، يعطي القصّ الناتج عن $6.0\text{ ⁧إلى⁩ }23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ $5.0\,\mathrm{K}$ لكلّ $1000\,\mathrm{km}$. يُبيّن الشكل أدناه الملامح، وبالنسبة إلى كلّ خطّ عرض، انخفاض درجة الحرارة نحو القطب المقروء من القصّ: وهو أكبر في المناطق شبه المدارية للنصف الشتوي، حيث يقع التيّار النفّاث شبه المداري بسرعة $43.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $200\,\mathrm{hPa}$ و$30{}^{\circ}$ شمالًا في يناير و$41.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $30{}^{\circ}$ جنوبًا في يوليو. وفوق $200\,\mathrm{hPa}$ عند $30{}^{\circ}$ شمالًا تضعف الريح ثانيةً، وتقول مبرهنة الريح الحرارية مقروءةً بالعكس إنّ هناك، في الستراتوسفير السفلي، ترتفع درجة الحرارة نحو القطب.

19.5 نصف قطر روسبي للتشوّه

يفرض الدوران والتطبّق كلٌّ منهما مقياسًا؛ ومعًا يفرضان طولًا.

تعريف 19.16 (نصف قطر روسبي للتشوّه)

نصف قطر روسبي للتشوّه لطبقة عمقها $H$ وتردّد الطفو $N$ هو $L_R = NH/|f|$.

قضية 19.17 (الطاقة الكامنة والطاقة الحركية للتدفّق المتوازن)

في تدفّق جيوستروفي هيدروستاتيكي بمقياس أفقي $L$ في طبقة عمقها $H$ وتردّد الطفو $N$، تكون نسبة الطاقة الكامنة المخزَّنة في أسطح الكثافة المزاحة إلى الطاقة الحركية من مرتبة $(L/L_R)^2$.

تحتفظ الحركات الأوسع بكثير من $L_R$ بمعظم طاقتها في أسطح كثافة مائلة، والحركات الأضيق بكثير في سرعتها؛ وعند $L_R$ تتساوى الطاقتان، وعدم استقرار التدفّقات الباروكلينية، الذي يتغذّى على الطاقة الكامنة للأسطح المائلة، يبلغ نموّه أقصاه قرب ذلك المقياس. أمّا التروبوسفير، ومع المتوسط $N$ للغلاف الجوي المعياري، $H = 11\,\mathrm{km}$ و$f$ عند $45{}^{\circ}$، $L_R = 1210\,\mathrm{km}$: مقياس المنخفضات والمرتفعات الجوية على خريطة الطقس. أمّا الكيلومتر العلوي من عمود الماء في شمال المحيط الأطلسي عند $40.5{}^{\circ}$ شمالًا، $L_R = 38\,\mathrm{km}$، أي أصغر بثلاثين مرّة: للمحيط طقسه الخاص، اضطرابات دوّامية بعشرات الكيلومترات عرضًا، ويحتاج نموذجٌ يحلّها إلى شبكة أدقّ بكثير. وعلى مقاييس قريبة من $L_R$، يتغيّر $f$ بمقدار $\beta L_R/f$، أي $19\,\%$ بالنسبة إلى الغلاف الجوي، وأقلّ من واحد في المئة بالنسبة إلى المحيط: تعيش الاضطرابات الدوّامية على المستوي $f$، بينما تشعر الأنظمة الجوية بتأثير المستوي $\beta$.

في المختبر — كوكب على طاولة دوّارة

في مختبر لديناميكا الموائع الجيوفيزيائية، يُوضع خزّانٌ من الماء على طاولة دوّارة؛ تدور معها كاميرا ترى الماء كما يراه راصد على كوكب. قبل كل تشغيل يُترك الماء في طور التهيئة حتى يدور دوران الجسم الصلب، وهذا يستغرق بضع دقائق، أي دورات كثيرة للطاولة. ثم يحقن المجرّبون صبغة، أو يحرّكون عائقًا ببطء على القاع: ترتفع الصبغة في عمود رأسي فوق العائق، وينفصل الجريان حوله على كل مستوى. وعند وضع طبقة من الماء العذب فوق الماء المالح، أو جدار خارجي مُسخَّن ومركز مُبرَّد، يصبح الخزّان باروكليني، وتظهر نفاثات واضطرابات دوّامية وجبهات متعرّجة، ويتنبّأ بحجمها نصف قطر روسبي للتشوّه في الخزّان.

19.6 التمارين

تمرين 19.1 ★

خذ $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (أ) احسب معامل كوريوليس والدور القصوري عند $30{}^{\circ}$، $45{}^{\circ}$ و$60{}^{\circ}$ شمالًا. (ب) احسب نصف قطر الدائرة القصورية لتيار سرعته $0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند خطوط العرض نفسها. (ج) قارن الدور القصوري عند $30{}^{\circ}$ باليوم النجمي، $23.9345\,\mathrm{h}$.

حل

حل التمرين 19.1.

(أ) $f = 2\Omega\sin\varphi$: $7.292 \times 10^{-5}$، $1.031 \times 10^{-4}$ و$1.263 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ $2\pi/f$: 23.93، 16.92 و$13.82\,\mathrm{h}$. (ب) $U/f$: 2.74، 1.94 و$1.58\,\mathrm{km}$. (ج) عند $30{}^{\circ}$، $\sin\varphi = 1/2$ و$2\pi/f = 2\pi/\Omega$: الدور القصوري هو اليوم النجمي، $23.93\,\mathrm{h}$.

تمرين 19.2 ★

عند $45{}^{\circ}$ شمالًا، احسب عدد روسبي لدوّامة غبارية ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $10\,\mathrm{m}$)، ونسيم بحري ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $20\,\mathrm{km}$)، ومنخفض جوي ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $1000\,\mathrm{km}$)، ودوّامة محيطية ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $2000\,\mathrm{km}$). أيّها قريب من التوازن الجيوستروفي؟

حل

حل التمرين 19.2.

مع $f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$: زوبعة الغبار $9.7 \times 10^{3}$، نسيم البحر 2.4، المنخفض 0.15، والدوّامة المحيطية $2.4 \times 10^{-4}$. يقترب المنخفض والدوّامة من الاتزان الجيوستروفي؛ أمّا زوبعة الغبار فتدور في أيّ الاتجاهين، غافلةً عن دوران الأرض، ولا يشعر به نسيم البحر إلّا على مدى يوم.

تمرين 19.3 ★

عند $45{}^{\circ}$ شمالًا يتناقص متوسط درجة الحرارة في التروبوسفير، $250\,\mathrm{K}$، نحو الشمال بمقدار $5\,\mathrm{K}$ لكل $1000\,\mathrm{km}$. باستخدام الحد الأول من الريح الحرارية بدلالة الارتفاع، احسب القصّ الرأسي للريح الغربية، ومقدار الزيادة في الريح عبر $10\,\mathrm{km}$.

حل

حل التمرين 19.3.

$\partial u_g/\partial z = (g/fT)\,|\partial T/\partial y| = 9.81\times 5 \times 10^{-6}/(1.031 \times 10^{-4}\times250) = 1.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ على مدى $10\,\mathrm{km}$، تزداد الريح الغربية بمقدار $19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

تمرين 19.4 ★

يتراوح الاستقرار $E = -(1/\rho)\,\mathrm d\rho_\theta/\mathrm dz$ للكيلومتر العلوي من المحيط بين $50 \times 10^{-8}$ و$1000 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$؛ وفي الخنادق العميقة يساوي $10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$. احسب $N = \sqrt{gE}$، ودور تذبذب الطفو، و$N$ بوحدة دورات في الساعة لهذه القيم الثلاث.

حل

حل التمرين 19.4.

$E = 50 \times 10^{-8}$: $N = 2.21 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$، دور قدره $47\,\mathrm{min}$، $1.27$ دورةً في الساعة. $E = 1000 \times 10^{-8}$: $N = 9.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$، $10.6\,\mathrm{min}$، 5.7 دورةً في الساعة. $E = 10^{-8}$: $N = 3.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$، $5.6\,\mathrm{h}$، 0.18 دورةً في الساعة.

تمرين 19.5 ★★

لدينا نظام طقسي $U = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $L = 1000\,\mathrm{km}$، $H = 10\,\mathrm{km}$، عند $45{}^{\circ}$ شمالًا. (أ) قدّر سرعته الرأسية وتسارعه الرأسي، وقارن هذا التسارع مع $g$ ومع التدرّج الرأسي لاضطراب الضغط، $fUL/H$. (ب) احسب حدّ كوريوليس المُهمَل $\tilde fu$ وقارنه مع $g$.

حل

حل التمرين 19.5.

(أ) $W \sim UH/L = 0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و$\mathrm Dw/\mathrm Dt \sim UW/L = 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، $1.0 \times 10^{-7}$ من $g$. حدّ الضغط، $fUL/H = 0.103\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، أكبر بمقدار $1 \times 10^{5}$: النسبة $9.7 \times 10^{-6}$، هي $\mathrm{Ro}(H/L)^2$ مع $\mathrm{Ro} = 0.097$. (ب) $\tilde fu = 2\Omega\cos45{}^{\circ}\times10 = 1.03 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، $1.05 \times 10^{-4}$ من $g$.

تمرين 19.6 ★★

خذ $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ وخطوط تساوي الضغط الدائرية ذات نصف القطر $300\,\mathrm{km}$. (أ) يعطي تدرّج الضغط حول منخفض $V_g = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: احسب الريح التدرّجية. (ب) حول مرتفع، $V_g = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: احسب الريح التدرّجية. (ج) ما أكبر $V_g$ ممكنة حول المرتفع، وما الريح عندئذٍ؟

حل

حل التمرين 19.6.

$fr = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (أ) $\mathrm{Ro}_g = 0.667$، $V = 40/(1 + \sqrt{3.667}) = 13.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، أبطأ بمقدار الثلث من الحالة الجيوستروفية. (ب) $\mathrm{Ro}_g = 0.167$، $V = 10/(1 + \sqrt{0.333}) = 6.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ج) $V_g \le fr/4 = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، ثم $V = fr/2 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، أي ضعف السرعة الجيوستروفية.

تمرين 19.7 ★★

يدور خزّان عمقه $20\,\mathrm{cm}$ دورة كاملة كلّ $6\,\mathrm{s}$؛ ويبلغ لزوجة مائه $\nu = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (أ) احسب $f = 2\Omega$، ثم عدد روسبي لتدفّق بسرعة $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ حول أسطوانة قطرها $5\,\mathrm{cm}$، وعدد إيكمان للخزّان. هل سيتشكّل عمود تايلور؟ (ب) تُعطي النظرية زمن طور التهيئة $H/\sqrt{\nu\Omega}$: احسب الزمن بالدقائق وبعدد دورات الطاولة.

حل

حل التمرين 19.7.

(أ) $\Omega = 2\pi/6 = 1.047\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، $f = 2.094\,\mathrm{s}^{-1}$. $\mathrm{Ro} = 0.01/(2.094\times0.05) = 0.095$ و$\mathrm{Ek} = 10^{-6}/(2.094\times0.04) = 1.19 \times 10^{-5}$: كلاهما صغير، فيخضع الجريان لمبرهنة تايلور–برودمان، ويتكوّن عمود تايلور. (ب) $0.2/\sqrt{10^{-6} \times1.047} = 195\,\mathrm{s}$، $3.3\,\mathrm{min}$، 33 دورةً من دوران الطاولة.

تمرين 19.8 ★★

في المتوسط النطاقي لشهر يناير للفترة 1991–2020 تبلغ الريح الغربية $4.27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $850\,\mathrm{hPa}$ و$40.39\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $250\,\mathrm{hPa}$، عند $30{}^{\circ}$ شمالًا، $5.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و$23.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $45{}^{\circ}$ شمالًا. مع $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$، احسب التدرّج الزوالي لمتوسط درجة حرارة الطبقة عند خطّي العرض كليهما، وبيّن لماذا يكون التيّار النفّاث أقوى عند $30{}^{\circ}$ شمالًا.

حل

حل التمرين 19.8.

$\partial\bar T/\partial y = -f\,\Delta u/(R\ln(850/250))$، مع $\ln(850/250) = 1.224$. عند $30{}^{\circ}$ شمالًا، $-7.29 \times 10^{-5}\times36.12/(286.9 \times1.224) = -7.50\,\mathrm{K}$ لكلّ $1000\,\mathrm{km}$؛ عند $45{}^{\circ}$ شمالًا، $-1.031 \times 10^{-4}\times17.18/351.1 = -5.05\,\mathrm{K}$ لكلّ $1000\,\mathrm{km}$. القصّ يتناسب مع التدرّج مقسومًا على $f$: التدرّج أكبر بمقدار 1.5 مرّة عند $30{}^{\circ}$، و$f$ أصغر بمقدار 1.4 مرّة، فالقصّ أكبر بمقدار 2.1 مرّة.

تمرين 19.9 ★★

(أ) احسب نصف قطر روسبي للتشوّه في التروبوسفير ($N = 0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$، $H = 11\,\mathrm{km}$، $45{}^{\circ}$ شمالًا) وفي المحيط العلوي ($N = 0.003\,57\,\mathrm{s}^{-1}$، $H = 1000\,\mathrm{m}$، $40.5{}^{\circ}$ شمالًا). (ب) مع $a = 6371\,\mathrm{km}$، احسب $\beta$ عند خطّي العرض كليهما، والتغيّر النسبي $\beta L_R/f$ لمعامل كوريوليس عبر كلّ نصف قطر.

حل

حل التمرين 19.9.

(أ) $L_R = 0.0113\times11\,000/1.031 \times 10^{-4} = 1206\,\mathrm{km}$؛ $0.00357\times1000/9.47 \times 10^{-5} = 37.7\,\mathrm{km}$، أصغر بمقدار 32 مرّة. (ب) $\beta = 2\Omega\cos\varphi/a$: $1.62 \times 10^{-11}$ و$1.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. $\beta L_R/f = 0.19$ للغلاف الجوي، 0.007 وللمحيط.

تمرين 19.10 ★★★

تتباطأ كتلة من ماء السطح تتحرّك بالسرعة $U$ بفعل احتكاك خطّي: $\mathrm du/\mathrm dt = fv - ru$، $\mathrm dv/\mathrm dt = -fu - rv$. (أ) حُلّ باستعمال $w = u + \mathrm iv$ وصِف المسار. (ب) يُحمل الجسيم أيضًا بتيار ثابت $u_0$ متجهًا شرقًا: أعطِ موضعه. (ج) عند $45{}^{\circ}$ شمالًا، مع $U = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $r^{-1} = 4\text{ يومًا}$ و$u_0 = 0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، أعطِ سرعته بالنسبة إلى التيّار بعد أربعة أيام، والمسافة التي انجرفها.

حل

حل التمرين 19.10.

(أ) $\mathrm dw/\mathrm dt = -(r + \mathrm if)w$، فإنّ $w = U\mathrm e^{-rt}\mathrm e^{-\mathrm ift}$: تدور السرعة بالمعدّل $f$ بينما يتناقص قدرها وفق $\mathrm e^{-rt}$. ويكون الموضع $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if)$ يتلوّى حلزونيًا نحو النقطة $U/(r + \mathrm if)$. (ب) $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if) + u_0t$: يتمدّد الحلزون إلى حلقات. (ج) $0.2\,\mathrm e^{-1} = 0.074\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ انجرف المركز بمقدار $u_0t = 0.05\times4\times86\,400 = 17.3\,\mathrm{km}$ شرقًا.

تمرين 19.11 ★★★

عبر جبهة محيطية عند $40{}^{\circ}$ شمالًا تزداد كثافة الماء نحو الشمال بمقدار $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ على مسافة $100\,\mathrm{km}$، عبر الطبقة العليا $1000\,\mathrm{m}$؛ وتحتها يكون الماء متجانسًا وساكنًا. مع $\rho_0 = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، احسب القصّ الرأسي للتيّار، والتيّار عند السطح. في أيّ اتجاه يجري؟

حل

حل التمرين 19.11.

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ $\partial u/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial \rho/\partial y = 9.81\times10^{-5}/(9.37 \times 10^{-5}\times1025) = 1.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$. مع $u = 0$ عند $1000\,\mathrm{m}$ يبلغ تيّار السطح $1.02\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، شرقًا: في نصف الكرة الشمالي يجري التيّار مع الماء الخفيف على يمينه.

تمرين 19.12 ★★★

العمود المتوسط السنوي عند $40.5{}^{\circ}$ شمالًا، $30.5{}^{\circ}$ غربًا له كثافات كامنة $\sigma_\theta = \rho_\theta - 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ تبلغ 26.029 عند السطح، 26.697 عند $100\,\mathrm{m}$، 27.079 عند $500\,\mathrm{m}$، و27.628 عند $1000\,\mathrm{m}$. (أ) احسب $N$ في كلّ طبقة من الطبقات الثلاث، بوحدة $\mathrm{s}^{-1}$ وبالدورات في الساعة. (ب) أيّ الطبقات هي الأكثر استقرارًا، ولماذا؟ (ج) قارن القيم بمدى المحيط العلوي في التمرين 19.4.

حل

حل التمرين 19.12.

(أ) $N^2 = (g/\rho)\,\Delta\sigma_\theta/\Delta z$. 0–$100\,\mathrm{m}$: $9.81\times0.668/(1026.4\times100)$، $N = 7.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$، 4.6 دورةً في الساعة؛ 100–$500\,\mathrm{m}$: $3.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$، 1.7 دورةً في الساعة؛ 500–$1000\,\mathrm{m}$: $3.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$، 1.9 دورةً في الساعة. (ب) الطبقة العليا $100\,\mathrm{m}$: تحتوي على ماء السطح الدافئ فوق الطبقة الانتقالية الكثافية الموسمية. بين 100 و$500\,\mathrm{m}$ يكون الماء أكثر انتظامًا من الأسفل. (ج) $E = N^2/g$ هي $650 \times 10^{-8}$، $93 \times 10^{-8}$ و$107 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$، وكلّها ضمن مدى المحيط العلوي.

19.7 مسألة: الرياح فوق سهوب أورين

مسألة 19.1

مسألة نهاية الأسبوع — الدوران والتطبّق والرياح في سهل مُخترع عند $48{}^{\circ}$ شمالًا

سهوب أورين سهلٌ مستوٍ عند $48{}^{\circ}$ شمالًا، فيه بحيرة، هي بحيرة أورين، عرضها $12\,\mathrm{km}$، ومختبرٌ صغير فيه خزّان دوّار. خذ $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ و$c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$. جميع قيم السهوب وبحيرتها ورياحها مُخترعةٌ.

الجزء الأول — هل للدوران أهمية؟

1. احسب معامل كوريوليس ودور الاهتزاز القصوري عند أورين.
2. احسب عدد روسبي لخمسة تدفّقات: مياه تنصرف من حوض الاستحمام ($0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ على مسافة $0.3\,\mathrm{m}$)؛ خزّان المختبر، الذي يدور مرّةً كلّ $10\,\mathrm{s}$ (مع $f = 2\Omega_{\text{الخزّان}}$؛ $5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ على مسافة $0.2\,\mathrm{m}$)؛ نسيم المساء القادم من البحيرة ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $20\,\mathrm{km}$)؛ منخفض جوي ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $1000\,\mathrm{km}$)؛ الدوّامة المحيطية لحوضٍ محيطي عند خط العرض نفسه ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $2000\,\mathrm{km}$).
3. أيّ هذه التدفّقات يشعر بالدوران الذي يحرّكها، وأيّ منها قريب من الجيوستروفي؟
4. احسب عدد إيكمان للخزّان (عمقه $0.2\,\mathrm{m}$، $\nu = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)، وللمنخفض (اللزوجة الدوّامية $10\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، عمقه $10\,\mathrm{km}$)، وللدوّامة المحيطية (اللزوجة الدوّامية $10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، عمقها $1000\,\mathrm{m}$).
5. لطبقة إيكمان سُمك $\delta = \sqrt{2\nu/f}$. بيّن أنّ $\delta/H = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$ واحسب $\delta$ للخزّان وللهواء في السهوب.
6. ماذا تقول هذه الأعداد عن المواضع التي يكون فيها للاحتكاك أهمية؟

الجزء الثاني — الريح عند سطح الأرض.

7. عند سطح الأرض يكون الضغط $1012.9\,\mathrm{hPa}$ ودرجة الحرارة $288.1\,\mathrm{K}$. احسب كثافة الهواء.
8. ينخفض ضغط مستوى سطح البحر نحو الشمال بمقدار $4\,\mathrm{hPa}$ لكلّ $300\,\mathrm{km}$. احسب الريح الجيوستروفية وأعطِ اتجاهها.
9. التدرّج نفسه يحيط بمنخفض تبلغ أنصاف أقطار خطوط تساوي ضغطه $600\,\mathrm{km}$. احسب عدد روسبي لخطوط تساوي الضغط والريح التدرّجية.
10. يحيط بالمرتفع الجوي التدرّجُ نفسه وبنصف القطر نفسه. احسب الريح التدرّجية، وأكبر تدرّج للضغط، بوحدة $\mathrm{hPa}$ لكلّ $300\,\mathrm{km}$، الذي يستطيع المرتفع الجوي حمله.

الجزء الثالث — التطبّق.

11. تنخفض درجة حرارة التروبوسفير بمقدار $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. احسب معدّل التناقص الأديباتي الجاف $g/c_p$، و$N$ ودور اهتزاز الطفو عند $5\,\mathrm{km}$، حيث تبلغ درجة الحرارة $255.7\,\mathrm{K}$.
12. فوق $11\,\mathrm{km}$ يكون الهواء متساوي الحرارة عند $216.6\,\mathrm{K}$. بيّن أنّ $N^2 = g^2/(c_pT)$ هناك، واحسب $N$ ونسبته إلى قيمة السؤال 11.
13. احسب نصف قطر روسبي لتروبوسفير أورين، مستخدمًا $N$ من السؤال 11 و$H = 10\,\mathrm{km}$، وقارنه بحجم المنخفض في الجزء I.
14. في الصيف، تكون الطبقة العليا من بحيرة أورين، بسُمك $20\,\mathrm{m}$، أخفّ من الماء العميق بمقدار $1.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($\rho_0 = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). احسب الجاذبية المختزلة $g' = g\,\Delta\rho/\rho_0$، وسرعة $\sqrt{g'h}$ للأمواج الداخلية البطيئة في الطبقة العليا، ونصف قطر روسبي $\sqrt{g'h}/f$.
15. هل سيشكّل دوران الأرض الحركات الداخلية في البحيرة؟

الجزء الرابع — الريح الحرارية.

16. تبعد محطّتان للمسبار الراديوي $600\,\mathrm{km}$ إحداهما عن الأخرى على خطّ الزوال نفسه. متوسط درجة الحرارة للطبقة من سطح الأرض، $1013\,\mathrm{hPa}$، حتى $265\,\mathrm{hPa}$، نحو $10\,\mathrm{km}$، يبلغ $253.0\,\mathrm{K}$ عند المحطّة الجنوبية، و$249.4\,\mathrm{K}$ عند المحطّة الشمالية. احسب التدرّج الحراري الزوالي بوحدة $\mathrm{K}$ لكلّ $1000\,\mathrm{km}$.
17. سُمك الطبقة المحصورة بين ضغطين هو $\Delta z = (R\bar T/g)\ln(p_b/p_t)$. احسب هذا السُّمك عند المحطّتين، وميل سطح $265\,\mathrm{hPa}$ بالنسبة إلى السطح عند مستوى الأرض.
18. استنتج الزيادة في الريح الجيوستروفية من سطح الأرض حتى $265\,\mathrm{hPa}$، من هذا الميل.
19. احسب الزيادة نفسها بمبرهنة الريح الحرارية في الضغط.
20. هل هواء السهوب باروتروبي أم باروكليني؟ ما الريح عند $265\,\mathrm{hPa}$ لو كان الهواء باروتروبيًّا؟
21. احسب الزيادة من الحدّ الأول للريح الحرارية في الارتفاع، مع متوسط درجة الحرارة للتروبوسفير المعياري بين 0 و$10\,\mathrm{km}$، $255.7\,\mathrm{K}$، وقارِن.
22. احسب الريح عند $541\,\mathrm{hPa}$، نحو $5\,\mathrm{km}$، مفترضًا أنّ التدرّج الحراري هو نفسه عند كلّ مستوى.
23. يجب أن ينخفض عدد ريتشاردسون $N^2/(\partial u/\partial z)^2$ إلى ما دون 0.25 حتى يولّد القصّ اضطرابًا. احسب هذا العدد للتروبوسفير في أورين.
24. في يناير يبلغ المتوسط النطاقي للريح الغربية عند $250\,\mathrm{hPa}$ $23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $45{}^{\circ}$ شمالًا و$40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $30{}^{\circ}$ شمالًا. قارِن بالريح في أورين، واشرح لماذا يمكن للريح المحلّية أن تتجاوز المتوسط النطاقي.
25. أعطِ الريح الجيوستروفية عند $10\,\mathrm{km}$ فوق سهوب أورين.

حل

حل المسألة 19.1.

1. $f = 2\times7.292\,115 \times 10^{-5}\sin48{}^{\circ} = 1.084 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ $2\pi/f = 16.1\,\mathrm{h}$.

2. حوض الاستحمام $3.1 \times 10^{3}$؛ الخزّان ($f = 4\pi/10 = 1.257\,\mathrm{s}^{-1}$) 0.020؛ نسيم البحر 2.3؛ المنخفض 0.14؛ الدوّامة المحيطية $2.3 \times 10^{-4}$.

3. لا يشعر حوض الاستحمام بشيء من دوران الأرض؛ ويشعر نسيم البحر به إلّا بعد بضع ساعات. أمّا الخزّان والمنخفض والدوّامة المحيطية فلها أعداد روسبي صغيرة، وهي قريبة من الاتزان الجيوستروفي.

4. الخزّان $10^{-6}/(1.257\times0.04) = 2.0 \times 10^{-5}$؛ المنخفض $10/(1.084 \times 10^{-4}\times10^8) = 9.2 \times 10^{-4}$؛ الدوّامة المحيطية $10^{-3}/(1.084 \times 10^{-4}\times10^6) = 9.2 \times 10^{-6}$.

5. $\delta/H = \sqrt{2\nu/(fH^2)} = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$. الخزّان $\sqrt{2\times10^{-6}/1.257} = 1.3\,\mathrm{mm}$؛ الهواء $\sqrt{20/1.084 \times 10^{-4}} = 430\,\mathrm{m}$.

6. يؤثّر الاحتكاك في طبقات بسمك بضعة أجزاء في الألف من العمق، في الخزّان والمحيط، وبضعة أجزاء في المئة في الغلاف الجوي؛ وفوقها يكون الجريان شبه خالٍ من الاحتكاك.

7. $\rho = p/(RT) = 101\,290/(286.9\times288.1) = 1.225\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

8. $u_g = (1/\rho f)\,|\partial p/\partial y| = (400/300\,000)/(1.225 \times1.084 \times 10^{-4}) = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، من الغرب، مع انخفاض الضغط شمالًا على اليسار.

9. $\mathrm{Ro}_g = 10.04/(1.084 \times 10^{-4}\times600\,000) = 0.154$; $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{1.618}) = 8.84\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12\,\%$ أبطأ.

10. $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{0.382}) = 12.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وأكبر قيمة للمقدار $V_g$ هي $fr/4 = 16.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، وتدرّج الضغط $\rho fV_g = 2.16 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$، $6.5\,\mathrm{hPa}$ لكلّ $300\,\mathrm{km}$.

11. $g/c_p = 9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. $N^2 = (9.81/255.7)\times(9.77 - 6.49)\times10^{-3} = 1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$، $N = 0.0112\,\mathrm{s}^{-1}$، أي زمن دوريّ قدره $9.3\,\mathrm{min}$.

12. عند $\Gamma = 0$، $N^2 = (g/T)(g/c_p) = g^2/(c_pT) = 4.43 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$، $N = 0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$، أي 1.9 ضعف القيمة في التروبوسفير.

13. $L_R = 0.0112\times10^4/1.084 \times 10^{-4} = 1035\,\mathrm{km}$، وهو يساوي حجم المنخفض.

14. $g' = 0.0147\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $\sqrt{g'h} = 0.54\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R = 0.542/1.084 \times 10^{-4} = 5.0\,\mathrm{km}$.

15. نعم: البحيرة، التي عرضها $12\,\mathrm{km}$، أكبر من ضعف نصف قطر روسبي لها، لذلك تنحرف أمواجها الداخلية وتياراتها بفعل قوّة كوريوليس.

16. $(249.4 - 253.0)/600 = -6.0\,\mathrm{K}$ لكلّ $1000\,\mathrm{km}$.

17. $\ln(1013/265) = 1.3409$. الجنوب: $286.9\times253.0\times1.3409/9.81 = 9922\,\mathrm{m}$؛ الشمال $9781\,\mathrm{m}$. يقع سطح $265\,\mathrm{hPa}$ أخفض بمقدار $141\,\mathrm{m}$ في الشمال، بانحدار $2.35 \times 10^{-4}$ بالنسبة إلى السطح السفلي.

18. $\Delta u = (g/f)\times\text{الانحدار} = 9.81\times2.35 \times 10^{-4}/ 1.084 \times 10^{-4} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

19. $(R/f)\ln(p_b/p_t)\,|\partial\bar T/\partial y| = (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times1.3409\times6.0 \times 10^{-6} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، وهي نفسها: الحسابان هما حساب واحد.

20. باروكليني: تتغيّر درجة الحرارة، ومن ثمّ الكثافة، على طول أسطح الضغط. فلو كان الجريان باروتروبيًّا لما تغيّرت الريح مع الارتفاع: $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

21. $(g/f\bar T)\,|\partial T/\partial y|\,\Delta z = 9.81\times 6.0 \times 10^{-6}\times10^4/(1.084 \times 10^{-4}\times255.7) = 21.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, في حدود $0.3\,\%$.

22. $10.04 + (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times6.0 \times 10^{-6}\times \ln(1013/541) = 10.04 + 9.96 = 20.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

23. $\partial u/\partial z = 21.3/10^4 = 2.13 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathrm{Ri} = 1.26 \times 10^{-4}/4.54 \times 10^{-6} = 28$، أكبر بكثير من 0.25: القصّ لا يجعل التروبوسفير الحرّ مضطربًا.

24. ريح أورين، $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، أقوى من المتوسط النطاقي عند $45{}^{\circ}$ شمالًا وأضعف منه عند $30{}^{\circ}$ شمالًا. تتذبذب نفّاثة الجبهة القطبية شمالًا وجنوبًا؛ وفي أيّ لحظة يتركّز تدرّجها وريحها على نطاق ضيّق، بينما يؤدّي أخذ المتوسط حول دائرة العرض إلى توزيعهما.

25. $10.0 + 21.3$: الريح الجيوستروفية عند $10\,\mathrm{km}$ فوق السهوب هي $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، من الغرب ($31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ حسب الحساب).