পৃথিবী ও মহাকাশ বিজ্ঞান · বই 5 · স্নাতক তৃতীয় বর্ষ

علوم الأرض والفضاء الجامعية — السنة الثالثة

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — العربية সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

علوم الأرض والفضاء الجامعية — السنة الثالثة · স্নাতক তৃতীয় বর্ষ

3الجاذبية وشكل الأرض

يدور قمران صناعيان أحدهما خلف الآخر حول الأرض، على ارتفاع يزيد على 500 km500\,\mathrm{km} ويفصل بينهما نحو 220 km220\,\mathrm{km}، ويقيسان المسافة بينهما باستمرار بدقّة تصل إلى ميكرومتر واحد.

عندما يمرّان فوق مكان تتركّز فيه الكتلة، يُسحب القمر المتقدّم إلى الأمام أوّلًا فيتّسع الفاصل بينهما؛ ثم يُسحب القمر المتأخّر بدوره فيضيق الفاصل. ومن هذه التغيّرات الصغيرة، شهرًا بعد شهر منذ عام 2002، رُسم حقل جاذبية الأرض وهو يتغيّر: فالمياه المخزّنة في الأحواض النهرية ترتفع وتنخفض مع الفصول، وتفقد الأغطية الجليدية الكبرى في غرينلاند والقارة القطبية الجنوبية كتلتها عامًا بعد عام. وتَزِن الجاذبية ما تعجز العين عن رؤيته. يبني هذا الفصل حقل الجاذبية لكوكب دوّار انطلاقًا من جهده، يستخرج منه التفلطح وعزم القصور الذاتي، ويتتبّع شذوذاته حتى المدار، ثم ينتقل إلى أحد ما تكشفه الجاذبية عند السطح: انثناء الغلاف الصخري تحت ثقل بركان.

ما تعرفه من قبل

قانون نيوتن للتجاذب الكوني، وطاقة الكمون الجذبي، والقوة الطاردة المركزية في إطار دوّار هي من كتب الفيزياء؛ وعزوم القصور الذاتي لجسم صلب وكثيرات حدود ليجندر P2(x)=(3x2−1)/2P_2(x) = (3x^2 - 1)/2 واردة في المجلّدات الجامعية لكتب الفيزياء والرياضيات، ومعامل يونغ EE ونسبة بواسون ν\nu في مجلّد السنة الثالثة لكتب الفيزياء. وقد عُرفت الجيوديسيا والتفلطح f=(a−b)/af = (a - b)/a للإهليلجي ذي نصفي المحورين a>ba > b في الصف العاشر. وعُرّف التوازن الأيزوستاتي، والتعويض الأيري، والجاذبية المرجعية، والجيود، وارتفاع الجيود، وشذوذات الجاذبية في مجلّد السنة الأولى، في فصله المخصّص للتوازن الأيزوستاتي وشذوذات الجاذبية.

3.1 الجهد الأرضي

على كوكب دوّار يشعر الجسم الساكن بجذب كتلة الكوكب وبالقوة الطاردة المركزية في الإطار الدوّار معه. وكلاهما يشتقّ من جهدٍ واحد.

تعريف 3.1 (الجهد الأرضي)

الجهد الأرضي هو طاقة الكمون لكلّ وحدة كتلة، في الإطار الدوّار مع الأرض بالسرعة الزاوية ω\omega، للجذب والقوة الطاردة المركزية معًا:

W(r)=V(r)+Φ(r),V(r)=−G∫الأرضdm′∣r−r′∣,Φ(r)=−12ω2s2,W(\mathbf r) = V(\mathbf r) + \Phi(\mathbf r),\qquad V(\mathbf r) = -G\int_{\text{الأرض}}\frac{\mathrm dm'}{|\mathbf r - \mathbf r'|},\qquad \Phi(\mathbf r) = -\tfrac12\omega^2 s^2,

حيث ss هو البعد عن محور الدوران. والجاذبية g=−∇W\mathbf g = -\nabla W، والسطوح W=ثابتW = \text{ثابت} هي سطوحه المتساوية الجهد: الجاذبية عمودية عليها في كلّ مكان.

يتدلّى الخيط الشاقولي على امتداد −∇W-\nabla W، ويستقرّ الماء الساكن على سطح متساوي الجهد. ومنه يأخذ كوكب مائع دوّار شكل أحد سطوحه المتساوية الجهد: فالكمون الطارد المركزي، الأعمق عند خطّ الاستواء، يُضخّم خطّ الاستواء ويُفلطح القطبين.

سطح متساوي الجهد لكوكب دوّار (تخطيطيًّا، مع تضخيم التفلطح تضخيمًا كبيرًا). عند كلّ نقطة، تكون الجاذبية، أي مجموع الجذب والقوة الطاردة المركزية، عمودية على سطح متساوي الجهد؛ فهي لا تتّجه نحو المركز إلّا عند القطبين وعلى خطّ الاستواء.
سطح متساوي الجهد لكوكب دوّار (تخطيطيًّا، مع تضخيم التفلطح تضخيمًا كبيرًا). عند كلّ نقطة، تكون الجاذبية، أي مجموع الجذب والقوة الطاردة المركزية، عمودية على سطح متساوي الجهد؛ فهي لا تتّجه نحو المركز إلّا عند القطبين وعلى خطّ الاستواء.

خارج الكوكب يحقّق الجهد الجذبي معادلة لابلاس، وحلوله المنتظمة عند اللانهاية هي التوافقيات الكروية الصلبة.

قضية 3.2 (نشر الجهد الأرضي بالتوافقيات الكروية)

خارج جسم كتلته MM ونصف قطره الاستوائي aa، ومبدؤه عند مركز كتلته، ومحوره zz على امتداد محور دورانه، يكون الجهد الجذبي عند المسافة rr والزاوية القطبية θ\theta وخط الطول λ\lambda هو

V=−GMr[1−∑n=2∞(ar)nJnPn(cos⁡θ)+∑n=2∞∑m=1n(ar)nPnm(cos⁡θ)(Cnmcos⁡mλ+Snmsin⁡mλ)],\begin{gather*} V = -\frac{GM}{r}\Biggl[1 - \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac ar\right)^nJ_nP_n(\cos\theta)\\ + \sum_{n=2}^{\infty}\sum_{m=1}^{n}\left(\frac ar\right)^nP_{nm}(\cos\theta) (C_{nm}\cos m\lambda + S_{nm}\sin m\lambda)\Biggr], \end{gather*}

مع كثيرات حدود ليجندر PnP_n والدوال المرافقة PnmP_{nm}، والمعاملات JnJ_n، CnmC_{nm}، SnmS_{nm} أعداد تُعيَّن بالمطابقة مع الرصد. وبالنسبة إلى جسم متناظر حول محوره، لا يبقى إلّا الحدود المنطقية JnJ_n. ولا يظهر حدّ من الدرجة 1.

برهان. يُعطي فصل المتغيّرات في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكروية الحلول المنتظمة عند اللانهاية r−(n+1)r^{-(n+1)} مضروبًا في Pnm(cos⁡θ)e±imλP_{nm}(\cos\theta)e^{\pm im\lambda} (المجلّدات الجامعية لكتب الرياضيات)؛ وأيّ جهد خارج الكتل هو مجموع هذه الحلول. والحدّ من الدرجة 0 هو −GM/r-GM/r، أي جهد الكتلة كلّها. والحدود من الدرجة 1 تتناسب مع العزوم الأولى ∫r′ dm′\int\mathbf r'\,\mathrm dm'، وتنعدم هذه عندما يكون المبدأ عند مركز الكتلة. ويُزيل التناظر المحوري كلّ حدّ يعتمد على λ\lambda. ∎

تعريف 3.3 (معامل الشكل الديناميكي)

معامل الشكل الديناميكي J2J_2 لكوكبٍ ما هو معامل الحدّ الزونالي التوافقي من الدرجة 2، أي أكبر انحراف لجهده الخارجي عن جهد الكرة، وذلك بسبب تفلطحه. وبالنسبة إلى الأرض، J2=1.082 63×10−3J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}.

مبرهنة 3.4 (صيغة ماكولا)

لتكن AA، BB، CC عزوم القصور الذاتي الرئيسية لجسمٍ كتلته MM حول محاور تمرّ بمركز كتلته، وII عزم قصوره الذاتي حول المستقيم الواصل من مركز الكتلة إلى نقطة خارجية على بعد rr. وحتى الرتبة r−3r^{-3} يُعطى الجهد الثقالي عند تلك النقطة وفق صيغة ماكولا

V=−GMr−G(A+B+C−3I)2r3.V = -\frac{GM}{r} - \frac{G(A + B + C - 3I)}{2r^3} .

وبالنسبة إلى جسم متماثل حول المحور zz (A=BA = B)، V=−GMr+G(C−A)r3P2(cos⁡θ)V = -\dfrac{GM}{r} + \dfrac{G(C - A)}{r^3}P_2(\cos\theta)، ومنه

J2=C−AMa2.J_2 = \frac{C - A}{Ma^2} .

برهان. وليكن r^\hat{\mathbf r} متجهة الوحدة الموجَّهة نحو النقطة، وr′≪rr' \ll r،

1∣r−r′∣=1r+r^⋅r′r2+3(r^⋅r′)2−r′22r3+O(r−4).\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|} = \frac1r + \frac{\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r'}{r^2} + \frac{3(\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r')^2 - r'^2}{2r^3} + O(r^{-4}).

بالتكامل على الكتلة، يُعطي الحدّ الأوّل M/rM/r، وينعدم الحدّ الثاني (مركز الكتلة). وفي الحدّ الثالث، ∫r′2 dm′=(A+B+C)/2\int r'^2\,\mathrm dm' = (A + B + C)/2، لأنّ A+B+C=∫2r′2 dm′A + B + C = \int 2r'^2\,\mathrm dm'، و∫(r^⋅r′)2 dm′=∫r′2 dm′−I\int(\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r')^2\,\mathrm dm' = \int r'^2\,\mathrm dm' - I، ومربّع المسافة إلى المستقيم هو r′2−(r^⋅r′)2r'^2 - (\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r')^2. ويساوي تكامل القوس 3(A+B+C)/2−3I−(A+B+C)/2=A+B+C−3I3(A + B + C)/2 - 3I - (A + B + C)/2 = A + B + C - 3I. وعند A=BA = B، يكون العزم حول مستقيم عند الزاوية المتمّمة لخط العرض θ\theta هو I=Asin⁡2θ+Ccos⁡2θI = A\sin^2\theta + C\cos^2\theta، و2A+C−3I=(C−A)(1−3cos⁡2θ)=−2(C−A)P2(cos⁡θ)2A + C - 3I = (C - A)(1 - 3\cos^2\theta) = -2(C - A)P_2(\cos\theta). وبمقارنة ذلك مع القضية 3.2 نجد J2Ma2=C−AJ_2Ma^2 = C - A. ∎

ومن ثمّ يقيس الحدّ من الدرجة 2 في الجهد الفرقَ بين عزمَي القصور الذاتي، لا العزوم نفسها. أمّا تقدّم محور الأرض، الذي تدفعه عزوم الشمس والقمر المؤثّرة في الانتفاخ الاستوائي، يقيس الإهليلجية الديناميكية H=(C−A)/CH = (C - A)/C؛ وبالجمع بين J2J_2 وHH نحصل على C/(Ma2)C/(Ma^2)، وهو عامل عزم القصور الذاتي، ويساوي 0.33080.3308 للأرض،

أدنى بكثير من 0.40.4 الخاصّة بالكرة المتجانسة: إذ تتركّز الكتلة نحو المركز.

3.2 الإهليلجي الدوّار

تعريف 3.5 (الإهليلجي المرجعي)

الإهليلجي المرجعي هو إهليلجي دوراني، ذا نصف المحور الاستوائي aa والتفلطح ff، ويُختار بحيث يكون هو نفسه سطح تساوي جهدٍ نموذجيّ: جهدُ جسمٍ دوّار كتلته MM بالسرعة الزاوية ω\omega ومعامل الشكل الديناميكي J2J_2 للأرض. وتحدّد هذا الإهليلجي أربعةُ ثوابت؛ ويأخذ نظام المرجع الجيوديسي 1980 القيم الآتية:

a=6 378 137 m,GM=3.986 005×1014 m3 s−2,J2=1.082 63×10−3,ω=7.292 115×10−5 rad s−1,\begin{gather*} a = 6\,378\,137\,\mathrm{m},\qquad GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2},\\ J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3},\qquad \omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}, \end{gather*}

ومنها يُشتقّ التفلطح f=0.003 352 810 68f = 0.003\,352\,810\,68 (1/f=298.257 2221/f = 298.257\,222) ونصف المحور الصغير b=6 356 752.3141 mb = 6\,356\,752.3141\,\mathrm{m}.

يُعرف جهدُ النموذج، أي الجهد المرجعي، على صورة مغلقة، وكذلك جاذبيتُه على الإهليلجي، أي الجاذبية المرجعية في مجلد السنة الأولى.

قضية 3.6 (صيغة سوميليانا)

على إهليلجي مرجعي ذي نصفي المحورين aa وbb، والجاذبية المرجعية γe\gamma_e عند خط الاستواء وγp\gamma_p عند القطبين تُعطى عند خط العرض الجيوديسي φ\varphi بالعلاقة صيغة سوميليانا

γ(φ)=aγecos⁡2φ+bγpsin⁡2φa2cos⁡2φ+b2sin⁡2φ.\gamma(\varphi) = \frac{a\gamma_e\cos^2\varphi + b\gamma_p\sin^2\varphi} {\sqrt{a^2\cos^2\varphi + b^2\sin^2\varphi}} .

بالنسبة إلى نظام المرجع الجيوديسي 1980، γe=9.780 326 771 5 m s−2\gamma_e = 9.780\,326\,771\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} وγp=9.832 186 368 5 m s−2\gamma_p = 9.832\,186\,368\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}، والسلسلة γ=9.780327(1+0.0053024sin⁡2φ−0.0000058sin⁡22φ)\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi) m s−2\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} تُطابق الصيغة إلى حدود 0.1 mGal0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ما مقدار التفلطح الذي ينبغي أن يبلغه كوكبٌ دوّار؟ إذا كان مائعًا في التوازن الهيدروستاتيكي، فإنّ تفلطحه يتحدّد بدورانه وبكيفية توزّع كتلته في العمق.

قضية 3.7 (علاقتا كلّيرو ودارون–رادو)

لكوكب في توازن هيدروستاتيكي، ولتكن m=ω2a2b/(GM)m = \omega^2a^2b/(GM) هي نسبة التسارع النابذ إلى التسارع الثقالي عند خط الاستواء، وحتى الرتبة الأولى في ff وmm:

J2=2f−m3(كلّيرو),CMa2=23[1−2552mf−1](دارون–رادو).J_2 = \frac{2f - m}{3}\qquad\text{(كلّيرو)},\qquad \frac{C}{Ma^2} = \frac23\left[1 - \frac25\sqrt{\frac52\frac mf - 1}\right] \qquad\text{(دارون--رادو)} .

الكوكب المتجانس (C/Ma2=0.4C/Ma^2 = 0.4) يتحقّق فيه f=5m/4f = 5m/4؛ أمّا كوكب تتركّز كتلته نحو المركز فيكون أقلّ تفلطحًا.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

تُحوّل علاقةُ كلّيرو، مع m=0.003 449 79m = 0.003\,449\,79 الخاصّ بالأرض، قيمةَ J2J_2 المقاسة إلى f=0.003 348 8f = 0.003\,348\,8، أو 1/298.61/298.6: ضمن 0.12 %0.12\,\% من تفلطح الإهليلجي. وأمّا علاقة دارون–رادو مع عامل عزم القصور الذاتي، تُعطي التفلطحَ الذي كانت ستبلغه الأرض لو كانت مائعًا في توازن: 1/299.91/299.9، مقابل 1/298.261/298.26 المقاسة. والأرض أكثر تفلطحًا قليلًا من كوكب مائع بدورانه وتوزيع كتلته؛ فانتفاخها الاستوائي يعلو بنحو 116 m116\,\mathrm{m} فوق ما يتنبّأ به التوازن الهيدروستاتيكي. والأرض ليست تمامًا مائعًا في توازن، والفرقُ الصغير بحدّ ذاته قياسٌ للإجهادات التي يتحمّلها باطنها.

تفلطح كوكب مائع بدوران الأرض، مقابل عامل عزم القصور الذاتي له، من علاقة دارون–رادو (محسوب من Geodetic Reference System 1980). وكلّما ازداد تركّز الكتلة نحو المركز صار الكوكب أكثر استدارة. وعند قيمة الأرض 0.3308 يكون التفلطح الهيدروستاتيكي 1/299.9، أقلّ قليلًا من 1/298.26 المقاسة.
تفلطح كوكب مائع بدوران الأرض، مقابل عامل عزم القصور الذاتي له، من علاقة دارون–رادو (محسوب من Geodetic Reference System 1980). وكلّما ازداد تركّز الكتلة نحو المركز صار الكوكب أكثر استدارة. وعند قيمة الأرض 0.33080.3308 يكون التفلطح الهيدروستاتيكي 1/299.91/299.9، أقلّ قليلًا من 1/298.261/298.26 المقاسة.

3.3 الجيود والجهد المُضطرِب

الجيود هو السطح المتساوي الجهد للجهد الأرضي الحقيقي الذي ينطبق على متوسط مستوى سطح البحر؛ أمّا الإهليلجي المرجعي فهو سطح متساوي الجهد الطبيعي UU ذي القيمة نفسها، U0=W0U_0 = W_0. أمّا فصلهما، أي ارتفاع الجيود NN، فيتحدّد بفرق الجهدين.

قضية 3.8 (صيغة برونس)

ليكن T=W−UT = W - U الجهد المُضطرِب. يُعطى ارتفاع الجيود عند نقطة وفق صيغة برونس:

N=−Tγ,N = -\frac{T}{\gamma},

حيث يُحسب TT على الجيود، وγ\gamma هي الجاذبية المرجعية هناك. أمّا فائض الكتلة الذي يُعمّق الجهد (T<0T < 0)، فيرفع الجيود.

برهان. ليكن P على الجيود وQ النقطةَ الواقعةَ على الإهليلجي تحتها، على بُعد NN. لأنّ UU يتزايد نحو الخارج بالمعدّل γ\gamma، U(P)=U(Q)+γN=U0+γNU(\mathrm P) = U(\mathrm Q) + \gamma N = U_0 + \gamma N. ثمّ W0=W(P)=U(P)+T(P)=U0+γN+TW_0 = W(\mathrm P) = U(\mathrm P) + T(\mathrm P) = U_0 + \gamma N + T، وW0=U0W_0 = U_0 يُعطي N=−T/γN = -T/\gamma. ∎

يقابل ارتفاعَ الجيود 50 m50\,\mathrm{m} فرقُ جهدٍ قدرُه فقط 490 J kg−1490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}، أي جزءًا واحدًا من 10510^{5} من الجهد الأرضي. وتتراوح ارتفاعات الجيود للأرض من نحو +85 m+85\,\mathrm{m} في آيسلندا إلى −106 m-106\,\mathrm{m} في جنوب الهند،

أي مدًى دون 200 m200\,\mathrm{m} على كوكب يختلف نصفا قطريه الاستوائي والقطبي بمقدار 21 km21\,\mathrm{km}.

3.4 قياس الجاذبية بالأقمار الصناعية

تعريف 3.9 (قياس الجاذبية بالأقمار الصناعية)

قياس الجاذبية بالأقمار الصناعية يحدّد حقل الجاذبية الأرضي من حركة الأقمار الصناعية: من الاضطرابات طويلة الأمد لمداراتها، ومن تغيّر المسافة بين قمرين صناعيين على المدار نفسه، أو من مقاييس التدرّج التي تقيس فروق الجاذبية عبر المركبة الفضائية.

أكبر اضطراب لمدار قريب من الأرض يأتي من J2J_2. ويمارس الانتفاخ الاستوائي عزمًا على المدار المائل، فيدور ببطء حول محور الأرض.

قضية 3.10 (التقدّم العقدي)

إلى الرتبة الأولى في J2J_2، يدور خطّ العقد لمدار دائري نصف قطره rr وميله ii بالمعدّل

Ω˙=−32 nJ2(ar)2cos⁡i,n=GM/r3,\dot\Omega = -\frac32\,nJ_2\left(\frac ar\right)^2\cos i,\qquad n = \sqrt{GM/r^3} ,

يتجه غربًا في المدار المباشر (i<90∘i < 90{}^{\circ})، ويتجه شرقًا في المدار الرجعي.

برهان. عبر دورات كثيرة يتصرّف القمر الصناعي كحلقة كتلتها msm_s موزّعة على مداره. يُكتب الجزء ذو الدرجة 2 من الجهد، (GMJ2a2/r3)P2(cos⁡θ)(GMJ_2a^2/r^3)P_2(\cos\theta) لكلّ وحدة كتلة، متوسّطًا على دائرة مائلة بميل ii، يتضمّن ⟨cos⁡2θ⟩=12sin⁡2i\langle\cos^2\theta\rangle = \tfrac12\sin^2i، فإنّ ⟨P2⟩=34sin⁡2i−12\langle P_2\rangle = \tfrac34\sin^2i - \tfrac12، وطاقة الحلقة هي E(i)=ms(GMJ2a2/r3)(34sin⁡2i−12)E(i) = m_s(GMJ_2a^2/r^3)(\tfrac34\sin^2i - \tfrac12). ويكون العزم حول خطّ العقد هو τ=−dE/di=−32ms(GMJ2a2/r3)sin⁡icos⁡i\tau = -\mathrm dE/\mathrm di = -\tfrac32m_s(GMJ_2a^2/r^3)\sin i\cos i. وهو عمودي على كمية الحركة الزاوية للحلقة L=msnr2L = m_snr^2، لذلك يدير L\mathbf L حول المحور القطبي دون أن يغيّر طولها: Lsin⁡i Ω˙=τL\sin i\,\dot\Omega = \tau. ومع GM=n2r3GM = n^2r^3، فإنّ Ω˙=−32nJ2(a/r)2cos⁡i\dot\Omega = -\tfrac32nJ_2(a/r)^2\cos i. ∎

يبلغ المعدّل عدّة درجات في اليوم لمدار منخفض قرب خطّ الاستواء؛ وعند ميل قليلًا بعد 90∘90{}^{\circ} يتطابق مع الحركة السنوية للشمس، ويحتفظ المدار بالتوجّه نفسه نحو الشمس طوال السنة (انظر التمرين 12). وعند القياس على أقمار صناعية كثيرة بميول مختلفة، تُعطي هذه التقدّمات J2J_2 والتوافقيات المنطقية الأعلى.

يؤدّي زوج من الأقمار الصناعية أفضل: إذ يقيس تغيّر المسافة بينهما فرق الجاذبية التي يشعران بها على طول المدار. طار زوج GRACE من 2002 إلى 2017، وخلَفه GRACE Follow-On، منذ إطلاقه في 22 مايو 2018، وتقيس وصلته الميكروويفية المسافة بدقّة في حدود الميكرومتر، ووصلة ليزرية تختبر دقّةً تصل إلى عشرين مرّة أفضل.

يتغيّر الحقل من شهر إلى آخر لأنّ الماء يتحرّك: الثلج ورطوبة التربة، والمياه الجوفية، والبحيرات، والمحيطات، والغطاء الجليدي.

مبدأ زوج الأقمار الصناعية (تخطيطي، ليس بمقياس الرسم). عند الاقتراب من كتلة زائدة، يشعر القمر المتقدّم بجذبها أولًا ويُعجَّل نحو الأمام، فيزداد المدى بينهما؛ وعندما يمرّ القمر المتأخّر فوق الكتلة فيتناقص المدى من جديد. ومعدّل تغيّر المدى المقاس باستمرار يُعكس لاستنتاج حقل الجاذبية.
مبدأ زوج الأقمار الصناعية (تخطيطي، ليس بمقياس الرسم). عند الاقتراب من كتلة زائدة، يشعر القمر المتقدّم بجذبها أولًا ويُعجَّل نحو الأمام، فيزداد المدى بينهما؛ وعندما يمرّ القمر المتأخّر فوق الكتلة فيتناقص المدى من جديد. ومعدّل تغيّر المدى المقاس باستمرار يُعكس لاستنتاج حقل الجاذبية.
القمران الصناعيان GRACE Follow-On، تصوّر فنّي (المسافة بينهما مختصرة كثيرًا). يرمز الشعاع الأحمر إلى وصلة القياس بالليزر. NASA/JPL-Caltech، ملك عام.
القمران الصناعيان GRACE Follow-On، تصوّر فنّي (المسافة بينهما مختصرة كثيرًا). يرمز الشعاع الأحمر إلى وصلة القياس بالليزر. NASA/JPL-Caltech، ملك عام.

تعريف 3.11 (ارتفاع الماء المكافئ)

يمكن تمثيل تغيّر حقل الجاذبية الذي يتغيّر ببطء على مسافات أكبر بكثير من سمك الطبقة التي تحرّكت فيها الكتلة بتغيّر في الكثافة السطحية σ\sigma (kg m−2\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}) على قشرة رقيقة عند سطح الأرض. يُسمّى ارتفاع الماء المكافئ هو سمك الماء العذب الذي له الكثافة السطحية نفسها:

hw=σρw.h_w = \frac{\sigma}{\rho_w} .

متر واحد من الماء فوق حوض مساحته 1×106 km21 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{2} يساوي 1×1015 kg1 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}، أو 1000 Gt1000\,\mathrm{Gt}. مستوى سطح البحر هو الطرف الآخر من الميزانية: 360 Gt360\,\mathrm{Gt} من الجليد يُضاف إلى المحيط يرفعه بنحو ملّيمتر واحد.

قياس الجاذبية بالأقمار الصناعية، وقياس الارتفاع بالأقمار الصناعية، وحصيلة تساقط الثلج مقابل تصريف الجليد، تقيس كلٌّ منها الحصيلة الكتلية للغطاء الجليدي؛ وبعد التوفيق بينها، تُعطي السلسلة الآتية.

التغيّر التراكمي للكتلة في الغطاءين الجليديين لغرينلاند وأنتاركتيكا منذ 1992، مع نطاقات بانحراف معياري واحد (تقديرات IMBIE 2021 المصالَحة من قياس الارتفاع والجاذبية وطريقة المدخلات–المخرجات). بحلول نهاية عام 2020 فقدت غرينلاند 4890 ± 460\, Gt وأنتاركتيكا 2670 ± 530\, Gt؛ تعطي الملاءمات الخطّية -176\, Gt\, yr-1 و-91\, Gt\, yr-1 خلال الفترة 1992–2020، و-246\, Gt\, yr-1 و-127\, Gt\, yr-1 خلال سنوات GRACE.
التغيّر التراكمي للكتلة في الغطاءين الجليديين لغرينلاند وأنتاركتيكا منذ 1992، مع نطاقات بانحراف معياري واحد (تقديرات IMBIE 2021 المصالَحة من قياس الارتفاع والجاذبية وطريقة المدخلات–المخرجات). بحلول نهاية عام 2020 فقدت غرينلاند 4890±460 Gt4890 \pm 460\,\mathrm{Gt} وأنتاركتيكا 2670±530 Gt2670 \pm 530\,\mathrm{Gt}؛ تعطي الملاءمات الخطّية −176 Gt yr−1-176\,\mathrm{Gt}\,\mathrm{yr}^{-1} و−91 Gt yr−1-91\,\mathrm{Gt}\,\mathrm{yr}^{-1} خلال الفترة 1992–2020، و−246 Gt yr−1-246\,\mathrm{Gt}\,\mathrm{yr}^{-1} و−127 Gt yr−1-127\,\mathrm{Gt}\,\mathrm{yr}^{-1} خلال سنوات GRACE.

شذوذ الجاذبية المقاس عند السطح هو مجموع توافقيات؛ وعند ارتفاع قمر صناعي، يضعف كلٌّ منها بعامل يعتمد على طول موجته.

قضية 3.12 (الاستمرار إلى الأعلى)

فوق الكتل المسبّبة له، يكون شذوذ الجاذبية الذي يتغيّر على طول السطح بالصيغة Δg0cos⁡kx\Delta g_0\cos kx، حيث k=2π/λk = 2\pi/\lambda، عند الارتفاع zz (أي الاستمرار إلى الأعلى)

Δg(x,z)=Δg0 e−kzcos⁡kx.\Delta g(x, z) = \Delta g_0\,e^{-kz}\cos kx .

برهان. فوق الكتل، يحقّق الجهد الشاذّ، ومعه الشذوذ، معادلة لابلاس ∂x2Δg+∂z2Δg=0\partial_x^2\Delta g + \partial_z^2\Delta g = 0. بفصل المتغيّرات، Δg=Z(z)cos⁡kx\Delta g = Z(z)\cos kx مع Z′′=k2ZZ'' = k^2Z، وحلّها المحدود عندما z→∞z \to \infty هو Z=Δg0e−kzZ = \Delta g_0e^{-kz}. ∎

عند ارتفاع 400 km400\,\mathrm{km} يحتفظ شذوذ طوله 1000 km1000\,\mathrm{km} بنسبة 8 %8\,\% من سعته، والذي طوله 100 km100\,\mathrm{km} يحتفظ بنحو 1×10−111 \times 10^{-11} منها: ترى الأقمار الصناعية الأطوال الموجية الطويلة، وترصد المسوح عند السطح القصيرة.

3.5 انثناء الغلاف الصخري

عوّض مجلد السنة الأولى حملًا محليًا، إذ يطفو كلّ عمود على حدة. لا يُعوَّض بركانٌ واقعٌ على صفيحة محيطية تحته وحده: تنحني الصفيحة تحته على عرض مئات الكيلومترات، ويهبط قاع البحر حول البركان في خندقٍ محيطيّ، وما وراءه يرتفع في قوس منخفض.

تعريف 3.13 (انثناء الغلاف الصخري، صلابة الانثناء، السمك المرن الفعّال)

انثناء الغلاف الصخري هو انحناء الغلاف الصخري تحت حمل، ويُنمذَج بوصفه انحناء صفيحة مرنة رقيقة طافية على وشاح مائع. ومقاومة الصفيحة للانحناء هي صلابة الانثناء

D=ETe312(1−ν2),D = \frac{ET_e^3}{12(1 - \nu^2)},

وTeT_e هو سمك الصفيحة المرنة المتجانسة التي تنحني كما ينحني الغلاف الصخري الحقيقي، وهو السمك المرن الفعّال.

مبرهنة 3.14 (انثناء صفيحة رقيقة)

صفيحة مرنة رقيقة صلابتها DD، تنحني في اتجاه واحد بفعل حمل q(x)q(x) لكلّ وحدة مساحة، تنحرف نحو الأسفل بمقدار w(x)w(x)، وتطفو على وشاح كثافته ρm\rho_m، والتجويف مملوء بمادة كثافتها ρi\rho_i، فتحقّق معادلة الانثناء

Dd4wdx4+(ρm−ρi)g w=q(x).D\frac{\mathrm d^4w}{\mathrm dx^4} + (\rho_m - \rho_i)g\,w = q(x) .

برهان. في الصفيحة المنحنية، تتقلّص الألياف الواقعة فوق المستوى المنتصف، وتتمدّد الواقعة تحته، بما يتناسب مع الانحناء w′′w''؛ وبتكامل إجهاد الانحناء على السمك نحصل على عزم الانحناء M=−Dw′′M = -Dw''، مع الصلابة الواردة في التعريف (لا تتمدّد الصفيحة جانبيًا، ومن ثمّ المعامل 1−ν21 - \nu^2؛ انظر مجلد السنة الثالثة من كتب الفيزياء). شريحةٌ dx\mathrm dx من الصفيحة تحمل قوة القصّ VV على وجهيها والعزم MM. التوازن الشاقولي: الحمل q dxq\,\mathrm dx نحو الأسفل، وقوة الطفو للوشاح المُزاح (ρm−ρi)gw dx(\rho_m - \rho_i)gw\,\mathrm dx نحو الأعلى، فيعطي dV/dx=−q+(ρm−ρi)gw\mathrm dV/\mathrm dx = -q + (\rho_m - \rho_i)gw. وتوازن العزوم يعطي dM/dx=V\mathrm dM/\mathrm dx = V. ومنه −Dw′′′′=M′′=V′=−q+(ρm−ρi)gw-Dw'''' = M'' = V' = -q + (\rho_m - \rho_i)gw. ∎

تعريف 3.15 (معامل الانثناء، الانتفاخ الأمامي)

معامل الانثناء لصفيحة ما هو الطول

α=(4D(ρm−ρi)g)1/4,\alpha = \left(\frac{4D}{(\rho_m - \rho_i)g}\right)^{1/4},

الذي يحدّد المقياس الأفقي لانثنائها. الانتفاخ الأمامي هو القوس المنخفض من الانثناء نحو الأعلى الذي ترفعه الصفيحة المنحنية خارج الخندق المحيطي أو الحوض المجاور لحملها.

قضية 3.16 (حمل خطّي على صفيحة متّصلة)

يُحدث حمل خطّي V0V_0 لكلّ وحدة طول على امتداد x=0x = 0 انحرافًا للصفيحة مقداره

w(x)=w0e−∣x∣/α(cos⁡∣x∣α+sin⁡∣x∣α),w0=V0α38D.w(x) = w_0e^{-|x|/\alpha}\left(\cos\frac{|x|}{\alpha} + \sin\frac{|x|}{\alpha}\right), \qquad w_0 = \frac{V_0\alpha^3}{8D} .

ينعدم الانحراف عند ∣x∣=3πα/4|x| = 3\pi\alpha/4، أي حافّة الخندق المحيطي، وتقع قمّة الانتفاخ الأمامي عند ∣x∣=πα|x| = \pi\alpha، وارتفاعها w0e−π=0.0432 w0w_0e^{-\pi} = 0.0432\,w_0. وتوازن قوةُ الطفو لكامل الانحراف الحملَ: ∫(ρm−ρi)gw dx=V0\int(\rho_m - \rho_i)gw\,\mathrm dx = V_0.

برهان. من أجل x>0x > 0 تكون المعادلة w′′′′+4w/α4=0w'''' + 4w/\alpha^4 = 0؛ وجذور r4=−4/α4r^4 = -4/\alpha^4 هي (±1±i)/α(\pm1 \pm i)/\alpha، والحلول التي تنعدم بعيدًا هي e−x/α(Acos⁡(x/α)+Bsin⁡(x/α))e^{-x/\alpha}(A\cos(x/\alpha) + B\sin(x/\alpha)). وتفرض التناظر w′(0)=0w'(0) = 0، وهذا يعطي A=B=w0A = B = w_0. وبتكامل التوازن الشاقولي عبر الحمل، تقفز قوة القصّ V=−Dw′′′V = -Dw''' بمقدار −V0-V_0؛ وبالتناظر w′′′(0−)=−w′′′(0+)w'''(0^-) = -w'''(0^+)، وw′′′(0+)=4w0/α3w'''(0^+) = 4w_0/\alpha^3، فيكون 8Dw0/α3=V08Dw_0/\alpha^3 = V_0. وينعدم الانحراف حيث tan⁡(x/α)=−1\tan(x/\alpha) = -1، أوّلًا عند x=3πα/4x = 3\pi\alpha/4؛ ومشتقّته، −(2w0/α)e−x/αsin⁡(x/α)-(2w_0/\alpha)e^{-x/\alpha}\sin(x/\alpha)، تنعدم بعد ذلك عند x=παx = \pi\alpha. وأخيرًا ∫0∞e−u(cos⁡u+sin⁡u) du=1\int_0^\infty e^{-u}(\cos u + \sin u)\,\mathrm du = 1، إذن ∫w dx=2w0α=V0α4/(4D)=V0/((ρm−ρi)g)\int w\,\mathrm dx = 2w_0\alpha = V_0\alpha^4/(4D) = V_0/((\rho_m - \rho_i)g). ∎

قضية 3.17 (صفيحة مكسورة)

صفيحةٌ مكسورة عند x=0x = 0 ويُدفع طرفها الحرّ نحو الأسفل، كما هو الحال عند خندقٍ بحريّ عميق، تنحرف وفق w=w0e−x/αcos⁡(x/α)w = w_0e^{-x/\alpha}\cos(x/\alpha) من أجل x≥0x \ge 0: ينعدم الانحراف عند x=πα/2x = \pi\alpha/2، وتقع قمّة الانتفاخ الأمامي، أي الارتفاع الخارجي، عند x=3πα/4x = 3\pi\alpha/4، وارتفاعها w0e−3π/4/2=0.067 w0w_0e^{-3\pi/4}/\sqrt2 = 0.067\,w_0.

برهان. الحلول المتناقصة نفسها، لكن مع طرف حرّ لا يحمل عزمًا، w′′(0)=0w''(0) = 0، وهذا يعطي B=0B = 0. ويقع الصفر عند cos⁡(x/α)=0\cos(x/\alpha) = 0؛ والمشتقّة −(w0/α)e−x/α(cos⁡+sin⁡)(x/α)-(w_0/\alpha)e^{-x/\alpha}(\cos + \sin)(x/\alpha) تنعدم عند x=3πα/4x = 3\pi\alpha/4، حيث w=w0e−3π/4cos⁡(3π/4)w = w_0e^{-3\pi/4}\cos(3\pi/4). ∎

ومن ثمّ فالمسافات هي مفتاح قوّة الصفيحة: يُقاس موضع انتهاء الخندق المحيطي أو موضع قمّة الانتفاخ، فيُستنتج α\alpha، ثم DD، ثم TeT_e. ولمّا كان TeT_e يدخل بوصفه α4/3\alpha^{4/3}، فإنّ تقدير المسافة تقديرًا معقولًا يعطي تقديرًا جيدًا لسمك الصفيحة.

انثناء صفيحة مرنة (محسوب؛ E = 100\, GPa، = 0.25، الوشاح 3300\, kg\, m-3، الماء في الحفرة المحيطة؛ مقياس رأسي مبالَغ فيه كثيرًا). (أ) تحت حمل ظهرة بركانية (4.17 × 1012\, N\, m-1)، تغوص صفيحة رقيقة عميقًا وضيقًا، وتغوص صفيحة سميكة ضحلًا وعريضًا؛ ينتقل الانتفاخ الأمامي من 112\, km إلى 316\, km. (ب) صفيحة مكسورة عند خندق ومدفوعة إلى أسفل بمقدار 1\, km: يصل الارتفاع الخارجي إلى 67\, m، على بُعد 167\, km من الخندق.
انثناء صفيحة مرنة (محسوب؛ E=100 GPaE = 100\,\mathrm{GPa}، ν=0.25\nu = 0.25، الوشاح 3300 kg m−33300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}، الماء في الحفرة المحيطة؛ مقياس رأسي مبالَغ فيه كثيرًا). (أ) تحت حمل ظهرة بركانية (4.17×1012 N m−14.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1})، تغوص صفيحة رقيقة عميقًا وضيقًا، وتغوص صفيحة سميكة ضحلًا وعريضًا؛ ينتقل الانتفاخ الأمامي من 112 km112\,\mathrm{km} إلى 316 km316\,\mathrm{km}. (ب) صفيحة مكسورة عند خندق ومدفوعة إلى أسفل بمقدار 1 km1\,\mathrm{km}: يصل الارتفاع الخارجي إلى 67 m67\,\mathrm{m}، على بُعد 167 km167\,\mathrm{km} من الخندق.

تعريف 3.18 (التعويض الأيزوستاتي الإقليمي)

التعويض الأيزوستاتي الإقليمي هو إسناد حمل بطفو انحراف ممتدّ على منطقة أوسع من الحمل، بواسطة صلابة الانثناء في الغلاف الصخري؛ أمّا في تعويض إيري أو برات، فيُعوَّض كل عمود تحت ذاته على العكس.

يوازن التعويضان المحلي والإقليمي الكتلة الكلية نفسها، لكنّهما يوزّعانها بطريقة مختلفة: تحت حمل ضيق على صفيحة جاسئة يكون الجذر ضحلًا وعريضًا، ويكون الشذوذ الجاذبي فوق الحمل موجبًا بقوة، يكتنفه من جانبيه شذوذات سالبة فوق الحفرة المحيطة. وحول جزر ظهرة هاواي تعطي المقاطع الجاذبية والزلزالية سمكًا مرنًا فعّالًا من 17 إلى 37 km37\,\mathrm{km}، و10 إلى 20 km20\,\mathrm{km} على طول الجبال البحرية الأقدم في سلسلة الإمبراطور، وهو فرق يُتوقَّع من أعمار البراكين وأعمار الصفيحة التي حمّلتها؛ وتتبع القيم عمق خط متساوي الحرارة قرب 350∘C350{}^{\circ}\mathrm{C} في الصفيحة المحيطية المتبرّدة.

يفتح الانثناء نفسه، تحت وزن حزام جبلي، أحواض المقدّمة في مجلد السنة الثانية، في فصله عن الأوروجين الألبي.

جزيرة بركانية على صفيحة محيطية (مقطع عرضي تخطيطي، مقياس رأسي مبالَغ فيه). تنحني الصفيحة تحت البركان؛ الفجوة المحيطة به، أي الحفرة المحيطة، تمتلئ بالفتات البركاني والرواسب؛ أمّا ما وراءها فترتفع الصفيحة في انتفاخ أمامي منخفض.
جزيرة بركانية على صفيحة محيطية (مقطع عرضي تخطيطي، مقياس رأسي مبالَغ فيه). تنحني الصفيحة تحت البركان؛ الفجوة المحيطة به، أي الحفرة المحيطة، تمتلئ بالفتات البركاني والرواسب؛ أمّا ما وراءها فترتفع الصفيحة في انتفاخ أمامي منخفض.

في الميدان — مسح جاذبي نسبي

مقياس جاذبية ميداني على قاعدة التسوية الخاصة به، مع هوائي قمر صناعي في الخلفية (رسم توضيحي مولَّد بالذكاء الاصطناعي).

يُسقط مقياس الجاذبية المطلق مرآةً مكعبة الزوايا في غرفة مفرغة مرارًا وتكرارًا، ويقيس زمن سقوطها بمقياس تداخل ليزري وساعة ذرية؛ فيعطي الجاذبية عند محطة واحدة، لكنّه ثقيل وبطيء الإعداد. ويُنجَز المسح نفسه بمقياس الجاذبية النسبي، وهو ميزان زنبركي صغير يقيس فروق الجاذبية. يُسوّيه الجيوفيزيائي على لوحة قاعدة عند كل محطة على امتداد خطّ، فيقرأه ويدوّن الزمن والارتفاع وينتقل إلى التالية؛ وكل بضع ساعات يعود المسار إلى محطة أساس، فيُقاس الانجراف البطيء للزنبرك ومدّ الأرض الصلبة ويُزال. ويعطي مستقبِل القمر الصناعي على عمود قريب الموضعَ والارتفاع، لأنّ الجاذبية تتغيّر بنحو 0.3 mGal0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} مع كل متر من الارتفاع.

3.6 التمارين

تمرين 3.1 ★

انطلاقًا من قيم نظام المرجع الجيوديسي 1980 a=6 378 137 ma = 6\,378\,137\,\mathrm{m} وf=0.003 352 810 68f = 0.003\,352\,810\,68، احسب نصف المحور الأصغر bb وa−ba - b. مع J2=1.082 63×10−3J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3} وm=0.003 449 79m = 0.003\,449\,79، احسب التفلطح الذي تتنبّأ به علاقة كليرو، وقارِن.

حل

حل التمرين 3.1.

b=a(1−f)=6378137×0.99664719=6 356 752.3 mb = a(1 - f) = 6378137\times0.99664719 = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}، وa−b=21 384.7 ma - b = 21\,384.7\,\mathrm{m}، أي نحو 21.4 km21.4\,\mathrm{km}. كليرو: f=(3J2+m)/2=(0.00324789+0.00344979)/2=0.003 348 8f = (3J_2 + m)/2 = (0.00324789 + 0.00344979)/2 = 0.003\,348\,8، أو 1/298.611/298.61، مقابل 1/298.261/298.26: أصغر بمقدار 0.12 %0.12\,\%، أي بقدر حدود الرتبة الثانية التي تُهمِلها العلاقة.

تمرين 3.2 ★

في سنةٍ جافة، يفقد حوض نهري مساحته 5.0×105 km25.0 \times 10^{5}\,\mathrm{km}^{2} كتلةً قدرها 60 Gt60\,\mathrm{Gt} من الماء. احسب التغيّر في ارتفاع الماء المكافئ. بكم سيرفع الكتلة نفسها مستوى سطح البحر، علمًا بأنّ 360 Gt360\,\mathrm{Gt} لكل مليمتر؟

حل

حل التمرين 3.2.

σ=6.0×1013 kg/5.0×1011 m2=120 kg m−2\sigma = 6.0 \times 10^{13}\,\mathrm{kg}/5.0 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{2} = 120\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}، إذن hw=120/1000=0.12 mh_w = 120/1000 = 0.12\,\mathrm{m}: 12 cm12\,\mathrm{cm} من الماء. وعند تصريفه في المحيط، 60/360=0.17 mm60/360 = 0.17\,\mathrm{mm} من مستوى سطح البحر.

تمرين 3.3 ★

باستخدام المتسلسلة γ=9.780327(1+0.0053024sin⁡2φ−0.0000058sin⁡22φ)\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi) m s−2\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}، احسب الجاذبية المرجعية عند خطّ الاستواء، وعند 45∘45{}^{\circ} وعند القطبين. عبّر عن الفرق بين القطب والاستواء بالميليغال.

حل

حل التمرين 3.3.

عند خط الاستواء γ=9.780 327 m s−2\gamma = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}. وعند 45∘45{}^{\circ}، sin⁡2φ=0.5\sin^2\varphi = 0.5 وsin⁡22φ=1\sin^22\varphi = 1: γ=9.780327×1.0026454=9.806 200 m s−2\gamma = 9.780327\times1.0026454 = 9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}. وعند القطبين، 9.780327×1.0053024=9.832 186 m s−29.780327\times1.0053024 = 9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}. الفرق هو 0.051 859 m s−20.051\,859\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}، أو 5186 mGal5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}.

تمرين 3.4 ★

احسب صلابة الانثناء ومعامل الانثناء للصفائح المحيطية حيث Te=10 kmT_e = 10\,\mathrm{km} وTe=30 kmT_e = 30\,\mathrm{km} (E=100 GPaE = 100\,\mathrm{GPa}، ν=0.25\nu = 0.25، ρm−ρw=2270 kg m−3\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}، g=9.81 m s−2g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}). أين تقع حافة الحفرة المحيطة والانتفاخ الأمامي تحت حمل خطّي؟

حل

حل التمرين 3.4.

D=ETe3/(12(1−ν2))=1011Te3/11.25D = ET_e^3/(12(1 - \nu^2)) = 10^{11}T_e^3/11.25: 8.89×1021 N m8.89 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m} من أجل 10 km10\,\mathrm{km}، 2.40×1023 N m2.40 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m} من أجل 30 km30\,\mathrm{km}. مع (ρm−ρw)g=22 269 N m−3(\rho_m - \rho_w)g = 22\,269\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-3}، α=(4D/22269)1/4\alpha = (4D/22269)^{1/4}: 35.5 km35.5\,\mathrm{km} و81.0 km81.0\,\mathrm{km}. تنتهي الحفرة المحيطة عند 3πα/43\pi\alpha/4، 84 km84\,\mathrm{km} و191 km191\,\mathrm{km}؛ تبلغ قمم الانتفاخ الأمامي عند πα\pi\alpha، 112 km112\,\mathrm{km} و255 km255\,\mathrm{km}.

تمرين 3.5 ★★

(أ) ارتفاع الجيود +50 m+50\,\mathrm{m}: احسب جهد الاضطراب هناك، مستخدمًا γ=9.80 m s−2\gamma = 9.80\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}. (ب) على امتداد 100 km100\,\mathrm{km} يرتفع الجيود بمقدار 10 m10\,\mathrm{m}. بأيّ زاوية يختلف خيط الشاقول هناك عن العمودي على الإهليلجي؟ أعطِ الجواب بالثواني القوسية.

حل

حل التمرين 3.5.

(أ) T=−γN=−9.80×50=−490 J kg−1T = -\gamma N = -9.80\times50 = -490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}. (ب) يميل الجيود بمقدار 10/100 000=1.0×10−410/100\,000 = 1.0 \times 10^{-4} راديان بالنسبة إلى الإهليلجي، ويميل الشاقول وهو العمودي على الجيود، بالزاوية نفسها بالنسبة إلى عمودي الإهليلجي: 1.0×10−4×206 265=20.6′′1.0 \times 10^{-4}\times206\,265 = 20.6''.

تمرين 3.6 ★★

انطلاقًا من J2=1.082 63×10−3J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3} وعامل عزم القصور الذاتي C/(Ma2)=0.3308C/(Ma^2) = 0.3308، احسب الانفراج الديناميكي H=(C−A)/CH = (C - A)/C و1/H1/H. أيّ العددين يتغيّر لأرض متجانسة لها J2J_2 نفسه؟

حل

حل التمرين 3.6.

H=J2/(C/Ma2)=1.082 63×10−3/0.3308=0.003 272 8H = J_2/(C/Ma^2) = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8، و1/H=305.551/H = 305.55. J2J_2 هو نفسه بالفرض؛ ولو كانت الأرض متجانسة لكان C/(Ma2)=0.4C/(Ma^2) = 0.4 ومنه H=J2/0.4=0.002 706 6H = J_2/0.4 = 0.002\,706\,6: لكانت المبادرة أبطأ. إنّ قياس J2J_2 وHH معًا هو ما يكشف تركّز الكتلة نحو المركز.

تمرين 3.7 ★★

يدور قمر صناعي في مدار دائري على ارتفاع 500 km500\,\mathrm{km} فوق نصف القطر الاستوائي (a=6378.137 kma = 6378.137\,\mathrm{km}، GM=3.986 005×1014 m3 s−2GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2})، مائلًا بزاوية 89∘89{}^{\circ}. احسب دورَه ومعدّل تقدّم العقدة بالدرجات في اليوم. لماذا تختار بعثات الجاذبية مدارات شبه قطبية؟

حل

حل التمرين 3.7.

r=6878.137 kmr = 6878.137\,\mathrm{km}؛ n=GM/r3=1.106 78×10−3 rad s−1n = \sqrt{GM/r^3} = 1.106\,78 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}، أي دور قدره 2π/n=94.6 min2\pi/n = 94.6\,\mathrm{min}. Ω˙=−1.5×1.106 78×10−3×1.082 63×10−3×(6378.137/6878.137)2×cos⁡89∘=−2.70×10−8 rad s−1\dot\Omega = -1.5\times1.106\,78 \times 10^{-3} \times1.082\,63 \times 10^{-3}\times(6378.137/6878.137)^2\times\cos89{}^{\circ} = -2.70 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}، أو −0.134∘-0.134{}^{\circ} في اليوم، غربًا. يمرّ مدار شبه قطبي فوق كل خط عرض، فتُرسم الأرض كلها؛ كما يتقدّم المدار ببطء، فتملأ مسارات السطح الفراغات بانتظام.

تمرين 3.8 ★★

لدينا شذوذان قيمة كلٍّ منهما 10 mGal10\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} عند السطح، وطولا موجتيهما 100 km100\,\mathrm{km} و1000 km1000\,\mathrm{km}. احسب سعتيهما عند ارتفاع 500 km500\,\mathrm{km}.

حل

حل التمرين 3.8.

e−2π×500/100=e−31.4=2.3×10−14e^{-2\pi\times500/100} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}: 2×10−13 mGal2 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}، أي لا شيء. e−2π×500/1000=e−3.14=0.0432e^{-2\pi\times500/1000} = e^{-3.14} = 0.0432: 0.43 mGal0.43\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}.

تمرين 3.9 ★★

نحو البحر من الخندق، تقع قمّة الانتفاخ الخارجي على بعد 120 km120\,\mathrm{km} من محور الخندق. باعتماد نموذج الصفيحة المنكسرة مع وجود الماء فوقها، احسب α\alpha، DD وTeT_e، والمسافة التي تقطع عندها الصفيحة مستواها غير المنثني.

حل

حل التمرين 3.9.

3πα/4=120 km3\pi\alpha/4 = 120\,\mathrm{km} يعطي α=50.9 km\alpha = 50.9\,\mathrm{km}. D=(ρm−ρw)gα4/4=22269×(50 930)4/4=3.75×1022 N mD = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 22269\times(50\,930)^4/4 = 3.75 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}، وTe=(11.25D/E)1/3=16.2 kmT_e = (11.25D/E)^{1/3} = 16.2\,\mathrm{km}. تعبر الصفيحة مستواها غير المنثني عند بُعد πα/2=80 km\pi\alpha/2 = 80\,\mathrm{km} من الخندق.

تمرين 3.10 ★★★

(أ) تحقّق من أنّ w=w0e−u(cos⁡u+sin⁡u)w = w_0e^{-u}(\cos u + \sin u)، حيث u=x/αu = x/\alpha، يحقّق Dw′′′′+(ρm−ρi)gw=0Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = 0 من أجل x>0x > 0، مع α\alpha كما هو معرَّف. (ب) بيّن أنّ عزم الانحناء −Dw′′-Dw'' يبلغ أكبر قيمة له تحت الحمل ويغيّر إشارته عند x=πα/4x = \pi\alpha/4. (ج) أين يُرجَّح أكثر أن تتشقّق الصفيحة عند سطحها العلوي، ولماذا؟

حل

حل التمرين 3.10.

(أ) بوضع u=x/αu = x/\alpha، d4/dx4=α−4 d4/du4\mathrm d^4/\mathrm dx^4 = \alpha^{-4}\,\mathrm d^4/\mathrm du^4. بكتابة cos⁡u+sin⁡u=2cos⁡(u−π/4)\cos u + \sin u = \sqrt2\cos(u - \pi/4)، فتكون الدالة هي 2w0 Re e(−1+i)u−iπ/4\sqrt2w_0\,\mathrm{Re}\,e^{(-1 + i)u - i\pi/4}، و(−1+i)4=−4(-1 + i)^4 = -4: إذن w′′′′=−4w/α4w'''' = -4w/\alpha^4. ثم Dw′′′′+(ρm−ρi)gw=(−4D/α4+(ρm−ρi)g)w=0Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = (-4D/\alpha^4 + (\rho_m - \rho_i)g)w = 0، لأنّ α4=4D/((ρm−ρi)g)\alpha^4 = 4D/((\rho_m - \rho_i)g). (ب) w′′=−(2w0/α2)e−u(cos⁡u−sin⁡u)w'' = -(2w_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u)، إذن M=−Dw′′=(2Dw0/α2)e−u(cos⁡u−sin⁡u)M = -Dw'' = (2Dw_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u): أكبر ما يكون في المقدار المطلق عند u=0u = 0، وينعدم حيث tan⁡u=1\tan u = 1، أي x=πα/4x = \pi\alpha/4. (ج) تحت الحمل تكون الصفيحة مقعّرة نحو الأعلى، وسطحها العلوي في انضغاط؛ وبعد πα/4\pi\alpha/4 تصبح محدّبة نحو الأعلى، وسطحها العلوي في تمدّد. وهناك M′∝−e−ucos⁡uM' \propto -e^{-u}\cos u ينعدم عند u=π/2u = \pi/2: يبلغ التمدّد أقصاه عند x=πα/2x = \pi\alpha/2، على المنحدر الخارجي للحفرة المحيطة نحو الانتفاخ الأمامي، حيث ∣M∣|M| هو e−π/2=21 %e^{-\pi/2} = 21\,\% من قيمته تحت الحمل. وهذا هو الموضع الذي تفتح فيه الصدوع العادية والشقوق في أعلى الصفيحة.

تمرين 3.11 ★★★

باعتماد m=0.003 449 79m = 0.003\,449\,79 وC/(Ma2)=0.3308C/(Ma^2) = 0.3308، اعكس علاقة داروين–راديو لإيجاد التفلطح الهيدروستاتيكي. قارن مع f=0.003 352 81f = 0.003\,352\,81: احسب الفرق والارتفاع الزائد لخطّ الاستواء فوق الشكل الهيدروستاتيكي. ماذا يدلّ ذلك عن الوشاح؟

حل

حل التمرين 3.11.

1+η=2.5(1−1.5×0.3308)=1.2595\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595، إذن 1+η=1.58631 + \eta = 1.5863 و52m/f=2.5863\tfrac52m/f = 2.5863: fh=2.5×0.00344979/2.5863=0.003 334 6f_h = 2.5\times0.00344979/2.5863 = 0.003\,334\,6، 1/fh=299.91/f_h = 299.9. والفرق f−fh=1.82×10−5f - f_h = 1.82 \times 10^{-5}؛ وبضربه في aa، يرتفع خط الاستواء بمقدار 116 m116\,\mathrm{m} فوق الشكل الهيدروستاتيكي. والأرض ليست تمامًا مائعًا في حالة توازن: إذ يتحمّل باطنها إجهادات، ناتجة عن متانة الغلاف الصخري أو عن فروق التدفّق والكثافة في الوشاح، تحفظ الشكل مبتعدًا عنه قليلًا.

تمرين 3.12 ★★★

يُراد لقمر صناعي على مدار دائري ارتفاعه 700 km700\,\mathrm{km} أن يحافظ على التوجّه نفسه بالنسبة إلى الشمس طوال العام: يجب أن تتقدّم عقدته بمقدار 360∘360{}^{\circ} في سنة مدارية مدّتها 365.242365.242 يومًا. احسب ميل المدار المطلوب.

حل

حل التمرين 3.12.

يجب أن تتقدّم العقدة بمقدار 2π/(365.242×86 400)=1.991×10−7 rad s−12\pi/(365.242\times86\,400) = 1.991 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}. عند r=7078.137 kmr = 7078.137\,\mathrm{km}، n=1.0602×10−3 rad s−1n = 1.0602 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1} و32nJ2(a/r)2=1.398×10−6\tfrac32nJ_2(a/r)^2 = 1.398 \times 10^{-6}، إذن cos⁡i=−1.991×10−7/1.398×10−6=−0.1424\cos i = -1.991 \times 10^{-7}/1.398 \times 10^{-6} = -0.1424 وi=98.2∘i = 98.2{}^{\circ}: مدار قليل الارتداد، متزامن مع الشمس.

3.7 مسألة: الحفرة المحيطة بظهرة أورو

مسألة 3.1

مسألة نهاية الأسبوع — شكل الأرض، وحمل بركاني، حفرته الانثنائية وما تراه الأقمار الصناعية منها

أورو ظهرة بركانية متخيَّلة في محيط: سلسلة مستقيمة من براكين متلاحمة طولها 400 km400\,\mathrm{km}، مبنية فوق الغلاف الصخري المحيطي القديم. ويُعتبر مقطعها مثلثًا عرضه 80 km80\,\mathrm{km} عند قاعدته وارتفاعه 6 km6\,\mathrm{km}، وكثافته 2800 kg m−32800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}، واقفًا على قاع بحر عمقه 5 km5\,\mathrm{km}. كثافة الوشاح 3300 kg m−33300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}، وكثافة مياه البحر 1030 kg m−31030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}، E=100 GPaE = 100\,\mathrm{GPa}، ν=0.25\nu = 0.25، g=9.81 m s−2g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}، G=6.674×10−11 m3 kg−1 s−2G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}.

الجزء الأول — شكل الأرض. استخدم نظام Geodetic Reference System 1980: a=6 378 137 ma = 6\,378\,137\,\mathrm{m}، b=6 356 752.3 mb = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}، GM=3.986 005×1014 m3 s−2GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}، J2=1.082 63×10−3J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}، ω=7.292 115×10−5 rad s−1\omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}، f=0.003 352 81f = 0.003\,352\,81؛ وC/(Ma2)=0.3308C/(Ma^2) = 0.3308.

  1. احسب m=ω2a2b/(GM)m = \omega^2a^2b/(GM).
  2. احسب التفلطح الذي تعطيه علاقة كليرو انطلاقًا من J2J_2 وmm، ومقلوبه.
  3. احسب التفلطح الهيدروستاتيكي من علاقة داروين–راديو، ومقلوبه.
  4. قارن كليهما بالتفلطح المرصود. بكم مترًا يعلو خطّ الاستواء فوق الشكل الهيدروستاتيكي؟
  5. احسب الانفراج الديناميكي H=(C−A)/CH = (C - A)/C.

الجزء الثاني — الحمل.

  1. احسب مساحة المقطع العرضي للظهرة.
  2. احسب الحمل الخطّي V0V_0، معتبرًا الظهرة كلّها مغمورة، بحيث يكون وزنها (ρv−ρw)g(\rho_v - \rho_w)g لكلّ وحدة حجم.
  3. لو عُوّضت الظهرة محليًّا على طريقة إيري بجذرٍ من صخرها الخاص في الوشاح، فما عمق الجذر تحت القمّة؟
  4. لو كان التعويض موضعيًّا، لانتهى الجذر عند سفح الظهرة، على بعد 40 km40\,\mathrm{km} من محورها. تُظهر البيانات الباثيمترية حفرةً تمتدّ حتى 165 km165\,\mathrm{km}. ماذا يُستنتج من ذلك؟

الجزء الثالث — الحفرة الانثنائية. الحفرة مملوءة بالماء (ρi=ρw\rho_i = \rho_w). يجد مقطع زلزالي عبر الظهرة أعلى القشرة المحيطية عائدًا إلى عمقه الإقليمي على بعد 165 km165\,\mathrm{km} من المحور، وقمّة الانتفاخ الأمامي على بعد 220 km220\,\mathrm{km} من المحور.

  1. احسب معامل الانثناء انطلاقًا من حافة الحفرة المحيطة.
  2. احسبه مرّة أخرى انطلاقًا من الانتفاخ الأمامي. هل النتيجتان متّسقتان؟
  3. باعتماد α=70.0 km\alpha = 70.0\,\mathrm{km}، احسب صلابة الانثناء.
  4. احسب السمك المرن الفعّال.
  5. باعتماد V0=4.17×1012 N m−1V_0 = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1} وDD مقرَّبًا إلى ثلاثة أرقام معنوية، احسب الانخفاض تحت المحور.
  6. احسب ارتفاع الانتفاخ الأمامي.
  7. تحقّق من أنّ الطفو لكامل الانخفاض، 2w0α(ρm−ρw)g2w_0\alpha(\rho_m - \rho_w)g، يوازن V0V_0.
  8. قارن TeT_e بالقيم المرصودة على طول ظهرة هاواي، من 17 إلى 37 km37\,\mathrm{km}. قارن الانخفاض تحت المحور مع جذر إيري في السؤال 8.

الجزء الرابع — الجاذبية فوق الحفرة المحيطة. خذ توافقيًّا واحدًا من الانثناء، طول موجته 2πα2\pi\alpha وسعته W=500 mW = 500\,\mathrm{m}، مُنحنيًا كلًّا من قاع البحر (القشرة 2900 kg m−32900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} تحت الماء، على عمق 5 km5\,\mathrm{km} تحت مستوى سطح البحر) والموهو (الوشاح تحت القشرة، على عمق 12 km12\,\mathrm{km} تحت مستوى سطح البحر). صفيحة رقيقة ذات كثافة سطحية σ\sigma تُنتج الشذوذ 2πGσ2\pi G\sigma مباشرةً فوقها.

  1. احسب طول الموجة والعدد الموجي kk للتوافقي.
  2. احسب سعة الشذوذ عند مستوى سطح البحر الناتج عن قاع البحر المنحني بعد الاستمرار إلى الأعلى من عمق 5 km5\,\mathrm{km}.
  3. احسب سعة الموهو المنحني، والمجموع الكلّي.
  4. احسب المجموع عند ارتفاع قمر صناعي، 400 km400\,\mathrm{km} فوق مستوى سطح البحر.
  5. بأيّ عامل يُضعَف توافقي طول موجته 80 km80\,\mathrm{km}، وهو عرض الظهرة، على ذلك الارتفاع؟ وماذا يمكن للقمر الصناعي أن يميّزه؟
  6. إلى أيّ درجة توافقية كروية n≈2πR/λn \approx 2\pi R/\lambda يناظر التوافقي في السؤال 18 (R=6371 kmR = 6371\,\mathrm{km})؟
  7. أعطِ السمك المرن الفعّال للصفيحة تحت ظهرة أورو.
حل

حل المسألة 3.1.

1. m=(7.292 115×10−5)2×63781372×6356752.3/3.986 005×1014=0.003 449 79m = (7.292\,115 \times 10^{-5})^2\times6378137^2\times6356752.3/ 3.986\,005 \times 10^{14} = 0.003\,449\,79.

2. f=(3J2+m)/2=0.003 348 8f = (3J_2 + m)/2 = 0.003\,348\,8, 1/f=298.611/f = 298.61.

3. 1+η=2.5(1−1.5×0.3308)=1.2595\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595, 52m/fh=2+0.5863\tfrac52m/f_h = 2 + 0.5863، ومنه fh=0.003 334 6f_h = 0.003\,334\,6 و1/fh=299.881/f_h = 299.88.

4. قيمة كليرو، 1/298.611/298.61، تقع ضمن 0.12 %0.12\,\% من القيمة المرصودة 1/298.261/298.26؛ أمّا القيمة الهيدروستاتيكية، 1/299.881/299.88، فهي أصغر بمقدار Δf=1.82×10−5\Delta f = 1.82 \times 10^{-5}، وa Δf=116 ma\,\Delta f = 116\,\mathrm{m}: يعلو خطّ الاستواء 116 m116\,\mathrm{m} فوق الشكل الهيدروستاتيكي.

5. H=1.082 63×10−3/0.3308=0.003 272 8H = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8 (1/305.61/305.6).

6. 12×80 km×6 km=240 km2=2.40×108 m2\tfrac12\times80\,\mathrm{km}\times6\,\mathrm{km} = 240\,\mathrm{km}^{2} = 2.40 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}.

7. V0=(2800−1030)×9.81×2.40×108=4.17×1012 N m−1V_0 = (2800 - 1030)\times9.81\times2.40 \times 10^{8} = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}.

8. إيري: (ρm−ρv)r=(ρv−ρw)h(\rho_m - \rho_v)r = (\rho_v - \rho_w)h، ومنه r=6×1770/500=21.2 kmr = 6\times1770/500 = 21.2\,\mathrm{km} تحت القمّة.

9. ينحني قاع البحر انحناءً كبيرًا إلى ما بعد قاعدة الظهرة: الحمل لا يُعوَّض عمودًا فعمودًا، بل بانثناء الصفيحة عبر منطقة أوسع أربع مرات. للصفيحة صلابة: التعويض الأيزوستاتي الإقليمي.

10. α=165/(3π/4)=70.0 km\alpha = 165/(3\pi/4) = 70.0\,\mathrm{km}.

11. α=220/π=70.0 km\alpha = 220/\pi = 70.0\,\mathrm{km}: القيمة نفسها، كما تقتضيه صفيحة مرنة واحدة.

12. D=(ρm−ρw)gα4/4=2270×9.81×(7.00×104)4/4=1.34×1023 N mD = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 2270\times9.81\times(7.00 \times 10^{4})^4/4 = 1.34 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}.

13. Te=(12(1−ν2)D/E)1/3=(11.25×1.34×1023/1×1011)1/3=24.7 kmT_e = (12(1 - \nu^2)D/E)^{1/3} = (11.25\times1.34 \times 10^{23}/ 1 \times 10^{11})^{1/3} = 24.7\,\mathrm{km}.

14. w0=V0α3/(8D)=4.17×1012×(7.00×104)3/(8×1.34×1023)=1334 mw_0 = V_0\alpha^3/(8D) = 4.17 \times 10^{12}\times(7.00 \times 10^{4})^3/ (8\times1.34 \times 10^{23}) = 1334\,\mathrm{m}.

15. w0e−π=1334×0.0432=58 mw_0e^{-\pi} = 1334\times0.0432 = 58\,\mathrm{m}.

16. 2×1334×7.00×104×2270×9.81=4.16×1012 N m−12\times1334\times7.00 \times 10^{4}\times2270\times9.81 = 4.16 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}، يساوي V0V_0 ضمن حدود تقريب DD.

17. 24.7 km24.7\,\mathrm{km} تقع ضمن نطاق ظهرة هاواي. الصفيحة تغوص 1.3 km1.3\,\mathrm{km} تحت المحور بدلًا من أن ينمو لها جذر بسمك 21 km21\,\mathrm{km}: إذ يتوزّع الطفو نفسه على 330 km330\,\mathrm{km} من الخندق المحيط.

18. λ=2π×70.0 km=440 km\lambda = 2\pi\times70.0\,\mathrm{km} = 440\,\mathrm{km}, k=1/α=1.43×10−5 m−1k = 1/\alpha = 1.43 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}.

19. σ=(2900−1030)×500=9.35×105 kg m−2\sigma = (2900 - 1030)\times500 = 9.35 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}، ومنه 2πGσ=3.92×10−4 m s−2=39.2 mGal2\pi G\sigma = 3.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 39.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} عند قاع البحر؛ مضروبًا في e−k×5 km=0.931e^{-k\times5\,\mathrm{km}} = 0.931، 36.5 mGal36.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} عند مستوى سطح البحر (سالبة حيث تُدفع الصفيحة إلى أسفل).

20. σ=(3300−2900)×500=2.0×105 kg m−2\sigma = (3300 - 2900)\times500 = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}: 8.39 mGal8.39\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}، مضروبًا في e−k×12 km=0.843e^{-k\times12\,\mathrm{km}} = 0.843، 7.07 mGal7.07\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}. ويكون المجموع 43.6 mGal43.6\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}.

21. e−k×400 km=e−5.71=0.0033e^{-k\times400\,\mathrm{km}} = e^{-5.71} = 0.0033: 0.14 mGal0.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}.

22. e−2π×400/80=e−31.4=2.3×10−14e^{-2\pi\times400/80} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}: القمر الصناعي لا يرى من الظهرة ذاتها شيئًا، بل الانثناء الواسع فحسب، وحتى هذا يضعف بمقدار ثلاثمئة مرّة؛ ويجب قياس الشذوذ الخاص بالظهرة في البحر.

23. n≈2π×6371/440=91n \approx 2\pi\times6371/440 = 91.

24. من المسائل 10 إلى 13، السمك المرن الفعّال للصفيحة تحت ظهرة أورو هو 24.7 km24.7\,\mathrm{km}.

এই অধ্যায়ে সংজ্ঞায়িত পরিভাষা-শব্দ

পরিভাষায় সব 957 টি শব্দ দেখো