30من أين تأتي العناصر

صُنع الكالسيوم في جرف من الحجر الجيري، في معظمه، داخل نجوم ضخمة انفجرت قبل أن تولد الشمس. ويأتي حديد لبّ الأرض في معظمه من نوع مختلف من الانفجار، هو انفجار القزم الأبيض. ويعود بلاتين الخاتم إلى ذروة في الوفرة بنتها دفعات من الأسر النيوتروني تدوم ثوانٍ، في اندماج نجمين نيوترونيين أو في نوع نادر من المستعر الأعظم؛ أيُّ الحدثين صنع معظمه ما زال موضع جدل. تركت كلٌّ من هذه الأحداث أثرًا في تركيب الشمس، وهو أيضًا، عدا العناصر القليلة التي لم تستطع الكواكب الاحتفاظ بها، تركيبُ المجموعة الشمسية. يقرأ هذا الفصل هذا السجلّ: يعرض الوفرات الشمسية، ويستعيد كيف صُنعت العناصر الخفيفة، ويتتبّع الأسر النيوتروني الذي بنى العناصر الثقيلة، ويحدّد المواقع التي تجري فيها كلّ عملية، ويُنمذج كيف يتغيّر تركيب المجرّة مع حياة نجومها وموتها. وينتهي حيث تبدأ جيولوجيا المجلدات السابقة: لماذا تكون الأرض، المصنوعة من المادة نفسها التي صُنعت منها الشمس، غنية جدًّا بالحديد وفقيرة جدًّا في المتطايرات.

ما تعرفه من قبل

تخلّق النوى في الانفجار الكبير، واندماج الهيدروجين والهيليوم في النجوم، وطاقة الربط لكل نوية وذروتها قرب الحديد، ووادي الاستقرار، والاضمحلال بيتا، وأعمار النصف، والمقطع العرضي لتفاعل، والنجوم في النسق الأساسي، والعمالقة الحمر، والأقزام البيضاء، والنجوم النيوترونية، والمستعرات الأعظم، كلّها واردة في كتب الفيزياء. أمّا أصناف النيازك، وكوندريتات CI، ودرجة حرارة التكاثف، والعناصر المقاومة للحرارة والمتطايرة، وأصناف غولدشميدت، والأرض السيليكاتية الكلية، فترد في مجلد السنة الثانية، في فصوله عن تكوين الكواكب وعن العناصر في الأرض. أمّا بنية درب التبانة، وقرصيها الرقيق والسميك، وهالتها، وجمهرتها النجمية، فترد في الفصل السابق.

30.1 الوفرات الشمسية

تحتفظ الشمس بأكثر من $99.85\,\%$ من كتلة المجموعة الشمسية، وقد احتفظت طبقاتها الخارجية، عدا بعض العناصر الخفيفة وترسّب بطيء لبعض الثقيلة، بتركيب الغاز الذي تشكّلت منه الشمس والكواكب. ويُقرأ تركيبها بطريقتين: من خطوط الامتصاص في غلافها الضوئي، ومن كوندريتات CI، وهي النيازك التي يكون تركيبها، عدا أشدّ العناصر تطايرًا، هو الأقرب من بين كل المواد المعروفة إلى تركيب الشمس.

تعريف 30.1 (الوفرة الشمسية؛ dex)

الوفرة الشمسية للعنصر $X$ هي عدد ذراته نسبةً إلى ذرات الهيدروجين في الشمس، مكتوبًا على مقياس لوغاريتمي يُجعل فيه الهيدروجين عند $12$:

$$\log\varepsilon(X) = 12 + \log_{10}\frac{N_X}{N_\mathrm{H}} .$$

والفرق بمقدار وحدة واحدة في مثل هذا اللوغاريتم يُسمّى dex: وفرتان يفصلهما $0.3$ dex تختلفان بمعامل قدره $10^{0.3} \approx 2$. أمّا نسبة وفرة عنصر في نجم إلى الشمس فتُكتب بين أقواس مربعة، $[X/\mathrm{H}] = \log_{10}(N_X/N_\mathrm{H})_\star - \log_{10}(N_X/N_\mathrm{H})_\odot$، وبالمثل $[X/Y]$ لأيّ زوج من العناصر.

يعرض الشكل أدناه الوفرات الشمسية وفق التجميعة الحديثة التي أعادت تقييم جميع العناصر الطويلة العمر البالغ عددها 83. أمّا الحديد، فعند $\log\varepsilon = 7.46$، توجد ذرّة واحدة لكلّ $34\,700$ ذرّة من الهيدروجين؛ ويحتوي الهيليوم على $0.0820$ ذرّة لكلّ ذرّة هيدروجين. وتبرز عدّة ملامح، يفسّرها باقي هذا الفصل.

1. الهيدروجين والهيليوم يشكّلان تقريبًا كل الذرات، أي ألف مرّة أكثر من جميع العناصر الأخرى مجتمعةً؛ وقد تكوّن الاثنان في الانفجار الكبير، وجزء من الهيليوم منذ ذلك الحين في النجوم.
2. الليثيوم والبريليوم والبورون، التي تلي الهيليوم مباشرةً، تقلّ وفرتها كثيرًا عن الكربون: فالبريليوم أقلّ وفرةً بمقدار اثني عشر مليون مرّة.
3. تنخفض الوفرات بحدّة من الأكسجين نحو العناصر الثقيلة، مع قمم حول الأكسجين، وحول الحديد، وحول الباريوم، وحول الرصاص، وقمم أصغر تُوسَم في الشكل.
4. العناصر ذات العدد الذري الزوجي أوفر من جيرانها الفردية: فالسكانديوم، الواقع بين الكالسيوم والتيتانيوم، أندر من الكالسيوم بنحو $1400$ مرّة، وأندر من التيتانيوم بمقدار $68$ مرّة. وهذا هو تأثير الزوجية والفردية.
5. بعد قمّة الحديد يتسطّح المنحنى: فمن الحديد إلى الذهب تنخفض الوفرة بعامل قدره $3.5 \times 10^{6}$، لكنّها ترتفع من جديد من الذهب إلى الرصاص بعامل قدره أحد عشر.

بالكتلة، يحتوي الغلاف الضوئي الحالي على $X = 0.7438$ من الهيدروجين، $Y = 0.2423$ من الهيليوم، و$Z = 0.0139$ من كل ما عدا ذلك. وبعد تصحيح أثر العناصر الثقيلة التي استقرّت تحت الغلاف الضوئي منذ تكوّن الشمس، فإنّ القيم الأولية للشمس، أي قيم الغاز الذي وُلدت منه الشمس، هي $X = 0.7121$، و$Y = 0.2725$ و$Z = 0.0154$.

تعريف 30.2 (المعدنية)

المعدنية لنجم أو لغاز هي محتواه من العناصر الأثقل من الهيليوم، والتي تُسمّى معادن في علم الفلك أيًّا كانت كيمياؤها: وهي تُعطى كنسبة كتلية $Z$، أو، كما يُقاس عادةً، بوفرة الحديد بالنسبة إلى الشمس، $[\mathrm{Fe/H}]$. نجم قيمته $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ يملك عُشر ذرّات الحديد لكل ذرّة هيدروجين مما في الشمس.

يتّفق مصدرا وفرات الشمس اتفاقًا لافتًا. ويقارن الشكل أدناه بينهما عنصرًا عنصرًا. فبالنسبة إلى 58 عنصرًا، وهي العناصر التي ليست متطايرة أكثر من اللازم بالنسبة إلى النيازك ولا مدمَّرة في الشمس، يبلغ المتوسط الموزون للفرق بين وفرة الغلاف الضوئي ووفرة CI هو $0.000 \pm 0.007$ dex. وتخرج مجموعتان عن الخط. فالنيازك تحتوي على كمية أقلّ بكثير من الهيدروجين والهيليوم والكربون والنيتروجين والأكسجين والغازات النبيلة مقارنةً بالشمس، إذ بقيت هذه العناصر في الغاز حين تكثّفت المواد الصلبة. وتحتوي الشمس على ليثيوم أقلّ بمقدار $200$ مرّة مما في النيازك، إذ دمّرت $99.5\,\%$ من ليثيومها بالاحتراق النووي.

الاتفاق حقيقة ذات وزن كبير بالنسبة إلى علم الأرض. ويعني ذلك أنّ النيازك، التي يمكن تحليلها في المختبر، تعطي تركيب المجموعة الشمسية لجميع العناصر عدا الأكثر تطايرًا؛ وأنّ الشمس، التي يعطي غلافها الضوئي الهيدروجين والكربون والنيتروجين والأكسجين، تُكمل ما تبقّى. وقد بنى مجلد السنة الثانية تركيب الأرض الكلّية على هذا الأساس.

30.2 العناصر الخفيفة والنجوم

تصف كتب الفيزياء التخليق النووي الأولي في الانفجار الكبير: ففي الدقائق الثلاث الأولى، ومع برودة الكون، اتّحدت البروتونات والنيوترونات لتكوّن الديوتيريوم، والهيليوم-3 والهيليوم-4 وأثرًا من الليثيوم-7، ولا إلى عناصر أثقل. الوفرات الأولية المرصودة هي الكسر الكتلي للهيليوم $Y_\mathrm{p} = 0.245 \pm 0.003$، ونسبة الديوتيريوم إلى الهيدروجين $2.5 \times 10^{-5}$، ونسبة الليثيوم إلى الهيدروجين $1.45 \times 10^{-10}$، ويُقاس الأخير في نجوم قديمة فقيرة بالمعادن في هالة المجرّة. وقد تكوّنت في النجوم كل العناصر الأخرى، وكذلك الفائض من الهيليوم في الشمس، $0.2725 - 0.245 \approx 0.028$.

تحرق النجوم في كتب الفيزياء الهيدروجين إلى هيليوم في النسق الأساسي، ثم تحرق الهيليوم إلى كربون وأكسجين بوصفها عمالقة حمراء؛ أمّا الأكثر كتلةً فتمضي، في أغلفة تحيط بلبّها، نحو النيون والمغنيسيوم والسيليكون، وأخيرًا الحديد. ويتوقّف الاندماج عند هذا الحدّ، لأنّ طاقة الربط لكل نويّة تبلغ أقصاها قرب الحديد: فبناء نوى أثقل بالاندماج يمتصّ طاقة بدلًا من أن يطلقها. وبعد قمّة الحديد تُبنى العناصر بطريق آخر هو أسر النيوترونات، موضوع القسم التالي. أمّا الليثيوم والبريليوم والبورون فهشّة، إذ تُدمَّر عند درجات الحرارة السائدة في باطن النجوم، وهو ما جعل الشمس تحرق تقريبًا كل ليثيومها، وهو أيضًا ما يجعل العناصر الثلاثة تُشكّل انخفاضًا في منحنى الوفرة.

تعريف 30.3 (عنصر ألفا)

عنصر ألفا هو أحد العناصر ذات $Z$ الزوجي الأكسجين والنيون والمغنيسيوم والسيليكون والكبريت والكالسيوم، والتي تكون أكثر نظائرها وفرةً ($^{16}\mathrm{O}$، $^{20}\mathrm{Ne}$، $^{24}\mathrm{Mg}$، $^{28}\mathrm{Si}$، $^{32}\mathrm{S}$، $^{40}\mathrm{Ca}$) أعدادها الكتلية مضاعفات للعدد أربعة، وهي تُصنع أساسًا في النجوم الضخمة، وتُعاد إلى الغاز عبر انفجارها بوصفها مستعرات أعظم ناجمة عن انهيار اللبّ.

إنّ ذروات الأكسجين وعناصر ألفا، وأثر الفردي–الزوجي، هي علامات على مراحل الحرق هذه: تُدمج نوى الهيليوم في النوى الزوجية أيسر من دمج أيّ شيء في الفردية، والنوى التي لها عدد زوجي من البروتونات أشدّ ترابطًا. وما يعيده النجم إلى الغاز يتوقّف على كتلته.

تعريف 30.4 (المردود النجمي)

المردود النجمي لعنصر ما من نجم ذي كتلة ابتدائية معلومة هو كتلة ذلك العنصر التي صنعها النجم حديثًا وأعادها إلى الغاز بين النجوم، عبر الرياح النجمية وفي انفجاره النهائي، بوصفها كسرًا من كتلة النجم.

النجوم التي تقلّ كتلتها عن $0.8\,\mathrm{M}_{\odot}$ تعيش أطول من عمر الكون ولا تعيد شيئًا. أمّا النجوم التي كتلتها من $0.8$ إلى $8\,\mathrm{M}_{\odot}$ فتعيد في رياحها الهيليوم والنيتروجين والكربون والعناصر الثقيلة من العملية s (الباريوم، والإيتريوم، والسترونتيوم) في رياحها، وتنتهي بوصفها أقزامًا بيضاء من الكربون–الأكسجين. أمّا النجوم التي كتلتها أكبر من $8$ إلى $10\,\mathrm{M}_{\odot}$ فتصنع أساسًا عناصر ألفا وقدرًا من الحديد، وتنفجر بوصفها مستعرات أعظم ناجمة عن انهيار اللبّ. ويمكن لقزم أبيض في نظام ثنائي وثيق أن ينفجر بوصفه مستعرًا أعظم من النوع Ia، وتُنتج هذه الانفجارات معظم الحديد.

30.3 أسر النيوترونات

لا يحمل النيوترون شحنة كهربائية، ولا تنفّره النواة: حتّى النيوترون البطيء يدخل إليها، فتُطلق النواة، وهي أثقل بوحدة كتلة واحدة، طاقةَ الربط في صورة أشعة غاما. وتُنتج عمليات الأسر المتكرّرة نظائر أثقل للعنصر نفسه حتى يصبح أحدها غير مستقرّ؛ فيتفكّك عندئذٍ، عادةً بإصدار بيتا سالبة، إلى العنصر التالي، الذي يأسر النيوترونات بدوره. وتتوقّف النوى المتكوّنة على مقارنة واحدة: الزمن الفاصل بين أسرين متتاليين مقارنةً بعمر النصف للنوى غير المستقرّة التي تُصادَف في الطريق.

تعريف 30.5 (الأسر النيوتروني؛ العملية s؛ العملية r)

الأسر النيوتروني هو امتصاص نيوترون حرّ بواسطة نواة، $(Z, A) + \mathrm{n} \to (Z, A+1) + \gamma$. في العملية s (البطيئة)، تكون الأسرات أبطأ من معظم اضمحلالات بيتا: فالزمن بين أسرين متتاليين على النواة الواحدة يبلغ مئات إلى آلاف السنين، فتضمحل النواة غير المستقرّة في الغالب قبل أن تأسر، وتتبع سلسلة الأسرات والاضمحلالات وادي الاستقرار. وفي العملية r (السريعة)، تكون كثافة النيوترونات مرتفعة جدًّا حتى تكون الأسرات أسرع بكثير من الاضمحلالات: فتُدفع النوى نحو نظائر غنية جدًّا بالنيوترونات، بعيدةً عن الاستقرار، في بضع ثوانٍ، ثم تضمحل عائدةً إلى الاستقرار متى نفدت النيوترونات.

تصل العمليتان إلى نوى مختلفة، ويُبيّن مخطّط النويدات أيّها. ويرسم الشكل أدناه شريطًا منه، من الكادميوم إلى الباريوم. وتصعده العملية s على طول وادي الاستقرار: على امتداد صفّ عنصر ما دامت نظائره مستقرّة، ثم صعودًا صفًّا واحدًا باضمحلال بيتا. وتأتي العملية r من الجهة الغنية بالنيوترونات، في الركن السفلي الأيمن: تضمحل كلّ نواة غنية جدًّا بالنيوترونات باضمحلالات بيتا السالبة المتتالية على طول متساويها الكتلي، محتفظةً بعددها الكتلي، وتتوقّف عند أوّل نواة مستقرّة تصادفها. والنواة المستقرّة التي لها متساوٍ مستقرّ ذو $Z$ أدنى تكون محمية من العملية r: $^{122}\mathrm{Te}$ تقع خلف $^{122}\mathrm{Sn}$، و$^{123}\mathrm{Te}$ خلف $^{123}\mathrm{Sb}$، و$^{124}\mathrm{Te}$ خلف $^{124}\mathrm{Sn}$. لا يمكن أن تُنتج هذه الثلاث إلّا بالعملية s: فهي s فقط. وعلى العكس، تقع $^{128}\mathrm{Te}$ و$^{130}\mathrm{Te}$ خارج مسار العملية s، وهو ما يترك التيلوريوم عند $^{127}\mathrm{Te}$، الذي يبلغ عمر نصفه $9.35\,\mathrm{h}$: فهي r فقط.

المجموعة الثالثة، وهي المربّعات البرتقالية، لا تبلغها أيّ من العمليتين: النظائر الغنية بالبروتونات مثل $^{112}\mathrm{Sn}$، $^{120}\mathrm{Te}$ أو $^{124}\mathrm{Xe}$.

تعريف 30.6 (النوى p)

النوى p هي النظائر المستقرّة في الجانب الغني بالبروتونات من وادي الاستقرار، بعد ذروة الحديد، والتي لا تستطيع العملية s ولا العملية r إنتاجها: فهي محمية من العملية r بنظير مستقرّ متساوٍ في العدد الكتلي وذي $Z$ أدنى، وتقع خارج مسار العملية s. تُعزى إلى عملية p مستقلّة، يُرجَّح أنّها تحدث في انفجارات المستعرات العظمى، وباستثناءات قليلة تكون وفرتها أقلّ بكثير من وفرة نظائر s و r المجاورة لها.

تُطبَّق القاعدة التي تقرأ المخطّط على جميع النويدات البالغ عددها 287 في الجدول ما قبل الشمسي الواقعة بعد الزنك، فتجد 30 نويدةً s فقط و29 نويدةً r فقط و36 من النوى p. وإحدى هذه النوى p، وهي $^{176}\mathrm{Hf}$، تبلغها في الواقع العملية s عبر حالة مثارة طويلة العمر في $^{176}\mathrm{Lu}$ تتجاهلها القاعدة البسيطة؛ أمّا النويدات الأخرى، وعددها 35، فهي النوى p المعروفة في الأدبيات.

يمكن تتبّع العملية s كمّيًّا، لأنّ نويداتها قريبة من الاستقرار، ويمكن قياس مقاطع أسرها. ففي بلازما نجمية عند درجة الحرارة $T$ تصبح النيوترونات متوازنة حراريًّا، والمهمّ هو مقطع الأسر المتوسَّط على توزيع ماكسويل-بولتزمان لها، $\langle\sigma\rangle$، المُعطى عند طاقة حرارية $kT = 30\,\mathrm{keV}$.

قضية 30.7 (علاقة $\sigma N$)

على مقطع من مسار العملية s تكون فيه كلّ نواة مستقرّة، وتكون كثافة النيوترونات $n_\mathrm{n}$ ودرجة الحرارة ثابتتان، وليكن $N_A$ وفرةَ النواة ذات العدد الكتلي $A$ و$\langle\sigma\rangle_A$ مقطعها المتوسَّط. فإذا بلغ تدفّق النيوترونات حالةً مستقرّة، فإنّ

$$\langle\sigma\rangle_{A-1} N_{A-1} = \langle\sigma\rangle_A N_A ,$$

ومنه يكون الجداء $\sigma N$ متساويًا لكلّ نواة في المقطع.

تختبر ذلك النظائرُ الثلاثة s فقط للتيلّوريوم. وتبلغ وفرتها ما قبل الشمسية $0.1067$، $0.0373$ و$0.1984$ ذرّةً لكلّ مليون ذرّة سيليكون، ومقاطع أسرها $295$، $832$ و$155\,\mathrm{mb}$: تبلغ الجداءات $31.5$، $31.0$ و$30.8\,\mathrm{mb}$، متساوية ضمن ثلاثة بالمئة، رغم أنّ الوفرات تختلف بمعامل قدره خمسة. وعند عدد سحري نيوتروني تنكسر العلاقة، إذ تكون النوى ذات $N = 50$، $82$ أو $126$ مرتبطةً بشدّة إلى حدّ أنّها تأسر بضعف، ويبلغ $\langle\sigma\rangle = 4.0\,\mathrm{mb}$ في $^{138}\mathrm{Ba}$ مقابل $61.2\,\mathrm{mb}$ في $^{136}\mathrm{Ba}$، وتعمل كعنق زجاجة. ويبيّن الشكل الآتي الجداء لجميع النويدات s فقط: هضاب مستوية تفصل بينها قفزات قرب $A = 88$، $140$ و$208$.

يمثّل الخطّ في الشكل النموذج الكلاسيكي للعملية s: يُعرَّض جزء صغير $G$ من الحديد-56 للنيوترونات، مع توزّع التعرّضات أُسّيًّا حول متوسّط $\tau_0$، ويُتابَع التدفّق نويدةً بعد نويدة بالمقاطع العرضية المقيسة. ويُطابَق هذا النموذج على $22$ نويدة مُنتَجة بالعملية s وحدها والأثقل من $A = 90$ (مع استبعاد $^{176}\mathrm{Lu}$، الذي يتفكّك، و$^{187}\mathrm{Os}$، الذي يُغذّى بتفكّك $^{187}\mathrm{Re}$)، فيعطي $\tau_0 = 0.31\,\mathrm{mb}^{-1}$ و$G = 0.054\,\%$ من حديد-56 الشمسي، وهي قريبة من $0.04\,\%$ التي تعطيها التحليلات التفصيلية، حيث تلتقط كلّ نويدة بذرة في المتوسّط نحو خمس عشرة نيوترونًا. أمّا أخفّ النويدات المُنتَجة بالعملية s وحدها أي الجرمانيوم-70 والسيلينيوم-76، فتقع بعيدًا فوق الخطّ: إنّها تحتاج إلى مكوّن ثانٍ ضعيف، يتكوّن في النجوم الضخمة.

حين تعيش نويدة غير مستقرّة على المسار مدّةً تقارب الزمن الفاصل بين عمليتي أسر متتاليتين، ينقسم التدفّق: يتفكّك جزء منه، ويلتقط الجزء الآخر نيوترونًا. وتحدث مثل هذه التفرّعات عند $^{79}\mathrm{Se}$، $^{85}\mathrm{Kr}$، $^{134}\mathrm{Cs}$، $^{147}\mathrm{Pm}$ و$^{151}\mathrm{Sm}$، من بين غيرها. يتيح التفرّع أن يتجاوز جزء من التدفّق نويدةً بعينها: فمن نظيري السماريوم المُنتَجين بالعملية s وحدها، يستقبل $^{150}\mathrm{Sm}$ التدفّق كلّه، بينما لا يستقبل $^{148}\mathrm{Sm}$ إلّا الجزء الذي التفّ حول التفرّع عند الكتلة 147، ونسبة $\sigma N$ لهما، $0.87$، تقيس ذلك الجزء. ولأنّ هذا الجزء يعتمد على كثافة النيوترونات ودرجة الحرارة، فإنّ التفرّعات مقاييس حرارة ومقاييس كثافة للنجوم التي جرت فيها العملية s.

في المختبر — قياس مقطع الأسر العرضي

لقياس المقاطع العرضية المتوسّطة التي تحتاجها العملية s، يُعيد الفيزيائيون إنتاج طيف نيوتروني نجمي في مسرّع. تُصطدم البروتونات بهدف من الليثيوم فتُنتج النيوترونات بالتفاعل $^{7}\mathrm{Li}(\mathrm{p},\mathrm{n})^{7}\mathrm{Be}$، ويحاكي طيفه طيفًا حراريًا عند $kT = 25\,\mathrm{keV}$، وهي قيمة قريبة من $23\,\mathrm{keV}$ التي تميّز ومضات قشرة الهيليوم في العملاق الأحمر. تُوضَع العيّنة ملاصقةً للهدف، في أقوى تدفّق، وبعد التشعيع تُعَدّ أشعّة غاما الصادرة عن النويدات المشعّة المُنتَجة حديثًا: تعمل طريقة التنشيط هذه بعيّنات تقلّ عن ميكروغرام واحد. وحين يكون الناتج مستقرًّا، تُرسَل النيوترونات في نبضات ويُقاس زمن طيرانها على مسار معيّن لتحديد طاقتها، وتسجّل كرة من بلّورات فلوريد الباريوم المحيطة بالعيّنة تتالي أشعّة غاما لكلّ أسر.

لمحة تاريخية — التكنيشيوم في العمالقة الحمراء

في عام 1952 وجد بي. دبليو. ميريل خطوط التكنيشيوم في أطياف العمالقة الحمراء من النوع الطيفي S. ليس للتكنيشيوم نظير مستقرّ؛ أمّا النظير الذي تنتجه العملية s، $^{99}\mathrm{Tc}$، فيبلغ عمر نصفه $211\,000$ سنة، وهو أقصر بكثير من الأعمار التي عاشتها هذه النجوم. كان لا بدّ أن يكون التكنيشيوم قد تكوّن داخل النجوم، وفي زمن قريب. كان ذلك أوّل دليل مباشر على أنّ النجوم تُنتج العناصر. وفي عام 1957 صاغ إي. إم. وجي. آر. بوربيدج، ودبليو. إيه. فاولر، وإف. هويل، وبشكل مستقلّ إيه. جي. دبليو. كاميرون، النموذج الكلاسيكي للعملية s.

تترك العملية r قممها الخاصّة. ويقع مسارها قريبًا من حدّ تسرّب النيوترونات وهو الحدّ الذي تعجز بعده النويدة عن استبقاء نيوترون إضافي، ويتوقّف التدفّق عند النويدات ذات الأغلفة النيوترونية المغلقة، $N = 50$، $82$ و$126$، حتّى تتفكّك بيتا. تتراكم المادّة في هذه النقاط المؤقّتة؛ وبعد التفكّكات النهائية نحو الاستقرار تقع الأكوام عند أعداد كتلية أدنى بعدّة وحدات من قمم العملية s للأعداد السحرية نفسها، وهي مكوّنة من نويدات مستقرّة: قرب $A = 130$ (التيلوريوم والزينون) و$A = 195$ (البلاتين)، مقابل $A = 138$ و$208$ لقمم العملية s للباريوم والرصاص. يُظهر منحنى الوفرة المجموعتين من القمم جنبًا إلى جنب. تُنتج العملية r نحو نصف العناصر الثقيلة، وتُنتج العملية s النصف الآخر.

30.4 أين تجري العمليات

تجري العملية s الرئيسية في العمالقة الحمراء التي تبلغ كتلتها حتى نحو ثلاث كتل شمسية، قرب نهاية عمرها، بوصفها نجومًا على فرع العملاقة المقارِبة. وبين ومضات احتراق الهيليوم في قشرة تحيط بلبّها، تتكوّن طبقة رقيقة غنية بالكربون-13؛ وعند نحو $9 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ يُطلق التفاعل $^{13}\mathrm{C}(\alpha,\mathrm{n})^{16}\mathrm{O}$ نيوترونات لمدّة نحو عشرة آلاف سنة، بكثافات تتراوح من $10^6$ إلى $10^{8}$ نيوترون $\mathrm{cm}^{-3}$. أمّا أثناء الومضات نفسها، فوق $2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K}$، فإنّ $^{22}\mathrm{Ne}(\alpha,\mathrm{n})^{25}\mathrm{Mg}$ يعطي نبضة تدوم بضع سنوات بكثافة تصل إلى $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. تُجرف النواتج إلى السطح، حيث يُرصد التكنيشيوم، ثمّ تُنفخ بعيدًا في رياح النجم. أمّا العملية s الضعيفة، التي تُنتج النويدات المُنتَجة بالعملية s وحدها والأخفّ من $A = 90$، فتجري في النجوم الضخمة أثناء احتراق الهيليوم واحتراق الكربون.

المستعرات الأعظم الانهيارية، وهي نهاية النجوم التي تزيد كتلتها على ثماني إلى عشر كتل شمسية، تعيد عناصر ألفا وجزءًا من الحديد بعد وقت قصير من ولادة النجوم، لأنّ النجوم الضخمة تعيش أعمارًا قصيرة. أمّا المستعرات الأعظم من النوع Ia، وهي أقزام بيضاء تنفجر في الثنائيات، فتُعيد معظم الحديد، لكن بعد تأخّر زمني: فيجب أن يتكوّن القزم الأبيض أوّلًا، من نجم أقلّ من ثماني كتل شمسية، ثمّ إمّا أن يجمع المادّة من رفيق له حتى يبلغ كتلة شاندراسيخار، نحو $1.44\,\mathrm{M}_{\odot}$، وإمّا أن يندمج مع قزم أبيض ثانٍ. وتحتاج العملية r إلى مكان أشدّ تطرّفًا بكثير.

تعريف 30.8 (اندماج النجوم النيوترونية؛ الكيلونوفا)

اندماج النجوم النيوترونية هو التحام نجمين نيوترونيين في ثنائي قريب، تقلّص مداره بانبعاث الموجات الثقالية. يُقذَف جزء من المادّة الغنيّة بالنيوترونات إلى الخارج. والكيلونوفا هي التوهّج العابر لتلك المقذوفات، المُسخَّنة بالتفكّك المشعّ للنويدات الحديثة التكوين المُنتَجة بالعملية r، ويدوم أيّامًا.

في 17 أغسطس 2017 سجّلت كواشف الموجات الثقالية الاقتراب الحلزوني لنجمين نيوترونيين، GW170817، على بعد نحو $40\,\mathrm{Mpc}$: جسمان تتراوح كتلة كلّ منهما بين $1.17$ و$1.60\,\mathrm{M}_{\odot}$، بمجموع $2.74\,\mathrm{M}_{\odot}$. وصل وميض أشعّة غاما بعد $1.7\,\mathrm{s}$ من الاندماج. وبعد أقلّ من أحد عشر ساعة عثرت التلسكوبات على نقطة ضوء جديدة في المجرّة NGC 4993 (الشكل أدناه). خبا توهّجها فوق البنفسجي خلال يومين، وتحوّل ضوؤها خلال عشرة أيّام إلى الأحمر وتحت الحمراء. وتحتاج النماذج التي تصف هذا التطوّر إلى عدّة مكوّنات من المقذوفات، أحمرها غنيّ باللانثانيدات، وهي عناصر العملية r الثقيلة التي تجعل غابة الخطوط الكثيفة فيها المقذوفاتِ معتمةً. ويُقدَّر مجموع الكتلة المقذوفة بين $0.03$ و$0.08\,\mathrm{M}_{\odot}$: أوّل دليل مباشر على أنّ اندماج النجوم النيوترونية يُنتج عناصر العملية r.

أرقام عام 2021

لم يُحسم بعد ما إذا كانت اندماجات النجوم النيوترونية تصنع معظم عناصر العملية r في المجرّة. فالاندماجات تنتظر انحلال مداراتها الثنائية، والنماذج التي تجعلها المصدر الوحيد لتطوّر المجرّة تُنتج عناصر العملية r متأخّرةً أكثر من اللازم لتفسير ما يُرصد في أقدم النجوم وأفقرها بالمعادن. وأنواع نادرة من المستعرات العظمى ذات الانهيار القلبي، ذات الدوران السريع والمجالات المغناطيسية القوية، وانهيار النجوم الضخمة جدًّا هي المرشّحات الأخرى؛ ويفسّر أحد نماذج المجرّة وفرة الأوروبيوم المرصودة إذا كانت نحو ثلاثة في المئة من المستعرات الفائقة ذات الكتلة من 25 إلى $50\,\mathrm{M}_{\odot}$ هي من النوع المحرَّك مغناطيسيًّا.

30.5 التطوّر الكيميائي للمجرّة

يُعيد كلّ جيل من النجوم إلى الغاز بعضًا مما صنعه، ويتكوّن الجيل التالي من ذلك الغاز المُثرى. ولذلك يسجّل تركيبُ النجم تركيبَ الغاز عند ولادته، وتسجّل النجوم في المجرّة، مرتّبةً بحسب أعمارها، تاريخَها.

تعريف 30.9 (التطوّر الكيميائي المجرّي)

التطوّر الكيميائي المجرّي هو تغيّر تركيب الغاز والنجوم في مجرّة مع الزمن، تحت الأثر المشترك لتكوين النجوم، والمردود النجمي، وأعمار النجوم، والغاز الذي يتدفّق إلى المجرّة أو يُطرد منها؛ ودراسةُ ذلك التغيّر بنماذج تُقارَن بوفرات النجوم المعلومة الأعمار.

يعامل أبسط نموذج منطقةً من المجرّة بوصفها صندوقًا واحدًا جيّد الخلط من الغاز يتحوّل ببطء إلى نجوم. ليكن $s$ كتلةَ المادة المحتجزة في النجوم طويلة العمر وفي البقايا النجمية، و$M_\mathrm{g}$ كتلة الغاز، و$M = M_\mathrm{g} + s$ الكتلة الكلّية. أمّا المردود لكلّ جيل نجمي $y$ فهو كتلة المعادن الجديدة التي يُعيدها جيل من النجوم إلى الغاز لكلّ وحدة كتلة يحتجزها.

مبرهنة 30.10 (نموذج الصندوق المغلق)

لنعتبر منطقةً لا تتبادل غازًا مع محيطها، تبدأ غازًا نقيًّا خاليًا من المعادن، تبقى جيّدة الخلط، وفيها تموت النجوم التي تصنع المعادن فورًا بينما تعيش الأخرى إلى الأبد (إعادة التدوير اللحظية). فتكون معادنية الغاز

$$Z = y \ln\frac{1}{\mu}, \qquad \mu = \frac{M_\mathrm{g}}{M},$$

حيث $\mu$ نسبة الغاز، وكتلة النجوم المتكوّنة بمعادنية أدنى من $Z$ هي $M\,(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$.

يتنبّأ النموذج بتوزيع المعادنية للنجوم طويلة العمر. في الجوار الشمسي تبلغ الكثافة السطحية للغاز $13.7\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$، وللنجوم والبقايا النجمية $33.4\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$، ومنه $\mu = 13.7/47.1 = 0.29$. إذا كان الغاز اليوم المعادنيةَ الشمسيةَ الأولى $Z = 0.0154$، فإنّ المردود $y = 0.0154/\ln(1/0.29) = 0.0125$، وتكون نسبة جميع النجوم المتكوّنة حتى الآن التي يكون فيها $Z$ أدنى من عُشر القيمة الحالية، أي $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ إن تبع الحديدُ المعادنَ، فتساوي $(1 - 0.29^{0.1})/(1 - 0.29) = 0.16$.

تعريف 30.11 (مسألة الأقزام G)

مسألة الأقزام G هي ندرة النجوم الفقيرة بالمعادن الطويلة العمر في الجوار الشمسي مقارنةً بتنبّؤ نموذج الصندوق المغلق: إذ تكون النجوم القزمة الطويلة العمر من النمط الطيفي G ذات المعدنية المنخفضة أقلّ بكثير مما يُفترض أن ينتجه صندوق مغلق.

من بين 6670 نجمًا في عيّنة المسح، لدى 26 منها $[\mathrm{Fe/H}] < -1$: $0.4\,\%$، مقابل $16\,\%$ في الصندوق المغلق. حتى بين 902 نجمًا لا تزيد كتلتها على كتلة شمسية واحدة، وهي أعدل مقارنة، تمثّل 26 نجمًا منها $2.9\,\%$. والمخرج هو فتح الصندوق: فإذا بُني قرص الجوار الشمسي بسقوطٍ داخليٍّ بطيءٍ للغاز الفقير بالمعادن على مدى عدّة مليارات من السنين، لم يكن الغاز الأوّلي قطّ خزّانًا كبيرًا ينتظر تكوين نجوم فقيرة بالمعادن، ويختفي الذيل. وتحتاج نماذج القرص التي تعيد إنتاج التوزيع إلى زمن سقوط داخلي أطول من ثلاث إلى أربع مليارات سنة.

الساعة الثانية هي نسبة نوعين من العناصر. وتأتي عناصر ألفا من المستعرات العظمى بالانهيار اللبّي، بعيد ولادة جيل نجمي، ويأتي جانب كبير من الحديد من المستعرات من النوع Ia، بعد زمن طويل. في نجوم الهالة القديمة، التي $[\mathrm{Fe/H}] < -1$، تبلغ $[\alpha/\mathrm{Fe}]$ نحو $+0.4$: تكوّنت هذه النجوم من غاز أُغني بالمستعرات العظمى بالانهيار اللبّي وحدها. وفي نجوم القرص تنخفض مع ازدياد المعدنية حتى الصفر، وهي القيمة الشمسية، مع إضافة المستعرات من النوع Ia حديدَها. ويُظهر الشكل أدناه أبسط نموذج لهذه الصورة التأخّر الزمني: ففي صندوق مغلق، يبدأ نوعا المستعرات معًا، إلّا أنّ المستعرات من النوع Ia تبدأ بعد تأخّرٍ ثابت عن النجوم الأولى.

النماذج التفصيلية لدرب التبانة التي تُعيد إنتاج الاتجاه المرصود، وتعزو ثلثي الحديد إلى المستعرات من النوع Ia والثلث إلى المستعرات العظمى بالانهيار اللبّي، وتجد أنّ غاز درب التبانة الفتيّة بلغ $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ في زمن يقارب من مليار إلى مليار ونصف من السنين. والنسبة مِقياس زمني: فالجمهرة النجمية الغنيّة بعناصر ألفا عند معدنية معيّنة كوّنت نجومها بسرعة، قبل أن تستطيع المستعرات من النوع Ia إضافة حديدها. والقرص السميك في الفصل السابق هو مثل هذه الجمهرة: قديم، وغني قليلًا بعناصر ألفا مقارنةً بنجوم القرص الرقيق ذات المعدنية نفسها.

30.6 من الوفرة الشمسية إلى الأرض

تتكوّن الأرض من المادّة نفسها التي تتكوّن منها الشمس، لكن ليس من كلّها. ففي السديم المتبرّد لم تُجمع إلّا العناصر التي تكثّفت صلبةً في الكويكبات الأوّلية، وقد تتبّع مجلد السنة الثانية تسلسل تكثّفها. يتكثّف الحديد معدنًا عند نحو الدرجة نفسها التي تتكثّف عندها سيليكات المغنيسيوم، $1310\text{ ⁧إلى⁩ }1340\,\mathrm{K}$ عند $10^{-4}\,\mathrm{bar}$، لذا احتفظت الكواكب الصخرية بنصيبها من الحديد، بينما بقيت الهيدروجين والهيليوم والكربون والنيتروجين والغازات النبيلة في الغاز. من غاز ذي تركيب شمسي، لا يتكثّف إلّا نحو نصف في المئة من الكتلة صخرًا ومعدنًا.

تعريف 30.12 (اتجاه التطاير)

اتجاه التطاير لجرمٍ كوكبي هو انخفاض وفرات عناصره بالنسبة إلى كوندريتات CI، ومُطبَّعةً على عنصر صامد للحرارة، مع انخفاض درجة حرارة التكاثف: تبقى العناصر الصامدة بنسبها الكوندريتية، بينما تنضب العناصر المتطايرة باعتدال كلّما انخفضت درجة حرارة تكاثفها.

بالنسبة إلى الأرض السيليكاتية، رسم مجلد السنة الثانية الاتجاه مقابل درجة حرارة التكاثف. وبعد التطبيع على المغنيسيوم، يبلغ الزركونيوم (الذي يتكثّف عند $1741\,\mathrm{K}$) يبلغ $1.11$ مرّة نسبته في الكوندريتات CI، والصوديوم ($958\,\mathrm{K}$) عند $0.22$، والبوتاسيوم ($1006\,\mathrm{K}$) عند $0.19$، والروبيديوم ($800\,\mathrm{K}$) عند $0.12$ والزنك ($726\,\mathrm{K}$) عند $0.075$. وتكوّنت الأرض من مادّة كانت قد فقدت جزءًا من عناصرها المتطايرة باعتدال قبل أن يكتمل تجمّع الكوكب، أو فقدتها أثناء نموّه. وحتى كوندريتات CI تختلف عن الشمس بطريقة تتبع درجة حرارة التكاثف، وإن كان ذلك بخفوت: فعناصرها المتطايرة باعتدال تبلغ نحو $0.04$ dex أعلى من القيم الضوئية.

وهكذا يمرّ سجلّ هذا الفصل عبر الكوكب. فالأكسجين والمغنيسيوم والسيليكون في الوشاح عناصر ألفا قادمة من النجوم الضخمة؛ أمّا حديد اللبّ فجاء في معظمه من المستعرات من النوع Ia؛ والثوريوم واليورانيوم، اللذان يسهم تفكّكهما في تسخين الداخل، يقعان بعد البزموث، حيث لا تصل إلّا العملية r؛ وخضع المزيج كلّه لفرزٍ بحسب التطاير قبل أن تجمعه الأرض.

30.7 التمارين

تمرين 30.1 ★

باستعمال الوفرات الشمسية $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69$، $\log\varepsilon(\mathrm{Si}) = 7.51$، $\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$، $\log\varepsilon(\mathrm{Au}) = 0.91$ و$\log\varepsilon(\mathrm{Pb}) = 1.95$: (أ) كم ذرّة من السيليكون وكم ذرّة من الأكسجين توجد في الشمس لكلّ ذرّة حديد؟ (ب) كم ذرّة حديد لكلّ ذرّة ذهب، وكم ذرّة رصاص لكلّ ذرّة ذهب؟

حل

حل التمرين 30.1.

(أ) $\mathrm{Si/Fe} = 10^{7.51 - 7.46} = 10^{0.05} = 1.12$ و$\mathrm{O/Fe} = 10^{8.69 - 7.46} = 10^{1.23} = 17.0$: نحو ذرّةِ سيليكون واحدة وسبع عشرة ذرّة أكسجين لكلّ ذرّة حديد. (ب) $\mathrm{Fe/Au} = 10^{7.46 - 0.91} = 10^{6.55} = 3.55 \times 10^{6}$ و$\mathrm{Pb/Au} = 10^{1.95 - 0.91} = 10^{1.04} = 11.0$: بعد ذروة الحديد تنخفض الوفرات بملايين المرّات، لكنّ الرصاص، على ذروته الخاصّة، أكثر وفرةً من الذهب بأحد عشر ضعفًا.

تمرين 30.2 ★

(أ) كم ذرّة حديد لكلّ مليون ذرّة هيدروجين تحتوي عليها الشمس ($\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$)؟ (ب) لنجم من الهالة له $[\mathrm{Fe/H}] = -2$. كم ذرّة هيدروجين يحتوي عليها لكلّ ذرّة حديد؟ (ج) نجم آخر فيه ذرّة حديد واحدة لكلّ عشرة ملايين ذرّة هيدروجين. ما قيمة $[\mathrm{Fe/H}]$ له؟

حل

حل التمرين 30.2.

(أ) $10^{7.46 - 12} = 2.884 \times 10^{-5}$، أي $28.8$ ذرّة حديد لكلّ مليون ذرّة هيدروجين. (ب) بمائة مرّة أقلّ: $0.288$ لكلّ مليون، ذرّة حديد واحدة لكلّ $1/2.884 \times 10^{-7} = 3.47 \times 10^{6}$ ذرّة هيدروجين. (ج) $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}(10^{-7}/2.884 \times 10^{-5}) = -2.46$.

تمرين 30.3 ★

للنظائر المستقرّة للزينون أعداد كتلية 124، 126، 128، 129، 130، 131، 132، 134 و136. ومن بين الكظيمات، للتيلوريوم ($Z = 52$) نظائر مستقرّة هي 120، 122–126، 128 و130؛ أمّا الأيودين ($Z = 53$) فله 127 وحده. يصل مسار s إلى الزينون عند $^{128}\mathrm{Xe}$، بتفكّك $^{128}\mathrm{I}$، ويغادره عند $^{133}\mathrm{Xe}$ الذي يتفكّك. صنّف كلّ نظير للزينون بأنّه s فقط، أو r فقط، أو مُنتَج بالعمليتين، أو نواة p.

حل

حل التمرين 30.3.

$^{124}\mathrm{Xe}$ و$^{126}\mathrm{Xe}$ يقعان على الجانب الغنيّ بالبروتونات، بعيدًا عن مسار s، وهما محميّان بالنظيرين المستقرّين $^{124}\mathrm{Te}$ و$^{126}\mathrm{Te}$: النوى p. $^{128}\mathrm{Xe}$ و$^{130}\mathrm{Xe}$ يقعان على مسار s لكنّهما محميّان من العملية r بالنظيرين المستقرّين $^{128}\mathrm{Te}$ و$^{130}\mathrm{Te}$: s فقط. $^{129}\mathrm{Xe}$، $^{131}\mathrm{Xe}$ و$^{132}\mathrm{Xe}$ يقعان على مسار s ولا يملكان نظيرًا مستقرًّا متساويًا في الكتلة وذا $Z$ أدنى (لليود 127 فقط): تُنتَجان بالعمليّتين معًا. $^{134}\mathrm{Xe}$ و$^{136}\mathrm{Xe}$ يقعان بعد $^{133}\mathrm{Xe}$، حيث يخرج مسار s من الزينون، وهما غير محميّين: r فقط.

تمرين 30.4 ★

يقع GW170817 على بُعد نحو $40\,\mathrm{Mpc}$، ووصلت أشعّة غاما الصادرة عنه بعد $1.7\,\mathrm{s}$ من الاندماج المرصود بموجات الجاذبية. (أ) كم من الزمن سارت الإشارتان؟ (ب) إذا نُسب التأخّر كلّه إلى فرقٍ بين السرعتين، فكم يبلغ هذا الفرق بوصفه كسرًا من سرعة الضوء على الأكثر؟

حل

حل التمرين 30.4.

(أ) $t = d/c = 40\times3.086 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 4.12 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$، أي نحو $130$ مليون سنة. (ب) $\Delta v/c \le 1.7/4.12 \times 10^{15} = 4.1 \times 10^{-16}$. هذا حدّ أعلى، لأنّه قد يعود جزء من التأخير أو كلّه إلى انبعاث أشعّة غاما بعد الاندماج.

تمرين 30.5 ★★

للنظائر الثلاثة s فقط للتيلوريوم وفرات ما قبل شمسية $0.1067$، $0.0373$ و$0.1984$ لكلّ $10^6$ ذرّة سيليكون ($A = 122$، $123$، $124$) ومقاطع انتثار متوسّطة $295$، $832$ و$155\,\mathrm{mb}$. (أ) احسب $\sigma N$ لكلّ منها. (ب) انطلاقًا من $^{122}\mathrm{Te}$ وحده، توقّع وفرات $^{123}\mathrm{Te}$ و$^{124}\mathrm{Te}$، وقارن بينهما. (ج) لماذا لا يمكن تطبيق العلاقة على $^{128}\mathrm{Te}$؟

حل

حل التمرين 30.5.

(أ) $295\times0.1067 = 31.48\,\mathrm{mb}$، $832\times0.0373 = 31.03\,\mathrm{mb}$، $155\times0.1984 = 30.75\,\mathrm{mb}$. (ب) انطلاقًا من $^{122}\mathrm{Te}$: $N_{123} = 31.48/832 = 0.037\,83$، $1.4\,\%$ أعلى من القيمة المقيسة، و$N_{124} = 31.48/155 = 0.2031$، $2.4\,\%$ أعلى. الوفرات التي تختلف بعامل خمسة تُتنبَّأ بدقّة في حدود بضعة في المئة من مقاطع التفاعل وحدها. (ج) $^{128}\mathrm{Te}$ يُنتَج بالعملية r فقط: يخرج دفق s من التيلوريوم عند $^{127}\mathrm{Te}$، الذي يتفكّك، فلا يمرّ دفق s ثابت عبر $^{128}\mathrm{Te}$، وقد تحدّدت وفرته بالعملية r.

تمرين 30.6 ★★

في النموذج الكلاسيكي، تنقل كلّ نواة على مسار s إلى النواة التالية كسرًا $f = 1/(1 + 1/(\tau_0\langle\sigma\rangle))$ من الدفق، مع $\tau_0 = 0.306\,\mathrm{mb}^{-1}$. (أ) احسب $f$ من أجل $^{124}\mathrm{Te}$ ($155\,\mathrm{mb}$) وللنواة السحرية بالنيوترونات $^{138}\mathrm{Ba}$ ($4.0\,\mathrm{mb}$). (ب) النوى الممتدّة من $^{137}\mathrm{Ba}$ إلى $^{142}\mathrm{Nd}$ على المسار لها مقاطع عرضية $76.3$، $4.0$، $32.4$، $11.0$، $111.4$ و$35.0\,\mathrm{mb}$. بأيّ عامل ينخفض $\sigma N$ من $^{136}\mathrm{Ba}$ إلى $^{142}\mathrm{Nd}$؟ (ج) قارن بالقيم المقاسة $27.6$ و$7.72\,\mathrm{mb}$.

حل

حل التمرين 30.6.

(أ) $\tau_0\langle\sigma\rangle = 0.306\times155 = 47.4$، إذن $f = 1/(1 + 1/47.4) = 0.979$ من أجل $^{124}\mathrm{Te}$؛ وأمّا من أجل $^{138}\mathrm{Ba}$، $0.306\times4.0 = 1.224$ و$f = 1/(1 + 0.817) = 0.550$: تنقل النواة السحرية $55\,\%$ فقط من الدفق. (ب) العوامل الستّة هي $0.959$، $0.550$، $0.908$، $0.771$، $0.972$ و$0.915$؛ وحاصل ضربها $0.328$: $\sigma N$ ينخفض بعامل $3.05$. (ج) الانخفاض المقيس هو $27.6/7.72 = 3.57$. يعطي النموذج حجم القفزة بدقّة في حدود $15\,\%$، ويأتي معظمها من $^{138}\mathrm{Ba}$ و$^{140}\mathrm{Ce}$، وهما النواتان ذواتا $N = 82$.

تمرين 30.7 ★★

لنيوترونٍ ذي الطاقة الحرارية $kT$ السرعةُ $v_T = \sqrt{2kT/m_\mathrm{n}}$، حيث $m_\mathrm{n} = 1.6749 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$. (أ) احسب $v_T$ عند $kT = 8\,\mathrm{keV}$، وهي درجة حرارة طبقة الكربون-13 في العملاق الأحمر. (ب) بالنسبة إلى $^{124}\mathrm{Te}$، مع $\langle\sigma\rangle = 155\,\mathrm{mb}$، احسب متوسّط الزمن بين أسرين متتاليين، $1/(n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle v_T)$، من أجل $n_\mathrm{n} = 10^6$، $10^8$ و$10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (ج) قارن بأعمار النصف لكلٍّ من $^{127}\mathrm{Te}$ ($9.35\,\mathrm{h}$) و$^{134}\mathrm{Cs}$ ($2.07\,\mathrm{yr}$). أيّهما نقطة تفرّع؟

حل

حل التمرين 30.7.

(أ) $kT = 8\times10^3\times1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.282 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$، و$v_T = \sqrt{2\times1.282 \times 10^{-15}/1.6749 \times 10^{-27}} = 1.24 \times 10^{6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ب) بأخذ $\langle\sigma\rangle = 155 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$، $\lambda = n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle v_T$ يساوي $1.92 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ من أجل $n_\mathrm{n} = 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ($10^6$ لكلّ سنتيمتر مكعّب): زمنٌ متوسّط قدره $5.2 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$، أي نحو $1650$ سنة؛ ثم $16.5$ سنة عند $10^8$ و$0.165$ سنة، أي شهرين، عند $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (ج) يتفكّك $^{127}\mathrm{Te}$ في ساعات، أسرع بكثير من أيّ من أزمنة الأسر هذه: يتفكّك دائمًا، ولا ينقسم المسار عنده. يعيش $^{134}\mathrm{Cs}$ نحو سنتين، بين أزمنة الأسر عند $10^8$ و$10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$: وعند الكثافات العالية لومضات الهيليوم يُؤسَر جزء كبير منه قبل أن يتفكّك. وهو نقطة تفرّع، والوفرات على جانبيه تقيس كثافة النيوترونات.

تمرين 30.8 ★★

في الشمس، $\log\varepsilon$ يساوي $6.30$ للكالسيوم، و$3.14$ للسكانديوم، و$4.97$ للتيتانيوم؛ و$1.38$ للبريليوم، و$2.70$ للبورون و$8.46$ للكربون. (أ) كم مرّة يكون السكانديوم أندر من جاريه؟ (ب) كم مرّة يكون البريليوم أندر من الكربون؟ (ج) أيّ سمة لمنحنى الوفرة تبيّنها كلٌّ منها، وما سببها؟

حل

حل التمرين 30.8.

(أ) $10^{6.30 - 3.14} = 1445$ مرّة أندر من الكالسيوم، و$10^{4.97 - 3.14} = 68$ مرّة أندر من التيتانيوم. (ب) $10^{8.46 - 1.38} = 1.2 \times 10^{7}$. (ج) يُظهر السكانديوم تأثير الفردي–الزوجي: النوى ذات عدد بروتونات زوجيّ أشدّ ارتباطًا، وتُبنى بأسر أنوية الهيليوم في مراحل الاحتراق في النجوم الضخمة، التي تفضّلها. ويُظهر الليثيوم والبريليوم والبورون قاعًا في الوفرة: هذه النوى الهشّة تُدمَّر عند درجات حرارة باطن النجوم، ويتحوّل احتراق الهيليوم مباشرةً إلى الكربون، دون أن يُنتجها.

تمرين 30.9 ★★

في نموذج الطورين الوارد في الفصل، الهضبة $[\alpha/\mathrm{Fe}] = P$ هي النسبة التي تنتجها المستعرات الأعظم ذات انهيار اللبّ، وعند $[\mathrm{Fe/H}] = 0$ تكون النسبة شمسية. (أ) بيّن أنّ حصّة الحديد الشمسي المنتَج بالمستعرات الأعظم من النوع Ia هي $1 - 10^{-P}$، واحسب ذلك من أجل $P = 0.4$. (ب) أيّ هضبة تعطي ثلثي النماذج المفصّلة؟ (ج) تُظهر مجرّة قزمة نقطة انحنائها عند $[\mathrm{Fe/H}] = -2$. ماذا يخبرنا ذلك عن تكوّن نجومها؟

حل

حل التمرين 30.9.

(أ) لتكن $\alpha$ عناصر ألفا و$\mathrm{Fe}_\mathrm{cc}$، $\mathrm{Fe}_\mathrm{Ia}$ الحديد الناتج عن نوعَي المستعرات الأعظم. على الهضبة، $\alpha/\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} = 10^{P}$ مرّة النسبة الشمسية لها. عند $[\mathrm{Fe/H}] = 0$، فإنّ $\alpha/(\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} + \mathrm{Fe}_\mathrm{Ia})$ شمسيةٌ. وبالقسمة، $\mathrm{Fe}_\mathrm{cc}/(\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} + \mathrm{Fe}_\mathrm{Ia}) = 10^{-P}$، وحصّة النوع Ia هي $1 - 10^{-P} = 1 - 10^{-0.4} = 0.602$. (ب) $10^{-P} = 1/3$ يعطي $P = \log_{10}3 = 0.48$. (ج) تبدأ المستعرات الأعظم من النوع Ia بعد التأخير نفسه في المجرّتين. فحين بدأت في المجرّة القزمة، لم يبلغ غازُها سوى $[\mathrm{Fe/H}] = -2$، مقابل $-1$ في درب التبانة: كانت قد حوّلت غازها إلى نجوم بوتيرة أبطأ بعشر مرّات.

تمرين 30.10 ★★★

تحتوي كوندريتات CI، بأجزاء في المليون بالكتلة، على $95\,870$ من المغنيسيوم، و$3.96$ من الزركونيوم، و$5010$ من الصوديوم، و$530$ من البوتاسيوم، و$2.13$ من الروبيديوم؛ بينما تحتوي الأرض السيليكاتية على $22.8\,\%$ من المغنيسيوم، و$10.5$، $2670$، $240$ و$0.6$ جزءًا في المليون من العناصر الأخرى. ودرجات حرارة التكاثف عند 50 في المئة هي $1336\,\mathrm{K}$ للمغنيسيوم (Mg)، $1741\,\mathrm{K}$ للزركونيوم (Zr)، $958\,\mathrm{K}$ للصوديوم (Na)، $1006\,\mathrm{K}$ للبوتاسيوم (K) و$800\,\mathrm{K}$ للروبيديوم (Rb). (أ) من أجل كلّ عنصر، احسب $(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{Earth}/(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{CI}$. (ب) ارسمها بدلالة درجة حرارة التكاثف، وصِف الاتجاه. (ج) لماذا يُختار المغنيسيوم مرجعًا؟

حل

حل التمرين 30.10.

(أ) بالنسبة إلى الزركونيوم،

$$\frac{(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{Earth}}{(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{CI}} = \frac{10.5/228000}{3.96/95870} = 1.11 ;$$

وبالمثل $(2670/228000)/(5010/95870) = 0.224$ للصوديوم، $0.190$ للبوتاسيوم و$0.118$ للروبيديوم. (ب) الزركونيوم، الأشدّ امتناعًا عن التطاير، يقع قريبًا من نسبته في الكوندريت. وتُستنفد الفلزات القلوية الثلاثة المتوسطة التطاير، التي تتكثّف عند $800\text{ ⁧إلى⁩ }1006\,\mathrm{K}$، بعوامل من خمسة إلى تسعة، والروبيديوم، الأكثر تطايرًا، الأكثر استنفادًا. وتتبع الأرض السيليكاتية اتجاه التطاير. (ج) المغنيسيوم عنصر رئيس ممتنع عن التطاير، يتكثّف مع معظم الصخر، وهو محبّ للصخر: بقي في الوشاح حين تكوّن اللبّ. ولو اتُّخذ مرجعٌ محبّ للحديد مثل الحديد أو النيكل، لخلط الفقد إلى اللبّ مع الفقد بالتطاير.

تمرين 30.11 ★★★

يفقد الصندوق المتسرّب غازًا في ريح بمعدّل $\lambda$ مضروبًا في معدّل تكوّن النجوم، ولا يستقبل أيّ غاز. (أ) بيّن أنّ المعدنية فيه هي $Z = \frac{y}{1 + \lambda}\ln\frac{M_\mathrm{g}(0)}{M_\mathrm{g}}$. (ب) مع $y = 0.0125$، قارن المعدنية المبلوغة حين يصبح الغاز قد هبط إلى $29\,\%$ من كتلته الأولية، من أجل $\lambda = 0$ و$\lambda = 1$. (ج) لماذا تميل المجرّات الصغيرة، ذات الجاذبية الضعيفة، إلى أن تكون فقيرة بالمعادن؟

حل

حل التمرين 30.11.

(أ) عندما تُحبس كتلة $\mathrm{d}s$ في النجوم، تزيل الرياح $\lambda\,\mathrm{d}s$ من الغاز ذي المعدنية $Z$: $\mathrm{d}M_\mathrm{g} = -(1 + \lambda)\,\mathrm{d}s$ و$\mathrm{d}(ZM_\mathrm{g}) = y\,\mathrm{d}s - Z\,\mathrm{d}s - \lambda Z\,\mathrm{d}s$. بنشر الحدّ الثاني وطرح $Z\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$ فيبقى $M_\mathrm{g}\,\mathrm{d}Z = y\,\mathrm{d}s = -\frac{y}{1 + \lambda}\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$، وهذا يُكامَل إلى النتيجة. (ب) $\ln(1/0.29) = 1.238$: $Z = 0.0155$ عند $\lambda = 0$، ونصفها، $0.0077$، عند $\lambda = 1$. (ج) تُخفّض الرياح المردود الفعّال بعامل $1 + \lambda$. وفي مجرّة صغيرة الكتلة، تدفع المستعرات الأعظم الغاز إلى الخارج بسهولة أكبر، و$\lambda$ كبيرة، فتُفقد الفلزات مع الغاز.

تمرين 30.12 ★★★

(أ) تحتوي الشمس على $\log\varepsilon(\mathrm{Li}) = 0.96$ في غلافها الضوئي، والكوندريتات CI على $3.25$. احسب النسبتين $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H}$ وكسر الليثيوم الذي دمّرته الشمس منه. (ب) أقدم النجوم الفقيرة بالمعادن تُظهر $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H} = 1.45 \times 10^{-10}$، بينما يتنبّأ التخليق النووي للانفجار الكبير بالقيمة $4.72 \times 10^{-10}$. بأيّ عامل يتجاوز ليثيوم المجموعة الشمسية كلًّا منهما؟ (ج) ماذا تستلزم المقارنتان؟

حل

حل التمرين 30.12.

(أ) $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H} = 10^{0.96 - 12} = 9.1 \times 10^{-12}$ في الشمس، و$10^{3.25 - 12} = 1.78 \times 10^{-9}$ في كوندريتات CI. وتحتفظ الشمس بنسبة $10^{-2.29} = 0.0051$ من ليثيومها: فقد دمّرت $99.5\,\%$ منه. (ب) $1.78 \times 10^{-9}/1.45 \times 10^{-10} = 12.3$ و$1.78 \times 10^{-9}/4.72 \times 10^{-10} = 3.8$. (ج) تحتوي المجموعة الشمسية على قرابة أربعة أضعاف ما صنعه الانفجار الكبير من الليثيوم: معظم ليثيومها صُنع لاحقًا بعملية أخرى. وأقدم النجوم تحتوي على ما يقلّ بثلاث مرّات عمّا صنعه الانفجار الكبير: إمّا أنّها دمّرت جزءًا منه، كما فعلت الشمس، أو أنّ التنبؤ يغفل شيئًا؛ والمقارنتان وحدهما لا تبيّنان أيّهما.

30.8 مسألة: مجرّة الصندوق المغلق

مسألة 30.1

مسألة نهاية الأسبوع — من خليط الشمس إلى معدنيات النجوم طويلة العمر

استخدم $\log\varepsilon(\mathrm{H}) = 12$، والوفرات الشمسية $\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$، و$\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69$، و$\log\varepsilon(\mathrm{He}) = 10.914$، والكسور الكتلية الضوئية الحالية $X = 0.7438$، و$Y = 0.2423$، و$Z = 0.0139$، و$Z_\odot = 0.0154$ للسديم الشمسي الأوّلي. افترض في كلّ ما يلي أنّ الحديد يتبع المعدنية الكلّية، $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}(Z/Z_\odot)$.

الجزء الأول — خليط الشمس.

1. كم ذرّة هيدروجين توجد في الشمس لكلّ ذرّة حديد؟
2. احسب نسبة الأعداد $N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H}$. مع اعتبار ذرّة الهيليوم أثقل من ذرّة الهيدروجين أربع مرّات، قارن $4N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H}$ مع $Y/X$.
3. تحتوي نجمة على ذرّة حديد واحدة لكلّ $350\,000$ ذرّة هيدروجين. احسب $[\mathrm{Fe/H}]$ لها إلى رقمين عشريين.
4. للنجمة نفسها $[\mathrm{O/Fe}] = +0.40$. احسب $\log\varepsilon(\mathrm{O})$ لها، وعدد ذرّات الأكسجين لكلّ ذرّة حديد مقارنةً بالشمس.
5. الأكسجين هو أوفر المعادن. قدّر كسر الكتلة المعدنية للنجمة بتحجيم كسر الشمس بحسب $[\mathrm{O/H}]$.
6. لماذا تُقاس معدنية النجمة عادةً من الحديد لا من الأكسجين، مع أنّ الأكسجين يهيمن على $Z$؟

الجزء الثاني — عملية s على التيلوريوم. استخدم البيانات الواردة في التمرين 30.5.

7. اشرح من مخطط النويدات لماذا تكون $^{122}\mathrm{Te}$، $^{123}\mathrm{Te}$ و$^{124}\mathrm{Te}$ من نوع s فقط.
8. احسب $\sigma N$ للنظائر الثلاثة ومتوسطها.
9. تنبّأ بوفرة $^{123}\mathrm{Te}$ من متوسط النظيرين الآخرين، وأعطِ الفرق عن القيمة المقاسة بالنسبة المئوية.
10. لدى $^{128}\mathrm{Te}$ القيمة $N = 1.329$ لكلّ $10^6$ من Si و$\langle\sigma\rangle = 44.4\,\mathrm{mb}$. احسب $\sigma N$ له، واذكر لماذا لا يقع على الهضبة.
11. الزوج $^{148}\mathrm{Sm}$ و$^{150}\mathrm{Sm}$ من نوع s فقط، ولديه $\sigma N = 7.43$ و$8.53\,\mathrm{mb}$. ما حصّة التدفّق الذي مرّ حول $^{148}\mathrm{Sm}$، وعبر أيّ تفرّع؟
12. عبر $N = 82$ ينخفض الناتج من $27.6\,\mathrm{mb}$ ($^{136}\mathrm{Ba}$) إلى $7.72\,\mathrm{mb}$ ($^{142}\mathrm{Nd}$). أيّ خاصيّة للنويدات ذات $N = 82$ تفسّر الهبوط؟

الجزء الثالث — الصندوق المغلق. يحتوي جوار الشمس على $13.7\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ من الغاز و$33.4\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ من النجوم وبقاياها. افترض أنّ الغاز الحالي يملك $Z = Z_\odot$.

13. احسب كسر الغاز الحالي $\mu_1$.
14. احسب الناتج لكلّ جيل نجمي $y$ الذي يحتاجه الصندوق المغلق، ونسبته إلى $Z_\odot$.
15. احسب $Z$ و$[\mathrm{Fe/H}]$ للغاز حين كان كسر الغاز $0.9$، ثم $0.5$.
16. احسب كسر الغاز حين بلغ الغاز $[\mathrm{Fe/H}] = -1$.
17. ما كسر الكتلة الكلّية الذي كان قد حُبس عندئذٍ في النجوم؟
18. لو كان كسر الغاز الحالي $0.1$ بدلًا من ذلك، فما الناتج الذي يحتاجه الصندوق؟

الجزء الرابع — توزيع المعدنية.

19. بيّن أنّ الصندوق المغلق يعطي توزيعًا للنجوم في $[\mathrm{Fe/H}]$ يتناسب مع $Z\,\mathrm{e}^{-Z/y}$، وأوجد $[\mathrm{Fe/H}]$ عند قمّته.
20. احسب كسر جميع النجوم المتكوّنة حتى الآن ذات $[\mathrm{Fe/H}] < -1$.
21. احسب الكسر ذا $[\mathrm{Fe/H}] < -0.5$.
22. في عيّنة المسح المكوّنة من 6670 قزمًا من النوعين F وG، لدى 26 منها $[\mathrm{Fe/H}] < -1$. كم عددها يتنبّأ به الصندوق المغلق؟
23. من بين 902 نجمًا لا تتجاوز كتلته كتلة شمسية واحدة، يُرصد العدد نفسه، أي 26 نجمًا. احسب الكسر المرصود، واذكر لماذا تُعدّ هذه العيّنة الجزئية المقارنة الأعدل. المقارنة الأعدل.
24. مع كسر غاز حالي قدره $0.1$، ما الكسر المتنبّأ به تحت $-1$؟ هل يحلّ كسر غاز مختلف المشكلة؟
25. أعطِ كسر النجوم طويلة العمر ذات $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ الذي يتنبّأ به الصندوق المغلق لجوار الشمس، بالنسبة المئوية، برقمين معنويين، واذكر ما تعنيه المقارنة مع النجوم المرصودة لتاريخ القرص.

حل

حل المسألة 30.1.

الجزء الأول.

1. $10^{12 - 7.46} = 10^{4.54} = 34\,700$.

2. $N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H} = 10^{10.914 - 12} = 0.0820$، إذن $4N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H} = 0.328$، مقابل $Y/X = 0.2423/0.7438 = 0.326$. يتّفقان إلى حدود $0.7\,\%$؛ ويرجع الفرق الصغير إلى أنّ ذرّة الهيليوم تزن أقل قليلًا من أربع ذرّات هيدروجين.

3. $\log_{10}\bigl((1/350000)/2.884 \times 10^{-5}\bigr) = -5.544 + 4.540 = -1.00$.

4. $[\mathrm{O/H}] = -1.00 + 0.40 = -0.60$، إذن $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69 - 0.60 = 8.09$. يحتوي النجم على $10^{8.09 - 6.46} = 42.7$ ذرّة أكسجين لكلّ ذرّة حديد، مقابل $10^{1.23} = 17.0$ في الشمس: أي أكثر بمقدار $10^{0.4} = 2.5$ مرّة.

5. $Z \approx 0.0139\times10^{-0.60} = 0.0035$، وهو ربع قيمة الشمس.

6. للحديد عدد كبير جدًّا من الخطوط في طيف نجم بارد، بينما للأكسجين عدد قليل منها وخافت: يُقاس الحديد بسهولة أكبر بكثير وبدقّة أعلى، ويُتّخذ بديلًا عن الفلزات.

الجزء الثاني.

7. يقع كلٌّ منها خلف خطّ تساوي الضغط المستقرّ الذي له $Z$ أدنى: $^{122}\mathrm{Sn}$، و$^{123}\mathrm{Sb}$ و$^{124}\mathrm{Sn}$ توقف سلاسل التحلّل في العملية r قبل أن تبلغ التيلوريوم. وتقع النوى الثلاثة على مسار s، وهو يمرّ بالتيلوريوم من $^{122}\mathrm{Te}$ إلى $^{126}\mathrm{Te}$.

8. $31.48$، $31.03$ و$30.75\,\mathrm{mb}$؛ المتوسط $31.09\,\mathrm{mb}$.

9. متوسط الاثنين الآخرين هو $(31.48 + 30.75)/2 = 31.11\,\mathrm{mb}$، إذن $N_{123} = 31.11/832 = 0.037\,40$، بفارق $0.3\,\%$ فقط فوق القيمة المقاسة $0.0373$.

10. $1.329\times44.4 = 59.0\,\mathrm{mb}$، أي ما يقارب ضعف الهضبة. $^{128}\mathrm{Te}$ تُنتَج بالعملية r وحدها: يغادر مسار s التيلوريوم عند $^{127}\mathrm{Te}$، لذا صُنعت وفرتُها بالعملية r ولا تدين بشيء لتدفّق العملية s.

11. $1 - 7.43/8.53 = 0.13$: $13\,\%$ من التدفّق مرّ حول $^{148}\mathrm{Sm}$، بالأسر على النوى غير المستقرّة $^{147}\mathrm{Nd}$، و$^{147}\mathrm{Pm}$ و$^{148}\mathrm{Pm}$ قبل أن تتحلّل إلى السماريوم.

12. مع غلاف مغلق من 82 نيوترونًا، تربط هذه النوى نيوترونًا إضافيًّا بضعف، ولها مقاطع أسر صغيرة جدًّا، إذ تبلغ $4.0\,\mathrm{mb}$ في حالة $^{138}\mathrm{Ba}$. يتراكم التدفّق عليها ولا يمضي منه إلّا جزء: فهي عنق زجاجة.

الجزء الثالث.

13. $\mu_1 = 13.7/(13.7 + 33.4) = 13.7/47.1 = 0.291$.

14. $\ln(1/0.291) = 1.235$، إذن $y = 0.0154/1.235 = 0.0125$، $0.81$ مرّة $Z_\odot$.

15. عند $\mu = 0.9$، يكون $\ln(1/0.9) = 0.1054$، إذن $Z = 0.0125\times0.1054 = 0.001\,31$. بما أنّ $0.00131/0.0154 = 0.0851$، فإنّ $[\mathrm{Fe/H}] = -1.07$. وعند $\mu = 0.5$، يكون $Z = 0.0125\times0.693 = 0.008\,64$ و$[\mathrm{Fe/H}] = -0.25$.

16. $Z = 0.00154$، إذن $\mu = \mathrm{e}^{-0.00154/0.01247} = \mathrm{e}^{-0.1235} = 0.884$.

17. $1 - 0.884 = 0.116$: $12\,\%$ من الكتلة.

18. $y = 0.0154/\ln 10 = 0.0067$، أي نحو نصفها.

الجزء الرابع.

19. كتلة النجوم ذات المعدنية دون $Z$ هي $M(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$، إذن لكل وحدة من $Z$ تكون $(M/y)\,\mathrm{e}^{-Z/y}$. بما أنّ $Z = Z_\odot10^{[\mathrm{Fe/H}]}$، فإنّ $\mathrm{d}Z = Z\ln 10\,\mathrm{d}[\mathrm{Fe/H}]$، ولكل وحدة من $[\mathrm{Fe/H}]$ يتناسب التوزيع مع $Z\mathrm{e}^{-Z/y}$. مشتقّته، $(1 - Z/y)\mathrm{e}^{-Z/y}$، تنعدم عند $Z = y$: تقع القمّة عند $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}0.810 = -0.09$.

20. $0.116/(1 - 0.291) = 0.1162/0.7091 = 0.164$.

21. $Z/y = 1.235\times10^{-0.5} = 0.3905$, $1 - \mathrm{e}^{-0.3905} = 0.3233$، و$0.3233/0.7091 = 0.456$.

22. $6670\times0.1638 = 1093$، مقابل 26: أي أكثر بأربعين مرّة من اللازم.

23. $26/902 = 2.9\,\%$، وهي ما زالت أدنى بأكثر من خمس مرّات من الصندوق. نجوم النموذج هي النجوم طويلة العمر، أي التي لا تتجاوز كتلتها نحو كتلة شمسية واحدة، وقد بقيت جميعها منذ تكوّنها؛ أمّا من بين نجوم F الأكثر كتلة، فقد فنيت أقدمها، وهي أيضًا الأشدّ فقرًا بالمعادن، والعيّنة الكاملة تُقلّل من عددها.

24. $(1 - 0.1^{0.1})/(1 - 0.1) = 0.2057/0.9 = 0.23$: أسوأ. ولا يفيد رفع كسر الغاز كذلك: فمع اتجاه $\mu_1$ نحو 1 يتجه الكسر نحو $0.1$، وهو ما زال أكثر من ثلاث مرّات من $2.9\,\%$ المرصودة. لا يُنقذ أيّ كسر للغاز نموذج الصندوق المغلق.

25. يتنبّأ نموذج الصندوق المغلق بأنّ $16\,\%$ من النجوم طويلة العمر في الجوار الشمسي لها $[\mathrm{Fe/H}] < -1$، مقابل $3\,\%$ على الأكثر في الرصد. لم يكن القرص صندوقًا مغلقًا: فقد نما بتدفّق بطيء من غاز فقير بالمعادن، بحيث قلّما بقي غاز منتظرًا عند معدنية منخفضة لكي يكوّن النجوم.