ما معنى المنقولة؛ الأثر؟ — الرياضيات

تعريف 21.5 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · الفصل 21 — المصفوفات

منقولة $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ هي $A^{\mathsf T} = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$ ؛ وهي تحقق $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ و $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$ . و أثر مصفوفة مربعة هو $\operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii}$ ؛ وهو خطي، و

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).

أمثلة

مثال 21.6 (الأثر في العمل)

للإسقاط من الفصل 20 على $\operatorname{Vect}(1,1)$ على امتداد $\operatorname{Vect}(0,1)$ ، $p(x, y) = (x, x)$ ، المصفوفةُ $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ في الأساس القانوني: فعلًا $A^2 = A$ ، و

\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,

موضّحًا التمرين 21.8: فمن أجل الجوامد يعدّ الأثر بُعد الصورة، مهما كان الأساس المائل الذي كُتبت فيه المصفوفة. وآلية الحفظ هي المتطابقة $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ :

\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) = \operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,

ومنه فكل المصفوفات المشابهة للمقدار $A$ تتقاسم أثره — وهو أول قرينة عددية لتشاكل ذاتي، وسينضم إليها المحدد في الفصل 22 (والزوج $(s, p)$ في مسألة نهاية الأسبوع أدناه).

مثال 21.7 (متماثلة زائد متخالفة التماثل)

سمِّ $A$ متماثلة إذا كان $A^{\mathsf T} = A$ ، و متخالفة التماثل إذا كان $A^{\mathsf T} = -A$ . وكل مصفوفة مربعة تنقسم انقسامًا وحيدًا إلى واحدة زائد الأخرى:

A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{متماثلة}} + \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{متخالفة التماثل}},

والمصفوفة التي هي الاثنتان معًا معدومة (لأن $A = -A$ ): ومنه فالمجموعتان فضاءان جزئيان متتامّان من $\mathcal{M}_n(K)$ — وهو النظير المضبوط لانقسام الدوال إلى زوجية وفردية (المثال 18.11)، مع النقل يلعب دور $x \mapsto -x$ . والأبعاد: فالمصفوفة المتماثلة حرة على القطر وفوقه، والمتخالفة التماثل فوقه قطعًا (بقطر معدوم):

\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,

وتوازن العدّ هو تأكيد غراسمان للانفصال. ومن أجل $n = 2$ : $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ . وتعود المصفوفات المتماثلة معطياتِ المشتقات الثانية في الفصل 25 (ثلاثي مونج $r, s, t$ )، وتُصنَّف المتماثلة المتعامدة في التمرين 23.12.

اقرأ في الفصل ←