Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

11Serie de potencia

Las series de potencias son las series de funciones con mejor comportamiento en matemáticas: dentro de su disco de convergencia convergen normalmente en compactos, podrá diferenciarse e integrarse como término por término sin pensarlo dos veces, y sus sumas — analítico funciones — están determinadas por sus coeficientes. este capitulo demuestra todo ese paquete y recupera, honestamente, cada Taylor serie del volumen Año 1; funciones generadoras cerrarlo con dividendos algebraicos.

11.1 Radio de convergencia

Lema 11.1 (Abel)

Si la secuencia $(a_n z_0^n)$ está limitada por algún $z_0 \neq 0$ , luego $\sum a_n z^n$ converge absolutamente para cada $\abs z < \abs {z_0}$ y normalmente en cada disco $\abs z \leq r < \abs{z_0}$ .

Demostración. Con $\abs{a_n z_0^n} \leq M$ y $\abs z \leq r$ :

\abs{a_n z^n} = \abs{a_n z_0^n}\,\Bigl|\frac{z}{z_0}\Bigr|^n \leq M\Bigl(\frac{r}{\abs{z_0}}\Bigr)^{\!n},

un límite geométrico convergente, uniforme en el disco. ∎

Definición 11.2 (Radio de convergencia)

El radio de convergencia de $\sum a_n z^n$ es

R = \sup\{r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ bounded}\} \in \intcc{0}{+\infty} .

Por Lema 11.1: convergencia absoluta para $\abs z < R$ (normal en los subdiscos compacto), divergencia — de hecho ilimitada términos — para $\abs z > R$ . En el círculo límite, cualquier cosa puede suceder (Ejercicio 11.2). En la práctica se calcula $R$ mediante la prueba de relación de d’Alembert en $\abs{a_n}\abs z^n$ o por comparación.

Ejemplo 11.3 (Una radio sin prueba de relación)

¿Cuál es el radio de $\sum \sin(n)\,z^n$ ? la proporción $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ no tiene límite, pero la definición funciona directamente. $R \geq 1$ : $\abs{\sin n} \leq 1$ , por lo que $(\sin n\cdot r^n)$ está limitado para cada $r < 1$ — de hecho, para $r = 1$ . $R \leq 1$ : basta con que $\sin n \not\to 0$ . Supongamos $\sin n \to 0$ ; la fórmula de la suma

\sin(n+1) = \sin n\cos 1 + \cos n\sin 1

forzaría $\cos n \to 0$ (resolver para $\cos n$ : $\sin 1 \neq 0$ ), contradiciendo $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$ . Entonces los términos $\sin(n)\,1^n$ no tiende a $0$ : la serie diverge en $z = 1$ y $R \leq 1$ . Conclusión: $R = 1$ . Perspectiva final: el radio es una declaración acerca de que $\abs{a_n}r^n$ está limitado — nunca se requiere un límite de razones, y los argumentos de acotación resolver casos que la prueba de proporción no puede abordar (compárese coeficientes oscilantes de Ejercicio 11.1).

Proposición 11.4 (Operaciones)

Dejemos que $\sum a_nz^n$ , $\sum b_nz^n$ tengan radios $R_a, R_b$ . Entonces, por $\abs z < \min(R_a, R_b)$ :

\sum (a_n + b_n)z^n = \sum a_nz^n + \sum b_nz^n, \qquad \Bigl(\sum a_nz^n\Bigr)\Bigl(\sum b_nz^n\Bigr) = \sum c_n z^n, \quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_kb_{n-k},

ambas series tienen radio $\geq \min(R_a, R_b)$ . (El producto es el producto cauchy, legítimo por convergencia absoluta y Teorema 7.14.)

Demostración. La fórmula de la suma es la linealidad de series convergentes, y $(a_n + b_n)r^n$ está limitado siempre que tanto $a_nr^n$ como $b_nr^n$ son: radio $\geq \min(R_a, R_b)$ . Para el producto, corrija $\abs z < \min(R_a, R_b)$ : ambas series convergen absolutamente allí (Lema 11.1), por lo que el doblemente indexado la familia $(a_kz^k\,b_lz^l)_{k,l}$ es sumable, y Teorema 7.14 permite cualquier agrupación. Agrupación por $k + l = n$ :

\Bigl(\sum_k a_kz^k\Bigr)\Bigl(\sum_l b_lz^l\Bigr) = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k+l=n}a_kb_l\Bigr)z^n = \sum_{n\geq0}c_nz^n ,

absolutamente convergente para cada $z$ : la serie de productos también tiene radio $\geq \min(R_a, R_b)$ . ∎

Ejemplo 11.5 (Un cuadrado de Cauchy, cruzado)

Elevar al cuadrado la serie geométrica: para $\abs x < 1$ , el coeficiente de $x^n$ en $\bigl(\sum x^k\bigr)^2$ es $c_n = \sum_{k+l=n} 1\cdot1 = n + 1$ , entonces

\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n\geq0}(n+1)\,x^n .

Verificación cruzada por diferenciación término por término (Teorema 11.7 abajo): diferenciando $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ da $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum nx^{n-1} = \sum(n+1)x^n$ — la misma serie por dos no relacionados mecanismos. Información final: cuando se ve la identidad de un coeficiente misterioso, uno de estos dos motores (convolución o diferenciación) generalmente lo produce en una línea; el fin de semana pregunta del problema en $\sum\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n$ ejecuta el motor de convolución a máxima potencia.

Ejemplo 11.6 (Multiplicando por $\frac{1}{1-x}$ se suman los coeficientes)

Un producto cauchy contra la serie geométrica tiene un recuerdo memorable. es decir: para cualquier $\sum a_nx^n$ de radio $R > 0$ y $\abs x < \min(R, 1)$ ,

\frac{1}{1-x}\sum_{n\geq0}a_nx^n = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k=0}^{n}a_k\Bigr)x^n :

la multiplicación por $\frac{1}{1-x}$ reemplaza los coeficientes por sus sumas parciales (convolucionan con la secuencia de todos unos). Instancia: $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$ con $s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}$ , las sumas parciales de $\eu$ — comparar Ejercicio 11.11, donde el mismo producto con $\eu^{-x}$ codifica los recuentos de trastornos. Cierre Idea: las operaciones en series de potencias son operaciones en secuencias de coeficientes disfrazadas (multiplicadas por $\frac1{1-x}$ : suma; multiplicar por $x$ : cambio; diferenciar: multiplicar por $n$ y shift) — un diccionario el capítulo de funciones generadoras Leerá con fluidez.

11.2 Regularidad de la suma

Teorema 11.7 (Cálculo término por término)

Sea $f(x) = \sum_{n\geq0} a_n x^n$ el radio $R > 0$ (real variable $x \in \intoo{-R}{R}$ ).

La serie derivada $\sum n\,a_n x^{n-1}$ tiene el mismo radio $R$ , y $f$ es $C^1$ con $f'(x) = \sum_{n \geq 1} n a_n x^{n-1}$ . Iterando, $f$ es $C^\infty$ y

$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} :$

los coeficientes de una serie de potencias son únicos (dos series con la misma suma cerca de $0$ tienen coeficientes iguales).
Primitiva término por término: $\sum \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ tiene radio $R$ y derivada $f$ .

Demostración. Mismo radio: si $(a_nr^n)$ está acotado y $r' < r$ , entonces $n\abs{a_n} r'^{\,n-1} = \frac{n}{r'}\abs{a_nr^n} \bigl(\frac{r'}{r}\bigr)^n$ está acotado (de hecho $\to 0$ : geométrico supera a $n$ ), por lo que $R' \geq R$ ; por el contrario $\abs{a_n x^n} \leq \abs x \cdot n\abs{a_n}\abs x^{n-1}$ da $R \geq R'$ .

Diferenciación: en $\intcc{-r}{r}$ , $r < R$ , el derivado La serie converge normalmente ( $n\abs{a_n}r^{n-1}$ sumable por el cálculo del radio); el original converge en $x = 0$ : el teorema de diferenciación para series (Teorema 10.11) se aplica a cada uno de estos segmento, por lo tanto en $\intoo{-R}{R}$ . Iterando $k$ veces y evaluando en $0$ : explícitamente, la serie derivada $k$ es

f^{(k)}(x) = \sum_{n\geq k} n(n-1)\cdots(n-k+1)\,a_n\,x^{n-k},

y en $x = 0$ cada término con $n > k$ desaparece, dejando solo el término constante $k(k-1)\cdots1\cdot a_k$ : $f^{(k)}(0) = k!\,a_k$ . La unicidad de los coeficientes es la siguiente: dos series de potencias con la misma suma cerca de $0$ tienen los mismos derivados en $0$ , de ahí el mismo $a_k$ . Primitivas: mismo radio por el mismo cálculo y diferenciar término por término. ∎

Ejemplo 11.8 (Evaluando una serie en un punto)

¿Qué es $\sum_{n\geq1}\dfrac{n^2}{2^n}$ ? es la suma $\sum n^2x^n$ de Ejercicio 11.3 evaluado adentro el disco, en $x = \frac12 < 1 = R$ , donde cada La manipulación utilizada para derivar la forma cerrada era legítima:

\sum_{n\geq1} n^2x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n\geq1}\frac{n^2}{2^n} = \frac{\frac12\cdot\frac32}{(\frac12)^3} = \frac{3/4}{1/8} = 6 .

Mismo motor, otros diales: $x = \frac13$ da $\sum\frac{n^2}{3^n} = \frac{\frac13\cdot\frac43}{(2/3)^3} = \frac32$ . Idea final: una identidad en serie de potencias es una máquina, ni una sola fórmula: una derivación de precios cada serie numérica $\sum n^2q^n$ de una vez, para todos los $\abs q < 1$ ; así es como se calculará el capítulo de funciones generadoras expectativas y variaciones al por mayor.

Ejemplo 11.9 (Los clásicos, esta vez sinceramente.)

$\displaystyle\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$ ( $R = 1$ ); integrando término por término (Teorema 11.7 (2)):

-\ln(1 - x) = \sum_{n\geq1} \frac{x^n}{n}, \qquad \arctan x = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \quad (\abs x < 1),

el segundo en dos pasos: sustituir $-x^2$ en el geométrico serie para obtener $\frac{1}{1+x^2} = \sum(-1)^nx^{2n}$ (radio $1$ , desde $\abs{x^2} < 1 \iff \abs x < 1$ ), luego toma el la primitiva término por término desaparece en $0$ ; ambos lados son primitivas de la misma función con el mismo valor en $0$ , por lo tanto igual en $\intoo{-1}{1}$ . Y $\exp$ : la serie $E(x) = \sum \frac{x^n}{n!}$ ( $R = \infty$ ) satisface $E' = E$ , $E(0) = 1$ por diferenciación temporal, por lo que $E = \exp$ por la singularidad del Año 1. Cada "expansión estándar" del Año 1 El volumen es ahora un teorema sobre su serie de potencias completas.

Ejemplo 11.10 (Un logaritmo calculado desde el interior de la discoteca.)

Evaluación de $-\ln(1-x) = \sum\frac{x^n}{n}$ en el interior. punto $x = \frac12$ :

\sum_{n\geq1}\frac{1}{n\,2^n} = \ln 2 ,

una representación rápidamente convergente de $\ln 2$ (diez términos ya dar $0.69306\ldots$ contra $\ln 2 = 0.69314\ldots$ ), lejos mejor que la serie alterna $1 - \frac12 + \frac13 - \dots$ disponible solo en el límite. Información final: siempre que se pueda alcanzar una constante tanto en el borde como estrictamente dentro del disco, el interior gana numéricamente — geométrico Decaimiento contra decaimiento armónico.

Ejemplo 11.11 (La diferenciación preserva la radio, no el límite.)

La serie $\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n^2}$ tiene radio $1$ y converge en los puntos finales ambos ( $\sum\frac1{n^2}$ y sus gemelo alterno). Su serie derivada,

\sum_{n\geq1}\frac{x^{n-1}}{n} ,

tiene el mismo radio $1$ — que Teorema 11.7 garantiza — pero ahora diverge en $x = 1$ (serie armónica) mientras aún converge en $x = -1$ (alternando). Una diferenciación más produce $\sum_{n\geq2}\frac{n-1}{n}x^{n-2}$ , divergente en ambos extremos (los términos no tienden a $0$ ). Información final: cada uno La diferenciación multiplica los coeficientes por $n$ , lo que nunca mueve el radio (la geometría vence al polinomio) pero se come un orden de decadencia de límites; El cálculo término por término es una deporte interior, y cualquier cosa que suceda en la llanta debe ser reexaminado — la teoría de Abel-Tauber del problema del fin de semana es exactamente ese reexamen.

Ejemplo 11.12 (Dividir una serie por residuos — trabajado hasta el final)

Calcular $f(x) = \sum_{n\geq0} \dfrac{x^{4n}}{(4n)!}$ en cerrado forma. Tanto $\cosh x = \sum \frac{x^{2m}}{(2m)!}$ como $\cos x = \sum \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}$ tienen radio $\infty$ , por lo que sus El promedio se puede calcular término por término:

\frac{\cosh x + \cos x}{2} = \sum_{m\geq0}\frac{1 + (-1)^m}{2}\,\frac{x^{2m}}{(2m)!} = \sum_{m \text{ even}}\frac{x^{2m}}{(2m)!} = \sum_{n\geq0}\frac{x^{4n}}{(4n)!} = f(x) .

El filtro $\frac{1+(-1)^m}{2}$ mantiene exactamente el $m$ par: esto es el verdadero avatar del filtro de raíces de unidad (el complejo versión, con $\iu^n$ , extrae residuos módulo $4$ en uno accidente cerebrovascular). Verificación de cierre: $f$ resuelve $f'''' = f$ con $f(0) = 1$ , $f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0$ — diferenciar la serie cuatro veces (Teorema 11.7) y míralo reproducirse; $\frac{\cosh + \cos}{2}$ satisface lo mismo datos.

Definición 11.13 (Funciones analíticas)

$f$ es analítico en $x_0$ cuando es la suma de una serie de potencias en $(x - x_0)$ en una vecindad; en un intervalo, cuando en cada punto. Las sumas de series de potencias son analíticas. dentro de su disco (reordenamiento de la expansión — admitido en este nivel para el recentrado, siendo el caso $x_0 = 0$ Teorema 11.7). Analítico implica $C^\infty$ ; lo contrario falla: la función plana $\eu^{-1/x^2}$ (Ejercicio 11.7).

Ejemplo 11.14 (Recentrado y la radio como distancia)

Expandir $f(x) = \frac{1}{1-x}$ alrededor de $x_0 = \frac12$ : escritura $x = \frac12 + h$ ,

\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

válido para $\abs{2h} < 1$ , es decir $\abs{x - \frac12} < \frac12$ . El nuevo radio es exactamente la distancia desde el nuevo centro hasta la singularidad $x = 1$ : volver a centrar reduce (o aumenta) la disco para adaptarse a la obstrucción más cercana. Perspectiva final: esto es La imagen detrás de la definición de analiticidad — uno función, muchas series de potencias locales, cada una de las cuales vive en el mayor disco evitando el problema; el volumen del año 3 convierte el heurístico “radio $=$ distancia al complejo más cercano singularidad” en un teorema.

Observación 11.15 (Errores comunes)

(i) La prueba de la relación es suficiente, no necesaria: cuando $\abs{a_{n+1}/a_n}$ no tiene límite (Ejemplo 11.3, Ejercicio 11.1), volver a la definición: $R = \sup\{r : (a_nr^n)$ acotado $\}$ . (ii) Nada cruza el límite de forma gratuita: la diferenciación y la integración término por término son teoremas adentro el disco abierto; en $\abs x = R$ cada serie debe ser reexaminado (ese es todo el tema del fin de semana problema). (iii) Radio de una suma: $\min(R_a, R_b)$ es sólo un límite inferior — las cancelaciones pueden ampliarlo ( $a_n = 1, b_n = -1$ : suma idéntica $0$ , radio $\infty$ ). (iv) $C^\infty$ is not analítico: una serie de Taylor convergente puede converger a la función equivocado (Ejercicio 11.7); antes de escribir $f(x) = \sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ , pruébalo — mediante una ODE (Método 11.17), una estimación restante o una fórmula integral.

Observación 11.16 (donde se utiliza)

Las series de potencias son el caballo de batalla de tres capítulos posteriores: El capítulo de ecuaciones diferenciales resuelve EDO lineales inyectando $\sum a_nx^n$ (el cuadro de método a continuación, industrializado); el El capítulo de funciones generadoras convierte identidades sobre probabilidades en identidades sobre series de potencias y viceversa; y el volumen del Año 3 hace oficial la variable compleja, donde La analiticidad se vuelve equivalente a la diferenciabilidad compleja y el "recentramiento admitido" arriba obtiene su prueba honesta. el El problema del fin de semana explora el único lugar donde se encuentran los teoremas de este capítulo. quédate en silencio: el propio límite $\abs x = R$ .

Método 11.17 (Expandiendo mediante una ecuación diferencial)

Para expandir una función $f$ en una serie de potencias: encuentre una EDO lineal con coeficientes polinomiales satisfechos por $f$ ; inyectar $\sum a_nx^n$ ; identificar coeficientes para obtener una recurrencia de $(a_n)$ ; resolver, y comprobar el radio y las condiciones iniciales. Ejemplo — el binomio serie: $f(x) = (1+x)^\alpha$ satisface $(1+x)f' = \alpha f$ , $f(0) = 1$ ; la inyección da $(n+1)a_{n+1} = (\alpha - n)a_n$ , por lo que $a_n = \binom{\alpha}{n}$ , radio $1$ (prueba de relación) y la suma, satisfacen la misma ODE con el mismo valor inicial, es igual a $(1 + x)^\alpha$ por el teorema de unicidad para EDO lineales (volumen del año 1).

Ejemplo 11.18 (El método sobre una ecuación forzada)

Resuelva $y' = y + x$ , $y(0) = 0$ , por series de potencias. Inyectando $y = \sum a_nx^n$ :

\sum_{n\geq0}(n+1)a_{n+1}x^n = \sum_{n\geq0}a_nx^n + x ,

y coeficientes de identificación: $a_1 = a_0 = 0$ , $2a_2 = a_1 + 1 = 1$ y $(n+1)a_{n+1} = a_n$ para $n \geq 2$ . Entonces $a_2 = \frac{1}{2!}$ y, por inducción, $a_n = \frac{1}{n!}$ para cada $n \geq 2$ : radio $\infty$ , y

y(x) = \sum_{n\geq2}\frac{x^n}{n!} = \eu^x - 1 - x .

Verificar: $y' = \eu^x - 1 = y + x$ y $y(0) = 0$ . Cierre insight: la recurrencia is la ecuación, coeficiente por coeficiente; el término forzado sólo perturba a un número finito coeficientes iniciales, después de lo cual el patrón homogéneo toma sobre — una sombra discreta de “solución particular más solución homogénea”.

11.3 Funciones generadoras

Ejemplo 11.19 (Fibonacci)

Sea $F(x) = \sum_{n\geq0} F_n x^n$ (números de Fibonacci, $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ ). La recurrencia $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ se traduce, multiplicando por $x^{n+2}$ y sumando, en

F(x) - x = x\,F(x) + x^2 F(x) \quad\Longrightarrow\quad F(x) = \frac{x}{1 - x - x^2} ,

válido donde la serie converge. El radio es $\frac{1}{\varphi}$ : de $F_n \sim \frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ (Binet, siguiente ejemplo — o el crudo inducción $F_n \leq 2^n$ más la recurrencia), la prueba de relación da

\frac{F_{n+1}\abs x^{n+1}}{F_n\abs x^n} \longrightarrow \varphi\abs x , \qquad\text{convergence iff } \abs x < \frac1\varphi \approx 0.618 .

Fracciones parciales en $\frac{x}{1 - x - x^2}$ y la serie geométrica vuelven a derivar la de Binet. fórmula — funciones generadoras industrializar lineal recurrencias.

Ejemplo 11.20 (Fórmula de Binet, realizada)

Sean $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ y $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$ , las raíces de $X^2 = X + 1$ ; desde $\varphi + \psi = 1$ y $\varphi\psi = -1$ ,

1 - x - x^2 = (1 - \varphi x)(1 - \psi x) .

Fracciones parciales: buscando $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$ , la constante El término da $A + B = 0$ y el coeficiente $x$ $-A\psi - B\varphi = 1$ , por lo que $A(\varphi - \psi) = 1$ : $A = \frac{1}{\sqrt5} = -B$ . Dos series geométricas después,

F(x) = \frac{1}{\sqrt5}\sum_{n\geq0} \bigl(\varphi^n - \psi^n\bigr)x^n \quad\Longrightarrow\quad F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}

por unicidad de coeficientes (Teorema 11.7). Desde $\abs\psi < 1$ , el El término $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ tiene valor absoluto $< \frac12$ : $F_n$ es el entero más cercano para $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ . Información final: el radio $\frac1\varphi$ de $F$ es el recíproco de la raíz dominante — crecimiento de coeficientes y radio de convergencia son los La misma información leída en direcciones opuestas.

Ejemplo 11.21 (numeros catalanes)

El números catalanes $C_n$ (número de triangulaciones, de bracketings, de rutas Dyck, …) satisfacen $C_0 = 1$ y $C_{n+1} = \sum_{k=0}^n C_kC_{n-k}$ . El función generadora $C(x) = \sum C_nx^n$ entonces satisface (producto cauchy!)

C(x) = 1 + x\,C(x)^2 \quad\Longrightarrow\quad C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x} ,

eligiendo la raíz con $C(0) = 1$ : resolviendo la cuadrática $xC^2 - C + 1 = 0$ da los dos candidatos $\frac{1 \pm \sqrt{1-4x}}{2x}$ , y como $x \to 0$ la raíz “ $+$ ” explota como $\frac1x$ mientras que la raíz “ $-$ ” tiende a $1$ (expandir $\sqrt{1-4x} = 1 - 2x + O(x^2)$ ) — sólo el signo menos puede lleva una serie de potencias con $C_0 = 1$ . Ampliando $\sqrt{1 - 4x}$ por el la serie binomial da la forma cerrada

C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} ,

realizado en Ejercicio 11.8.

Observación 11.22 (Serie formal versus serie convergente)

Cada cálculo de función generadora anterior termina invocando la unicidad de los coeficientes, y ese teorema vive adentro un disco de radio positivo: antes de “lectura” $F_n$ o $C_n$ , es necesario conocer $R > 0$ . Un tosco límite a priori basta — $F_n \leq 2^n$ (inducción inmediata) da $R \geq \frac12$ para Fibonacci; $C_n \leq 4^n$ (cada número catalán cuenta subconjuntos de rutas) da $R \geq \frac14$ . Cuidado con el extremo degenerado de la escala: $\sum n!\,x^n$ tiene radio $0$ , y manipularlo como una función no tiene sentido — identidades que involucran tales series pertenecen al cálculo formal de coeficientes, un juego puramente algebraico con sus propios (diferentes) reglas. En este nivel: siempre asegure primero un radio positivo, luego calcule libremente dentro de él.

Observación 11.23 (Perspectivas dentro de este volumen)

La serie Power es una de las dos grandes expansiones del libro. máquinas; el otro es la serie de Fourier del armónico capítulos, y compararlos es instructivo. Una serie de potencias es rígido: sus coeficientes son forzados ( $a_n = f^{(n)}(0)/n!$ ), su convergencia es despiadada (normal por dentro, desesperada por fuera), y su suma es analítico — infinitamente rígido (Definición 11.13). Una serie de Fourier es flexible: representa simplemente señales suaves por partes, en el El precio de las delicadas cuestiones de convergencia en la frontera de suavidad. Las dos teorías se encuentran en el fin de semana de este capítulo. problema: Cesàro y resumen de abel, desarrollados aquí para círculo límite, regresa en el capítulo de Fourier como Fejér y los núcleos de Poisson. Mientras tanto las ecuaciones diferenciales El capítulo consume energía de la serie directamente ( $\eu^{tA}$ , serie soluciones), y el capítulo de funciones generadoras gira El truco de Ejemplo 11.19 en una sistemática cálculo de probabilidades.

11.4 Ceremonias

Ejercicio 11.1 ★

Radios de convergencia: $\sum \dfrac{n^2}{2^n}z^n$ ; $\;\sum \dfrac{z^n}{\binom{2n}{n}}$ ; $\;\sum z^{n!}$ ; $\;\sum \bigl(2 + (-1)^n\bigr)^n z^n$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.1.

$\sum \frac{n^2}{2^n}z^n$ : relación $\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{n^2} \to \frac12$ : $R = 2$ .

$\sum \frac{z^n}{\binom{2n}{n}}$ : $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ (Ejemplo 6.14), entonces $\abs{a_n}^{-1} \approx 4^n$ hasta factores polinomiales: $R = 4$ (prueba de relación: $\frac{\binom{2n}{n}}{\binom{2n+2}{n+1}} = \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} \to \frac14$ ).

$\sum z^{n!}$ : coeficientes $a_k = 1$ si $k = n!$ , en caso contrario $0$ . Para $\abs z < 1$ , $\sum \abs z^{n!}$ convergen (dominado por geométrico); para $\abs z \geq 1$ los términos no tienden a $0$ : $R = 1$ .

$\sum (2 + (-1)^n)^n z^n$ : coeficientes $3^n$ (par $n$ ) y $1$ (impar $n$ ). La delimitación de $a_nr^n$ requiere $3r \leq 1$ ; y $r < \frac13$ funciona: $R = \frac13$ .

Ejercicio 11.2 ★

Mostrar que $\sum z^n$ , $\sum \frac{z^n}{n}$ , $\sum \frac{z^n}{n^2}$ todos tienen radio $1$ pero se comportan de manera diferente en $z = 1$ y $z = -1$ : divergencia/divergencia, divergencia/convergencia, convergencia/convergencia.

Solución

Solución de Ejercicio 11.2.

Los tres tienen radio $1$ (prueba de relación). En $z = 1$ : $\sum 1$ diverge; $\sum\frac1n$ diverge; $\sum\frac{1}{n^2}$ converge. en $z = -1$ : $\sum(-1)^n$ diverge; $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge (alternando); $\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ converge (absolutamente). El comportamiento de los límites es invisible para el radio.

Ejercicio 11.3 ★

Calcule las sumas, para $\abs x < 1$ :

\sum_{n\geq0} n x^n, \qquad \sum_{n\geq0} n^2 x^n, \qquad \sum_{n\geq0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} .

Solución

Solución de Ejercicio 11.3.

De $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ , diferenciar y multiplicar por $x$ (Teorema 11.7):

\sum n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} .

Diferenciar una vez más, multiplicar nuevamente por $x$ :

\sum n^2 x^n = x\,\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(\frac{x}{(1-x)^2}\Bigr) = \frac{x(1 + x)}{(1-x)^3} .

Tercera suma: es la parte impar de $-\ln(1 - x)$ :

\sum_{n\geq0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \frac{-\ln(1-x) + \ln(1+x)}{2} = \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x} = \operatorname{artanh} x .

Ejercicio 11.4 ★★

Ampliar en serie de potencias en $0$ , con radio: $\dfrac{1}{(1-x)(2-x)}$ (fracciones parciales); $\;\ln(1 + x + x^2)$ (write $1 + x + x^2 = \frac{1 - x^3}{1 - x}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 11.4.

Fracciones parciales: $\frac{1}{(1-x)(2-x)} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2 - x} = \sum x^n - \frac12\sum \bigl(\frac x2\bigr)^n$ :

\frac{1}{(1-x)(2-x)} = \sum_{n\geq0} \Bigl(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\Bigr)x^n, \qquad R = 1 .

$\ln(1 + x + x^2) = \ln\frac{1 - x^3}{1 - x} = \ln(1 - x^3) - \ln(1 - x) = \sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n} - \sum_{m\geq1}\frac{x^{3m}}{m}$ : el coeficiente de $x^n$ es $\frac1n$ si $3 \nmid n$ y $\frac1n - \frac{3}{n} = -\frac2n$ si $3 \mid n$ . Radio $1$ (la obstrucción más cercana: la serie para $\ln(1-x^3)$ ).

Ejercicio 11.5 ★★

Demuestre que $f(x) = \sum_{n\geq1} H_n x^n = -\dfrac{\ln(1 - x)}{1 - x}$ para $\abs x < 1$ , donde $H_n$ es el número armónico (producto cauchy of $\sum x^n$ and $\sum \frac{x^n}{n}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 11.5.

producto cauchy de $\sum_{m \geq 0} x^m$ (coeficientes $1$ ) y $\sum_{k\geq1} \frac{x^k}{k}$ (coeficientes $\frac1k$ , $k \geq 1$ ), ambos absolutamente convergentes para $\abs x < 1$ : el coeficiente de $x^n$ en el producto es $\sum_{k=1}^{n} \frac1k \cdot 1 = H_n$ . Por lo tanto

\Bigl(\sum x^m\Bigr)\Bigl(\sum \frac{x^k}{k}\Bigr) = \frac{1}{1-x}\cdot\bigl(-\ln(1-x)\bigr) = \sum_{n\geq1} H_n x^n .

Ejercicio 11.6 ★★

Resuelva por función generadora la recurrencia $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = 2u_n + n$ : calcule $U(x) = \sum u_nx^n$ en forma cerrada, descomponga, y lea $u_n = 2^{n+1} - n - 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.6.

Multiplica la recurrencia por $x^{n+1}$ y suma ( $\abs x < \frac12$ ):

U(x) - 1 = 2x\,U(x) + \sum_{n\geq0} n\,x^{n+1} = 2x\,U(x) + \frac{x^2}{(1-x)^2} ,

utilizando Ejercicio 11.3. Por lo tanto

U(x) = \frac{1}{1 - 2x}\Bigl(1 + \frac{x^2}{(1-x)^2}\Bigr) = \frac{1 - 2x + 2x^2}{(1-2x)(1-x)^2} .

Fracciones parciales (el encubrimiento en $x = \frac12$ da el coeficiente $2$ ; en el bipolar $x = 1$ , coeficiente $-1$ ; el medio El coeficiente desaparece al evaluar en $x = 0$ ):

U(x) = \frac{2}{1-2x} - \frac{1}{(1 - x)^2} .

Ampliando ambos:

u_n = 2\cdot 2^n - (n + 1) = 2^{n+1} - n - 1 .

(Compruebe: $u_0 = 1$ , $u_1 = 2u_0 + 0 = 2 = 4 - 2$ .)

Ejercicio 11.7 ★★

Deje $f(x) = \eu^{-1/x^2}$ por $x \neq 0$ , $f(0) = 0$ . demostrar que $f$ es $C^\infty$ en $\R$ con $f^{(n)}(0) = 0$ para todos los $n$ (show by induction that $f^{(n)}(x) = P_n\bigl(\frac1x\bigr) \eu^{-1/x^2}$ for polynomials $P_n$ , and use the growth comparison). Concluir que $f$ no es analítico en $0$ : es Taylor La serie en $0$ converge — a la función incorrecta.

Solución

Solución de Ejercicio 11.7.

Inducción: $f'(x) = \frac{2}{x^3}\eu^{-1/x^2}$ , y si $f^{(n)}(x) = P_n(\tfrac1x)\eu^{-1/x^2}$ entonces

f^{(n+1)}(x) = \Bigl(-\frac{1}{x^2}\,P_n'\Bigl(\frac1x\Bigr) + \frac{2}{x^3}\,P_n\Bigl(\frac1x\Bigr)\Bigr)\eu^{-1/x^2} :

nuevamente de la forma indicada. En $0$ : cocientes de diferencia $\frac{f^{(n)}(h)}{h} = \frac1h P_n(\frac1h)\eu^{-1/h^2} \to 0$ como $h \to 0$ , ya que $Q(u)\,\eu^{-u^2} \to 0$ como $u \to \pm\infty$ para cualquier polinomio $Q$ (potencias de latidos exponenciales): por inducción existen todos los $f^{(n)}(0)$ y desaparecen, y cada $f^{(n)}$ es continuo en $0$ por el mismo límite. Entonces $f \in C^\infty$ con serie de Taylor cero en $0$ ; el La serie de Taylor suma $0 \neq f$ : no analítico en $0$ .

Ejercicio 11.8 ★★★

Completar Ejemplo 11.21: expandir $\sqrt{1 - 4x}$ con la serie binomial, mostrando

\binom{1/2}{n+1}(-4)^{n+1} = -\frac{2}{n+1}\binom{2n}{n},

y deducir $C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ ; determine el radio de convergencia de $C(x)$ y las asintóticas de $C_n$ mediante Stirling.

Solución

Solución de Ejercicio 11.8.

Serie binomial: $\sqrt{1-4x} = \sum_{k\geq0} \binom{1/2}{k}(-4x)^k$ . Para $k = n + 1 \geq 1$ :

\begin{align*} \binom{1/2}{n+1}(-4)^{n+1} &= \frac{\frac12\bigl(\frac12 - 1\bigr)\cdots\bigl(\frac12 - n\bigr)}{(n+1)!}\,(-4)^{n+1}\\ &= \frac{(-1)^n\,1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^{n+1}(n+1)!}\,(-4)^{n+1} = -\frac{2}{n+1}\cdot\frac{(2n)!}{n!\,n!} , \end{align*}

utilizando $1\cdot3\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$ . Por lo tanto

C(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x} = \frac{1}{2x}\sum_{n\geq0}\frac{2}{n+1}\binom{2n}{n}x^{n+1} = \sum_{n\geq0} \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\,x^n :

$C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ . Radio: $\frac14$ (el binomio serie en $4x$ ). Asintóticas vía Ejemplo 6.14:

C_n \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi}\; n^{3/2}} .

Ejercicio 11.9 ★★★

(Teorema del límite radial de Abel, caso especial) Supongamos $\sum a_n$ converge. Demuestre que $\lim_{x \to 1^-} \sum_{n} a_n x^n = \sum_n a_n$ . (resumen de abel: with $A_n$ the partial sums and $A = \lim A_n$ , write $\sum a_nx^n = (1 - x)\sum A_n x^n$ ; then $\sum a_nx^n - A = (1-x)\sum (A_n - A)x^n$ , split the sum at a large $N$ .) Aplicación: $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ y $\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac\pi4$ , reprobados de la serie de potencia.

Solución

Solución de Ejercicio 11.9.

Con $A_n = \sum_{k \leq n} a_k \to A$ : resumen de abel da, por $0 \leq x < 1$ ,

\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = (1 - x)\sum_{n=0}^{\infty} A_n x^n

(ambos lados convergen: $(A_n)$ está acotado; y la identidad sigue desde $a_n = A_n - A_{n-1}$ y reindexación). Desde $(1 - x)\sum x^n = 1$ :

\sum_n a_nx^n - A = (1-x)\sum_{n} (A_n - A)x^n .

Dado $\varepsilon$ , elija $N$ con $\abs{A_n - A} \leq \varepsilon$ para $n > N$ ; entonces

\Bigl|\sum a_nx^n - A\Bigr| \leq (1-x)\sum_{n \leq N}\abs{A_n - A} + \varepsilon(1 - x)\sum_{n > N}x^n \leq (1-x)\,C_N + \varepsilon ,

y dejando $x \to 1^-$ : limsup $\leq \varepsilon$ para todos $\varepsilon$ . Por tanto, el límite radial es $A$ .

Aplicaciones: $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ converge (alternando), y para $x < 1$ su serie de potencias suma $\ln(1 + x)$ : por Abel, la suma es $\ln 2$ . Del mismo modo, $\sum\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} = \arctan x$ da $\frac\pi4$ en $x = 1$ — la integral del año 1 pruebas, ahora estructurales.

Ejercicio 11.10 ★

Demuestre que $\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n(n+1)} = 1 + \frac{1-x}{x}\,\ln(1-x)$ para $0 < \abs x < 1$ , determine el radio y verifique que la convergencia sea normal en $\intcc{-1}{1}$ ; verificar que el valor en $x = 1$ predicho por continuidad concuerda con la suma telescópica $\sum \frac{1}{n(n+1)} = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.10.

Tanto $\sum\frac{x^n}{n}$ como $\sum\frac{x^n}{n+1}$ tienen radio $1$ y $\frac{1}{n(n+1)} = \frac1n - \frac1{n+1}$ , por lo que para $0 < \abs x < 1$ :

\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n(n+1)} = -\ln(1-x) - \frac1x\sum_{n\geq1}\frac{x^{n+1}}{n+1} = -\ln(1-x) - \frac{-\ln(1-x) - x}{x} = 1 + \frac{1-x}{x}\ln(1-x) .

Radio $1$ ; y $\norm{x^n/(n(n+1))}_{\infty,\intcc{-1}1} = \frac{1}{n(n+1)}$ es sumable: convergencia normal en $\intcc{-1}{1}$ , por lo que la suma es continuo allí. Como $x \to 1^-$ , $(1-x)\ln(1-x) \to 0$ y la forma cerrada tiende a $1$ — de acuerdo con el valor telescópico $\sum\frac{1}{n(n+1)} = \lim_N\bigl(1 - \frac{1}{N+1}\bigr) = 1$ en $x = 1$ .

Ejercicio 11.11 ★★

(Trastornos) Sea $D_n$ el número de permutaciones de $n$ Objetos sin punto fijo ( $D_0 = 1$ ). Ordenando el permutaciones de $\{1, \dots, n\}$ por su conjunto de punto fijo da $n! = \sum_{k=0}^{n}\binom nk D_{n-k}$ . multiplicar por $\frac{x^n}{n!}$ , sumar y reconocer un producto cauchy para obtener el exponencial función generadora

\sum_{n\geq0} D_n\,\frac{x^n}{n!} = \frac{\eu^{-x}}{1-x} \qquad (\abs x < 1),

luego lea el formulario cerrado $\dfrac{D_n}{n!} = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!}$ y el límite $\dfrac{D_n}{n!} \to \eu^{-1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.11.

Ordenar las permutaciones $n!$ por su conjunto de punto fijo: elegir los puntos fijos $k$ (formas $\binom nk$ ) y alterando los demás Los objetos $n - k$ dan $n! = \sum_{k=0}^n\binom nk D_{n-k}$ . Dividiendo por $n!$ :

1 = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot\frac{D_{n-k}}{(n-k)!} ,

que dice exactamente que el producto cauchy de $\eu^x = \sum\frac{x^k}{k!}$ y $D(x) = \sum D_n\frac{x^n}{n!}$ es $\sum x^n = \frac{1}{1-x}$ . Ambos factores convergen absolutamente para $\abs x < 1$ ( $D_n \leq n!$ , por lo que $D$ está dominado por el serie geométrica): la identidad del producto es legítima (Proposición 11.4), y

D(x) = \frac{\eu^{-x}}{1-x} .

producto cauchy de $\eu^{-x} = \sum\frac{(-1)^kx^k}{k!}$ y $\sum x^m$ : el coeficiente de $x^n$ es $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}$ , y por unicidad de poder coeficientes de la serie (Teorema 11.7):

\frac{D_n}{n!} = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!} \xrightarrow[n\to\infty]{} \eu^{-1} :

aproximadamente $37\%$ de todas las permutaciones son trastornos, cualesquiera que sean $n$ .

Ejercicio 11.12 ★★★

Demuestre, con la serie binomial de Método 11.17, que

\frac{1}{\sqrt{1 - 4x}} = \sum_{n\geq0}\binom{2n}{n}x^n \qquad \Bigl(\abs x < \frac14\Bigr),

y deducir, elevando al cuadrado (producto cauchy contra $\frac{1}{1-4x} = \sum 4^nx^n$ ), la identidad de convolución

\sum_{k=0}^{n}\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n .

Solución

Solución de Ejercicio 11.12.

Serie binomial con $\alpha = -\frac12$ en $-4x$ :

\binom{-1/2}{n}(-4)^n = \frac{\bigl(-\frac12\bigr)\bigl(-\frac32\bigr)\cdots \bigl(-\frac{2n-1}2\bigr)}{n!}(-4)^n = \frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^n\,n!}\,4^n = \frac{(2n)!}{2^n n!}\cdot\frac{2^n}{n!} = \binom{2n}{n},

utilizando $1\cdot3\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^nn!}$ . Por lo tanto $(1-4x)^{-1/2} = \sum\binom{2n}nx^n$ para $\abs{4x} < 1$ . Cuadratura (producto cauchy, legítima por convergencia absoluta) y comparando con $\frac{1}{1-4x} = \sum 4^nx^n$ : el El coeficiente de $x^n$ en el cuadrado es. $\sum_{k=0}^n\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$ , y unicidad de coeficientes da

\sum_{k=0}^{n}\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n .

11.5 Problema: Abel, Tauber y el límite de la convergencia

Problema 11.1

Dentro del disco de convergencia todo es fácil; todos los Serie drama de poder sucede on el límite. esto problema construye la teoría de fronteras en la variable real: la de Abel teorema en su forma uniforme, su recíproco bajo la teoría de Tauber condición, la jerarquía Cesàro–Abel de métodos de suma (con el teorema de Frobenius), la integración término por término hasta el límite con constantes clásicas como dividendos, y finalmente el rigidez de funciones analíticas — la identidad teorema. En todo momento, $(a_n)$ es una secuencia real, $f(x) = \sum_{n\geq0} a_nx^n$ y $A_n = a_0 + \dots + a_n$ .

Parte I — Abel’s theorem, uniformemente. Suponer en esta parte $\sum a_n$ converge y configure $r_n = \sum_{k\geq n} a_k$ (por lo tanto, $r_n \to 0$ y $a_n = r_n - r_{n+1}$ ).

Demuestre, mediante sumatoria por partes, que para todos los $0 \leq x \leq 1$ y $N \leq M$ :

$\Bigl|\sum_{n=N}^{M} a_n x^n\Bigr| \leq 2\sup_{n \geq N}\,\abs{r_n} .$
Deduzca que $\sum a_nx^n$ converge uniformemente en $\intcc{0}{1}$ , que allí su suma es continuo, y recuperar el límite radial de Ejercicio 11.9: $f(x) \to \sum a_n$ como $x \to 1^-$ .
(teorema de Abel para productos cauchy) Sea $\sum a_n = A$ , $\sum b_n = B$ y supongamos que producto cauchy $\sum c_n$ , $c_n = \sum_{k} a_kb_{n-k}$ , converge, con suma $C$ . Prueba $C = AB$ (inside the disk the product identity holds by Proposición 11.4; let $x \to 1^-$ ).
Muestre que la hipótesis importa: para $a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ , ambas series convergen, pero $\abs{c_n} \geq \frac{2(n+1)}{n+2} \geq 1$ (bound each factor $\sqrt{(k+1)(n-k+1)}$ by AM–GM): el producto cauchy de dos series convergentes puede divergir.
(Un dividendo de Ejercicio 11.5) Demuestre que $\bigl(\ln(1-x)\bigr)^2 = 2\sum_{n\geq1} \frac{H_n}{n+1}x^{n+1}$ en $\intoo{-1}{1}$ , verifique que $\bigl(\frac{H_n}{n+1}\bigr)_{n\geq1}$ disminuye a $0$ , y concluye con Abel:

$\sum_{n\geq1} (-1)^{n+1}\,\frac{H_n}{n+1} = \frac{(\ln 2)^2}{2} .$

Parte II — Tauber’s converse. Llama a $\sum a_n$ Abel-sumable a $L$ cuando $f(x) \to L$ es $x \to 1^-$ .

Demuestre que $\sum (-1)^n$ es sumable en Abel a $\frac12$ pero divergente: el teorema de Abel no tiene condiciones incondicionales. conversar.
(Cesàro lema) Si $u_n \to 0$ entonces $\frac{u_1 + \dots + u_N}{N} \to 0$ (dividir la suma en $m$ fijos).
Supongamos ahora $n\,a_n \to 0$ y $f(x) \to L$ . Con $x_N = 1 - \frac1N$ , demuestre las dos estimaciones.

$\Bigl|\sum_{n=0}^{N} a_n\bigl(1 - x_N^n\bigr)\Bigr| \leq \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} n\,\abs{a_n}, \qquad \Bigl|\sum_{n>N} a_n x_N^n\Bigr| \leq \sup_{n>N}\bigl(n\abs{a_n}\bigr)$

(for the first, $1 - x^n \leq n(1-x)$ ; for the second, $\abs{a_n} \leq \frac{1}{N}\sup_{m>N} m\abs{a_m}$ and $\sum x_N^n \leq N$ ).
Concluir teorema de tauber: si $n\,a_n \to 0$ y $\sum a_n$ es sumable en Abel a $L$ y luego a $\sum a_n$ . converge a $L$ .
(El Tauberiano fácil para coeficientes positivos) Si $a_n \geq 0$ y $f$ están acotados en $\intco{0}{1}$ , demuestre que $\sum a_n$ converge y $\sum a_n = \lim_{x\to1^-} f(x)$ (bound $\sum_{n\leq N}a_nx^n \leq f(x)$ and let $x \to 1^-$ , then use Abel).

Parte III — Cesàro means and Frobenius’ theorem. Llame a $\sum a_n$ Cesàro-summable a $L$ cuando $\sigma_N = \frac{A_0 + \dots + A_{N-1}}{N} \to L$ .

Demuestre que una serie convergente es Cesàro-sumable a su suma (la pregunta 7 se aplicó a $A_n - L$ ).
Calcule el valor Cesàro de $\sum(-1)^n$ y verifíquelo concuerda con el valor de Abel $\frac12$ de la pregunta 6.
Con $S_n = A_0 + \dots + A_n = (n+1)\,\sigma_{n+1}$ , probar las dos identidades, para $0 \leq x < 1$ :

$f(x) = (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1)\,\sigma_{n+1}x^n, \qquad (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1)x^n = 1 .$
(Frobenius) Deducir: si $\sigma_N \to L$ entonces $f(x) \to L$ como $x \to 1^-$ — Cesàro-summable implica Abel-sumable, al mismo valor (subtract the two identities and split the sum at a large $N$ , as in Ejercicio 11.9).
Mostrar que la jerarquía

$\text{convergent} \;\Longrightarrow\; \text{Cesàro-summable} \;\Longrightarrow\; \text{Abel-summable}$

es estricto en ambas flechas: pregunta 6 para la primera; para el segundo, demuestre que $\sum(-1)^n(n+1)$ es Abel sumable a $\frac14$ (calcular $f$ ) pero no Cesàro-sumable (calcule $\sigma_N$ por separado para par e impar $N$ ).

Parte IV — Integrating to the boundary.

Supongamos que $\sum a_nx^n$ converge en $\intco{0}{1}$ y $\sum \frac{a_n}{n+1}$ converge. Demostrar que el integral impropia $\int_0^1 f$ existe y

$\int_0^1 \Bigl(\sum_{n\geq0} a_nx^n\Bigr)\dd x = \sum_{n\geq0}\frac{a_n}{n+1}$

(the primitive $F(x) = \sum\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ is continuo at $1$ by Part I).
Vamos $\eta = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ . Mostrar $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}\dd x = \eta$ y, por dividir índices pares e impares en el absolutamente $\sum \frac1{n^2}$ convergente, ese $\eta = \frac12\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2}$ . (El Fourier Se evalúa el problema del fin de semana del capítulo. $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ .)
Demostrar

$\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{3n+1} = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3} = \frac13\Bigl(\ln 2 + \frac{\pi}{\sqrt3}\Bigr)$

(the series converges by Leibniz; integrate the geometric series $\sum(-1)^nx^{3n}$ with question 16; then partial fractions: $\frac{1}{1+x^3} = \frac{1/3}{1+x} + \frac{(2-x)/3}{x^2-x+1}$ ).
De la serie binomial para $(1-t)^{-1/2}$ (Ejercicio 11.12) derivar

$\arcsin x = \sum_{n\geq0} \frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)}\,x^{2n+1} \quad(\abs x < 1), \qquad\text{then}\qquad \sum_{n\geq0}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)} = \frac\pi2 ,$

justificando el valor límite por normal convergencia en $\intcc{-1}{1}$ (uso $\binom{2n}n4^{-n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ , Ejemplo 6.14) — aquí no Incluso Abel es necesario.
(Catalán en el límite) Demuestre que $\sum C_n 4^{-n} = 2$ : la serie catalana de Ejemplo 11.21 converge at su radio $\frac14$ (asintóticas de Ejercicio 11.8), su suma es continuo el $\intcc{0}{\frac14}$ , y el formulario cerrado tiene límite $2$ allí.

Part V — Rigidity: the identity theorem.

(Ceros aislados) Sea $f = \sum a_nx^n$ el radio $R > 0$ y no todos los $a_n = 0$ ; sea $m$ el índice más pequeño con $a_m \neq 0$ . Mostrar $f(x) = x^m g(x)$ con $g$ a series de potencias de radio $R$ , $g(0) = a_m \neq 0$ y deducir que $f$ no tiene cero en algunos pinchados barrio de $0$ .
(Teorema de identidad) Sean $f, h$ sumas de series de potencias cerca de $0$ y $(x_k)$ una secuencia de distinto de cero puntos con $x_k \to 0$ y $f(x_k) = h(x_k)$ . probar que $f$ y $h$ tienen los mismos coeficientes, por lo tanto coinciden cerca de $0$ .
Encuentra funciones todo $f$ analítico cerca de $0$ con

$f\Bigl(\frac1k\Bigr) = \frac{k^2}{k^2+1} \qquad\text{for all large integers } k .$
Mostrar que una función analítico en un intervalo abierto $I$ que desaparece en un subintervalo desaparece idénticamente en $I$ (the set of points around which $f$ vanishes identically is abierto and, by the identity theorem applied at accumulation points, closed in $I$ ). Concluir que ningún función analítica distinto de cero en $\R$ tiene Soporte compacto — mientras que $C^\infty$ tiene funciones de realce existen (Ejercicio 11.7 suministra el bloque de construcción): la analiticidad es rígida, la suavidad es flácido.
Síntesis. En una oración cada uno: (i) lo que Abel El teorema se suma al paquete de convergencia normal de Lema 11.1; (ii) el exacto hipótesis bajo las cuales se cumple lo contrario (Tauber) y el peldaño intermedio (Frobenius); (iii) un límite constante de la Parte IV ahora se puede derivar para una amigo en dos líneas; (iv) donde Cesàro significa voluntad reaparecer en este libro, para una serie de una manera muy diferente amable.

Solución

Solución de Problema 11.1.

1. Con $a_n = r_n - r_{n+1}$ , sumatoria por partes:

\sum_{n=N}^{M} a_nx^n = r_Nx^N + \sum_{n=N+1}^{M} r_n\bigl(x^n - x^{n-1}\bigr) - r_{M+1}x^M .

Para $0 \leq x \leq 1$ los incrementos $x^{n-1} - x^n$ son no negativo y telescopio a $x^N - x^M$ ; con $s = \sup_{n\geq N}\abs{r_n}$ :

\Bigl|\sum_{n=N}^{M}a_nx^n\Bigr| \leq s\bigl(x^N + (x^N - x^M) + x^M\bigr) = 2s\,x^N \leq 2s .

2. Desde $r_n \to 0$ , $\sup_{n\geq N}\abs{r_n} \to 0$ : La pregunta 1 es exactamente el criterio uniforme de Cauchy sobre $\intcc{0}{1}$ , por lo que $\sum a_nx^n$ converge uniformemente allí y su suma es continuo (Teorema 10.11). El valor en $1$ es $\sum a_n$ , continuidad en $1$ es el límite radial de Ejercicio 11.9.

3. Para $\abs x < 1$ convergen las tres series de potencias absolutamente y $\bigl(\sum a_nx^n\bigr)\bigl(\sum b_nx^n\bigr) = \sum c_nx^n$ (Proposición 11.4). Por pregunta 2 cada factor y el lado del producto son continuo en $\intcc{0}{1}$ (sus series de coeficientes convergen por hipótesis); dejando a $x \to 1^-$ la identidad: $AB = C$ .

4. Aquí

\abs{c_n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} \geq \sum_{k=0}^{n}\frac{2}{n+2} = \frac{2(n+1)}{n+2} \geq 1,

por AM–GM: $\sqrt{(k+1)(n-k+1)} \leq \frac{(k+1) + (n-k+1)}{2} = \frac{n+2}{2}$ . El término general de $\sum c_n$ no tiende a $0$ : el producto cauchy diverge, aunque ambos factores convergen (series alternas).

5. Ejercicio 11.5 da $\frac{-\ln(1-x)}{1-x} = \sum H_nx^n$ ( $\abs x < 1$ ). Primitivas término por término (Teorema 11.7 (2)), ambos lados desapareciendo en $0$ :

\frac{\bigl(\ln(1-x)\bigr)^2}{2} = \sum_{n\geq1}\frac{H_n}{n+1}\,x^{n+1} .

Disminución: $(n+2)H_n \geq (n+1)H_{n+1}$ equivale a $H_n \geq 1$ , verdadero para $n \geq 1$ ; y $\frac{H_n}{n+1} \sim \frac{\ln n}{n} \to 0$ : en $x = -1$ la serie converge por el prueba alternante. Sustituyendo $x \mapsto -x$ y aplicando pregunta 2 en $x = 1$ :

\frac{(\ln 2)^2}{2} = \sum_{n\geq1}\frac{H_n}{n+1}(-1)^{n+1},

el valor anunciado.

6. $f(x) = \sum(-1)^nx^n = \frac{1}{1+x} \to \frac12$ como $x \to 1^-$ : Abel-sumable a $\frac12$ . Pero el parcial las sumas son $1, 0, 1, 0, \dots$ : divergentes.

7. Dado $\varepsilon > 0$ , elija $m$ con $\abs{u_n} \leq \varepsilon$ para $n > m$ ; para $N \geq m$ :

\Bigl|\frac{u_1 + \dots + u_N}{N}\Bigr| \leq \frac{\abs{u_1} + \dots + \abs{u_m}}{N} + \varepsilon\,\frac{N - m}{N} \leq \frac{C_m}{N} + \varepsilon,

entonces $\limsup \leq \varepsilon$ por cada $\varepsilon$ : el significa tender a $0$ .

8. Para $0 \leq x \leq 1$ : $1 - x^n = (1-x)(1 + x + \dots + x^{n-1}) \leq n(1-x)$ , entonces

\Bigl|\sum_{n=0}^N a_n(1 - x_N^n)\Bigr| \leq (1 - x_N)\sum_{n=1}^N n\abs{a_n} = \frac1N\sum_{n=1}^{N}n\abs{a_n} .

Para $n > N$ : $\abs{a_n} = \frac{n\abs{a_n}}{n} \leq \frac{1}{N}\sup_{m>N}m\abs{a_m}$ y $\sum_{n>N}x_N^n \leq \frac{1}{1 - x_N} = N$ :

\Bigl|\sum_{n>N}a_nx_N^n\Bigr| \leq \frac{\sup_{m>N}m\abs{a_m}}{N}\cdot N = \sup_{m>N}\,m\abs{a_m} .

9. Descomponer

A_N - L = \sum_{n=0}^{N}a_n\bigl(1 - x_N^n\bigr) - \sum_{n>N}a_nx_N^n + \bigl(f(x_N) - L\bigr) .

El primer término tiende a $0$ por la pregunta 7 (la media de $n\abs{a_n} \to 0$ ), el segundo por la pregunta 8 (el sup tiende a $0$ ), el tercero porque $x_N \to 1^-$ y $f(x) \to L$ . Por lo tanto $A_N \to L$ : Teorema de Tauber.

10. Para $x \in \intco{0}{1}$ y cualquier $N$ : $\sum_{n\leq N}a_nx^n \leq f(x) \leq M$ (términos no negativos). Sea $x \to 1^-$ en la suma finita: $\sum_{n\leq N}a_n \leq M$ . Las sumas parciales son crecientes y acotadas: $\sum a_n$ converge, y luego la pregunta 2 da $\lim_{x\to1^-}f(x) = \sum a_n$ .

11. $\sigma_N - L$ es la media de los números $N$ $A_n - L$ ( $0 \leq n < N$ ), que tienden a $0$ : pregunta 7.

12. $A_n = 1$ para $n$ par, $0$ para impar: $A_0 + \dots + A_{N-1} = \lceil N/2\rceil$ , por lo que $\sigma_N = \frac{\lceil N/2\rceil}{N} \to \frac12$ , el valor Abel de pregunta 6.

13. Bajo $\sigma_N \to L$ uno tiene $S_n = O(n)$ , por lo tanto $A_n = S_n - S_{n-1} = O(n)$ y $a_n = O(n)$ : todas las series a continuación tienen radio $\geq 1$ . Para $\abs x < 1$ , de $a_n = A_n - A_{n-1}$ y $A_nx^n \to 0$ :

(1-x)\sum_n A_nx^n = \sum_n A_nx^n - \sum_n A_nx^{n+1} = \sum_n a_nx^n = f(x),

e idénticamente $(1-x)\sum S_nx^n = \sum A_nx^n$ , entonces $f(x) = (1-x)^2\sum_n S_nx^n = (1-x)^2\sum_n(n+1)\sigma_{n+1}x^n$ . Finalmente $\sum(n+1)x^n = \frac{1}{(1-x)^2}$ (Ejercicio 11.3), que es la segunda identidad.

14. Restando $L$ veces la segunda identidad del primero:

f(x) - L = (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1) \bigl(\sigma_{n+1} - L\bigr)x^n .

Dado $\varepsilon$ , elija $N$ con $\abs{\sigma_{n+1} - L} \leq \varepsilon$ para $n \geq N$ ; entonces

\abs{f(x) - L} \leq (1-x)^2 C_N + \varepsilon(1-x)^2\sum_{n}(n+1)x^n = (1-x)^2C_N + \varepsilon ,

y dejando $x \to 1^-$ : $\limsup \leq \varepsilon$ . Por lo tanto $f(x) \to L$ : Teorema de Frobenius.

15. $f(x) = \sum(-1)^n(n+1)x^n = \frac{1}{(1+x)^2}$ (diferenciar la serie geométrica en $-x$ ): Valor de Abel $\frac14$ . Sumas parciales: $A_{2k} = k+1$ , $A_{2k+1} = -(k+1)$ (inducción inmediata). Luego $S_{2m-1} = 0$ (pares consecutivos cancelar) y $S_{2m} = m + 1$ , por lo que

\sigma_{2m} = \frac{S_{2m-1}}{2m} = 0, \qquad \sigma_{2m+1} = \frac{m+1}{2m+1} \to \frac12 :

$(\sigma_N)$ tiene dos valores de clúster distintos: no Cesàro-sumable. Con las preguntas 6 y 11–14, la jerarquía convergente $\Rightarrow$ Cesàro $\Rightarrow$ Abel es estricto en ambas flechas.

16. La serie primitiva $F(x) = \sum\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ tiene el mismo radio y $F' = f$ en $\intco{0}{1}$ (Teorema 11.7); desde $\sum\frac{a_n}{n+1}$ converge, la Parte I (pregunta 2) hace $F$ continuo en $\intcc{0}{1}$ . Como $\int_0^x f = F(x)$ (igual derivados, igual valor $0$ a $0$ ),

\int_0^x f \xrightarrow[x\to1^-]{} F(1) = \sum_{n\geq0}\frac{a_n}{n+1} :

el integral impropia existe con el valor indicado.

17. $\frac{\ln(1+x)}{x} = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n-1}$ (radio $1$ ; continuo y $0$ ). La serie de $\frac{a_m}{m+1}$ es $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ , absolutamente convergente: la pregunta 16 da $\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{x}\dd x = \eta$ . en el absolutamente convergente $\sum\frac1{n^2}$ , reagruparse par y impar:

\eta = \sum_{\text{odd}}\frac1{n^2} - \sum_{\text{even}}\frac1{n^2} = \sum_{n}\frac1{n^2} - 2\sum_{k}\frac1{(2k)^2} = \Bigl(1 - \frac12\Bigr)\sum_n\frac1{n^2} = \frac12\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} .

18. Leibniz: $\frac{1}{3n+1}\downarrow0$ , la serie converge. En $\intco{0}{1}$ , $\sum(-1)^nx^{3n} = \frac{1}{1+x^3}$ y $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1}$ convergen: la pregunta 16 da $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1} = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3}$ . Fracciones parciales (verifique: $\frac13(x^2-x+1) + \frac{2-x}{3}(1+x) = 1$ ):

\int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3} = \frac13\ln2 + \frac13\int_0^1\frac{2-x}{x^2-x+1}\dd x .

Escribiendo $2 - x = -\frac12(2x-1) + \frac32$ : el $\ln(x^2-x+1)$ parte desaparece en ambos extremos, y

\frac32\int_0^1\frac{\dd x}{(x-\frac12)^2 + \frac34} = \frac32\cdot\frac{2}{\sqrt3} \Bigl[\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr]_0^1 = \sqrt3\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{\sqrt3} .

Total: $\frac13\bigl(\ln2 + \frac{\pi}{\sqrt3}\bigr)$ .

19. Sustituyendo $t = x^2$ en la serie de Ejercicio 11.12 y término integrante por término (la primitiva de $(1-x^2)^{-1/2}$ que desaparece en $0$ es $\arcsin$ ):

\arcsin x = \sum_{n\geq0} \frac{\binom{2n}n}{4^n(2n+1)}x^{2n+1} \qquad(\abs x < 1) .

Los coeficientes son $\sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,n^{3/2}}$ . (Ejemplo 6.14), sumable: la serie converge normalmente en $\intcc{-1}{1}$ , su suma es continuo allí, y coincide con el continuo $\arcsin$ en $\intoo{-1}{1}$ , por lo tanto en $x = 1$ también:

\sum_{n\geq0}\frac{\binom{2n}n}{4^n(2n+1)} = \arcsin 1 = \frac\pi2 .

20. $C_n4^{-n} \sim \frac{1}{\sqrt\pi\,n^{3/2}}$ (Ejercicio 11.8): convergencia normal de $\sum C_nx^n$ en $\intcc{0}{\frac14}$ , por lo que su suma es continuo allí; en $\intoo{0}{\frac14}$ es igual $\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ (Ejemplo 11.21), cuyo límite en $\frac14^-$ es $\frac{1-0}{1/2} = 2$ . Por lo tanto $\sum_{n\geq0} C_n4^{-n} = 2$ .

21. $f(x) = \sum_{n\geq m}a_nx^n = x^m g(x)$ con $g(x) = \sum_{k\geq0}a_{m+k}x^k$ ; si $(a_nr^n)$ está limitado entonces $(a_{m+k}r^k)$ es también (dividir por $r^m$ ): $g$ tiene radio $\geq R$ . $g$ es continuo con $g(0) = a_m \neq 0$ , entonces $g \neq 0$ en algunos $\intcc{-\delta}{\delta}$ y $f(x) = x^mg(x) \neq 0$ para $0 < \abs x \leq \delta$ .

22. $d = f - h$ es la suma de una serie de potencias cerca de $0$ desapareciendo en los puntos distintos de cero $x_k \to 0$ . si algunos coeficiente de $d$ fuera distinto de cero, la pregunta 21 daría una vecindad perforada de $0$ libre de ceros de $d$ — contradiciendo $d(x_k) = 0$ . Entonces todos los coeficientes de $d$ desaparecen: $f$ y $h$ tienen coeficientes iguales y coinciden cerca de $0$ .

23. La función $h(x) = \frac{1}{1+x^2} = \sum(-1)^nx^{2n}$ (radio $1$ ) satisface $h(\frac1k) = \frac{1}{1 + 1/k^2} = \frac{k^2}{k^2+1}$ . Cualquier analítico $f$ con los mismos valores concuerdan con $h$ en los puntos $\frac1k \to 0$ : por el teorema de la identidad (pregunta 22), $f = \frac{1}{1+x^2}$ cerca de $0$ — la solución única.

24. Sea $Z$ el conjunto de puntos de $I$ que tienen un barrio en el que $f$ desaparece de forma idéntica: abierto por definición, no vacío (el subintervalo). Cerrado en $I$ : si $y \in I$ es un límite de puntos de $Z$ , entonces $y$ es una acumulación punto de ceros de $f$ ; expandiendo $f$ en una serie de potencias en $y$ (analiticidad) y aplicando las preguntas 21–22 centradas en $y$ , todos los coeficientes en $y$ desaparecen, por lo que $f \equiv 0$ cerca de $y$ : $y \in Z$ . Un intervalo es conectado, por lo que $Z = I$ : $f \equiv 0$ en $I$ . En particular, un función analítica en $\R$ desaparece fuera de un conjunto compacto desaparece en un intervalo, por lo tanto en todas partes: sin protuberancias analítico distintas de cero. El mundo $C^\infty$ es diferente: pegar la función plana de Ejercicio 11.7 (por ejemplo, $x \mapsto \eu^{-1/x^2}\mathbf 1_{x>0}$ y su espejo) produce suaves golpes con soporte compacto.

25. (i) Convergencia normal vive en los subdiscos compacto estrictamente dentro del disco; El teorema de Abel extiende continuidad a un punto límite, bajo la única hipótesis de que el La serie de coeficientes converge allí. (ii) Lo contrario se cumple bajo la condición de Tauber $na_n \to 0$ (pregunta 9), y Cesàro sumabilidad se sitúa estrictamente entre la convergencia y Abel sumabilidad (Frobenius, preguntas 14–15). (iii) Para un amigo: $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1} = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3}$ integrando la serie geométrica al límite, entonces fracciones parciales. (iv) Cesàro significa devolución en el Fourier capítulo como teorema de Fejér, donde promediar las sumas parciales repara el fallo de convergencia puntual — mismo medicamento, nuevo paciente.