Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

20Integrales de línea e integrales múltiples

Este capítulo extiende la integración de intervalos a curvas y a dominios del plano y del espacio. Integrales de línea integrar un forma diferencial $P\,\dd x + Q\,\dd y$ a lo largo de una orientación arco; integrales dobles y triples integran funciones sobre dominios bidimensionales y tridimensionales. Las dos teorías se encuentran en el Teorema de Green-Riemann, el fundamental bidimensional teorema del cálculo, y la principal herramienta computacional es el fórmula de cambio de variables, cuyo factor de distorsión es el jacobiano absoluto determinante.

20.1 Integrales de línea

Definición 20.1 (Forma diferencial; integral de linea)

Sea $U \subseteq \R^2$ abierto. A diferencial forma de grado $1$ y clase $\mathcal{C}^0$ en $U$ es una expresión $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ con $P, Q \colon U \to \R$ continuo — formalmente, un mapa continuo de $U$ al dual de $\R^2$ , $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . por un $\mathcal{C}^1$ arco $\gamma \colon [a, b] \to U$ , $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , el integral de línea de $\omega$ junto $\gamma$ es

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

Las definiciones se extienden textualmente a $\R^3$ (formas $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) y a los arcos $\mathcal{C}^1$ por partes (suma sobre las piezas).

Proposición 20.2 (Invariancia y orientación)

El integral de línea no cambia bajo un $\mathcal{C}^1$ creciente. cambio de parametro, y cambia de signo a uno decreciente. eso por lo tanto solo depende del orientado arco geométrico.

Demostración. Si $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ es un cambio de parametro y $\tilde\gamma = \gamma \circ \theta$ , luego por la regla de la cadena y el cambio de una variable de variables $t = \theta(u)$ ,

\int_{\tilde\gamma}\omega = \int_c^d \bigl(P(\gamma(\theta(u)))\,x'(\theta(u)) + Q(\gamma(\theta(u)))\,y'(\theta(u))\bigr)\,\theta'(u)\,\dd u = \pm\int_a^b \bigl(Px' + Qy'\bigr)(t)\,\dd t ,

con signo $+$ si $\theta$ es creciente ( $\theta(c) = a$ ) y $-$ si disminuye (los límites se intercambian). ∎

Ejemplo 20.3 (Trabajo de una fuerza; circulación)

Si $F = (P, Q)$ es un campo de fuerza, $\int_\gamma P\dd x + Q\dd y = \int_a^b \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle\,\dd t$ es el trabajar de $F$ junto con $\gamma$ . Para $\omega = -y\,\dd x + x\,\dd y$ a lo largo del círculo unitario $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ en sentido antihorario:

\int_\gamma \omega = \int_0^{2\pi}\bigl((-\sin t)(-\sin t) + \cos t\cos t\bigr)\,\dd t = 2\pi ,

dos veces el área adjunto — un primer indicio de Green–Riemann.

Ejemplo 20.4 (Una integral, dos parametrizaciones, una trampa de señales)

Calcule $\int_\gamma x\,\dd y$ a lo largo de la unidad superior semicírculo de $(1, 0)$ a $(-1, 0)$ . Con $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Con la parametrización del gráfico $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ , $x$ de $1$ a $-1$ (¡tenga en cuenta la dirección!):

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

( $x = \sin u$ lo reduce a una integral de Wallis). Mismo valor, como garantiza Proposición 20.2 — pero sólo porque ambas corridas van de $(1,0)$ a $(-1,0)$ ; revertir el viajar invierte el cartel. Cerrando el camino a lo largo del eje $x$ (donde $\dd y = 0$ ) no agrega nada, y el total $\frac\pi2$ es el área del medio disco: la primera instancia del área límite fórmulas de Green–Riemann a continuación.

Definición 20.5 (Formularios exactos y cerrados)

El formulario $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ de la clase $\mathcal{C}^0$ es exacto en $U$ si hay $f \in \mathcal{C}^1(U)$ (a potencial) con $\omega = \dd f$ , es decir $P = f_x$ y $Q = f_y$ . Un formulario $\mathcal{C}^1$ es cerrado si $P_y = Q_x$ está en $U$ .

Teorema 20.6 (Teorema fundamental de la recta integrales)

Si $\omega = \dd f$ es exacto y $\gamma$ es por partes $\mathcal{C}^1$ arco en $U$ de $A$ a $B$ , luego

\int_\gamma \omega = f(B) - f(A) .

En particular, la integral de un forma exacta a lo largo de cualquier arco cerrado es cero y cada formulario exacto $\mathcal{C}^1$ está cerrado.

Demostración. $\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t)) = f_x(\gamma(t))x'(t) + f_y(\gamma(t))y'(t)$ por la regla de la cadena (Capítulo 15), por lo que el integrando en Definición 20.1 es la derivada de $t \mapsto f(\gamma(t))$ , y el teorema fundamental del cálculo da la resultado en cada pieza; El telescopio de valores intermedios. cerrazón de las formas exacto $\mathcal{C}^1$ es el teorema de Schwarz: $P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x$ . ∎

Ejemplo 20.7 (Reconstruyendo un potencial)

Deja $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ en $\R^2$ . Es cerrado: ambas derivadas cruzadas son iguales. $\eu^{xy}(1 + xy)$ . Para encontrar un potencial, integre $P$ en $x$ en $y$ fijo:

f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),

luego ajuste $c$ haciendo coincidir $f_y$ : $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ da $c(y) = y^2$ . Entonces $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ , y para cualquier arco $\mathcal C^1$ por partes de $(0,0)$ a $(1,1)$ ,

\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,

independientemente de la ruta — la receta de dos pasos (integrar en $x$ , correcto en $y$ ) es lo contrario práctico de Teorema 20.6 en dominios donde está formas cerradas exacto.

Ejemplo 20.8 (Cerrado no implica exacto)

En $U = \R^2 \setminus \{0\}$ , el forma de ángulo

\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}

está cerrado (cálculo directo: tanto $P_y$ como $Q_x$ son iguales $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ ), pero es integral a lo largo de la unidad. el círculo es $2\pi \neq 0$ (el mismo cálculo que Ejemplo 20.3, dividido por $1$ ): $\omega$ no es exacto en $U$ . Localmente, $\omega = \dd\theta$ para una determinación. $\theta$ del ángulo polar; el fracaso es global — el ángulo No se puede definir continuamente alrededor del pinchazo. En dominios sin agujeros la patología desaparece: en un en forma de estrella Conjunto abierto, cada formulario $\mathcal{C}^1$ cerrado es exacto (Lema de Poincaré, Ejercicio 20.8).

20.2 Integrales dobles

Damos por sentada la teoría de la integral de Riemann en una variable (volumen del año 1 y Capítulo 9) y boceto su versión de dos variables. Una función $f$ continuo en un rectángulo $R = [a, b] \times [c, d]$ tiene una integral doble $\iint_R f$ , definido por sumas de Riemann sobre cuadrículas exactamente como en una variable, y calculado por iteración:

Teorema 20.9 (Fubini sobre un rectángulo)

Para $f$ continuo en $R = [a,b] \times [c,d]$ ,

\iint_R f = \int_a^b \Bigl(\int_c^d f(x, y)\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_c^d \Bigl(\int_a^b f(x, y)\,\dd x\Bigr)\dd y .

Demostración. Establezca $F(x) = \int_c^d f(x, y)\,\dd y$ . Uniforme continuidad de $f$ en el compacto $R$ hace $F$ continuo (estimación dominada: $\abs{F(x) - F(x')} \leq (d - c)\sup_y\abs{f(x,y) - f(x',y)}$ ). Ahora subdivida $[a,b]$ y $[c,d]$ en $n$ partes iguales, dando un cuadrícula de celdas $R_{ij}$ de área $\Delta x\,\Delta y$ . En cada celda, $\inf_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y \leq \int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\,\dd y\,\dd x \leq \sup_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y$ por monotonicidad del Integral de una variable (aplicada dos veces). Sumando las celdas, el La integral iterada $\int_a^b F$ se aprieta entre las partes inferior y sumas de Riemann superiores de la cuadrícula; por uniforme continuidad ambas sumas convergen al valor común que define $\iint_R f$ como $n \to \infty$ . El mismo argumento se aplica con los roles de $x$ y $y$ . intercambiadas, por lo que ambas integrales iteradas son iguales a $\iint_R f$ . ∎

Observación 20.10

Continuidad en un rectángulo compacto está haciendo un trabajo real en La prueba de Fubini: proporciona el uniforme continuidad que exprime las sumas de Riemann. Para integrandos más salvajes, el declaración realmente falla — hay funciones cuyos dos las integrales iteradas existen y difieren. El general honesto El teorema, con la integrabilidad como única hipótesis, es El teorema de Fubini para la integral de Lebesgue, demostrado en el Volumen del año 3; Todo en este capítulo se mantiene dentro del continuo configuración donde se encuentra la prueba elemental anterior completo.

Definición 20.11 (Dominios elementales)

Un dominio $D \subseteq \R^2$ es $y$ -elemental si

D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}

con $\varphi_1 \leq \varphi_2$ continuo en $[a,b]$ ( $x$ -elemental: simétricamente). Para $f$ continuo en un $y$ -elemental $D$ ,

\iint_D f = \int_a^b\Bigl( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dd y\Bigr)\dd x ,

y uno verifica (extendiendo $f$ mediante un argumento de aproximación, o subdividiendo) que cuando $D$ es elemental en ambas direcciones el dos integrales iteradas concuerdan. Dominios cortados en un número finito Las piezas elementales se manejan por aditividad, y las área de $D$ es $\operatorname {Area}(D) = \iint_D 1$ .

Ejemplo 20.12

En el triángulo $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$ :

\iint_D xy \,\dd x\,\dd y = \int_0^1 x\Bigl(\int_0^x y\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_0^1 x\cdot\frac{x^2}{2}\,\dd x = \frac18 .

Intercambiando el orden ( $x$ de $y$ a $1$ ): $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — mismo valor, diferente cálculo: elegir bien el orden de integración es la mitad del artesanía.

Ejemplo 20.13 (Cuando solo funciona un pedido)

Calcule $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$ . Como está escrito, la integral interna $\int\eu^{y^2}\dd y$ no tiene antiderivada elemental: la el cálculo está atascado. Pero el dominio es el triángulo $0 \leq x \leq y \leq 1$ , que es elemental en ambas direcciones; cambiando el orden,

I = \int_0^1\!\!\int_0^y \eu^{y^2}\,\dd x\,\dd y = \int_0^1 y\,\eu^{y^2}\,\dd y = \Bigl[\tfrac12\eu^{y^2}\Bigr]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2} .

La variable interna $x$ no apareció en ninguna parte del integrando, por lo que integrarlo primero produjo exactamente el factor $y$ que hace que la integral exterior sea inmediata. Moraleja: Fubini no es justo una licencia para iterar — es una licencia para elegir, y el orden correcto puede convertir una integral imposible en una una sola línea. Siempre dibuje el dominio y lea ambos. descripciones antes de comenzar.

Teorema 20.14 (Cambio de variables)

Sea $\Phi \colon U' \to U$ un difeomorfismo $\mathcal{C}^1$ entre conjuntos abierto de $\R^2$ , sea $K \subseteq U$ un compacto dominio cortado en pedazos elementales con $K' = \Phi^{-1}(K)$ , y sea $f$ continuo en $K$ . entonces

\iint_K f(x, y)\,\dd x\,\dd y = \iint_{K'} f\bigl(\Phi(u, v)\bigr)\, \abs{\det J_\Phi(u, v)}\,\dd u\,\dd v .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 20.15

La prueba completo — se aproxima a $\Phi$ por su diferencial en una cuadrícula fina y controlar las celdas límite — aunque es largo no profundo; se realiza íntegramente en la teoría de medidas del Año 3, como consecuencia de la teoría de Lebesgue. La heurística es la imagen. ya usado para la superficie área: un pequeño cuadrado de lado $\dd u$ en $(u, v)$ se asigna, en primer orden, al paralelogramo abarcado por $\Phi_u\,\dd u$ y $\Phi_v\,\dd v$ , cuyo área es $\abs{\det J_\Phi}\,\dd u\,\dd v$ (Lema 19.18).

Observación 20.16 (Método: elegir el cambio de variables)

Tres reflejos cubren la mayoría de los casos. Simetría de la integrando: $x^2 + y^2$ pide polar, una estructura de producto Requiere mantener los ejes cartesianos. Forma de la límite: límites $u(x,y) = c_1$ , $v(x,y) = c_2$ ruegan por las coordenadas $(u, v)$ , como en el hiperbólico ejemplo de región a continuación: el dominio se convierte en un rectángulo, que es toda la victoria. estructura lineal: Las expresiones en $x + y$ y $x - y$ invitan al grado $45$ . rotación o cizallamiento (Ejemplo 20.18). en total casos, tres casillas a marcar antes de integrar: el mapa es un biyección del nuevo dominio sobre el antiguo; es jacobiano se calcula en la dirección realmente utilizada (invertir en el final si es más fácil); y entra el jacobiano con su valor absoluto.

Ejemplo 20.17 (Coordenadas polares)

$\Phi(\rho, \alpha) = (\rho\cos\alpha,\ \rho\sin\alpha)$ tiene

J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\rho\sin\alpha\\ \sin\alpha & \rho\cos\alpha \end{pmatrix}, \qquad \det J_\Phi = \rho ,

entonces $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$ . Para el disco $D_R$ de radio $R$ :

\iint_{D_R} e^{-(x^2 + y^2)}\,\dd x\,\dd y = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R e^{-\rho^2}\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = \pi\bigl(1 - e^{-R^2}\bigr) \xrightarrow[R\to\infty]{} \pi .

Comparando con el cuadrado $[-R, R]^2$ (que está apretado entre los discos $D_R$ y $D_{R\sqrt2}$ , todos los integrandos positivos) da $\bigl(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\dd x\bigr)^2 = \pi$ :

\boxed{\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\dd x = \sqrt{\pi}\ }

— la integral de Gauss nuevamente, ahora por su prueba más famosa (compare la derivación de una variable en Capítulo 9).

Ejemplo 20.18 (Cambios afines de variables)

Para un aplicación afín $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ con $M$ invertible, el jacobiano es la matriz constante $M$ : áreas se multiplican por el factor constante $\abs{\det M}$ — la promesa hecha en Capítulo 17 es ahora un teorema. Dos usos inmediatos. La elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ es la imagen del disco unitario bajo $(u, v) \mapsto (au, bv)$ , por lo que área es $ab \cdot \pi$ — sin cálculo. Y para la integral de $f(x + y)$ sobre el cuadrado $K = \intcc01^2$ , la cizalla $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (determinante $1$ ) lo convierte en una integral de $f(u)$ sobre un paralelogramo, que Fubini corta a $u$ constante: con $f = \exp$ ,

\iint_K \eu^{x+y}\,\dd x\,\dd y = \Bigl(\int_0^1 \eu^x\,\dd x\Bigr)^2 = (\eu - 1)^2,

como lo confirma la estructura del producto. Elegir coordenadas adaptado al integrando — no al dominio — es el la otra mitad de la embarcación.

Ejemplo 20.19 (Coordenadas adaptadas a un curvilíneo dominio)

Sea $D$ la región del primer cuadrante acotada por el hipérbolas $xy = 1$ y $xy = 3$ y las líneas $y = x$ y $y = 3x$ . En las coordenadas $u = xy$ , $v = y/x$ el dominio se convierte en el cuadrado $\intcc13 \times \intcc13$ ; invertir,

x = \sqrt{u/v}, \qquad y = \sqrt{uv}, \qquad \det J = x_uy_v - x_vy_u = \frac{1}{2v}

(un cálculo de dos líneas con $x = u^{1/2}v^{-1/2}$ , $y = u^{1/2}v^{1/2}$ ). Por lo tanto

\operatorname{Area}(D) = \int_1^3\!\!\int_1^3\frac{\dd u\,\dd v}{2v} = 2\cdot\frac{\ln 3}{2} = \ln 3 \approx 1.10 .

Intentar cortar $D$ en coordenadas cartesianas significa cortarlo en tres piezas con límites hiperbólicos y lineales — factible, triste y propenso a errores. La moraleja se repite Ejemplo 20.18 con toda su fuerza: lea el ecuaciones de contorno, y deje que a ellos elija la coordenadas; el jacobiano luego convierte el curvilíneo celda de malla área, exactamente como lo hizo $\rho$ para polar coordenadas.

Ejemplo 20.20 (Valores medios)

El valor medio de $f$ sobre un dominio $D$ es $\frac1{\operatorname{Area}(D)}\iint_Df$ . Muestra: el promedio distancia desde el centro para un punto uniformemente elegido de la disco de radio $R$ es

\frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R \rho\cdot\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = \frac{2\pi R^3/3}{\pi R^2} = \frac{2R}3 ,

no $R/2$ : área uniforme pone más masa en radios grandes (el el anillo en el radio $\rho$ tiene un peso proporcional a $\rho$ ), por lo que el promedio se sitúa más allá de la mitad del camino. Conseguir esto El factor derecho es exactamente el jacobiano polar en acción, y el misma ponderación explica el centroide $\bar z = 3R/8$ del media bola se calcula más adelante en el capítulo en lugar de $R/2$ .

20.3 El teorema de Green-Riemann

Teorema 20.21 (Verde–Riemann)

Sea $K \subseteq \R^2$ un dominio compacto que es elemental en ambas direcciones (o una unión finita de tales segmentos pegados), con límite $\partial K$ a trozos $\mathcal{C}^1$ cerrado orientado a curvas sinistrórsum (el dominio permanece en la izquierda). Para $P, Q$ de clase $\mathcal{C}^1$ en una vecindad de $K$ :

\oint_{\partial K} P\,\dd x + Q\,\dd y = \iint_K \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,\dd x\,\dd y .

Demostración. Primero, ambos lados son aditivos bajo el corte $K$ a lo largo de un segmentar en dos piezas $K_1, K_2$ : las integrales dobles suman por aditividad de $\iint$ ; en cuanto a las integrales de frontera, la límites en sentido antihorario de $K_1$ y $K_2$ cada recorrido el interior cortado una vez, en direcciones opuesto, por lo que en la suma

\oint_{\partial K_1} + \oint_{\partial K_2} = \oint_{\partial K} + (\text{cut, both ways}) = \oint_{\partial K},

las dos pasadas a lo largo del corte se cancelan (Proposición 20.2) y solo el límite exterior sobrevive. Iterando un número finito de cortes, es suficiente tratar un dominio elemental. Probamos $\oint P\,\dd x = -\iint_K P_y$ en un $y$ -dominio elemental $D = \{a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}$ ; la identidad $\oint Q\,\dd y = \iint_K Q_x$ es simétrico ( $x$ -elemental), y el teorema es su suma.

Calcular la integral doble de Fubini y la de una variable teorema fundamental:

\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y = \int_a^b \bigl(P(x, \varphi_2(x)) - P(x, \varphi_1(x))\bigr) \,\dd x .

Ahora el límite de $D$ , en sentido antihorario, consta de: la parte inferior gráfico $y = \varphi_1(x)$ recorrido de izquierda a derecha, la derecha segmento vertical $x = b$ (hacia arriba), el gráfico superior $y = \varphi_2(x)$ atravesó derecha a izquierda, el vertical izquierdo segmento $x = a$ (hacia abajo). A lo largo de los segmentos verticales $x$ está constante, por lo que contribuyen $0$ a $\oint P\,\dd x$ ; los gráficos, parametrizado por $x$ , dé

\oint_{\partial D} P\,\dd x = \int_a^b P(x, \varphi_1(x))\,\dd x - \int_a^b P(x, \varphi_2(x))\,\dd x = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y . \qedhere

∎

Corolario 20.22 (Área por el límite)

Bajo las hipótesis de Teorema 20.21,

\operatorname{Area}(K) = \oint_{\partial K} x\,\dd y = -\oint_{\partial K} y\,\dd x = \frac12\oint_{\partial K} x\,\dd y - y\,\dd x .

Demostración. Aplique Verde–Riemann a $(P, Q) = (0, x)$ , $(-y, 0)$ y $\frac12(-y, x)$ : cada vez $Q_x - P_y = 1$ . ∎

Observación 20.23 (Elegir entre las tres fórmulas de área)

Las tres fórmulas de límites son iguales, no intercambiables en práctica. Utilice $\oint x\,\dd y$ cuando la parametrización haga $\dd y$ simple (gráficos sobre el eje $y$ ), $-\oint y\,\dd x$ simétricamente, y la media suma simétrico cuando el la parametrización trata a $x$ y $y$ de manera uniforme — para la elipse produjo un integrando constante, sin trigonometría linealización en absoluto. En límites poligonales la media suma se convierte en la fórmula de cordones de zapatos de Ejercicio 20.12, El algoritmo de los topógrafos. Y cuando se traspasa el límite en el sentido de las agujas del reloj según la parametrización dada, las tres fórmulas devuelve menos o área: un resultado negativo no es un error de cálculo pero un informe de orientación — voltee el signo o la parametrización.

Ejemplo 20.24 (Área de la elipse)

Para $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ , $t \in [0, 2\pi]$ :

\operatorname{Area} = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t\cdot(-a\sin t)\bigr)\,\dd t = \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}\dd t = \pi ab .

Ejemplo 20.25 (Verde–Riemann como verificación cruzada)

Tome $P = -y^3$ , $Q = x^3$ en el disco unitario cerrado $D$ . Lado límite, con $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ :

\oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y = \int_0^{2\pi}\bigl(\sin^4 t + \cos^4 t\bigr)\dd t = 2\pi\cdot\Bigl(\frac38 + \frac38\Bigr) = \frac{3\pi}2 ,

por linealización ( $\sin^4 + \cos^4 = \tfrac34 + \tfrac14\cos4t$ ). Lado interior:

\iint_D(Q_x - P_y)\,\dd x\,\dd y = \iint_D 3(x^2 + y^2)\,\dd x\,\dd y = 3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\rho^3\,\dd\rho\,\dd\alpha = \frac{3\pi}2 .

Mismo número, dos cálculos muy diferentes — y eso es el uso práctico: cualquier lado de la identidad de Green es más fácil resulta el cálculo, el otro una verificación. Para circulaciones de campos polinomiales alrededor de curvas cerradas, la La integral doble es casi siempre el lado fácil.

Observación 20.26

Green–Riemann explica Ejemplo 20.8: para un forma cerrada ( $Q_x = P_y$ ), la integral alrededor del límite de cualquier El dominio contenido en $U$ desaparece. La forma del ángulo no es exacto sólo porque la punción en el origen impide que el disco se limite por el círculo unitario que se encuentra dentro de $U$ — integrales de línea de formas cerradas detecta los agujeros del dominio. (Empujado más, esta observación se convierte en cohomología de De Rham.)

20.4 Integrales triples

La teoría se extiende a tres variables sin idea nueva: Fubini reduce $\iiint$ a tres integrales de una variable (ya sea por rebanar: $\iiint_K f = \int\bigl(\iint_{K_z} f\bigr)\dd z$ sobre los cortes horizontales $K_z$ , o por apilado: integrando en $z$ primero a lo largo de palos verticales), y la formula de cambio de variables se cumple con el $3 \times 3$ Jacobiano.

Ejemplo 20.27 (Coordenadas cilíndricas y esféricas)

Cilíndrico $(x, y, z) = (\rho\cos\alpha, \rho\sin\alpha, z)$ : $\dd x\,\dd y\,\dd z = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha\,\dd z$ . Esférico $(x, y, z) = (r\cos\theta\cos\varphi,\ r\sin\theta\cos\varphi,\ r\sin\varphi)$ ( $\theta$ longitud, Latitud $\varphi \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$ ): expandiendo $3 \times 3$ determinante a lo largo de la última fila,

\det J = r^2\cos\varphi , \qquad \dd x\,\dd y\,\dd z = r^2\cos\varphi\;\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi .

Volumen de la bola de radio $R$ :

V = \int_0^R\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^2\cos\varphi\;\dd\varphi\,\dd\theta\,\dd r = \frac{R^3}{3}\cdot 2\pi \cdot 2 = \boxed{\frac43\pi R^3} ,

descargando por fin la fórmula admitida en los capítulos del volumen de los libros anteriores.

Ejemplo 20.28 (El tetraedro, dos veces)

El volumen de $T = \{x, y, z \geq 0,\ x + y + z \leq 1\}$ , por apilamiento: para $(x, y)$ fijo en el triángulo $x + y \leq 1$ , $z$ pasa por encima de $\intcc0{1 - x - y}$ , por lo que

V = \int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,\dd y\,\dd x = \int_0^1\frac{(1 - x)^2}{2}\,\dd x = \frac16 .

Por corte: la sección a la altura $z$ es el triángulo $\{x, y \geq 0,\ x + y \leq 1 - z\}$ , de área $\frac{(1-z)^2}2$ , y $V = \int_0^1\frac{(1-z)^2}2\,\dd z = \frac16$ nuevamente — el dos cálculos son las mismas integrales en una forma diferente orden, que es todo lo que afirma Fubini. El valor $\frac16 = \frac13\cdot\frac12\cdot1$ es la fórmula del cono. (Ejemplo 20.30) con base triangular, y el $n$ versión tridimensional $1/n!$ se demuestra exactamente con esto Rebanar el problema del fin de semana.

Ejemplo 20.29 (Centroide de media bola)

Para la media bola superior $H$ de radio $R$ ( $z \geq 0$ ), la La altura del centroide es $\bar z = \frac1{V}\iiint_H z$ , con $V = \frac23\pi R^3$ . En coordenadas esféricas ( $z = r\sin\varphi$ , $\varphi \in \intcc0{\pi/2}$ ):

\iiint_H z = \int_0^R r^3\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta \int_0^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi = \frac{R^4}4\cdot2\pi\cdot\frac12 = \frac{\pi R^4}4 ,

entonces

\bar z = \frac{\pi R^4/4}{2\pi R^3/3} = \frac{3R}8 :

El punto de equilibrio de un hemisferio sólido se encuentra a tres octavos de el radio por encima de la cara plana — por debajo de la media altura $R/2$ , como debe ser, ya que el sólido es más gordo cerca de la base. Cada cálculo de centroide tiene esta forma: un momento Integral, un volumen, una relación y una verificación de plausibilidad. contra la geometría.

Ejemplo 20.30 (Volumen por corte: el cono)

Un cono de base área $A$ y altura $h$ (ápice hacia arriba, base en $z = 0$ ): el corte en altura $z$ es la base escalada por el factor $(1 - z/h)$ , de área $A(1 - z/h)^2$ . Por lo tanto

V = \int_0^h A\Bigl(1 - \frac zh\Bigr)^2\dd z = \frac{Ah}{3} :

el tercio de las fórmulas escolares, válidas para la base cualquier forma — cortar la convierte en la integral de un cuadrado.

Ejemplo 20.31 (Umbrales de integrabilidad en el avión)

¿Por qué $\alpha > 0$ converge $\iint_{D}\rho^{-\alpha}\,\dd x\,\dd y$ en el disco unitario perforado $D$ (límite sobre los anillos $\varepsilon \leq \rho \leq 1$ )? en polares coordenadas,

\int_0^{2\pi}\!\!\int_\varepsilon^1\rho^{-\alpha}\, \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\int_\varepsilon^1\rho^{1-\alpha}\,\dd\rho ,

que converge como $\varepsilon \to 0$ si $1 - \alpha > -1$ , es decir $\alpha < 2$ : en la dimensión $2$ la singularidad crítica exponente es la dimensión misma, el $\rho$ extra del Jacobiano suavizando la singularidad por un poder. (Asimismo $\alpha < 3$ para una singularidad puntual en el espacio, vía $r^2$ .) Una contabilidad radial de este tipo es la forma de integración decidido de un vistazo en el marco de Lebesgue del Año 3 — y es la razón por la que $\iiint 1/r$ convergió sin esfuerzo en Ejercicio 20.7.

Observación 20.32 (Errores comunes)

(i) Orientación: un integral de línea cambia de signo con el dirección de viaje, y Green-Riemann requiere que el límite en sentido antihorario (dominio de la izquierda); para un dominio con un agujero, se atraviesa el límite interior dextrorso. (ii) El jacobiano entra con valor absoluto: cambio de variables nunca produce área negativo, y olvidar $\abs{\det}$ normalmente voltea las señales exactamente cuando el mapa invierte la orientación. (iii) The polar factor $\rho$ : $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$ , no $\dd\rho\,\dd\alpha$ — el error más común en todo capítulo; El análisis dimensional lo capta, ya que $\dd\rho\,\dd\alpha$ tiene la dimensión de un longitud, no de un área. (iv) Integrales dobles impropias: límites superiores Los discos crecientes y los cuadrados crecientes concuerdan aquí porque el los integrandos son positivos (apretando); para cambiar de signo integrandos el límite puede depender del agotamiento, y no La afirmación se hace sin una convergencia absoluta. (v) Dominios versus integrandos: un integrando de producto en un dominio que no es producto, no factoriza la integral — la factorización necesita ambos, como en Ejemplo 20.17 cuadrado.

Observación 20.33 (Perspectivas dentro de este volumen)

La integral de Gauss calculada aquí está silenciosamente en todas partes los capítulos de probabilidad: la constante $\sqrt\pi$ dentro La fórmula de Stirling (Teorema 6.13) es la integral de este capítulo y, a través de Stirling, fija la $1/\sqrt{\pi n}$ asintóticas del retorno del paseo aleatorio probabilidades en Capítulo 21. El Integrales de Wallis de El problema del fin de semana vuelve a aparecer ahí también, conduciendo igual. estimaciones binomiales centrales. En la otra dirección, el área y los elementos de volumen de este capítulo completan la geometría de Capítulo 19, y la fórmula de Green vuelve a calcular el sobre áreas de Capítulo 18 (el astroide, en Ejercicio 20.5). Un capítulo, tres servicios: medida para la geometría, constantes para la probabilidad y la disciplina de cambio de variables utilizada por ambos.

20.5 Ceremonias

Ejercicio 20.1 ★

Calcule $\int_\gamma y^2\,\dd x + x\,\dd y$ a lo largo de: (a) el segmento de $(0,0)$ a $(1,1)$ ; (b) el arco de parábola $y = x^2$ de $(0,0)$ a $(1,1)$ . ¿El formulario es exacto?

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

(a) Segmento $\gamma(t) = (t, t)$ , $t \in [0,1]$ :

\int_\gamma y^2\dd x + x\dd y = \int_0^1 (t^2 + t)\,\dd t = \frac13 + \frac12 = \frac56 .

(b) Parábola $\gamma(t) = (t, t^2)$ :

\int_0^1 \bigl(t^4\cdot 1 + t\cdot 2t\bigr)\dd t = \frac15 + \frac23 = \frac{13}{15} .

Los dos valores difieren, por lo que la integral depende de la trayectoria: la forma es no exacto — consistentemente, $P_y = 2y \neq 1 = Q_x$ , entonces ni siquiera está cerrado.

Ejercicio 20.2 ★

Muestra que $\omega = (2xy + y^3)\,\dd x + (x^2 + 3xy^2 + 1)\,\dd y$ está cerrado en $\R^2$ , busque un potencial y calcule $\int_\gamma\omega$ a lo largo de cualquier arco desde $(0, 0)$ hasta $(1, 2)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

$P = 2xy + y^3$ , $Q = x^2 + 3xy^2 + 1$ : $P_y = 2x + 3y^2 = Q_x$ , cerrado el $\R^2$ . Busque $f$ con $f_x = P$ : $f = x^2y + xy^3 + g(y)$ ; entonces $f_y = x^2 + 3xy^2 + g'(y) = Q$ fuerza a $g'(y) = 1$ , diga $g(y) = y$ . entonces

f(x, y) = x^2y + xy^3 + y

es un potencial ( $\R^2$ tiene forma de estrella, por lo que un potencial tenía que existir según el lema de Poincaré — pero exhibirlo es más rápido). Por Teorema 20.6, para cualquier arco desde $(0,0)$ hasta $(1,2)$ :

\int_\gamma\omega = f(1, 2) - f(0, 0) = 2 + 8 + 2 = 12 .

Ejercicio 20.3 ★

Calcule $\iint_D (x + y)\,\dd x\,\dd y$ donde $D$ es el dominio delimitado por $y = x^2$ y $y = x$ ( $0 \leq x \leq 1$ ), en ambos órdenes de integración.

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

El dominio es $\{0 \leq x \leq 1,\ x^2 \leq y \leq x\}$ . $y$ -primero:

\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}(x + y)\,\dd y\,\dd x = \int_0^1\Bigl(x(x - x^2) + \frac{x^2 - x^4}{2}\Bigr)\dd x = \int_0^1\Bigl(\frac{3x^2}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2}\Bigr)\dd x = \frac12 - \frac14 - \frac1{10} = \frac{3}{20} .

$x$ -primero: el corte a la altura $y \in [0, 1]$ es $y \leq x \leq \sqrt y$ , por lo que

\int_0^1\!\int_{y}^{\sqrt y}(x + y)\,\dd x\,\dd y = \int_0^1\Bigl(\frac{y - y^2}{2} + y(\sqrt y - y)\Bigr)\dd y = \frac14 - \frac16 + \frac25 - \frac13 = \frac{3}{20} .

Ejercicio 20.4 ★★

Usando coordenadas polares, calcule $\iint_D \frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2}$ en todo el plano (como límite sobre los discos), y $\iint_{D'} xy\,\dd x\,\dd y$ sobre el cuarto de disco $D' = \{x, y \geq 0,\ x^2 + y^2 \leq 1\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

Primera integral. En el disco $D_R$ , en coordenadas polares:

\iint_{D_R}\frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R \frac{\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha}{(1 + \rho^2)^2} = 2\pi\Bigl[-\frac{1}{2(1 + \rho^2)}\Bigr]_0^R = \pi\Bigl(1 - \frac{1}{1 + R^2}\Bigr) \xrightarrow[R \to \infty]{} \pi .

Segunda integral. El cuarto de disco es $0 \leq \alpha \leq \frac\pi2$ , $0 \leq \rho \leq 1$ y $xy = \rho^2\cos\alpha\sin\alpha$ :

\iint_{D'}xy\,\dd x\,\dd y = \int_0^{\pi/2}\!\!\cos\alpha\sin\alpha\,\dd\alpha \int_0^1 \rho^3\,\dd\rho = \frac12\cdot\frac14 = \frac18 .

Ejercicio 20.5 ★★

Calcule el área encerrado por el astroide $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ , $t \in [0, 2\pi]$ , usando Corolario 20.22. (Linearize $\sin^2 t\cos^2 t$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

Por Corolario 20.22 con $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ : $x' = -3\cos^2 t\sin t$ , $y' = 3\sin^2 t\cos t$ , entonces

xy' - yx' = 3\cos^4 t\sin^2 t + 3\sin^4 t\cos^2 t = 3\sin^2 t\cos^2 t = \frac{3}{4}\sin^2 2t = \frac{3}{8}(1 - \cos 4t) .

Por lo tanto

A = \frac12\int_0^{2\pi}\frac38(1 - \cos 4t)\,\dd t = \frac{3}{16}\cdot 2\pi = \frac{3\pi}{8} .

(El astroide cabe en el disco unitario de área $\pi$ ; tres octavos de $\pi$ es plausible por su forma de estrella de cuatro cúspides).

Ejercicio 20.6 ★★

Calcular el volumen del sólido acotado por abajo por el paraboloide $z = x^2 + y^2$ y por arriba por el plano $z = 1$ , por ambos métodos: apilamiento (integre $1 - x^2 - y^2$ sobre el disco unitario, polar coordenadas) y corte (los cortes horizontales son discos de radio $\sqrt z$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

Apilado: encima de cada $(x, y)$ del disco unitario $D$ , $z$ va desde $x^2 + y^2$ a $1$ :

V = \iint_D \bigl(1 - x^2 - y^2\bigr)\dd x\,\dd y = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 (1 - \rho^2)\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl(\frac12 - \frac14\Bigr) = \frac\pi2 .

Rebanar: el corte en altura $z \in [0, 1]$ es el disco $x^2 + y^2 \leq z$ , de área $\pi z$ :

V = \int_0^1 \pi z\,\dd z = \frac\pi2 .

Ejercicio 20.7 ★★

(Atracción gravitacional de una pelota — teorema de Newton, especial caso) Demuestre que el volumen de la cáscara esférica $a \leq r \leq b$ es $\frac43\pi(b^3 - a^3)$ y calcule $\iiint_{B} \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r}$ sobre la bola $B$ de radio $R$ ( $r$ la distancia al origen). (Esférico coordenadas.)

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

En coordenadas esféricas el elemento de volumen es $r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (Ejemplo 20.27), y la parte angular integra a $4\pi$ ( $2\pi$ de $\theta$ , $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos = 2$ ). El volumen de la cáscara es

\int_a^b 4\pi r^2\,\dd r = \frac43\pi\bigl(b^3 - a^3\bigr).

Para la segunda integral, el integrando $1/r$ depende únicamente de $r$ :

\iiint_B \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r} = \int_0^R 4\pi r^2\cdot\frac1r\,\dd r = 4\pi\,\frac{R^2}{2} = 2\pi R^2 .

(El integrando explota en el origen, pero sin causar daño: $r^2/r = r$ es continuo — la integral sobre los shells $\varepsilon \leq r \leq R$ converge como $\varepsilon \to 0$ , que es la precisión sentido del enunciado. Este tipo de cálculo es el primero paso hacia el teorema de Newton de que una bola homogénea se atrae como una masa puntual en su centro.)

Ejercicio 20.8 ★★★

(Lema de Poincaré, caso en forma de estrella) Sea $U$ en forma de estrella con con respecto a $0$ (es decir, $M \in U \Rightarrow [0, M] \subseteq U$ ) y $\omega = P\dd x + Q\dd y$ un formulario cerrado $\mathcal{C}^1$ en $U$ . Definir

f(x, y) = \int_0^1 \bigl(x\,P(tx, ty) + y\,Q(tx, ty)\bigr)\dd t .

Usando la diferenciación bajo el signo integral. (Capítulo 9) y $P_y = Q_x$ , muestran que $f_x = P$ y $f_y = Q$ : cada forma cerrada en un conjunto abierto en forma de estrella es exacto.

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

El integrando $g(t; x, y) = xP(tx, ty) + yQ(tx, ty)$ es $\mathcal{C}^1$ en $(x, y)$ , continuo en $t$ , con parcial derivados continuo sobre $[0,1] \times U$ ; diferenciación bajo el signo integral (Capítulo 9, aplicado en el compacto $t$ -intervalo $[0,1]$ , la dominación es automática allí) da

f_x(x, y) = \int_0^1 \bigl(P(tx, ty) + tx\,P_x(tx, ty) + ty\,Q_x(tx, ty)\bigr)\dd t .

Usando el cierre $Q_x = P_y$ :

tx\,P_x(tx, ty) + ty\,P_y(tx, ty) = t\,\frac{\dd}{\dd t}\bigl[P(tx, ty)\bigr] ,

entonces el integrando es $P(tx, ty) + t\frac{\dd}{\dd t}P(tx, ty) = \frac{\dd}{\dd t}\bigl[t\,P(tx, ty)\bigr]$ y

f_x(x, y) = \Bigl[t\,P(tx, ty)\Bigr]_0^1 = P(x, y) .

Simétricamente $f_y = Q$ (se utiliza el mismo cálculo con $P_y = Q_x$ ) al revés). Note donde entra la hipótesis: $f$ está definido integrando a lo largo del segmento $[0, M]$ , que se encuentra en $U$ Precisamente porque $U$ tiene forma de estrella.

Ejercicio 20.9 ★★★

(Integral de Dirichlet por doble integración) Justificar y explotar

\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd y\,\dd x \quad\text{vs}\quad \int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd x\,\dd y

en $[0, A] \times [0, \infty)$ : muestra $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\dd x = \frac\pi2 - \int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\dd y$ y recupera $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac\pi2$ , comparando con la prueba integral de parámetros de Capítulo 9.

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

En la tira $[0, A] \times [0, \infty)$ la función $(x, y) \mapsto e^{-xy}\sin x$ no es absolutamente integrable hasta $y = \infty$ uniformemente en un sentido ingenuo, pero cada integral iterada converge y su igualdad se sigue de Fubini en $[0, A] \times [0, B]$ más un límite $B \to \infty$ (la cola $\int_0^A\int_B^\infty e^{-xy}\abs{\sin x}\,\dd y\,\dd x \leq \int_0^A \frac{e^{-Bx}\abs{\sin x}}{x}\dd x \leq \int_0^A e^{-Bx} \dd x\to 0$ , utilizando $\abs{\sin x} \leq x$ ).

$y$ primero: $\int_0^\infty e^{-xy}\,\dd y = \frac1x$ para $x > 0$ , por lo que la primera integral es $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x$ .

$x$ primero: dos integraciones por partes (o tomando la parte imaginaria de $\int_0^A e^{(i - y)x}\dd x$ ) dar

\int_0^A e^{-xy}\sin x\,\dd x = \frac{1 - e^{-Ay}(y\sin A + \cos A)}{1 + y^2} .

Integrando $y$ sobre $[0, \infty)$ , el término $\int_0^\infty \frac{\dd y}{1 + y^2} = \frac\pi2$ se escinde:

\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty e^{-Ay}\,\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\,\dd y .

El resto está limitado por $\int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y + 1}{1 + y^2}\dd y \leq \int_0^\infty e^{-Ay}\cdot\frac{1+y}{1+y^2} \,\dd y \to 0$ como $A \to \infty$ (convergencia dominada, o la crudo atado $\frac{1 + y}{1 + y^2} \leq \frac32$ dando $\frac{3}{2A}$ ). Por lo tanto $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\dd x = \frac\pi2$ — el mismo valor obtenido en Capítulo 9 diferenciando un integral de parámetros; aquí Fubini hace el trabajo.

Ejercicio 20.10 ★★★

(Desigualdad isoperimétrica vía Wirtinger) Sea $\gamma$ un simple curva $\mathcal{C}^1$ cerrada de longitud $2\pi$ , parametrizada por arco longitud en $[0, 2\pi]$ , encerrando a área $A$ . Usando Corolario 20.22, Parseval y la desigualdad de Wirtinger (ejercicios de Capítulo 14), demostrar $A \leq \pi$ , con igualdad para el círculo. (Normalize $\int_0^{2\pi} x(s)\dd s = 0$ ; write $2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x$ and bound $2A \leq \int (x^2 + y'^2)$ carefully via $2A = \int_0^{2\pi}(xy' - yx')\dd s$ and $x^2 + y'^2 \geq 2xy'$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

Parametrizar por longitud del arco $s \in [0, 2\pi]$ , entonces $x'^2 + y'^2 = 1$ , y traducir para que $\int_0^{2\pi} x(s)\,\dd s = 0$ . Por Corolario 20.22,

2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x = \int_0^{2\pi}\bigl(xy' - yx'\bigr)\dd s .

Integrando $\oint y\,\dd x$ por partes a lo largo del periodo (límite términos se cancelan por periodicidad), $-\int yx' = \int y'x$ , por lo que de hecho $2A = 2\int_0^{2\pi}xy'\,\dd s$ . Entonces $2xy' \leq x^2 + y'^2$ da

2A \leq \int_0^{2\pi}\bigl(x^2 + y'^2\bigr)\dd s = \int_0^{2\pi} x^2 + \int_0^{2\pi}\bigl(1 - x'^2\bigr) = 2\pi - \int_0^{2\pi}\bigl(x'^2 - x^2\bigr)\dd s .

Desigualdad de Wirtinger (ejercicios Capítulo 14: para un $2\pi$ -función periódica $\mathcal{C}^1$ con media cero, $\int x^2 \leq \int x'^2$ ) hace que la última integral no sea negativa: $A \leq \pi$ . La igualdad requiere igualdad en Wirtinger ( $x(s) = a\cos s + b\sin s$ ) y en $2xy' \leq x^2 + y'^2$ ( $y' = x$ puntualmente), lo que fuerza a $y = a\sin s - b\cos s + c$ : la curva es el círculo unitario (adecuadamente centrado). Desde una curva de longitud $L$ reescala a longitud $2\pi$ , la declaración general es $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ : entre todas las curvas cerradas de un perímetro dado, la El círculo encierra el área más grande.

Ejercicio 20.11 ★★

(Momentos de la bola) Para la bola $B$ de radio $R$ en $\R^3$ , calcular $\iiint_B z^2\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ en coordenadas esféricas, y deducir $\iiint_B (x^2 + y^2 + z^2)\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ por simetría. Verifique el este último contra el cálculo del shell $\int_0^R r^2\cdot4\pi r^2\,\dd r$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.11.

En coordenadas esféricas $z = r\sin\varphi$ y $\dd x\,\dd y\,\dd z = r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ :

\iiint_B z^2 = \int_0^R r^4\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi = \frac{R^5}5\cdot2\pi\cdot \Bigl[\frac{\sin^3\varphi}3\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{4\pi R^5}{15}.

Por la simetría de la pelota bajo coordenadas permutantes, $\iiint_B x^2 = \iiint_B y^2 = \iiint_B z^2$ , entonces $\iiint_B(x^2 + y^2 + z^2) = 3\cdot\frac{4\pi R^5}{15} = \frac{4\pi R^5}5$ . Verificación de shell: $\int_0^R r^2\cdot 4\pi r^2\,\dd r = \frac{4\pi R^5}5$ — el integrando $r^2$ es constante en la esfera de radio $r$ , de área $4\pi r^2$ .

Ejercicio 20.12 ★★

(Fórmula del cordón) Sea $K$ un polígono con vértices $(x_1, y_1), \dots, (x_m, y_m)$ en orden antihorario (índices modelo $m$ ). Deduzca de Corolario 20.22 que

\operatorname{Area}(K) = \frac12\sum_{i=1}^m \bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr) ,

y verifique la fórmula en el triángulo $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.12.

Parametrizar el borde de $(x_i, y_i)$ a $(x_{i+1}, y_{i+1})$ por $\gamma(t) = \bigl((1-t)x_i + tx_{i+1},\ (1-t)y_i + ty_{i+1}\bigr)$ . Su contribución a $\frac12\oint(x\,\dd y - y\,\dd x)$ es

\frac12\int_0^1\Bigl(\bigl((1-t)x_i + tx_{i+1}\bigr)(y_{i+1} - y_i) - \bigl((1-t)y_i + ty_{i+1}\bigr)(x_{i+1} - x_i)\Bigr)\dd t ,

y desde $\int_0^1\bigl((1-t)u + tv\bigr)\dd t = \frac{u + v}2$ , esto equivale

\frac14\Bigl((x_i + x_{i+1})(y_{i+1} - y_i) - (y_i + y_{i+1})(x_{i+1} - x_i)\Bigr) = \frac12\bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr),

los términos cruzados se cancelan. Sumar los bordes $m$ da la fórmula del cordón, de Corolario 20.22. Triangulo $(0,0), (1,0), (0,1)$ : $\frac12\bigl((0\cdot0 - 1\cdot0) + (1\cdot1 - 0\cdot0) + (0\cdot0 - 0\cdot1)\bigr) = \frac12$ , el área correcto.

20.6 Problema: el volumen de la pelota en la dimensión $n$

Problema 20.1

Problema del fin de semana — $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ , y la extrañeza de la alta dimensiones

El disco tiene área $\pi$ , volumen de la bola $\frac43\pi$ — y entonces? Este problema calcula el volumen de la bola unitaria de $\R^n$ por cada $n$ , dos veces (mediante una recursividad de corte impulsada por el Integrales de Wallis, luego a través de la función $\Gamma$ y el Integral de Gauss de Ejemplo 20.17), y luego lee fuera de la geometría: los volúmenes alcanzan su punto máximo en la dimensión cinco y se precipitan a cero, y casi toda una bola de alta dimensión se esconde en un capa delgada cerca de su límite. Para una función continuo en una bola de $\R^n$ , la integral se entiende como la integral iterada $n$ veces (cortando una coordenada a la vez, como en el capítulo $n \leq 3$ ); escribimos $B_n(R)$ para la bola cerrada de radio $R$ centrado en $0$ , $v_n(R)$ para su volumen, y $V_n = v_n(1)$ , con $V_0 = 1$ por convención.

Parte I — The slicing recursion.

Sustituyendo $x_i = Ru_i$ en cada uno de los $n$ iterados integrales, muestre $v_n(R) = V_nR^n$ .
Cortando $B_n(1)$ a lo largo de su última coordenada, muestra

$V_n = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .$
Con $t = \sin\theta$ , identifique la integral como Integral de Wallis: $\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = 2W_n$ , donde $W_n = \int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = \int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\dd\theta$ .
Demostrar las dos identidades de Wallis (integrar por partes; luego telescopio $nW_nW_{n-1}$ ):

$W_n = \frac{n-1}nW_{n-2} \quad (n \geq 2), \qquad W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n} \quad (n \geq 1).$

Parte II — The recursion solved.

Combine las preguntas 2 a 4 en la recursividad de dos pasos

$V_n = \frac{2\pi}{n}\,V_{n-2} \qquad (n \geq 2).$
Deduce el formas cerradas, para $k \geq 0$ :

$V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}, \qquad V_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots (2k+1)} .$
Tabule $V_1, \dots, V_7$ numéricamente. Usando el relación $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n$ y los valores de $2W_5$ y $2W_6$ , demuestre que la secuencia $(V_n)$ aumenta hasta su máximo $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.26$ y disminuye a partir de ahí.
Demuestre que $V_n \to 0$ es más rápido que cualquier patrón geométrico. secuencia, y que $\sum_{n\geq1} V_n$ converge: todos las bolas unitarias juntas tienen un volumen total finito.
Probar la identidad generadora

$\sum_{k\geq0} V_{2k}\,x^{2k} = \eu^{\pi x^2} \qquad (x \in \R),$

y deducir $\sum_{k\geq0}V_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$ .

Parte III — Second route: $\Gamma$ and the Gauss integral.

Muestra por Fubini (el integrando es un producto) que

$I_n = \int_{\R^n}\eu^{-\norm x^2}\dd x = \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty} \eu^{-t^2}\dd t\Bigr)^{\!n} = \pi^{n/2},$

la integral de Gauss $n$ -dimensional, entendida como una límite sobre cubos $\intcc{-R}{R}^n$ .
Recuperar $\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\eu^{-t}\dd t$ (Definición 9.17). De $\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)$ (Teorema 9.18) y $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ (sustituto $t = u^2$ e invocar la integral de Gauss), calcular

$\Gamma(k + 1) = k!, \qquad \Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) = \frac{1\cdot3\cdots(2k+1)}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .$
Demostrar, por inducción mediante la recursividad de la pregunta 5, la fórmula única

$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac n2 + 1\bigr)} \qquad (n \geq 1),$

y verifique que reproduzca tanto formas cerradas de la pregunta 6.
Muestra $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = \tfrac12\Gamma\bigl(\tfrac n2\bigr)$ y deduce el identidad

$I_n = n\,V_n\int_0^\infty \eu^{-r^2}\,r^{n-1}\,\dd r.$

Interpretarlo: la masa gaussiana de $\R^n$ es recogidos a lo largo de conchas esféricas cuyo “ $(n-1)$ -dimensional área” en el radio $r$ es $nV_nr^{n-1}$ — ambas partes ahora están probadas de forma independiente, por lo que la interpretación no cuesta nada.
Establezca $s_{n-1} = nV_n$ (el área de la unidad de esfera $S^{n-1}$ , consistente con $v_n(R) = \int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r$ ). Tabular $s_0, \dots, s_3$ y marque $s_1 = 2\pi$ , $s_2 = 4\pi$ , $s_3 = 2\pi^2$ .

Parte IV — High dimensions are strange.

De la fórmula de Stirling (Teorema 6.13) aplicado a $k!$ , mostrar incluso $n = 2k$ :

$V_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \Bigl(\frac{2\pi\eu}{n}\Bigr)^{n/2} \qquad (n \to \infty, \ n \text{ even}),$

y explicar por qué la misma desintegración supergeométrica se limita se extiende al impar $n$ mediante la recursividad.
La bola unitaria se encuentra en el cubo $\intcc{-1}1^n$ de volumen $2^n$ . Calcule la relación de llenado $V_n/2^n$ para $n = 2, 3, 10$ , y muestra que tiende a $0$ : en alto dimensión, esencialmente todo el cubo se encuentra en su esquinas.
Demuestre que la fracción de $v_n(1)$ que se encuentra dentro la distancia $\varepsilon$ de la esfera límite es $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$ ; numéricamente, ¿qué fracción de una bola de dimensiones $100$ se encuentra en el capa exterior de espesor $1\%$ ?
Demuestre el $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ (monotonicity of $(W_n)$ , the ratio $W_n/W_{n-2} \to 1$ , and $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$ ) asintótico de Wallis y el límite inferior $W_n \geq \sqrt{\dfrac{\pi}{2(n+1)}}$ para todos los $n$ .
(Concentración en una losa) La fracción de la unidad bola con la primera coordenada más allá de $\delta$ es $\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \,\big/\, (2W_n)$ . Usando $1 - u \leq \eu^{-u}$ y la cola atado $\int_\delta^\infty \eu^{-a x^2}\dd x \leq \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta}$ , muestra esto la fracción es como máximo

$\frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\,\delta} \Big/ \sqrt{\frac{2\pi}{n+1}}$

y concluimos: para $\delta = s/\sqrt{n-1}$ , todos menos un la fracción $O(\eu^{-s^2/2}/s)$ de la pelota se encuentra en el losa $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ . una bola de alto dimensión es, estadísticamente, un panqueque delgado en cada dirección a la vez.
Reúna las preguntas 16 a 19 en un párrafo: dónde el volumen de $B_n(1)$ se encuentra (cerca del límite esfera, pero dentro de $O(1/\sqrt n)$ losas de cada hiperplano que pasa por el centro), y por qué estos dos las declaraciones no se contradicen entre sí.

Part V — Other bodies, and synthesis.

(Simplex) Deje $\Delta_n = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1\}$ . Demuestre por corte e inducción que $\operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}$ .
(Politopo cruzado) Deduzca que $C_n = \{x : \sum\abs{x_i} \leq 1\}$ tiene volumen $\frac{2^n}{n!}$ , y verificar el sándwich $C_n \subseteq B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ a nivel de volúmenes: $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ .
Calcule $V_4$ de una tercera manera: corte $\R^4 = \R^2 \times \R^2$ , integre el área del disco $(z, w)$ el disco $(x, y)$ en coordenadas polares y recuperar $V_4 = \frac{\pi^2}2$ .
(Monte Carlo en problemas) Se sortea un punto uniformemente en el cubo $\intcc{-1}1^{20}$ . Demuestre que el la probabilidad de que caiga en la bola inscrita es $V_{20}/2^{20} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ , más o menos Se necesitan cuarenta millones de sorteos antes del primer golpe. se espera: estimación de $V_n$ mediante muestreo de rechazo colapsa en alta dimensión (la maldición de dimensionalidad).
Síntesis. Dos derivaciones independientes se encontraron en $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ : enumera qué teorema de este capítulo cada uno utilizado (Fubini, cambio de variables, la integral polar de Gauss), y que entradas de una variable (Wallis, $\Gamma$ , Stirling). ¿Dónde rehace este cálculo el volumen del año 3? con la teoría de Lebesgue, y ¿qué aporta?

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. La pelota $B_n(R)$ se describe mediante límites iterados. $-R \leq x_n \leq R$ , luego $\abs{x_{n-1}} \leq \sqrt{R^2 - x_n^2}$ , y así sucesivamente; sustituyendo $x_i = Ru_i$ en cada uno de los $n$ integrales de una variable multiplica cada una por $R$ y asigna los límites a los de $B_n(1)$ : $v_n(R) = R^n\,v_n(1) = V_nR^n$ .

2. Cortando a lo largo de $x_n = t$ : la rebanada de $B_n(1)$ es la pelota $B_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)$ , entonces, por pregunta 1,

V_n = \int_{-1}^1 v_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)\,\dd t = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .

3. Con $t = \sin\theta$ , $\dd t = \cos\theta\,\dd\theta$ y $(1 - t^2)^{\frac{n-1}2} = \cos^{n-1}\theta$ en $\intcc{-\pi/2}{\pi/2}$ :

\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2W_n,

y $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$ intercambia el seno y formas cosenos de $W_n$ .

4. Escribe $\sin^n = \sin^{n-2}(1 - \cos^2)$ y integrar $\int\sin^{n-2}\cos\cdot\cos$ por partes ( $v = \frac{\sin^{n-1}}{n-1}$ ):

W_n = W_{n-2} - \frac{W_n}{n-1} \quad\Longrightarrow\quad W_n = \frac{n-1}{n}W_{n-2}.

De ahí $nW_nW_{n-1} = (n-1)W_{n-1}W_{n-2}$ : la secuencia $(nW_nW_{n-1})$ es constante, igual a $1\cdot W_1W_0 = 1\cdot\frac\pi2$ , por lo que $W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n}$ .

5. Las preguntas 2–3 dan $V_n = 2W_nV_{n-1}$ , dos veces:

V_n = 2W_n\cdot 2W_{n-1}\,V_{n-2} = 4\,\frac{\pi}{2n}\,V_{n-2} = \frac{2\pi}n\,V_{n-2}.

6. De $V_0 = 1$ : $V_{2k} = \frac{2\pi}{2k}V_{2k-2} = \frac\pi kV_{2k-2}$ , entonces $V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$ por inducción. De $V_1 = 2$ : $V_{2k+1} = \frac{2\pi}{2k+1}V_{2k-1}$ , entonces

V_{2k+1} = 2\prod_{j=1}^k\frac{2\pi}{2j+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1)} .

7. $V_1 = 2$ , $V_2 = \pi \approx 3.142$ , $V_3 = \frac{4\pi}3 \approx 4.189$ , $V_4 = \frac{\pi^2}2 \approx 4.935$ , $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.264$ , $V_6 = \frac{\pi^3}6 \approx 5.168$ , $V_7 = \frac{16\pi^3}{105} \approx 4.725$ . La relación de un paso es $V_n/V_{n-1} = 2W_n$ , y $(W_n)$ está disminuyendo ( $\sin^n \leq \sin^{n-1}$ puntualmente). Ahora $2W_5 = 2\cdot\frac45\cdot\frac23 = \frac{16}{15} > 1$ mientras que $2W_6 = 2\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac{5\pi}{16} < 1$ : los ratios superan $1$ hasta $n = 5$ y están por debajo de $1$ desde $n = 6$ en — $(V_n)$ aumenta a su máximo $V_5$ y luego disminuye.

8. Para $n \geq 13 > 4\pi$ : $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n < \tfrac12$ , entonces $V_{n} \leq C\cdot 2^{-n/2}$ con un fijo constante; mejor, para cualquier $q > 0$ , $2\pi/n < q^2$ para grandes $n$ , entonces $V_n/q^n \to 0$ : la decadencia supera a toda geometría secuencia. La convergencia de $\sum V_n$ se deriva de la relación $V_n/V_{n-2} \to 0$ (compárese con una serie geométrica de algún rango en).

9. $\sum_{k\geq0}V_{2k}x^{2k} = \sum_{k\geq0}\frac{(\pi x^2)^k}{k!} = \eu^{\pi x^2}$ , el serie exponencial (Capítulo 11), convergente para cada $x$ . En $x = 1$ : $\sum_kV_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$ .

10. En el cubo $\intcc{-R}R^n$ el integrando es el producto $\prod_i\eu^{-x_i^2}$ , por lo que la integral iterada factoriza: $\bigl(\int_{-R}^R\eu^{-t^2}\dd t\bigr)^n$ . Dejar $R \to \infty$ y usar $\int_\R\eu^{-t^2}\dd t = \sqrt\pi$ (Ejemplo 20.17): $I_n = \pi^{n/2}$ .

11. $t = u^2$ da $\Gamma(\tfrac12) = \int_0^\infty t^{-1/2}\eu^{-t}\dd t = 2\int_0^\infty\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ . Iterando $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ : $\Gamma(k+1) = k!\,\Gamma(1) = k!$ , y

\Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) = \Bigl(k + \frac12\Bigr)\Bigl(k - \frac12\Bigr)\cdots \frac12\cdot\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) = \frac{(2k+1)(2k-1)\cdots1}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .

12. Establecer $F_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ . Desde $\Gamma(\frac n2 + 1) = \frac n2\,\Gamma(\frac n2) = \frac n2\,\Gamma(\frac{n-2}2 + 1)$ , obtenemos $F_n = \frac{2\pi}nF_{n-2}$ : la misma recursividad que $V_n$ (pregunta 5). Bases: $F_1 = \sqrt\pi/\Gamma(\frac32) = \sqrt\pi/(\frac{\sqrt\pi}2) = 2 = V_1$ y $F_2 = \pi/\Gamma(2) = \pi = V_2$ . Por inducción $V_n = F_n$ para todos $n$ ; La pregunta 11 convierte esto nuevamente en los dos formas cerradas de pregunta 6.

13. Con $r = \sqrt t$ : $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = \frac12\int_0^\infty t^{\frac n2 - 1}\eu^{-t}\dd t = \frac12\Gamma(\frac n2)$ . Por lo tanto

n\,V_n\int_0^\infty\eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = V_n\cdot\frac n2\,\Gamma\Bigl(\frac n2\Bigr) = V_n\,\Gamma\Bigl(\frac n2 + 1\Bigr) = \pi^{n/2} = I_n .

Una vez probadas ambas partes, la identidad puede ser leer como la descomposición de capas de la integral gaussiana: la esfera de radio $r$ lleva área $nV_nr^{n-1}$ , y el gaussiano El peso $\eu^{-r^2}$ está integrado sobre las carcasas.

14. $s_0 = V_1 = 2$ (la esfera $0$ tiene dos puntos), $s_1 = 2V_2 = 2\pi$ , $s_2 = 3V_3 = 4\pi$ , $s_3 = 4V_4 = 2\pi^2$ ; y $\int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r = V_nR^n = v_n(R)$ : área es la derivada radial del volumen.

15. Para $n = 2k$ , Stirling (Teorema 6.13) da $k! \sim \sqrt{2\pi k}\,(k/\eu)^k$ , entonces

V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!} \sim \frac{(\pi\eu/k)^k}{\sqrt{2\pi k}} = \frac1{\sqrt{\pi n}}\Bigl(\frac{2\pi\eu}n\Bigr)^{n/2} \qquad (n = 2k).

Para $n$ impar: $V_{2k+1} = 2W_{2k+1}V_{2k} \leq 2V_{2k}$ , entonces se mantienen los mismos límites de desintegración supergeométrica (hasta un factor $2$ y un desplazamiento de uno en el exponente) — por cada $q > 0$ , $V_n = o(q^n)$ .

16. $V_2/4 = \pi/4 \approx 0.785$ ; $V_3/8 = \pi/6 \approx 0.524$ ; $V_{10}/2^{10} = \frac{\pi^5}{120\cdot1024} \approx 0.0025$ . En general $\frac{V_n/2^n}{V_{n-2}/2^{n-2}} = \frac{2\pi}{4n} = \frac{\pi}{2n} \to 0$ : la relación tiende a $0$ (supergeométricamente). La bola inscrita ocupa un fracción evanescente: el volumen del cubo migra a su esquinas.

17. Por la pregunta 1 la bola interior de radio $1 - \varepsilon$ tiene volumen $V_n(1-\varepsilon)^n$ , por lo que la exterior shell lleva la fracción $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$ . Para $n = 100$ , $\varepsilon = 0.01$ : $(0.99)^{100} = \eu^{100\ln0.99} \approx \eu^{-1.005} \approx 0.366$ : aproximadamente $63\%$ de la pelota se encuentra dentro de $1\%$ de su superficie.

18. $(W_n)$ disminuye, por lo que $W_n \leq W_{n-1} \leq W_{n-2} = \frac{n}{n-1}W_n$ : apretando, $W_{n-1}/W_n \to 1$ . Multiplicando por $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$ : $W_n^2 \sim \frac\pi{2n}$ , es decir $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$ . Límite inferior: $W_n^2 \geq W_nW_{n+1} = \frac{\pi}{2(n+1)}$ , entonces $W_n \geq \sqrt{\pi/(2(n+1))}$ por cada $n$ .

19. Numerador: $1 - x^2 \leq \eu^{-x^2}$ da $(1 - x^2)^{\frac{n-1}2} \leq \eu^{-(n-1)x^2/2}$ , y con $a = \frac{n-1}2$ ,

\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \leq \int_\delta^\infty\eu^{-ax^2}\dd x \leq \int_\delta^\infty\frac x\delta\,\eu^{-ax^2}\dd x = \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta} = \frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\delta}.

Denominador: $2W_n \geq \sqrt{2\pi/(n+1)}$ por la pregunta 18. Al dividir se obtiene el límite mostrado. Para $\delta = s/\sqrt{n-1}$ se convierte en $\sqrt{\tfrac{n+1}{2\pi(n-1)}}\;\eu^{-s^2/2}/s = O\bigl( \eu^{-s^2/2}/s\bigr)$ , uniformemente en $n$ : fuera de la losa $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ casi no hay volumen, por $s$ moderadamente grande — y por simetría lo mismo vale para cada dirección.

20. Las dos declaraciones coexisten porque describen diferentes coordenadas de un mismo punto. Casi todos los puntos de $B_n(1)$ tiene norma cerca de $1$ (pregunta 17: radial concentración cerca de la esfera), sin embargo, cada uno de sus $n$ las coordenadas son pequeñas, de orden $1/\sqrt n$ (pregunta 19), lo cual es consistente desde las coordenadas $n$ del tamaño $1/\sqrt n$ tiene norma del pedido $1$ . Concentrados de volumen de alta dimensión donde todas las coordenadas comparten el presupuesto norma por igual — cerca de la esfera, pero lejos de cada polo del eje de coordenadas.

21. Corte $\Delta_n$ en $x_n = t \in \intcc01$ : el la porción es $\{x' \in \R^{n-1} : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1 - t\} = (1-t)\Delta_{n-1}$ , de volumen $(1-t)^{n-1}\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})$ por homogeneidad. entonces

\operatorname{vol}(\Delta_n) = \operatorname{vol}(\Delta_{n-1})\int_0^1(1 - t)^{n-1}\dd t = \frac{\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})}{n} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}\,.

22. Los orantes de signo $2^n$ cortan $C_n$ en $2^n$ copias de $\Delta_n$ (con superposiciones insignificantes en las coordenadas hiperplanos): $\operatorname{vol}(C_n) = \frac{2^n}{n!}$ . si $\sum\abs{x_i} \leq 1$ luego $\sum x_i^2 \leq \bigl(\sum\abs{x_i}\bigr)^2 \leq 1$ : $C_n \subseteq B_n(1)$ ; y $B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ desde $\abs{x_i} \leq \norm x$ . Por lo tanto $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ — consistente con la pregunta 15, que coloca a $V_n$ entre los Escalas factoriales y geométricas.

23. Para $(x, y)$ en el disco unitario, la porción de $B_4(1)$ es el disco de radio $\sqrt{1 - x^2 - y^2}$ en el $(z, w)$ -avión, de área $\pi(1 - x^2 - y^2)$ . en polares coordenadas:

V_4 = \iint_{x^2+y^2\leq1}\pi(1 - x^2 - y^2)\,\dd x\,\dd y = \pi\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(1 - \rho^2)\rho\, \dd\rho\,\dd\alpha = \pi\cdot2\pi\cdot\frac14 = \frac{\pi^2}2 ,

de acuerdo con la pregunta 6.

24. La probabilidad es la relación de volumen. $\dfrac{V_{20}}{2^{20}} = \dfrac{\pi^{10}}{10!\cdot2^{20}} \approx \dfrac{0.0258}{1\,048\,576} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ . El número de sorteos hasta el primer acierto es de orden inverso, sobre $4\cdot10^7$ : un muestreador de rechazo que funcionó maravillosamente para el disco ( $\pi/4$ de visitas) es inútil en la dimensión $20$ — la maldición de la dimensionalidad en una línea.

25. Ruta uno (Partes I–II) utilizada: Tipo Fubini corte de la integral iterada, sustitución de una variable en cada coordenada (homogeneidad), y el Integrales de Wallis — cálculo puro de una variable más inducción. Ruta dos (Parte III) utilizado: Fubini para la estructura del producto $I_n$ , el cambio polar de variables a través de la integral de Gauss de Ejemplo 20.17 y la función $\Gamma$ . ecuación funcional. Se encuentran en $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ , con Stirling (Teorema 6.13) convirtiendo la fórmula en asintóticos. El volumen del año 3 reconstruye todo esto en La integral de Lebesgue: ahí Fubini y el cambio de variables son teoremas para funciones integrables generales, esféricas Las coordenadas existen en todas las dimensiones, y los mismos pelota volúmenes reaparecen como dividendos trabajados del medida del producto y problemas de Stirling — con dominado convergencia reemplazando nuestros apretón hechos a mano.

20.1 Integrales de línea

20.2 Integrales dobles

20.3 El teorema de Green-Riemann

20.4 Integrales triples

20.5 Ceremonias

20.6 Problema: el volumen de la pelota en la dimensión nnn

20.6 Problema: el volumen de la pelota en la dimensión $n$