Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

23Funciones generadoras de probabilidad

La serie de potencias de Capítulo 11 regresa con una misión probabilística: a un variable aleatoria valorado en $\N$ le adjuntamos la serie de potencias con coeficientes $\P(X = n)$ . esto función generadora convierte sumas de variables independiente en productos, momentos en derivados en $1$ y duro identidades combinatorias en multiplicaciones de una línea. el El capítulo cierra el libro con dos obras maestras: el Poisson aproximación del raro eventos, y el criterio de extinción para procesos de ramificación — un proceso probabilístico genuinamente infinito cálculo resuelto completamente por la geometría de una curva convexa.

23.1 Definición y propiedades básicas.

Definición 23.1 (Función generadora de probabilidad)

Sea $X$ un variable aleatoria, $p_n = \P(X = n)$ con valor $\N$ . el función generadora de probabilidad de $X$ es la suma de los serie de potencias

G_X(t) = \E\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n\,t^n .

Ejemplo 23.2 (primeros reflejos)

Una variable constante $X = c$ tiene $G_X(t) = t^c$ ; un turno obedece $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$ ; y evaluar en puntos especiales lee información sin ninguna expansión: $G_X(0) = \P(X = 0)$ , $G_X(1) = 1$ y $G_X(-1) = \P(X\text{ even}) - \P(X\text{ odd})$ , el equilibrio de paridad explotado en Ejercicio 23.10. Estas frases ingeniosas se utilizan en silencio. en todas partes a continuación — y la evaluación $G_X(0)$ es exactamente cómo se extraerán las probabilidades de extinción de iterados funciones generadoras al final del capítulo.

Proposición 23.3 (Radio y primeras propiedades)

La serie que define $G_X$ tiene radio de convergencia $\geq 1$ ; $G_X$ está definido y continuo en $\intcc{-1}{1}$ , $\mathcal{C}^\infty$ en $\intoo{-1}{1}$ , con $G_X(1) = 1$ y $\abs{G_X(t)} \leq 1$ allí. Además $G_X$ determina el ley de $X$ :

p_n = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!} .

Demostración. Dado que $\sum p_n = 1$ converge, los términos $p_n\,1^n$ están acotados, entonces el radio es $\geq 1$ (lema de Abel, Capítulo 11); en $t = \pm1$ la serie converge absolutamente ( $\sum p_n = 1$ domina); mejor, en general intervalo $\intcc{-1}1$ ,

\sup_{\abs t\leq1}\,\abs{p_nt^n} = p_n \quad\text{with}\quad \sum_np_n < \infty :

la serie converge normalmente en $\intcc{-1}1$ , por lo que su suma es continuo ahí (Teoremas 10.16 y 10.4). Suavidad interior y coeficiente. la fórmula es la teoría general de las series de potencias; los coeficientes siendo recuperable, dos variables con el mismo función generadora tiene el mismo ley. ∎

Ejemplo 23.4 (Las leyes clásicas)

Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $G(t) = 1 - p + pt$ .
Binomio $\mathcal{B}(n, p)$ : $G(t) = \sum_k \binom nk (pt)^k(1-p)^{n-k} = (1 - p + pt)^n$ (teorema del binomio).
Geométrico $\mathcal{G}(p)$ : $G(t) = \sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p\,t^k = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ (radio $\frac{1}{1-p} > 1$ ).
Veneno $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G(t) = \sum_k e^{-\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (radio $\infty$ ).

Ejemplo 23.5 (Integrando el generador función)

Los derivados de $G_X$ y $1$ dan momentos positivos; el integral da uno negativo. Desde $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ e integración término por término (normales convergencia en $\intcc01$ ):

\int_0^1G_X(t)\,\dd t = \sum_{k\geq0}\frac{\P(X = k)}{k+1} = \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr).

Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$ :

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \int_0^1\eu^{\lambda(t-1)}\,\dd t = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda},

recuperando en una línea el cálculo de la serie de Ejemplo 22.10. El función generadora es un instrumento de dos vías: diferenciar en $1$ para el momentos $\E(X)$ , $\E(X(X-1))$ , integrar sobre $\intcc01$ para $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — un objeto analítico, consultado en cualquier dirección que necesite el problema.

Ejemplo 23.6 (Una ley con radio exactamente uno)

Deje $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ por $k \geq 1$ — a probabilidad ley por la identidad de Basilea (Ejemplo 14.12). Es función generadora $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ tiene radio de convergencia exactamente $1$ : el “radio $\geq 1$ ” limitado general de Proposición 23.3 no se puede mejorar. y la media es

\sum_{k\geq1}k\,\P(X = k) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac1k = \infty :

$G$ es continuo en $\intcc{-1}1$ , suave por dentro, pero es derivada explota en $1^-$ — el gráfico llega al punto $(1, 1)$ con tangente vertical. Las colas pesadas son visible geométricamente en el función generadora, en el punto único $t = 1$ ; el teorema de momentos siguiente hace esta correspondencia es exacta.

Teorema 23.7 (Momentos de la generación función)

$X$ tiene un expectativa si y sólo si $G_X$ es diferenciable en $1^-$ (derivada izquierda, finita) y luego $\E(X) = G_X'(1)$ . De manera similar, $X$ tiene un segundo momento si $G_X$ es dos veces diferenciable en $1^-$ , y luego

\E\bigl(X(X - 1)\bigr) = G_X''(1), \qquad V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 .

Demostración. Para $t \in \intoo{0}{1}$ , diferenciación término por término dentro del disco da $G_X'(t) = \sum_{n\geq1} np_n t^{n-1}$ , una serie con coeficientes no negativos: $t \mapsto G_X'(t)$ no es decreciente en $\intoo{0}{1}$ , y por convergencia monótona de sumas parciales (o Teorema de Abel para coeficientes no negativos, Capítulo 11),

\lim_{t \to 1^-} G_X'(t) = \sum_{n\geq1} n\,p_n \in \intcc{0}{+\infty} ,

cada lado es finito exactamente cuando el otro lo es. Cuando es finita, la media El teorema del valor comprime los cocientes de diferencia $\frac{G_X(1) - G_X(t)}{1 - t}$ entre valores de $G_X'$ , por lo que $G_X$ es diferenciable en $1^-$ con $G_X'(1) = \sum np_n = \E(X)$ (por transferencia). La declaración de segundo orden repite el argumento un nivel. arriba: $G''_X(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ es no decreciente en $\intoo01$ con límite monótono $\sum_nn(n-1)p_n = \E(X(X-1))$ , finito exactamente cuando $X$ tiene un segundo momento. La fórmula diferencia se deriva entonces de König–Huygens:

V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \E\bigl(X(X-1)\bigr) + \E(X) - \E(X)^2 = G''_X(1) + G'_X(1) - G'_X(1)^2 .

∎

Ejemplo 23.8

Poisson: $G'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$ , entonces $\E(X) = \lambda$ ; $G''(1) = \lambda^2$ , entonces $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$ — los cálculos de Capítulo 22 en uno línea cada uno.

Ejemplo 23.9 (El modo de una ley de Poisson)

¿Dónde es $\P(X = k)$ más grande para $X \sim \mathcal P(\lambda)$ ? Los pesos consecutivos se comparan mediante la relación

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\lambda}{k + 1} ,

que excede $1$ mientras que $k < \lambda - 1$ y cae por debajo $1$ una vez $k > \lambda - 1$ : los pesos suben y luego bajan, con modo $\floor\lambda$ (y un empate entre $\lambda - 1$ y $\lambda$ cuando $\lambda$ es un número entero: para $\lambda = 3$ , $\P(X = 2) = \P(X = 3) = \frac92\eu^{-3} \approx 0.224$ ). Las pruebas de proporciones sobre los coeficientes suelen ser la ruta más rápida a hechos cualitativos sobre un ley discreto — no se necesita generando función, pero los coeficientes son función generadora, leer término por término.

23.2 Sumas de variables independientes

Teorema 23.10 (multiplicatividad)

Si $X$ y $Y$ tienen el valor independiente $\N$ variables aleatorias, entonces

G_{X + Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t) \qquad (\abs t \leq 1),

y por inducción $G_{X_1 + \dots + X_n} = \prod_i G_{X_i}$ para independiente $X_1, \dots, X_n$ .

Demostración. Dos pruebas, ambas instructivas. Via esperanzas de heredar: $t^X$ y $t^Y$ son variables acotadas independiente, por lo que (Teorema 22.11)

G_{X+Y}(t) = \E\bigl(t^{X+Y}\bigr) = \E\bigl(t^X t^Y\bigr) = \E\bigl(t^X\bigr)\E\bigl(t^Y\bigr) .

Via productos cauchy: el ley de $X + Y$ es la convolución $\P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)$ , y el Teorema producto cauchy para series convergentes absolutamente (Capítulo 7) multiplica exactamente las dos series de potencias a lo largo de esta circunvolución. ∎

Ejemplo 23.11 (Estabilidad de las leyes clásicas.)

Independiente binomios con el mismo $p$ agregan: $(1 - p + pt)^m(1 - p + pt)^n = (1 - p + pt)^{m+n}$ , entonces $\mathcal{B}(m, p) + \mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(m + n, p)$ — en particular una suma de $n$ independiente variables de Bernoulli es binomial, volviendo a demostrar la ley del número de éxitos. Independiente Poissons añade: $e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda + \mu)(t-1)}$ , entonces $\mathcal{P}(\lambda) + \mathcal{P}(\mu) = \mathcal{P}(\lambda + \mu)$ — el cálculo de convolución de Ejercicio 22.2, ahora sin cómputo.

Ejemplo 23.12 (Dos dados, un polinomio al cuadrado)

Por un dado justo, $G(t) = \frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}$ ; por la suma de dos,

G(t)^2 = \frac{1}{36}\bigl(t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5 + 5t^6 + 6t^7 + 5t^8 + 4t^9 + 3t^{10} + 2t^{11} + t^{12}\bigr) :

el triangular ley de sumas de dados ( $7$ es la moda, con probabilidad $\frac6{36} = \frac16$ ), lee un polinomio cuadrado que se multiplica una vez en la vida. el fórmula de convolución habría requerido once separados contar argumentos; el función generadora los hace todos simultáneamente, porque multiplicar polinomios is coeficientes convolutivos. Esta traducción mecánica — leyes a coeficientes, sumas a productos — es el total modelo de negocio del capítulo, y Ejercicio 23.11 lo lleva a lo sorprendente Dados de Sicherman.

Ejemplo 23.13 (Tres dados y un coeficiente extracción)

Para la suma $S$ de tres dados justos, $\P(S = 10)$ es el coeficiente de $t^{10}$ en $\bigl(\frac{t + \dots + t^6}6\bigr)^3$ . Factorizar y desarrollar con el binomio y serie geométrica:

\Bigl(\frac{t(1 - t^6)}{6(1 - t)}\Bigr)^{\!3} = \frac{t^3}{216}\,\bigl(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18}\bigr)\sum_{j\geq0}\binom{j+2}2t^j .

El coeficiente de $t^{10}$ requiere $t^7$ del producto: $j = 7$ con el término $1$ y $j = 1$ con el término $-3t^6$ :

\P(S = 10) = \frac{1}{216}\Bigl(\binom92 - 3\binom32\Bigr) = \frac{36 - 9}{216} = \frac{27}{216} = \frac18 .

La enumeración directa de las tripletas $27$ es propensa a errores; el El álgebra es mecánica y se escala a cualquier número de dados. la inclusión-exclusión visible en $(1 - t^6)^3$ está funcionando el análisis del caso automáticamente.

Ejemplo 23.14 (Leyendo una ley a partir de su generador función)

¿Qué ley tiene $G(t) = \dfrac1{2 - t}$ ? Expandirse a un poder serie:

\frac{1}{2 - t} = \frac12\cdot\frac1{1 - t/2} = \sum_{k\geq0}\frac{t^k}{2^{k+1}} :

coeficientes no negativos que suman $G(1) = 1$ , por lo que este es un genuino ley, $\P(X = k) = 2^{-(k+1)}$ en $\N$ — a geométrico ley a partir de $0$ . Por unicidad (Proposición 23.3), ningún otro ley comparte esto $G$ . Reconocer leyes de su funciones generadoras es una habilidad que vale la pena explorar: así es como la ramificación crítica iterar $G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}$ del El problema del fin de semana se desenmascara como un ley geométrico condicionado. sobre la supervivencia.

Observación 23.15

La estabilidad es sólo en un sentido: las sumas de independiente Poissons son Poisson, pero las diferencias no son — $X - Y$ toma negativo valores, por lo que no tiene función generadora en absoluto, y su ley (el Skellam distribución) se encuentra fuera del alcance de este capítulo. kit de herramientas. Asimismo $\mathcal B(m, p) + \mathcal B(n, p')$ con $p \neq p'$ es el binomio no: el producto $(1 - p + pt)^m(1 - p' + p't)^n$ tiene dos ubicaciones de raíz distintas, mientras que cada pgf binomial tiene una única raíz repetida. leyendo La estabilidad de los patrones de raíz es una pequeña vista previa de cuánto estructurar las codificaciones polinómicas.

Observación 23.16 (El filtro de raíces de la unidad)

La evaluación en $-1$ separa los pares de los impares; evaluando en absoluto $m$ -ésima raíz de la unidad separa cada clase de residuo: con $\omega = \eu^{2\iu\pi/m}$ ,

\P(X \equiv r \bmod m) = \frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}\,G_X(\omega^j),

ya que promediar $\omega^{j(k-r)}$ sobre $j$ produce $1$ si $k \equiv r$ y $0$ en caso contrario. Ejemplo de dividendo: por la suma $S$ de dos dados justos, cada uno $G(\omega^j) = \frac16\sum_{k=1}^6 \omega^{jk} = -\frac16$ para $j \neq 0$ (los siete séptimos las raíces de la unidad suman cero), por lo que

\P(7 \mid S) = \frac17\Bigl(1 + 6\cdot\frac1{36}\Bigr) = \frac16 ,

confirmando el conteo de Ejemplo 23.12 — y el método se adapta a preguntas en las que el conteo directo no lo hace.

Teorema 23.17 (Sumas aleatorias: identidad de Wald para generar funciones)

Sean $(X_k)_{k\geq1}$ variables con valores independiente $\N$ con el mismo ley y función generadora $G_X$ , y dejemos que $N$ sea un Variable con valor $\N$ independiente del $X_k$ , con generando función $G_N$ . Entonces la suma aleatoria $S = X_1 + \dots + X_N$ (con $S = 0$ cuando $N = 0$ ) tiene función generadora

G_S = G_N \circ G_X .

En particular, si $N$ y $X_1$ tienen esperanzas de heredar, $\E(S) = \E(N)\,\E(X_1)$ .

Demostración. Condición en $N$ (probabilidad total, Teorema 21.14): para $\abs t \leq 1$ ,

G_S(t) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\, \E\bigl(t^{X_1 + \dots + X_n}\bigr) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,G_X(t)^n = G_N\bigl(G_X(t)\bigr),

utilizando la multiplicatividad para cada $n$ fijo y el sumabilidad de toda la doble familia ( $\abs{G_X(t)} \leq 1$ ). El intercambio de resúmenes es Fubini para familias sumable (Capítulo 7). Diferenciando en $1^-$ por la regla de la cadena y Teorema 23.7: $\E(S) = G_N'(G_X(1))\,G_X'(1) = G_N'(1)G_X'(1) = \E(N)\E(X_1)$ . ∎

Ejemplo 23.18 (Poisson compuesto: seguro anual perdidas)

Una aseguradora recibe reclamaciones $N \sim \mathcal P(\lambda)$ en un año, cada reclamo cuesta $X_k$ (unidades enteras, i.i.d., pgf $G_X$ , media $\mu$ , independiente de $N$ ). Por Teorema 23.17, la pérdida total que ha tenido $S$

G_S(t) = \eu^{\lambda(G_X(t) - 1)}, \qquad \E(S) = \lambda\mu ,

y diferenciando dos veces en $1^-$ :

V(S) = \lambda\,G_X''(1) + \lambda^2\mu^2 + \lambda\mu - (\lambda\mu)^2 = \lambda\,\E(X^2) .

El diferencia involucra el momento segundo de un solo afirmación, no su diferencia: una suma de Poisson compuesta siente el reclamo grande ocasional dos veces — una vez hasta cuántos, una vez a través de qué tan grande. Para reclamos $\lambda = 10$ de ley geométrico con media $2$ ( $\E X^2 = 6$ ): $\E S = 20$ , $V(S) = 60$ y Chebyshev (Capítulo 22) ya rinde utilizable márgenes de solvencia. Este patrón de "suma detenida aleatoriamente" es el el mismo que impulsará la recursividad ramificada de Proposición 23.23: la composición de generando funciones es el álgebra de poblaciones aleatorias.

Observación 23.19

El independencia de $N$ de los sumandos no es decorativo. Tome $X_k \in \{0, 2\}$ con probabilidades iguales y sea $N = X_1$ (flagrantemente dependiente): entonces $S = X_1 + \dots + X_N$ es $0$ cuando $X_1 = 0$ y $2 + X_2$ cuando $X_1 = 2$ , entonces $\E(S) = \frac12(2 + 1) = \frac32$ , mientras que $\E(N)\E(X_1) = 1\cdot1 = 1$ : la identidad de Wald falla. Cuando el número de términos es permitido a reaccionar a los términos mismos, la limpieza La estructura del producto colapsa — la teoría completa de tal Las reglas de “detener” es el capítulo de martingala del Año 3 volumen.

23.3 Aproximación de Poisson

Teorema 23.20 (Ley de eventos raros)

Deje $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ con $n\,p_n \to \lambda > 0$ . Luego para cada $k \in \N$ :

\P(X_n = k) \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} :

el binomio ley de muchos eventos independientes raros converge al Poisson ley del parámetro $\lambda$ .

Demostración. Cálculo directo con $p_n = \frac{\lambda_n}{n}$ , $\lambda_n \to \lambda$ :

\P(X_n = k) = \binom nk p_n^k(1 - p_n)^{n-k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot \frac{\lambda_n^k}{k!}\, \bigl(1 - \tfrac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} .

Como $n \to \infty$ con $k$ arreglado: el primer factor tiende a $1$ (producto de $k$ factores $\to 1$ ); $\lambda_n^k \to \lambda^k$ ; y $\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} = \exp\bigl((n-k)\ln(1 - \frac{\lambda_n}{n})\bigr) \to e^{-\lambda}$ desde $(n - k)\ln\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr) \sim -\lambda_n \to -\lambda$ (Capítulo 6). Alternativamente, a nivel de funciones generadoras: $G_{X_n}(t) = \bigl(1 + \frac{\lambda_n(t-1)}{n}\bigr)^n \to e^{\lambda(t - 1)} = G_{\mathcal{P}(\lambda)}(t)$ para cada $t \in [0, 1]$ fijo — convergencia de funciones generadoras, que (para valores $\N$ ) variables) es equivalente a la convergencia de cada $\P(X_n = k)$ ; ver Ejercicio 23.9. ∎

Observación 23.21

Esta es la razón por la que el modelo Poisson leyes cuenta con raros eventos — errores tipográficos por página, desintegraciones radiactivas por segundo, accidentes por día en un cruce: cada oportunidad es casi insignificante, las oportunidades son muchos, y sólo la tasa media $\lambda$ sobrevive en el límite.

Ejemplo 23.22 (Observando el límite de Poisson convergente)

Arregle $\lambda = 2$ y deje que $X_n \sim \mathcal B(n, 2/n)$ . el La probabilidad sin evento es exactamente $\P(X_n = 0) = (1 - 2/n)^n$ :

n = 10:\ 0.107, \qquad n = 20:\ 0.122, \qquad n = 50:\ 0.130, \qquad n = 100:\ 0.133,

contra el límite $\eu^{-2} \approx 0.135$ . la convergencia es monótono y de velocidad $O(1/n)$ — expandiéndose, $(1 - 2/n)^n = \eu^{-2}\bigl(1 - \tfrac2n + O(n^{-2})\bigr)$ — entonces para $n$ en cientos el modelo Poisson ya está precisión hasta el tercer dígito. Este es el contenido práctico. de la ley de eventos raros: el modelador nunca sabe $n$ y $p$ por separado (¿cuántas microoportunidades por un error tipográfico ¿una página retenida?), pero solo su producto $\lambda$ , y el El límite ley afortunadamente no depende de nada más.

23.4 Procesos de ramificación

Considere una población a partir de un antepasado; cada individuo, de forma independiente, tiene un número aleatorio de niños con ley $(p_k)_{k \in \N}$ y función generadora $G$ (el offspring distribución). Sea $Z_n$ el tamaño de la generación $n$ ( $Z_0 = 1$ ) y sea $m = G'(1) = \E(Z_1)$ el número medio de descendientes.

Proposición 23.23

El función generadora de $Z_n$ es la iteración $n$ . $G_{Z_n} = G \circ G \circ \dots \circ G$ ( $n$ veces), y el probabilidades de extinción $q_n = \P(Z_n = 0)$ satisfacen

q_0 = 0, \qquad q_{n+1} = G(q_n),

y aumentar a la probabilidad $q$ de una eventual extinción, que es un punto fijo de $G$ .

Demostración. La generación $n + 1$ es la suma aleatoria de la descendencia del $Z_n$ miembros de la generación $n$ , con recuentos independiente entre sí y de $Z_n$ : Teorema 23.17 da $G_{Z_{n+1}} = G_{Z_n} \circ G$ , y la inducción de $G_{Z_0}(t) = t$ produce el $n$ iteración veces — que, por asociatividad de composición, puede igualmente debe leerse como $G_{Z_{n+1}} = G \circ G_{Z_n}$ . evaluando este segundo formulario en $0$ : $q_{n+1} = G_{Z_{n+1}}(0) = G\bigl(G_{Z_n}(0)\bigr) = G(q_n)$ . El aumento de eventos $\{Z_n = 0\}$ (las poblaciones extintas permanecen extinto), entonces $q_n \uparrow q = \P\bigl(\bigcup_n\{Z_n = 0\}\bigr)$ por monótono continuidad (Teorema 21.6), y continuidad de $G$ en $[0, 1]$ convierte $q_{n+1} = G(q_n)$ en $q = G(q)$ en el límite. ∎

Ejemplo 23.24 (Observando cómo converge la extinción)

Para la descendencia ley $(p_0, p_1, p_2) = (\tfrac14, \tfrac14, \tfrac12)$ de Ejemplo 23.27, $G(t) = \tfrac14 + \tfrac14t + \tfrac12t^2$ y la iteración $q_{n+1} = G(q_n)$ da

q_1 = 0.25, \quad q_2 = 0.34375, \quad q_3 \approx 0.39502, \quad q_4 \approx 0.42678, \quad q_5 \approx 0.44776,

subiendo hacia la probabilidad de extinción $q = \tfrac12$ . Los espacios $q - q_n$ son $0.25$ , $0.156$ , $0.105$ , $0.073$ , $0.052$ : cada uno es aproximadamente $\tfrac34$ del anterior, y de hecho, el teorema del valor medio da $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ con $G'(q) = \tfrac14 + q = \tfrac34$ . Dos moralejas: una línea familiar aún viva en la generación $n$ tiene, incorporada en el mismo cálculo, probabilidad $q - q_n$ de estar condenado más tarde; y la tasa de convergencia de la escalera en el La siguiente figura es la derivada en el punto fijo. El problema del fin de semana convierte ambas observaciones en teoremas.

Teorema 23.25 (Criterio de extinción)

Supongamos $p_1 \neq 1$ . La probabilidad de extinción $q$ es la pequeñísimo punto fijo de $G$ en $\intcc{0}{1}$ , y:

si $m \leq 1$ (subcrítico o crítico), $q = 1$ : extinción es seguro;
si $m > 1$ (supercrítico), $q < 1$ : la población sobrevive para siempre con probabilidad positiva $1 - q$ .

Demostración. $G$ es convexo en $\intcc{0}{1}$ (serie de potencias con valores no negativos) coeficientes: $G'' \geq 0$ ), no decreciente, con $G(1) = 1$ .

Punto fijo más pequeño: deja que $r \in \intcc{0}{1}$ sea fijo punto. Luego $q_0 = 0 \leq r$ , e inductivamente $q_{n+1} = G(q_n) \leq G(r) = r$ (monotonicidad): entonces $q = \lim q_n \leq r$ .

Case $m \leq 1$ : supongamos que $r < 1$ es un punto fijo. por el teorema del valor medio en $[r, 1]$ , hay $c \in \intoo{r}{1}$ con $G'(c) = \frac{G(1) - G(r)}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1$ . pero $G'$ no es decreciente (convexidad) con $\lim_{t\to1^-}G'(t) = m \leq 1$ , por lo que $G' \leq 1$ en $\intoo{0}{1}$ ; la igualdad $G'(c) = 1$ obliga a $G'$ a ser constante igual a $1$ en $\intco{c}{1}$ , por lo tanto $G'' = \sum n(n-1)p_nt^{n-2} \equiv 0$ allí. una serie de potencias con coeficientes no negativos que desaparecen en un intervalo tiene todo estos coeficientes son cero: $p_n = 0$ para $n \geq 2$ , por lo que $G(t) = p_0 + p_1t$ y $1 = G'(c) = p_1$ — contradicen la hipótesis $p_1 \neq 1$ . Entonces $1$ es el único punto fijo: $q = 1$ .

Caso $m > 1$ : cerca de $1$ , $G(t) - t$ tiene el derivado $G'(t) - 1 \to m - 1 > 0$ como $t \to 1^-$ , por lo que $G(t) - t < G(1) - 1 = 0$ sigue algún intervalo $\intoo{1 - \delta}{1}$ : la función continuo $G(t) - t$ es $\geq 0$ en $t = 0$ ( $G(0) = p_0 \geq 0$ ) y $< 0$ justo debajo de $1$ , por lo que desaparece en algún $r < 1$ (valor intermedio teorema). El punto fijo más pequeño es entonces $q \leq r < 1$ . ∎

Extinction probabilities as a fixed-point iteration q_n+1 = G(q_n) starting at q_0 = 0 (red staircase). Left: a subcritical offspring ley — the convex curve stays above the diagonal, the iteration climbs to the unique fixed point 1. Right: a supercritical ley — the curve crosses the diagonal at q < 1, where the iteration stops: survival has probability 1 - q > 0. — **Figura 23.1.** Extinction probabilities as a fixed-point iteration $q_{n+1} = G(q_n)$ starting at $q_0 = 0$ (red staircase). Left: a subcritical offspring ley — the convex curve stays above the diagonal, the iteration climbs to the unique fixed point $1$ . Right: a supercritical ley — the curve crosses the diagonal at $q < 1$ , where the iteration stops: survival has probability $1 - q > 0$ .

Observación 23.26 (Cómo leer la telaraña)

En la figura, se aplica un movimiento vertical $G$ (de $(q_n, q_n)$ hasta $(q_n, G(q_n))$ ), un movimiento horizontal a la diagonal convierte salida en entrada: la escalera is la recursión $q_{n+1} = G(q_n)$ . Convexidad de $G$ y $G(1) = 1$ Deje sólo dos geometrías. O la curva se mantiene por encima del diagonal en $\intco01$ (media $m \leq 1$ ): la escalera tiene No hay ningún lugar donde detenerse antes de $1$ . O la curva cruza en algún $q < 1$ ( $m > 1$ ): la escalera queda atrapada debajo del cruce y converge a él, a la razón geométrica $G'(q) < 1$ cuantificado en Ejemplo 23.24. todos los El análisis del teorema de la extinción es visible en este. imagen — por eso vale la pena dibujar antes informática.

Ejemplo 23.27

Descendiente ley: ningún hijo, un hijo, dos hijos con probabilidades $\frac14, \frac14, \frac12$ . Luego $m = \frac14 + 1 = \frac54 > 1$ y $G(t) = \frac14 + \frac14 t + \frac12 t^2$ . Fijo puntos: $\frac12 t^2 - \frac34 t + \frac14 = 0$ , es decir $2t^2 - 3t + 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$ : $q = \frac12$ . La línea familiar muere sale con probabilidad $\frac12$ — y con probabilidad $\frac12$ vive para siempre.

Observación 23.28 (Perspectivas dentro de este volumen)

El capítulo es la encrucijada del libro, y cada ingrediente llegó de un lugar determinado: el álgebra de series de Capítulo 7 y Capítulo 11, el probabilidad de Capítulo 21 (monótono continuidad prueba $q_n \uparrow q$ ) y Capítulo 22 ( $G_X = \E(t^X)$ es un expectativa, la multiplicatividad es el producto teorema), la convexidad desde Capítulo 8 hasta Capítulo 17. Incluso las patologías de cola pesada se conectan: la variable de San Petersburgo del capítulo anterior tiene $G(t) = \sum_k2^{-k}t^{2^k}$ , una serie perfectamente convergente en $\intcc01$ cuya derivada en $1^-$ diverge — media infinita, visible de un vistazo. Un objeto, cada herramienta del año: un último capítulo apropiado.

Observación 23.29 (Errores comunes)

(i) Funciones generadoras se aplica únicamente a variables con valores $\N$ : para variables con signo o no enteras, el objeto $\E(t^X)$ pierde su estructura de series de potencias (el año 3 la reemplaza con transformaciones adaptadas a $\R$ ). (ii) El primer control de cordura de cualquier $G$ calculado es $G(1) = 1$ ; el segundo es que el los coeficientes no son negativos — un coeficiente negativo significa un error de álgebra, no un nuevo ley. (iii) En sumas aleatorias, el orden de composición importa: $G_S = G_N \circ G_X$ , el Función exterior contando los términos; componiendo el otra manera no tiene sentido ( $G_X \circ G_N$ contaría elementos de artículos). (iv) La multiplicatividad necesita independencia y distintas fuentes de aleatoriedad: $G_{2X}(t) = G_X(t^2)$ , no $G_X(t)^2$ . (v) Diferenciar en $1$ es un límite operación: cuando el radio es exactamente $1$ , como en Ejemplo 23.6, $G'(1^-)$ puede ser infinito, y la formulación del límite monótono del teorema de los momentos no es una sutileza pedante pero una declaración honesta.

cerrando el volumen

El función generadora es un objeto final apropiado para este libro: es simultáneamente una serie de potencias (Capítulo 11), una herramienta de familias sumable (Capítulo 7), una expectativa (Capítulo 22), una función convexa cuya geometría decide extinción (Capítulo 8) y una iteración de punto fijo (Capítulo 4). Las matemáticas del año 2 son una materia. El volumen del Año 3 abrirá las puertas que deliberadamente se dejaron cerradas. aquí: integración de Lebesgue (descargando la convergencia dominada teorema de Capítulo 9), teoría de la medida probabilidad en espacios incontables y la función inversa demostración completa del teorema (Capítulo 15) en el marco de geometría diferencial.

23.5 Ceremonias

Ejercicio 23.1 ★

Calcule el función generadora del uniforme ley en $\{1, 2, \dots, 6\}$ (un dado justo). Demuestre que la suma de dos dados justos no puedo ser uniforme en $\{2, \dots, 12\}$ : factor $G_{X+Y}$ y contar raíces. (A uniform sum would force $G_X(t)G_Y(t) = \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k$ , whose nonzero roots are the $11$ -th roots of unity other than $1$ — none of them real — while $G_X/t$ and $G_Y/t$ are real polynomials of degree $5$ , each owning at least one real root.)

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

Troquel justo: $G(t) = \frac16(t + t^2 + \dots + t^6) = \frac t6(1 + t + \dots + t^5)$ . Si la suma de dos dados justos fuera uniforme en $\{2, \dots, 12\}$ , entonces

G(t)^2 = \frac{t^2}{36}\,h(t)^2 = \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k , \qquad h(t) = 1 + t + \dots + t^5 .

Ahora $h$ es un polinomio real de grado impar $5$ , por lo que tiene un polinomio real raíz (teorema del valor intermedio; concretamente $h(-1) = 0$ ), por lo tanto $h^2$ tiene una raíz real. Pero $\sum_{k=0}^{10}t^k$ no tiene ninguno: es positivo para $t \geq 0$ , y para $t < 0$ es igual $\frac{t^{11} - 1}{t - 1}$ , cociente de dos números negativos. Contradicción — la suma de dos dados justos nunca es uniforme (como el conocido triangular distribución de sumas de dados lo confirma).

Ejercicio 23.2 ★

Usando funciones generadoras recupere $\E$ y $V$ para el binomio y geométrico leyes (Teorema 23.7).

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

Binomio: $G(t) = (1 - p + pt)^n$ , $G'(t) = np(1 - p + pt)^{n-1}$ , $G''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$ , entonces

\E(X) = G'(1) = np, \qquad V(X) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p).

Geométrico ( $q = 1 - p$ ): $G(t) = \frac{pt}{1 - qt}$ , entonces $G'(t) = \frac{p}{(1 - qt)^2}$ y $G''(t) = \frac{2pq}{(1 - qt)^3}$ ; en $t = 1$ (usando $1 - q = p$ ):

\E(X) = \frac{p}{p^2} = \frac1p, \qquad V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2} = \frac{2q + p - 1}{p^2} = \frac{q}{p^2} ,

haciendo coincidir Ejercicio 22.1 con menos trabajo.

Ejercicio 23.3 ★

Dos dados cargados: ¿es posible cargar dos dados (de forma independiente, idénticamente o no) para que su suma sea uniforme en $\{2, \dots, 12\}$ ? (Same factorization obstruction as in Ejercicio 23.1: the answer is no even with different loadings, because each factor $G_X(t)/t$ has odd degree $5$ , hence a real root, while the target has none.)

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

No, incluso con cargas diferentes. Supongamos que $X, Y$ son leyes activados. $\{1, \dots, 6\}$ con suma uniforme. Luego $G_X(t) = t\,a(t)$ y $G_Y(t) = t\,b(t)$ con $a, b$ polinomios reales de grado en la mayoría $5$ — y sus grados deben sumar $10$ (la suma llega $12$ con probabilidad positiva), entonces $\deg a = \deg b = 5$ , ambos extraño. Como en Ejercicio 23.1,

a(t)\,b(t) = \frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k

forzaría una raíz real a la izquierda (cada real de grado impar polinomio tiene uno) y ninguno a la derecha. Entonces no hay carga de dos independiente dados — iguales o no — producen una suma uniforme.

Ejercicio 23.4 ★★

Sea $X_1, X_2, \dots$ independiente Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ y $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ independiente de ellos. mostrar, a través de Teorema 23.17, que $S = X_1 + \dots + X_N \sim \mathcal{P}(\lambda p)$ : un número de Poisson de elementos, cada uno conservado con probabilidad $p$ , deja un número de Poisson — adelgazamiento. Calcula también el ley del conteo descartado y admira: es $\mathcal{P}(\lambda(1-p))$ , y se puede demostrar que es independiente. de $S$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

Por Teorema 23.17 con $G_N(s) = e^{\lambda(s-1)}$ y $G_X(t) = 1 - p + pt$ :

G_S(t) = e^{\lambda(1 - p + pt - 1)} = e^{\lambda p(t - 1)} :

$S \sim \mathcal{P}(\lambda p)$ . El conteo descartado $D = N - S$ cuenta los mismos elementos mantenidos con probabilidad $1 - p$ , por lo que por mismo cálculo $D \sim \mathcal{P}(\lambda(1 - p))$ . Independencia, directamente: para $j, k \in \N$ ,

\begin{align*} \P(S = j,\ D = k) &= \P(N = j + k)\,\binom{j+k}{j}p^jq^k = e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j+k}}{(j+k)!}\, \frac{(j+k)!}{j!\,k!}\,p^jq^k\\ &= \Bigl(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^j}{j!}\Bigr) \Bigl(e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\Bigr) \end{align*}

con $q = 1 - p$ : los factores conjuntos ley como $\mathcal{P}(\lambda p) \otimes \mathcal{P}(\lambda q)$ . Un veneno la división del flujo al azar produce independiente flujos de Poisson — un pequeño milagro que se utiliza constantemente en la teoría de colas.

Ejercicio 23.5 ★★

(Binomio negativo) Sea $T_r$ el número de lanzamientos a obtener $r$ cara (probabilidad de cara $p$ ). Escribe $T_r$ como suma de $r$ independiente variables geométricas, deducir

G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\Bigr)^{r}, \qquad \E(T_r) = \frac rp, \qquad V(T_r) = \frac{r(1-p)}{p^2},

y expanda $G_{T_r}$ para encontrar $\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1} p^r(1-p)^{n-r}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

Los tiempos de espera entre cabezas consecutivas son independiente variables geométricas $\mathcal{G}(p)$ (falta de memoria: después de cada cabeza el juego se reinicia), por lo $T_r = W_1 + \dots + W_r$ y multiplicatividad (Teorema 23.10) da

G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - qt}\Bigr)^{r}, \qquad \E(T_r) = r\,\E(W_1) = \frac rp, \qquad V(T_r) = r\,V(W_1) = \frac{rq}{p^2}

( $q = 1 - p$ ; variaciones agregado por independencia). Ampliación: por el serie binomial generalizada (Capítulo 11), $(1 - qt)^{-r} = \sum_{m\geq0} \binom{m + r - 1}{r - 1}q^mt^m$ , por lo que el coeficiente de $t^n$ en $p^rt^r(1 - qt)^{-r}$ es (con $m = n - r$ )

\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r}, \qquad n \geq r ,

el binomio negativo ley — combinatoriamente: el $r$ -ésimo la cabeza cae en el lanzamiento $n$ si las cabezas $r - 1$ anteriores eligen su lugares entre los primeros $n - 1$ lanzamientos.

Ejercicio 23.6 ★★

Para la descendencia ley $p_0 = \frac18$ , $p_1 = \frac38$ , $p_2 = \frac38$ , $p_3 = \frac18$ : calcule $m$ , decida supercriticidad y calcular la probabilidad de extinción $q$ exactamente. (Factoriza la raíz $t = 1$ de $G(t) - t$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

$m = 1\cdot\frac38 + 2\cdot\frac38 + 3\cdot\frac18 = \frac{3 + 6 + 3}{8} = \frac32 > 1$ : supercrítico. El función generadora es

G(t) = \frac{1 + 3t + 3t^2 + t^3}{8} = \frac{(1 + t)^3}{8} ,

entonces los puntos fijos resuelven $(1 + t)^3 = 8t$ , es decir, $t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = 0$ . Factorizando la raíz garantizada $t = 1$ :

t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = (t - 1)\bigl(t^2 + 4t - 1\bigr),

y $t^2 + 4t - 1 = 0$ da $t = -2 \pm \sqrt5$ . la raíz en $\intco{0}{1}$ es $\sqrt5 - 2 \approx 0.236$ : por Teorema 23.25,

q = \sqrt 5 - 2 .

(Un control agradable: la descendencia ley es la de $3$ independiente monedas justas, $Z_1 \sim \mathcal{B}(3, \frac12)$ .)

Ejercicio 23.7 ★★★

(Progenie total) En un subcrítico proceso de ramificación ( $m < 1$ ), sea $Y = \sum_{n\geq0} Z_n$ sea el número total de individuos alguna vez nacido. Mostrar $\E(Y) = \sum_n m^n = \frac{1}{1 - m}$ (justificar el intercambio de sumatorias), y probar que el función generadora $H = G_Y$ satisface la ecuación funcional $H(t) = t\,G(H(t))$ . (The ancestor, plus the total progenies of each of its children, which are independiente copies of $Y$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

Expectativa. Primer $\E(Z_n) = m^n$ : por Teorema 23.17, $\E(Z_{n+1}) = \E(Z_n)\,m$ y $\E(Z_0) = 1$ . La familia $\bigl(Z_n(\omega)\P(\{\omega\}) \bigr)_{n, \omega}$ no es negativa, por lo que aplica Fubini para familias. incondicionalmente:

\E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty}\E(Z_n) = \sum_{n=0}^\infty m^n = \frac{1}{1 - m} < \infty

(en particular, $Y$ es casi seguramente finito: consistente con extinción segura en el caso subcrítico).

Ecuación funcional. Descomponer la población por el hijos del antepasado: si el antepasado tiene hijos $Z_1 = k$ , el la progenie total es $Y = 1 + Y_1 + \dots + Y_k$ , donde $Y_i$ es el La progenie total de la línea infantil $i$ -ésima — y la $Y_i$ son independiente copias de $Y$ , independientes de $Z_1$ (líneas distintas utilizar disjunto, reproducción independiente eventos). Acondicionamiento en $Z_1$ como en Teorema 23.17:

H(t) = \E\bigl(t^Y\bigr) = t\sum_{k=0}^\infty \P(Z_1 = k)\,H(t)^k = t\,G\bigl(H(t)\bigr),

el factor $t$ representa al antepasado mismo. (Para el ley $p_0 = 1 - p$ , $p_2 = p$ de ramificación binaria, esta cuadrática La ecuación en $H$ se puede resolver explícitamente y expandirse — la números catalanes de Capítulo 11 cuenta la familia árboles.)

Ejercicio 23.8 ★★★

Dejemos que $X$ tenga función generadora $G$ con radio de convergencia $> 1$ . Pruebe el cola exponencial ligada: hay $C > 0$ y $\rho \in \intoo{0}{1}$ con $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ . (Markov aplicó a $t^X$ para un $t > 1$ fijo dentro del disco.) Por el contrario, muestre que si $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ con $\rho < 1$ , el radio de $G$ es $\geq 1/\rho > 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

Sea $R > 1$ el radio y arregle $t \in \intoo{1}{R}$ . entonces $\E(t^X) = G(t) < \infty$ y la desigualdad de Markov (Teorema 22.15) aplicado al no negativo variable $t^X$ en el nivel $t^n$ :

\P(X \geq n) = \P\bigl(t^X \geq t^n\bigr) \leq \frac{G(t)}{t^n} = C\rho^n, \qquad C = G(t),\quad \rho = \frac1t \in \intoo{0}{1}.

Conversar: si $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ , entonces $p_n \leq \P(X \geq n) \leq C\rho^n$ , entonces para $\abs t < \frac1\rho$ el La serie $\sum p_n\abs t^n$ está dominada por la geometría convergente. serie $C\sum(\rho\abs t)^n$ : el radio es al menos $\frac1\rho > 1$ . Radio del función generadora y geométrico. decadencia de la cola son dos caras de la misma propiedad.

Ejercicio 23.9 ★★★

(Teorema Continuidad, caso elemental) Sea $X, X_1, X_2, \dots$ $\N$ valorado con $G_{X_n}(t) \to G_X(t)$ por cada $t \in \intco{0}{1}$ . Muestre que $\P(X_n = k) \to \P(X = k)$ para cada $k$ . (Induction on $k$ : for $k = 0$ take $t \to 0$ — carefully: fix $t$ small, use $\abs{\P(X_n = 0) - G_{X_n}(t)} \leq \frac{t}{1-t}$ , valid since the tail $\sum_{j \geq 1}p_jt^j \leq \frac{t}{1 - t}$ ; then diagonalize. For the induction step, consider $\frac{G(t) - \P(X = 0)}{t}$ , the función generadora of a shifted ley.)

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

Escriba $p_k^{(n)} = \P(X_n = k)$ , $p_k = \P(X = k)$ .

Caso $k = 0$ . Para $t \in \intoo{0}{1}$ y cualquier ley $(q_j)$ con $\sum_j q_j \leq 1$ :

\Bigl|\,q_0 - \sum_j q_jt^j\Bigr| = \sum_{j \geq 1} q_j t^j \leq \sum_{j\geq1}t^j = \frac{t}{1 - t} .

Por lo tanto

\abs{p_0^{(n)} - p_0} \leq \frac{2t}{1 - t} + \abs{G_{X_n}(t) - G_X(t)} .

Dado $\varepsilon > 0$ , elija $t$ con $\frac{2t}{1-t} < \frac\varepsilon2$ , luego $n_0$ de modo que el último término sea $< \frac\varepsilon2$ para $n \geq n_0$ : entonces $p_0^{(n)} \to p_0$ .

Paso de inducción. Supongamos $p_j^{(n)} \to p_j$ para $j < k$ . Considere las funciones desplazado

g_n(t) = \frac{G_{X_n}(t) - p^{(n)}_0}{t} = \sum_{j\geq0} p^{(n)}_{j+1}t^j, \qquad g(t) = \frac{G_X(t) - p_0}{t} ,

funciones generadoras de las secuencias de subprobabilidad $(p^{(n)}_{j+1})_j$ (masa total $\leq 1$ , que es toda la $k = 0$ argumento utilizado). Para el fijo $t \in \intoo{0}{1}$ , $g_n(t) \to g(t)$ por hipótesis y el caso $k = 0$ . Al aplicar el argumento $k = 0$ a $g_n$ se obtiene $p_1^{(n)} \to p_1$ ; iterando el cambiar $k$ veces da $p_k^{(n)} \to p_k$ por cada $k$ . (Esto es el ejemplo discreto y elemental del teorema continuidad de Lévy, cuya forma general — para funciones características — es un Año 3 punto de referencia.)

Ejercicio 23.10 ★

(Truco de paridad) Muestre que para una variable $X$ con valor $\N$ ,

\P(X \text{ even}) = \frac{1 + G_X(-1)}{2} ,

y calcular esta probabilidad para $X \sim \mathcal P(\lambda)$ y $X \sim \mathcal B(n, p)$ . ¿Qué significa $G_X(-1) \to 0$ ? probabilísticamente?

Solución

Solución de Ejercicio 23.10.

Puntualmente, $\frac{1 + (-1)^X}{2}$ es igual a $1$ cuando $X$ es par y $0$ cuando es impar, por lo que tomando esperanzas de heredar (transferencia),

\P(X \text{ even}) = \frac{1 + \E\bigl((-1)^X\bigr)}2 = \frac{1 + G_X(-1)}2 .

Poisson: $\frac{1 + \eu^{-2\lambda}}2 \to \frac12$ como $\lambda$ crece. Binomio: $\frac{1 + (1 - 2p)^n}2$ . en ambos casos $G_X(-1) \to 0$ dice que la paridad de $X$ se vuelve justa moneda: el ley se extiende sobre muchos números enteros y olvida su paridad.

Ejercicio 23.11 ★★

(Dados de Sicherman) Verificar la factorización del dado justo. función generadora

\frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6} = \frac{t\,(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)}{6},

y demostrar que los dos dados con caras $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ y $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ tienen funciones generadoras $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6$ y $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6$ , cuyo producto es el de dos dados estándar: estos dados exóticos producen cada total $2, \dots, 12$ con exactamente las probabilidades estándar.

Solución

Solución de Ejercicio 23.11.

$t + \dots + t^6 = t\,\frac{1 - t^6}{1 - t}$ y $1 - t^6 = (1 - t)(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)$ , dando lo indicado factorización. Para el primer dado, $(1 + t)(1 + t + t^2) = 1 + 2t + 2t^2 + t^3$ , por lo que $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6 = \frac{t + 2t^2 + 2t^3 + t^4}6$ : se enfrenta a $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ . Para el segundo, expandir

(1 + 2t + 2t^2 + t^3)(1 - t + t^2)^2 = 1 + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^7,

entonces $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6 = \frac{t + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + t^8}6$ : caras $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ . el producto de los dos funciones generadoras reagrupa los seis factores en $\bigl(\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)}6 \bigr)^2$ , el cuadrado de la función del dado estándar: el El par Sicherman tiene exactamente el estándar ley para el total — funciones generadoras clasificará todas estas reagrupaciones.

Ejercicio 23.12 ★★★

(Esperando dos caras seguidas) Una moneda con probabilidad de cara Se lanza $p$ hasta que aparecen dos caras consecutivas; sea $T$ el número de lanzamientos (el juego de Ejercicio 21.6). Condicionando los primeros lanzamientos, obtenga un sistema lineal para el funciones generadoras de los estados “sin jefe actual” y "un jefe actual", y concluir

G_T(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pqt^2} \qquad (q = 1 - p);

marque $G_T(1) = 1$ y $\E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}$ ( $= 6$ por una moneda justa).

Solución

Solución de Ejercicio 23.12.

Sea $A$ y $B$ el funciones generadoras del resto duración comenzó desde “sin cabezal actual” y “un cabezal actual cabeza”. Se gasta un lanzamiento, entonces: del estado $0$ , cruz regresa al estado $0$ , la cabeza pasa al estado $1$ ; del estado $1$ , cara termina el juego, cruz vuelve al estado $0$ :

A(t) = t\bigl(q\,A(t) + p\,B(t)\bigr), \qquad B(t) = t\bigl(p + q\,A(t)\bigr).

Sustituyendo: $A(1 - qt) = pt\,B = pt(pt + qtA)$ , entonces

G_T(t) = A(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pq\,t^2} .

En $t = 1$ el denominador es $1 - q - pq = p(1 - q) = p^2$ : $G_T(1) = 1$ , el juego termina casi con seguridad (como Ejercicio 21.6 mostrado por recursividad). logarítmico diferenciación en $1$ : $\E(T) = 2 - \frac{D'(1)}{D(1)}$ con $D(t) = 1 - qt - pqt^2$ , $D'(1) = -q - 2pq$ :

\E(T) = 2 + \frac{q + 2pq}{p^2} = \frac{2p^2 + q + 2pq}{p^2} = \frac{1 + p}{p^2},

que es $6$ para $p = \frac12$ .

23.6 Problema: el proceso Galton-Watson, resuelto

Problema 23.1

Problema de fin de semana — tasas de crecimiento, exactas Soluciones, descendencia total y la crítica de Kolmogorov. estimación

El criterio de extinción (Teorema 23.25) divide los procesos de ramificación en subcrítico, crítico y supercrítico — pero dice nada sobre tarifas: qué tan rápido muere una línea condenada, qué tan rápido grande crece el superviviente. Este problema los calcula. mantenemos la notación del capítulo: descendencia ley $(p_k)$ con pgf $G$ , media $m = G'(1)$ , tamaños de generación $Z_n$ ( $Z_0 = 1$ ), itera $G_n = G_{Z_n}$ , probabilidades de extinción $q_n = \P(Z_n = 0) \uparrow q$ ; siempre asumimos $p_1 \neq 1$ y, donde segundo Aparecen momentos, $G''(1) < \infty$ , y escribimos $\sigma^2 = V(Z_1)$ .

Parte I — Moments of the generations.

Mostrar $\E(Z_n) = m^n$ (chain rule on $G_n = G \circ G_{n-1}$ at $1^-$ , using $G_{n-1}(1) = 1$ and Teorema 23.7).
Establece la recursividad $G_n''(1) = G''(1)\,m^{2(n-1)} + m\,G_{n-1}''(1)$ y resuélvela: $G_n''(1) = G''(1)\,m^{n-1}\dfrac{m^n - 1}{m - 1}$ para $m \neq 1$ y $G_n''(1) = n\,G''(1)$ para $m = 1$ .
Deducir

$V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\,\frac{m^n - 1}{m - 1} \quad (m \neq 1), \qquad V(Z_n) = n\,\sigma^2 \quad (m = 1).$
(tasa subcrítica, límite superior) Para $m < 1$ , mostrar $\P(Z_n > 0) \leq m^n$ (Markov en el $Z_n$ con valor entero): la extinción es segura con un tasa geométrica — un refinamiento cuantitativo de la criterio del capítulo.
(tasa subcrítica, límite inferior) Usando Cauchy–Schwarz en $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0}$ , mostrar

$\P(Z_n > 0) \geq \frac{\E(Z_n)^2}{\E(Z_n^2)} \geq c\,m^{n} \quad\text{with}\quad c = \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1} :$

la tasa geométrica $m^n$ es exacta hasta constantes.

Parte II — The geometric family, solved exactly. Sea geométrica la descendencia ley en $\N$ : $p_k = qp^k$ ( $k \geq 0$ ), con $0 < p < 1$ , $q = 1 - p$ .

Calcular $G(t) = \dfrac{q}{1 - pt}$ y $m = \dfrac pq$ ; Ubique los tres regímenes en términos de $p$ .
Resuelva $G(t) = t$ : muestra que los puntos fijos son $1$ y $q/p = 1/m$ , y recuperar la probabilidad de extinción. $q_{\mathrm{ext}} = \min(1, 1/m)$ .
Demostrar por inducción las formas cerradas.

$q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} \quad (m \neq 1), \qquad q_n = \frac{n}{n+1} \quad (m = 1).$
Deduce las tarifas exactas: $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ en el caso subcrítico, y $q_{\mathrm{ext}} - q_n \sim \dfrac{m - 1}{m^{2}}\cdot m^{-n}$ en el caso caso supercrítico; comprobar que el supercrítico La relación de contracción es $G'(q_{\mathrm{ext}}) = 1/m$ .
Caso crítico ( $p = \tfrac12$ ): calcule $\sigma^2 = 2$ y anote $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : la supervivencia decae como $\frac1n$ — ni geométrico ni sumable.
Aún crítico: probar por inducción la iteración completa

$G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n + 1 - nt},$

y deducir que condicionado a la supervivencia, $Z_n$ es geométrico en $\N^*$ con el parámetro $\frac1{n+1}$ :

$\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1} \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k-1}, \qquad \E(Z_n \mid Z_n > 0) = n + 1 .$

La línea promedio muere, pero las líneas supervivientes tienen Tamaño del pedido $n$ .

Parte III — Total progeny. Sea $Y = \sum_{n\geq0}Z_n \in \N^* \cup \{\infty\}$ el número total de individuos nacidos vivos, y $H(t) = \sum_{k\geq1}\P(Y = k)t^k$ .

Justifique $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ , y recuperar de Ejercicio 23.7 el funcional ecuación $H(t) = t\,G(H(t))$ (cuya derivación no no utilice $m < 1$ ).
(ramificación binaria) Para $p_0 = p_2 = \frac12$ (crítico), resuelve la ecuación funcional:

$H(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t},$

y expandir con Ejemplo 11.21 para conseguir

$\P(Y = 2k + 1) = \frac{C_k}{2^{2k+1}}, \qquad C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k ;$

comprobar los valores $\P(Y = 1) = \frac12$ y $\P(Y = 3) = \frac18$ mediante conteo directo.
Diferenciando la ecuación funcional en $1^-$ , mostrar que $\E(Y) = \frac{1}{1-m}$ para $m < 1$ , mientras que fuerzas de criticidad $\E(Y) = \infty$ : las fuerzas críticas la progenie total es finita casi seguramente con infinitas decir.
Con las asintóticas binomiales centrales (Ejemplo 6.14), mostrar

$\P(Y = 2k+1) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,k^{3/2}},$

una cola pesada $k^{-3/2}$ , y deducir $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ (límites superior e inferior de este orden es suficiente).
Comparar con la feria paseo aleatorio (el fin de semana problema de Capítulo 21): cierto pero tiempos de retorno medios infinitos allí, ciertos pero progenie total de media infinita aquí, ambos con $n^{-3/2}$ leyes locales. Un párrafo sobre por qué La criticidad produce esta firma.

Parte IV — Kolmogorov’s estimate at criticality. Supongamos $m = 1$ , $0 < \sigma^2 = G''(1) < \infty$ .

Mostrar que $G''$ extiende continuamente a $\intcc01$ (creciente no negativo con límite finito) y deducir la expansión de Taylor en $1$ :

$G(t) = t + b\,(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr), \qquad b = \frac{G''(1)}2 = \frac{\sigma^2}2 .$
Para $t \in \intco01$ , establezca $h(t) = \dfrac1{1 - G(t)} - \dfrac1{1 - t}$ . Mostrar

$h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)} \xrightarrow[t\to1^-]{} b .$
Telescopio a lo largo de la iteración $q_{j+1} = G(q_j)$ :

$\frac1{1 - q_n} = 1 + \sum_{j=0}^{n-1}h(q_j),$

y concluir con un argumento de Cesaro que

$\P(Z_n > 0) = 1 - q_n \sim \frac{2}{\sigma^2\,n}$

— La estimación de Kolmogorov: cada crítico proceso de ramificación muere al ritmo universal $1/n$ , con solo el constante recuerdo de la descendencia ley.
Verifique la estimación con la geometría crítica. Caso de la pregunta 10.
Deduce $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \dfrac{1}{1 - q_n} \sim \dfrac{\sigma^2 n}{2}$ (note $\E(Z_n \mathbf 1_{Z_n>0}) = \E(Z_n) = 1$ ) y compruébalo. contra la pregunta 11: condicionada a la supervivencia, la la población crece linealmente — el punto crítico la cuerda floja entre la muerte y la explosión.

Part V — Applications and synthesis.

(Epidemias, reacciones en cadena) Para una descendencia de Poisson ley $\mathcal P(\lambda)$ — cada caso contagia $\mathcal P(\lambda)$ casos nuevos — escriba el ecuación de extinción $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ y resuélvalo numéricamente para $\lambda = 1.5$ ( $q \approx 0.417$ ) y $\lambda = 2$ ( $q \approx 0.203$ ): A partir de un caso, se produce un brote importante. no seguro incluso cuando $\lambda > 1$ . explicar ¿Por qué la iteración $q_{n+1} = \eu^{\lambda(q_n - 1)}$ ? de $q_0 = 0$ converge a la raíz derecha.
A partir de $k$ ancestros en lugar de uno, demuestre que la probabilidad de extinción es $q^k$ . Aplicación: con $\lambda = 1.5$ , ¿cuántos casos iniciales forman una ¿Es probable que haya un brote al menos $99\%$ ?
(Condicionando un proceso supercrítico a la extinción) Para $m > 1$ con probabilidad de extinción $q \in \intoo01$ : primero demuestre por convexidad que $G'(q) < 1$ en el punto fijo más pequeño y deducir $q_{\mathrm{ext}} - q_n = O\bigl(G'(q)^n\bigr)$ (convergencia geométrica, como se ejemplifica en la pregunta 9). Luego muestra que $\widehat G(t) = G(qt)/q$ es el pgf. de una descendencia genuina ley, con media $\widehat m = G'(q) < 1$ : un proceso acompañante subcrítico. verificar sobre la familia geométrica: condicionando la proceso supercrítico $(p, q)$ en swaps de extinción $p$ y $q$ . (La declaración completa — el condicionado proceso is el proceso complementario — está probado en el volumen del Año 3; aquí lo has verificado sombra de función generadora.)
Síntesis: elaborar la tabla de tricotomías — para $m < 1$ , $m = 1$ , $m > 1$ : valor de $q$ ; tasa de $\P(Z_n > 0)$ o de $q - q_n$ ; $\E(Y)$ ; tamaño de un sobreviviente generación. Indique en una oración por herramienta cómo composición de pgfs, convexidad, Taylor en $1^-$ y Cesaro promediando se llevó todo el problema, y lo que el volumen del Año 3 agrega (la martingala $Z_n/m^n$ y Límite exponencial de Yaglom ley).

Solución

Solución de Problema 23.1.

1. Para $t \in \intoo01$ , la regla de la cadena en $G_n = G \circ G_{n-1}$ da $G_n'(t) = G'\bigl(G_{n-1}(t)\bigr)G_{n-1}'(t)$ . Como $t \to 1^-$ , $G_{n-1}(t) \uparrow 1$ y $G'$ no son decrecientes con límite izquierdo $m$ en $1$ , por lo que el primer factor tiende a $m$ ; por inducción el segundo tiende a $m^{n-1}$ . Por Teorema 23.7, $\E(Z_n) = G_n'(1^-) = m^n$ .

2. Diferenciándose una vez más,

G_n'' = G''(G_{n-1})\,(G_{n-1}')^2 + G'(G_{n-1})\,G_{n-1}'',

y dejando $t \to 1^-$ : $a_n = G''(1)m^{2(n-1)} + m\, a_{n-1}$ con $a_n = G_n''(1)$ , $a_1 = G''(1)$ . Para $m \neq 1$ se comprueba por inducción que $a_n = G''(1)\,m^{n-1} \frac{m^n - 1}{m - 1}$ (la recursividad añade $G''(1)m^{2n-2}$ a $m\cdot G''(1)m^{n-2}\frac{m^{n-1}-1}{m-1}$ , y $m^{n-1} + \frac{m^{n-1}-1}{m-1} = \frac{m^n - 1}{m-1}$ ); para $m = 1$ , $a_n = a_{n-1} + G''(1) = n\,G''(1)$ .

3. $V(Z_n) = a_n + m^n - m^{2n}$ y $G''(1) = \sigma^2 + m^2 - m$ . Para $m \neq 1$ , la pieza $(m^2 - m)m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1} = m^n(m^n - 1)$ cancela exactamente $m^n - m^{2n}$ , quedando $V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1}$ . Para $m = 1$ : $V(Z_n) = nG''(1) = n\sigma^2$ .

4. $Z_n$ es una variable entera no negativa, por lo que $\P(Z_n > 0) = \P(Z_n \geq 1) \leq \E(Z_n) = m^n$ por Markov (Teorema 22.15). Para $m < 1$ esto decae geométricamente — y sumablemente, por lo que Borel–Cantelli incluso da que sólo un número finito de generaciones no están vacías, lo cual es extinción nuevamente.

5. Cauchy–Negro: $\E(Z_n)^2 = \E(Z_n\mathbf 1_{Z_n>0})^2 \leq \E(Z_n^2)\,\P(Z_n > 0)$ . con la pregunta 3 y $m < 1$ :

\E(Z_n^2) = V(Z_n) + m^{2n} \leq \frac{\sigma^2m^{n-1}}{1-m} + m^{2n},

entonces, dividiendo $m^{2n}$ por este límite y simplificando por $m^n$ ,

\P(Z_n > 0) \geq \frac{m^n}{\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + m^n} \geq \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1}m^n ,

usando $m^n \leq 1$ en el denominador. Con la pregunta 4: $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$ .

6. $G(t) = q\sum_k(pt)^k = \frac{q}{1 - pt}$ y $m = G'(1) = \frac{pq}{(1-p)^2} = \frac pq$ . Subcrítico para $p < \frac12$ , crítico para $p = \frac12$ , supercrítico para $p > \frac12$ .

7. $G(t) = t$ lee $pt^2 - t + q = 0$ , con raíces $\frac{1 \pm \abs{p - q}}{2p}$ , es decir, $1$ y $\frac qp = \frac1m$ . La probabilidad de extinción es la más pequeña fija. punto en $\intcc01$ (Teorema 23.25): $q_{\mathrm{ext}} = 1$ si $m \leq 1$ y $\frac1m$ si $m > 1$ .

8. Para $m \neq 1$ , con $p = \frac m{m+1}$ , $q = \frac1{m+1}$ : si $q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1}$ , entonces

1 - p\,q_n = \frac{(m+1)(m^{n+1} - 1) - m(m^n - 1)} {(m+1)(m^{n+1} - 1)} = \frac{m^{n+2} - 1}{(m+1)(m^{n+1} - 1)},

entonces $q_{n+1} = \frac{q}{1 - pq_n} = \frac{m^{n+1} - 1}{m^{n+2} - 1}$ ; el caso base $q_0 = 0$ se mantiene. Para $m = 1$ : $G(t) = \frac1{2 - t}$ y $q_{n+1} = \frac1{2 - \frac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}$ , con $q_0 = 0$ .

9. $1 - q_n = \frac{m^n(m - 1)}{m^{n+1} - 1}$ . Para $m < 1$ el denominador tiende a $-1$ : $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ . Para $m > 1$ :

q_{\mathrm{ext}} - q_n = \frac1m - \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} = \frac{m - 1}{m\,(m^{n+1} - 1)} \sim \frac{m - 1}{m^{2}}\;m^{-n} .

Y $G'(t) = \frac{pq}{(1 - pt)^2}$ evaluado en $t = \frac qp$ (donde $1 - pt = 1 - q = p$ ) da $G'(q_{\mathrm{ext}}) = \frac qp = \frac1m$ : la relación observada $m^{-1}$ es exactamente la derivada en el punto fijo de atracción.

10. Para $p = \frac12$ : $G''(t) = \frac{1/4}{(1 - t/2)^3}$ , entonces $G''(1) = 2$ y $\sigma^2 = G''(1) + m - m^2 = 2$ . La forma cerrada da $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : el La probabilidad de supervivencia decae como $1/n$ — demasiado lentamente para ser sumable, a diferencia de cualquier tasa subcrítica.

11. Inducción: $G_1(t) = \frac1{2-t}$ coincide con el fórmula para $n = 1$ , y

G(G_n(t)) = \cfrac{1}{2 - \cfrac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}} = \frac{n + 1 - nt}{2(n+1) - 2nt - n + (n-1)t} = \frac{n+1 - nt}{n + 2 - (n+1)t} .

entonces

\frac{G_n(t) - q_n}{1 - q_n} = (n+1)\,\Bigl(\frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt} - \frac{n}{n+1}\Bigr) = \frac{t}{n + 1 - nt} = \frac{\frac{t}{n+1}}{1 - \frac{n}{n+1}t} ,

el pgf del geométrico ley $\mathcal G\bigl(\frac1{n+1} \bigr)$ en $\N^*$ (Ejemplo 23.4): dado supervivencia, $\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{k-1}$ , con condicional significa $n + 1$ . La media incondicional $1 = \E(Z_n)$ es la producto de una probabilidad de supervivencia que desaparece y una probabilidad lineal tamaño condicional creciente.

12. Si la línea se extingue en la generación $n$ , entonces $Y = Z_0 + \dots + Z_{n-1}$ es finito; si nunca va extinto, $Y \geq \sum_n 1 = \infty$ . Entonces $\{Y < \infty\}$ es la extinción evento y $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ . La derivación de $H(t) = tG(H(t))$ en Ejercicio 23.7 — el antepasado aporta el factor $t$ , sus hijos encontraron independiente copias de $Y$ contado hasta $G$ — usado solo Teorema 23.17, válido en todos los regímenes.

13. Con $G(s) = \frac{1 + s^2}2$ la ecuación dice $tH^2 - 2H + t = 0$ , entonces $H = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t}$ (la raíz con $H(0) = 0$ ). Comparando con la serie catalana $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}$ (Ejemplo 11.21): $H(t) = \frac t2\,C\bigl(\frac{t^2}4\bigr) = \sum_{k\geq0}C_k\,\frac{t^{2k+1}}{2^{2k+1}}$ , es decir $\P(Y = 2k+1) = C_k2^{-2k-1}$ . Cheques: $\P(Y = 1) = C_0/2 = \frac12$ (el antepasado no tiene hijos); $\P(Y = 3) = C_1/8 = \frac18$ (dos hijos, ambos sin hijos: $\frac12\cdot\frac12\cdot \frac12$ ).

14. Diferenciando $H = tG(H)$ de $\intoo01$ y dejando $t \to 1^-$ (límites monótonos como en Teorema 23.7): $H'(1)\bigl(1 - G'(H(1))\bigr) = G(H(1))$ . En el caso subcrítico $H(1) = 1$ y $\E(Y) = H'(1) = \frac1{1 - m}$ . En el caso crítico $G'(1) = 1$ hace que el factor izquierdo desaparezca mientras que el lado derecho es $1$ : no Puede existir $H'(1)$ finito, por lo que $\E(Y) = \infty$ — pero $\P(Y < \infty) = q = 1$ .

15. $C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k \sim \frac{4^k}{\sqrt\pi\,k^{3/2}}$ por Ejemplo 6.14, entonces

\P(Y = 2k+1) = \frac{C_k}{2\cdot4^{k}} \sim \frac1{2\sqrt\pi\,k^{3/2}} .

Sumando la cola (comparación con $\int_K^\infty k^{-3/2}\dd k = 2K^{-1/2}$ , arriba y abajo): $\P(Y > 2K) \asymp K^{-1/2}$ , es decir $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ — a cola pesada con media infinita, pregunta cuantificadora 14.

16. Ambos objetos críticos — el regreso del paseo justo tiempo (el problema del fin de semana de Capítulo 21) y el progenie total crítica — son casi seguramente finitas con media infinita, con leyes locales de exponente $-3/2$ y colas del exponente $-1/2$ . Esto no es una coincidencia: explorar un árbol genealógico niño por niño produce una ruta $\pm1$ (un paso arriba por nacimiento, uno menos por muerte), lo cual es exactamente una caminar, y $Y$ se convierte en un tiempo de primer paso. Criticidad significa Deriva cero: el proceso siempre está al borde de ambos. extinción y explosión, y la escala $\sqrt{}$ Las fluctuaciones de la aleatoriedad de deriva cero producen precisamente estas exponentes.

17. $G''(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ tiene términos no negativos, por lo que no es decreciente en $\intco01$ con límite finito $G''(1) = \sigma^2$ (la criticidad hace $\E Z_1(Z_1 - 1) = \sigma^2$ ); una función no decreciente con El límite igual al valor límite es continuo en $1$ . Taylor con resto integral en el punto $1$ :

G(t) = 1 + (t - 1) + \int_1^t(t - s)G''(s)\,\dd s = t + \frac{G''(1)}2(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),

desde $G''(s) = G''(1) + o(1)$ como $s \to 1^-$ .

18. Reduciendo a un denominador común, $h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}$ . Por la pregunta 17 la El numerador es $b(1-t)^2 + o((1-t)^2)$ y $1 - G(t) = (1 - t)\bigl(1 - b(1-t) + o(1-t)\bigr)$ , por lo que $h(t) \to b$ .

19. Por definición de $h$ en $t = q_j$ y $G(q_j) = q_{j+1}$ : $\frac1{1 - q_{j+1}} - \frac1{1-q_j} = h(q_j)$ ; la suma de $j = 0$ ( $q_0 = 0$ ) da la pantalla. desde el El proceso crítico se extingue, $q_j \uparrow 1$ , por lo que $h(q_j) \to b$ y Cesaro significan $\frac1n\sum_{j<n}h(q_j) \to b$ : $\frac1{1-q_n} \sim bn$ , es decir

\P(Z_n > 0) \sim \frac1{bn} = \frac{2}{\sigma^2 n} .

20. Caso crítico geométrico: $\sigma^2 = 2$ (pregunta 10), entonces Kolmogorov predice $1 - q_n \sim \frac1n$ — y el valor exacto es $\frac1{n+1}$ .

21. Desde $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0} = Z_n$ , $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \frac{\E(Z_n)}{\P(Z_n > 0)} = \frac1{1 - q_n} \sim \frac{\sigma^2n}2$ . En el caso geométrico esto es $n + 1$ , coincide exactamente con la pregunta 11 ( $\sigma^2 = 2$ ). el Cuadro crítico: la extinción es segura, el tamaño medio es congelado en $1$ , y las raras líneas supervivientes tienen un tamaño cada vez mayor linealmente — cada factor equilibra al otro.

22. Para la descendencia $\mathcal P(\lambda)$ , $G(t) = \eu^{\lambda(t-1)}$ y la probabilidad de extinción es la raíz más pequeña de $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ . Numéricamente: $\lambda = 1.5$ da $q \approx 0.417$ (iterar $q \mapsto \eu^{1.5(q-1)}$ : $0, 0.223, 0.312, 0.356, \dots \to 0.4172$ ); $\lambda = 2$ da $q \approx 0.203$ . Así que un caso índice provoca un brote importante con probabilidad $58\%$ ( $\lambda = 1.5$ ) o $80\%$ ( $\lambda = 2$ ) — probable, no cierto. La iteración de $q_0 = 0$ converge a la Raíz pequeñísimo porque $G$ no es decreciente: por inducción $q_n \leq r$ para cualquier punto fijo $r$ y $(q_n)$ aumenta (es $\P(Z_n = 0)$ ), por lo que su límite es fijo punto por debajo de todos los demás.

23. Los antepasados $k$ encontraron la familia independiente árboles, y la extinción total es la intersección de $k$ independiente extinción eventos: probabilidad $q^k$ . Para $\lambda = 1.5$ : probabilidad de brote $1 - q^k \geq 0.99$ requiere $q^k \leq 0.01$ , es decir $k \geq \frac{\ln 0.01}{\ln 0.417} \approx 5.3$ : seis casos iniciales hacer que el brote $99\%$ sea seguro.

24. $G'(q) < 1$ : $G - \mathrm{id}$ es convexo y desaparece en $q$ y $1$ , por lo que es $\leq 0$ en $\intcc q1$ ; si $G'(q) = 1$ , la tangente en $q$ (cuya convexidad lugares debajo de $G$ ) forzaría $G(t) \geq t$ en $\intcc q1$ , por lo tanto $G \equiv \mathrm{id}$ ahí, matando todos los coeficientes $p_n$ ( $n \geq 2$ ) y contradictoria $m > 1$ . Geométrico convergencia: $q_n < q$ para todos los $n$ (inducción, $G$ creciente), y el teorema del valor medio da $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ con $c_n \in \intoo{q_n}q$ , por lo que $G'(c_n) \leq G'(q) < 1$ y $q - q_n \leq q\,G'(q)^n$ . Proceso complementario: $\widehat G(t) = G(qt)/q = \sum_kp_kq^{k-1}t^k$ tiene coeficientes no negativos y $\widehat G(1) = G(q)/q = 1$ : una página; su media es $\widehat G'(1) = G'(q) < 1$ : subcrítica. Familia geométrica: $G(t) = \frac{q}{1-pt}$ , $q_{\mathrm{ext}} = \frac qp$ y

\widehat G(t) = \frac pq\cdot\frac{q}{1 - p\frac qp t} = \frac{p}{1 - qt} :

la descendencia geométrica ley con $p$ y $q$ intercambiadas — el proceso supercrítico visto en su extinción evento es el espejo subcrítico.

25. La tabla: $m < 1$ : $q = 1$ , $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$ (preguntas 4–5), $\E(Y) = \frac1{1-m}$ , generaciones supervivientes de media condicional acotada. $m = 1$ : $q = 1$ , $\P(Z_n > 0) \sim \frac2{\sigma^2n}$ (Kolmogorov), $\E(Y) = \infty$ con $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ , supervivientes de tamaño $\sim \frac{\sigma^2n}2$ . $m > 1$ : $q < 1$ es el punto fijo más pequeño, $q - q_n = O(G'(q)^n)$ , $\E(Z_n) = m^n$ crecimiento, y condicionado a morir, el proceso es el compañero subcrítico (pregunta 24). Las herramientas: composición de pgfs convirtió la recursividad de la población en iteración de funciones; la convexidad fijó la geometría de los puntos fijos; taylor en $1^-$ convirtió hipótesis de momentos en expansiones locales; y Cesaro promediando extrajo el $1/n$ de Kolmogorov de un suma telescópica. El volumen del Año 3 agrega la martingala $Z_n/ m^n$ — cuyo límite casi seguro refina $\E(Z_n) = m^n$ en una tasa de crecimiento trayectoria por trayectoria — y la de Yaglom teorema, el límite ley detrás de la geometría condicional observado en la pregunta 11.