Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

4Topología de espacios métricos

La topología de la línea real (volumen del año 1) se generaliza, casi sin cambiar una palabra, a cualquier conjunto equipado con una distancia. el la ganancia es enorme: secuencias de funciones, matrices, curvas — todo se convierten en puntos de espacios métricos, y los tres pilares demostrados aquí — lo completo con el teorema del punto fijo de Banach, compacidad, conectividad — se aplican a ellos de manera uniforme. Este capítulo es el columna vertebral de toda la mitad del análisis del libro.

4.1 Espacios métricos

Definición 4.1

Un espacio métrico es un conjunto $X$ con un mapa $d \colon X \times X \to \R_+$ tal que, para todo $x, y, z$ :

d(x,y) = 0 \iff x = y, \qquad d(x,y) = d(y,x), \qquad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).

Bolas: $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ (abierto), $\overline B(a,r) = \{x : d(a,x) \leq r\}$ (cerrada). Un subconjunto $A \subseteq X$ se convierte en un espacio métrico con la distancia inducida.

Ejemplo 4.2

$\R$ con $\abs{x - y}$ ; $\R^n$ con cualquiera de

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

el conjunto $C(\intcc{a}{b})$ de continuo funciona con el distancia de hundimiento $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finito: $f - g$ está acotado); cualquier conjunto con el discreto distancia ( $d(x,y) = 1$ para $x \neq y$ ). Distancias provenientes de normas. son el tema de Capítulo 5.

Definición 4.3 (Topología de un espacio métrico)

$U \subseteq X$ es abierto cuando cada punto de $U$ es el centro de una bola contenida en $U$ ; $F$ es cerrado cuando su complemento está abierto. barrios, interior, cierre, densidad, límite se definen exactamente como en el línea real (volumen del año 1), con bolas reemplazando intervalos, y el declaraciones probadas allí — uniones/intersecciones de conjuntos abiertos, Caracterizaciones de interior y cierre, cierre como menor. superconjunto cerrado — continuar con las mismas pruebas. Las bolas abiertas son las bolas abiertas y cerradas están cerradas (desigualdad triangular).

Ejemplo 4.4 (Interior, cierre, delimitación en un conjunto)

En $\R$ , deje $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ . Interior: $\intoo{0}{1}$ — alrededor de cualquier $x \in \intoo01$ una bolita permanece en $A$ ; alrededor de $1$ , cada bola $\intoo{1-r}{1+r}$ gotea fuera de $A$ a la derecha, por lo que $1$ no es interior; y el aislado $2$ tampoco es interior. Cierre: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (el punto $0$ es un límite de $A$ , no se añade nada más). Límite (cierre menos interior): $\{0, 1, 2\}$ . Nótense las asimetrías que vale la pena recordar: una El punto final puede pertenecer a un conjunto sin ser interior ( $1$ ), puede ser adherente sin pertenencia ( $0$ ), y un punto aislado es su propio límite ( $2$ ). La misma contabilidad aparece textualmente en cualquier espacio métrico, con bolas en lugar de intervalos.

Definición 4.5 (Límites, continuidad)

$x_n \to x$ en $X$ cuando $d(x_n, x) \to 0$ . Un mapa $f \colon X \to Y$ entre espacios métricos es continuo en $a$ cuando

\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq \varepsilon ;

equivalentemente (la misma prueba que en $\R$ ), $f(x_n) \to f(a)$ para cada secuencia $x_n \to a$ . $f$ es Lipschitz con constante $k$ cuando $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ siempre — luego uniformemente continuo, por lo tanto continuo.

Teorema 4.6 (Caracterización global de la continuidad)

$f \colon X \to Y$ es continuo (en cada punto) si y sólo si el La preimagen de cada conjunto abierto es abierto — si la preimagen de cada El conjunto cerrado está cerrado.

Demostración. ( $\Rightarrow$ ) Sea $V \subseteq Y$ abierto y $a \in f^{-1}(V)$ : alguna pelota $B(f(a), \varepsilon) \subseteq V$ ; continuidad en $a$ proporciona $\delta$ con $f(B(a, \delta)) \subseteq B(f(a), \varepsilon)$ , por lo que $B(a, \delta) \subseteq f^{-1}(V)$ .

( $\Leftarrow$ ) Dados $a$ y $\varepsilon$ : $f^{-1}\bigl(B(f(a), \varepsilon)\bigr)$ es abierto y contiene $a$ , por lo tanto contiene una bola. $B(a, \delta)$ : esa es la definición de continuidad en $a$ . Cerrado conjuntos: complementos (Proposición 1.1). ∎

4.2 Espacios completos

Definición 4.7

Una secuencia $(x_n)$ es cauchy cuando $\sup_{p, q \geq N} d(x_p, x_q) \to 0$ es $N \to \infty$ . Un espacio métrico es completo cuando cada Cauchy la secuencia converge. Convergente $\Rightarrow$ Cauchy siempre; cerrado Los subconjuntos de espacios completos son completos y los subconjuntos completos de cualquier los espacios están cerrados (las mismas pruebas que en $\R$ : Volumen Año 1).

Ejemplo 4.8 (Cauchy sin límite)

En $X = \Q$ con la distancia habitual, los truncamientos decimales de $\sqrt2$ ,

x_0 = 1,\quad x_1 = 1.4,\quad x_2 = 1.41,\quad x_3 = 1.414, \quad\dots

satisfacer $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$ : Cauchy en $\Q$ . Un límite en $\Q$ también sería el límite en $\R$ , es decir $\sqrt2 \notin \Q$ : no existe límite en $X$ . Lo incompleto es la presencia de tales "límites fantasmas"; lo completo de $\R$ fue diseñado en el volumen del Año 1 precisamente para dar a cada Cauchy secuencia una casa.

Teorema 4.9

$\R^n$ (cualquiera de las tres distancias de Ejemplo 4.2) y $\bigl(C(\intcc{a}{b}), d_\infty\bigr)$ son completo.

Demostración. $\R^n$ : una secuencia de Cauchy es Cauchy en cada coordenada (cada $\abs{x_i - y_i} \leq d(x,y)$ para las tres distancias), por lo que cada la coordenada converge (lo completo de $\R$ , volumen del año 1), y la convergencia coordinada implica convergencia para $d_\infty$ (finitos coordenadas), por lo tanto, para los tres (los tres las distancias se dominan entre sí dentro de factores constantes: $d_\infty \leq d_2 \leq d_1 \leq n\,d_\infty$ ).

$C(\intcc{a}{b})$ : sea $(f_n)$ $d_\infty$ -Cauchy. Para cada $x$ , $(f_n(x))$ es Cauchy en $\R$ ( $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq d_\infty(f_p, f_q)$ ): converge con algún $f(x)$ . Pasando a la límite en $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq \varepsilon$ (válido para $p, q \geq N_\varepsilon$ , todo $x$ ) como $q \to \infty$ : $\abs{f_p(x) - f(x)} \leq \varepsilon$ para todo $x$ , es decir $d_\infty(f_p, f) \leq \varepsilon$ : convergencia uniforme. El límite es continuo: dado $\varepsilon$ , elija $p$ con $\sup\abs{f_p - f} \leq \varepsilon$ , luego use continuidad de $f_p$ en $a$ y la división de tres términos

\abs{f(x) - f(a)} \leq \abs{f(x) - f_p(x)} + \abs{f_p(x) - f_p(a)} + \abs{f_p(a) - f(a)} \leq 3\varepsilon

para $x$ cerca de $a$ . (Este “argumento $3\varepsilon$ ” devuelve como el teorema del límite uniforme de Capítulo 10.) ∎

Ejemplo 4.10 (Conjuntos abiertos y cerrados reconocidos por continuidad)

La caracterización global (Teorema 4.6) es la herramienta diaria para contabilidad topológica. En $\R^2$ : el conjunto $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ es abierto — es $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ para continuo $g(x,y) = x^2 + y^2$ y $h(x, y) = y - x^3$ , una intersección de dos abierto preimágenes. En $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ : el conjunto de funciones con $f(0) = f(1)$ y $\int_0^1 f = 0$ están cerradas — la preimagen de $\{(0,0)\}$ bajo el mapa continuo $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ en $\R^2$ (cada La coordenada es $1$ -Lipschitz, como en Ejercicio 4.3). el El método nunca hace un dibujo: exhiba un mapa continuo, lea el establecido como preimagen, cite el teorema.

Ejemplo 4.11 (Un conjunto cerrado definido por infinitas condiciones)

En $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ , el conjunto

L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y} \ \text{for all } x, y\}

de funciones $1$ -Lipschitz está cerrado, aunque está cortado por innumerables condiciones: para cada par fijo $(x, y)$ , el mapa $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ es continuo (las evaluaciones son $1$ -Lipschitz), por lo que cada condición define un conjunto cerrado, y $L$ es el intersección de esta familia — una intersección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrado. La misma plantilla certifica el cierre para monótonos. funciones, funciones convexas, funciones acotadas por un $g$ fijo: Los límites uniformes heredan toda propiedad expresable como familia. de restricciones puntuales cerradas. ¿Qué hacen los límites uniformes? no hereda automáticamente — diferenciabilidad, por uno — es exactamente por lo que debe trabajar Capítulo 10.

Teorema 4.12 (Teorema del punto fijo de Banach)

Sea $X$ un espacio métrico completo no vacío y $f \colon X \to X$ un contracción: Lipschitz con constante $k < 1$ . Entonces $f$ tiene un punto fijo único $\ell$ , y cada órbita $x_{n+1} = f(x_n)$ converge a $\ell$ , con

d(x_n, \ell) \leq \frac{k^n}{1 - k}\, d(x_1, x_0) .

Demostración. Unicidad: dos puntos fijos están a una distancia $\leq k$ veces ella misma. Existencia: $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^n d(x_1, x_0)$ por inducción, por lo que para $q > p$ ,

d(x_q, x_p) \leq \sum_{j=p}^{q-1} d(x_{j+1}, x_j) \leq d(x_1, x_0) \sum_{j \geq p} k^j = \frac{k^p}{1-k}\, d(x_1, x_0) \xrightarrow[p\to\infty]{} 0 :

Cauchy, por lo tanto convergente a algún $\ell$ ; continuidad de $f$ pasa $x_{n+1} = f(x_n)$ hasta el límite: $\ell = f(\ell)$ . El error obligado es la estimación mostrada con $q \to \infty$ . ∎

Ejemplo 4.13 (Una ecuación integral)

En $X = C(\intcc{0}{1})$ (completo, Teorema 4.9), considere $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$ . Para $f, g \in X$ :

\abs{T(f)(x) - T(g)(x)} \leq \frac12 \int_0^x \abs{f - g} \leq \frac12\, d_\infty(f, g),

entonces $T$ es una contracción $\frac12$ : tiene un continuo único fijo punto — la solución de $f' = \frac f2$ , $f(0) = 1$ , es decir $\eu^{x/2}$ . Este esquema, industrializado, se convierte en el Teorema de Cauchy–Lipschitz de Capítulo 16.

Ejemplo 4.14 (Un punto fijo numérico: $x = \cos x$ )

En el completo $X = \intcc{0}{1}$ , el mapa $f = \cos$ envía $X$ en $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ y es una contracción: por el desigualdad del valor medio,

\abs{\cos x - \cos y} \leq \bigl(\sup_{\intcc01}\abs{\sin}\bigr) \abs{x - y} = (\sin 1)\abs{x - y}, \qquad \sin 1 \approx 0.841 < 1 .

Banach: una solución única de $x = \cos x$ en $\intcc01$ (de ahí en $\R$ : cualquier punto fijo real se encuentra en $\intcc{-1}{1}$ , luego en $\intcc{\cos 1}{1}$ después de una aplicación), y la iteración $x_{n+1} = \cos x_n$ converge a él desde cualquier inicio: $x_\infty \approx 0.739085$ , el famoso número que se obtiene martillando el Tecla coseno de una calculadora. El límite de error predice Decaimiento de $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ — aproximadamente un dígito por $13$ prensas; El límite a posteriori del fin de semana de este capítulo. El problema (pregunta 14) certifica cada paso sobre la marcha.

4.3 Compacidad

Definición 4.15

A espacio métrico $X$ es compacto cuando cada secuencia en $X$ tiene una subsecuencia convergente in $X$ (la propiedad Bolzano-Weierstrass). Un subconjunto es compacto cuando lo mismo ocurre con la distancia inducida.

Teorema 4.16 (Primeras propiedades)

Un subconjunto compacto está cerrado y acotado; un subconjunto cerrado de un El espacio compacto es compacto.
En $\R^n$ , se mantiene lo contrario: compacto $\iff$ cerrado y acotado.
Una imagen continuo de un espacio compacto es compacto; un continuo función real en un espacio compacto no vacío es limitado y alcanza sus límites.
(Heine) Un mapa continuo en un espacio compacto es uniformemente continuo. Productos
: si $X, Y$ son compacto, también lo son $X \times Y$ (con $d\bigl((x,y),(x',y')\bigr) = d(x,x') + d(y,y')$ ).

Demostración. (1) Los mismos argumentos que en la línea (volumen del año 1): un escape al la secuencia infinita o convergente exterior no tiene subsecuencia convergiendo en el interior; para la segunda reivindicación, extraer en el ambiente compacto y uso cerrado.

(2) Las secuencias acotadas en $\R^n$ tienen componentes convergentes subsecuencias: extraer en la primera coordenada (Bolzano–Weierstrass en $\R$ ), luego, a partir de esa subsecuencia, en el segundo, y así sucesivamente ( $n$ extracciones sucesivas); la cerrazón mantiene el límite interior.

(3) Dado $(f(x_n))$ , extraiga $x_{\varphi(n)} \to x \in X$ ; continuidad da $f(x_{\varphi(n)}) \to f(x) \in f(X)$ . Caso real: compacidad de $f(X) \subseteq \R$ lo hace cerrado y acotado, y $\sup f(X) \in f(X)$ (el sup de un conjunto es adherente a él, y $f(X)$ está cerrado).

(4) La prueba del Año 1 se transfiere palabra por palabra; Aquí está, en métrico. vestido. Supongamos que $f \colon X \to Y$ continuo en compacto $X$ pero no uniformemente continuo: algunos $\varepsilon > 0$ admiten, por cada $n$ , puntos con

d_X(x_n, y_n) \leq \frac{1}{n+1} \qquad\text{and}\qquad d_Y\bigl(f(x_n), f(y_n)\bigr) > \varepsilon .

Extracto $x_{\varphi(n)} \to a \in X$ ; luego $y_{\varphi(n)} \to a$ también (las distancias mutuas tienden a $0$ ). Continuidad en $a$ envía ambas secuencias de imágenes a $f(a)$ , por lo que $d_Y\bigl(f(x_{\varphi(n)}), f(y_{\varphi(n)})\bigr) \to 0$ — contradiciendo la brecha uniforme $> \varepsilon$ . Compacidad proporcionó exactamente una cosa: el punto del grupo $a$ en el que aplique continuidad liso.

(5) Extraiga las coordenadas $X$ , luego nuevamente las Coordenadas $Y$ . ∎

Ejemplo 4.17 (Teorema de Heine, con y sin compacidad)

En $\intcc{0}{1}$ , la función $x \mapsto x^2$ es uniformemente continuo — Heine lo dice sin ningún cálculo, pero el directo La estimación es instructiva:

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},

entonces $\delta = \varepsilon/2$ funciona para cada punto en una vez. En $\R$ la misma función no es uniformemente continua: con $x_n = n$ y $y_n = n + \frac1n$ , la brecha $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ mientras que $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$ : ningún $\delta$ sirve a $\varepsilon = 1$ . el El mecanismo es visible: la constante local Lipschitz $\abs{x + y}$ . está acotado en un compacto y no acotado en $\R$ — Heine El teorema es exactamente la afirmación de que compacidad limita tales constantes locales de manera uniforme.

Método 4.18 (Demostrar que un conjunto es compacto)

Tres rutas, en orden de frecuencia. (1) ambiente reconocimiento: en $\R^n$ (o cualquier norma de dimensión finita espacio, Capítulo 5), verificar cerrado — normalmente como preimagen, Ejemplo 4.10 — y acotada. (2) Herencia: es un subconjunto cerrado de un espacio compacto conocido. compacto; una unión finita o un producto de compactos es compacto; un La imagen continuo de un compacto es compacto. (3) desnudo manos: extrae una subsecuencia convergente de un arbitrario secuencia — generalmente por extracciones sucesivas coordinadas por coordinar. Para demostrar la compacidad no, un testigo basta: una secuencia sin subsecuencia convergente, la mayoría de las veces puntos a distancia mutua $\geq \varepsilon$ .

Ejemplo 4.19 (Distancias entre conjuntos: la compacidad se gana la vida)

Sea $K$ compacto, $F$ cerrado, $K \cap F = \emptyset$ en un espacio métrico. entonces

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

la función $x \mapsto d(x, F)$ es continuo (Ejercicio 4.11) y positivo en $K$ ( $d(x, F) = 0$ pondría $x \in \overline F = F$ ), por lo que alcanza un resultado positivo mínimo en el compacto $K$ (Teorema 4.16 (3)). Compacidad no es decorativo: para dos juegos cerrado el mínimo puede desaparecer sin ser alcanzado — en $\R^2$ , la hipérbola $F_1 = \{xy = 1\}$ y el eje $F_2 = \{y = 0\}$ son conjuntos cerrados disjuntos con $d(F_1, F_2) = 0$ (los puntos $(n, \frac1n)$ se acercan al eje). Escape al infinito es exactamente lo que compacidad prohíbe.

Teorema 4.20 (Borel–Lebesgue)

A espacio métrico $X$ es compacto si y sólo si cada portada de $X$ por Los conjuntos abierto tienen una subcubierta finito.

Demostración. ( $\Leftarrow$ ) Supongamos que $(x_n)$ no tiene una subsecuencia convergente. Nosotros afirma que cada $x \in X$ tiene una bola $B(x, r_x)$ que contiene $x_n$ sólo para un número finito de índices $n$ : de lo contrario, cada bola $B(x, \frac1{k+1})$ contendría infinitos términos, y elegir índices

\varphi(0) < \varphi(1) < \varphi(2) < \cdots \quad\text{with}\quad x_{\varphi(k)} \in B\Bigl(x, \frac{1}{k+1}\Bigr)

(posible en cada paso precisamente porque hay infinitos quedan candidatos) construiría una subsecuencia que convergería a $x$ . Las bolas $B(x, r_x)$ cubren $X$ ; si un número finito de ellos cubierto $X$ , el conjunto de índices $\N$ sería una unión finita de conjuntos finitos: absurdos.

( $\Rightarrow$ ) Dos pasos. Número de Lebesgue: para una funda abierto $(U_i)$ de un compacto $X$ , existe $\rho > 0$ tal que cada bola de radio $\rho$ se encuentra en algún $U_i$ . De lo contrario, para cada selección $n$ $x_n$ con $B(x_n, \frac{1}{n+1})$ en el número $U_i$ ; extraer $x_{\varphi(n)} \to x \in U_{i_0} \supseteq B(x, r)$ ; para $n$ grande, $B(x_{\varphi(n)}, \frac{1}{\varphi(n)+1}) \subseteq B(x, r) \subseteq U_{i_0}$ : contradicción. Limitación total: para cada $\rho > 0$ , un número finito de bolas de radio $\rho$ cubren $X$ . De lo contrario, elija inductivamente $x_{n+1}$ fuera de $B(x_0, \rho) \cup \dots \cup B(x_n, \rho)$ : la secuencia tiene distancias por pares $\geq \rho$ , por lo que no hay Cauchy — por lo tanto no hay subsecuencia — convergente: contradicción. Combinando: cubrir $X$ por un número finito de bolas de radio $\rho$ (el número de Lebesgue), cada uno dentro de algún $U_i$ : un finito subcubierta. ∎

Ejemplo 4.21 (Una roja $\varepsilon$ , contada)

Limitación total (de la prueba de Teorema 4.20) es muy concreto en $\intcc{0}{1}$ : para $\varepsilon > 0$ , las bolas $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ centradas en $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ de radio $\varepsilon$ cúbrelo — alrededor de bolas $\frac1{2\varepsilon}$ , y sin tapa puede funcionar con menos de $\frac{1}{2\varepsilon}$ de ellos (cada longitud de las cubiertas de bolas como máximo $2\varepsilon$ ). En $\intcc01^2$ el conteo de cuadrados para ordenar $\varepsilon^{-2}$ : cubriendo números crecer como $\varepsilon^{-d}$ en la dimensión $d$ — una cuantitativa cara de compacidad, y la razón por la que el universo de dimensión infinita bolas unitarias de Capítulo 5 (donde no hay finitos $\frac13$ -net existe) no puede ser compacto.

Ejemplo 4.22 (Compacidad de lectura en portadas)

El intervalo medio abierto $\intoc{0}{1}$ está cubierto por los conjuntos abierto. $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$ , $n \geq 1$ ; cualquier subfamilia finita tiene un índice más grande $N$ y falta $\intoc{0}{\frac1N}$ : no finito subcubierta, por lo que $\intoc{0}{1}$ no es compacto — que el La definición secuencial ve a través de $x_n = \frac1n$ , cuyo límite $0$ se escapa. Por otro lado, añadiendo el punto único $0$ repara ambos diagnósticos a la vez: en $\intcc{0}{1}$ cada una de esas coberturas debe contener un conjunto que contenga $0$ , que se traga un conjunto inicial completo segmento, y un número finito de conjuntos terminan el resto. los dos idiomas de Teorema 4.20 siempre falla o tiene éxito juntos — las cubiertas detectan el escape exactamente donde lo hacen las secuencias.

Observación 4.23 (Perspectivas dentro de este volumen)

Este capítulo es el muro de carga del volumen; mira donde cada pilar lleva peso. Lo completo: el Cauchy El criterio se convierte en la prueba de convergencia para series en Banach. espacios (Capítulo 7), convergencia uniforme en Capítulo 10 es exactamente convergencia en el completo $\bigl(C, d_\infty\bigr)$ y Cauchy–Lipschitz (Capítulo 16) es el teorema del punto fijo de Banach que lleva una ecuación integral. Compacidad: prueba la equivalencia de normas (Capítulo 5), la consecución de extremos para la optimización de Capítulo 15, y el existencia de mejores aproximaciones (fin de semana de Capítulo 5 problema). Conectividad: globaliza declaraciones locales — unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales, la teorema del valor intermedio en curvas (Capítulo 18), y los dos componentes de $GL_n(\R)$ esa teoría de la orientación (Capítulo 20) se mantendrán separados.

Observación 4.24 (Errores comunes)

(i) "Cerrado y acotado implica compacto" es un teorema sobre $\R^n$ , no sobre espacios métricos: un conjunto infinito con el la métrica discreta está cerrada y limitada en sí misma pero no es compacto (Ejercicio 4.4), y la bola unitaria cerrada de $C(\intcc01)$ también falla (Capítulo 5). (ii) Lo completo es una propiedad del distancia, no de la topología: $\R$ con $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ tiene el habitual secuencias convergentes pero incompletas (Ejercicio 4.1). (iii) No es necesario una biyección continuo ser un homeomorfismo — la parametrización circular de Ejercicio 4.7; compacidad de la fuente lo repara. (iv) El teorema de Banach necesita $k < 1$ uniformemente: el La condición $d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ por sí sola no garantiza nada en un no compacto espacio (Ejercicio 4.5). (v) Conectado no no implica conectado por camino en general — sino para abierto subconjuntos de espacios normados se encuentran en este libro, los dos están de acuerdo (Capítulo 5).

Observación 4.25 (Dónde se utiliza este capítulo)

En todas partes en la mitad del análisis. Lo completo de $C(\intcc{a}{b})$ potencia los teoremas de convergencia de Capítulo 10 y la teoría de Cauchy-Lipschitz de Capítulo 16 (el problema del fin de semana de este capítulo demuestra la Picard local–Lindelöf teorema ya); compacidad da la equivalencia de normas en dimensión finita (Capítulo 5) y la existencia de extremos en Capítulo 15; conectividad subyace a los argumentos de valor intermedio de Capítulo 8 y la globalización de unicidad para ecuaciones diferenciales. en el volumen del año 3, compacidad en espacios funcionales (el Arzelà–teorema de Ascoli) y el teorema de la categoría de Baire (Ejercicio 4.12 aquí) se convierten en herramientas de uso diario.

Las primeras etapas del set de Cantor (): cada nivel elimina el medio abierto tercio de cada segmento. La intersección C = _n C_n es compacto, tiene interior vacío y longitud cero, pero es equipotente a ℝ — y regresa como punto fijo de un contracción en conjuntos en el problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 22). — Las primeras etapas del set de Cantor (Ejercicio 4.8): cada nivel elimina el medio abierto tercio de cada segmento. La intersección $C = \bigcap_n C_n$ es compacto, tiene interior vacío y longitud cero, pero es equipotente a $\R$ — y regresa como *punto fijo* de un contracción en conjuntos en el problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 22).

4.4 Conectividad

Definición 4.26

$X$ es conectado cuando no admite partición en dos subconjuntos abierto no vacíos — de manera equivalente, cuando su sólo los subconjuntos abierto y cerrados son $\emptyset$ y $X$ . $X$ es conectado por camino cuando dos puntos cualesquiera están unidos por un continuo mapa $\gamma \colon \intcc{0}{1} \to X$ .

Teorema 4.27

Los subconjuntos conectado de $\R$ son exactamente los intervalos.
Una imagen continuo de un espacio conectado es conectado — de donde el teorema general del valor intermedio: a continuo La función real en un espacio conectado toma cada valor entre dos de sus valores.
Conectado por camino $\Rightarrow$ conectado. (Lo contrario falla en general; es válido para abierto subconjuntos de espacios normados, Capítulo 5.)

Demostración. (1) Un $A$ sin intervalo pierde algo de $z$ entre dos de sus puntos: $A = (A \cap \intoo{-\infty}{z}) \cup (A \cap \intoo{z}{+\infty})$ lo divide en dos partes abierto (en $A$ ) no vacías. Por el contrario, dejemos $I$ sea un intervalo y $I = U \cup V$ una partición no vacía relativamente conjuntos abierto; elija $a \in U$ , $b \in V$ , diga $a < b$ y establezca $s = \sup\,(U \cap \intcc{a}{b})$ , un punto de $\intcc{a}{b} \subseteq I$ . Si $s \in U$ : entonces $s \neq b$ y apertura relativa de $U$ pone un intervalo completo alrededor de $s$ (se cruza con $I$ ) dentro de $U$ — entonces los puntos de $U \cap \intcc{a}{b}$ exceden $s$ , contradiciendo al supremo. Si $s \in V$ : apertura relativa de $V$ pone un intervalo $\intoo{s - r}{s + r} \cap I$ dentro de $V$ ; pero el supremum es adherente a $U \cap \intcc{a}{b}$ , que debe cumplir con eso intervalo — contradicción con $U \cap V = \emptyset$ . (Esto es el argumento clopen del año 1 para $\R$ , ejecútelo dentro de $I$ ).

(2) Si $f(X) = U' \cup V'$ se divide en relativamente abierto no vacío establece, luego $X = f^{-1}(U') \cup f^{-1}(V')$ divide $X$ (Teorema 4.6). ITV: $f(X) \subseteq \R$ es conectado, por lo tanto un intervalo de (1).

(3) Supongamos que $X = U \cup V$ , ambos abierto no vacíos, y se unen a $a \in U$ a $b \in V$ por un camino $\gamma$ : luego $\gamma^{-1}(U), \gamma^{-1}(V)$ divide $\intcc{0}{1}$ , contradiciendo (1). ∎

Ejemplo 4.28

$GL_n(\R)$ no es conectado: $\det$ es continuo (un polinomio en las entradas) en $\R^*$ , que no es conectado; las preimágenes de $\R_+^*$ y $\R_-^*$ dividen $GL_n(\R)$ . (Cada pieza es de hecho conectado por camino — un ejercicio placentero más allá de nuestras necesidades.) Por contraste $GL_n(\C)$ is conectado por camino: Ejercicio 4.10.

Ejemplo 4.29 (Un punto fijo solo desde la conexión)

Cada continuo $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ tiene un fijo punto — sin hipótesis de contracción, sin iteración. considerar $g(x) = f(x) - x$ , continuo en conectado $\intcc01$ :

g(0) = f(0) \geq 0, \qquad g(1) = f(1) - 1 \leq 0 ,

y el teorema del valor intermedio (Teorema 4.27 (2)) entrega un cero de $g$ , es decir un punto fijo de $f$ . Contraste con Banach (Teorema 4.12): aquí la existencia es topológica y gratis, pero la unicidad y el algoritmo se pierden — $f = \mathrm{id}$ tiene todos los puntos fijos y la iteración de un $f$ que no se contrae puede circular para siempre. Los dos puntos fijos Los teoremas de este capítulo responden a diferentes preguntas con diferentes monedas.

Ejemplo 4.30 ( $\R$ y $\R^2$ no son homeomórficos)

Conectividad es una huella digital topológica. Supongamos que $h \colon \R^2 \to \R$ fuera un homeomorfismo (una biyección continuo con continuo inversa). Eliminar un punto $a \in \R^2$ : el La restricción $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ sigue siendo un homeomorfismo. Pero $\R^2$ menos un punto es conectado por camino — une dos puntos cualesquiera mediante un segmento, desviarse a lo largo de un segundo segmento a través de un punto auxiliar si $a$ bloquea el directo — por lo tanto conectado (Teorema 4.27 (3)); mientras que $\R$ menos un el punto se divide en dos medias líneas abierto no vacías: no conectado. Conectividad se conserva en los mapas continuo: contradicción. El plano y la línea son realmente diferentes como espacios topológicos — un hecho que la cardinalidad por sí sola (¡Las biyecciones de estilo Ejercicio 1.3 existen!) también lo es tosco de ver.

4.5 Ceremonias

Ejercicio 4.1 ★

En $\R$ , verifique que $\delta(x, y) = \min(1, \abs{x - y})$ y $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ son distancias. cual ¿Las secuencias convergen para cada una? ¿Es $(\R, d)$ completo?

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

$\delta$ : la simetría y la separación son claras; desigualdad del triángulo: $\min(1, u + v) \leq \min(1,u) + \min(1,v)$ para $u, v \geq 0$ (si el mínimo es $1$ , el lado derecho es $\geq 1$ ; de lo contrario es $u + v$ ). $d$ : es el retroceso de $\abs{\cdot}$ por el inyectivo $\arctan$ : los tres axiomas se transfieren.

Convergencia: para $\delta$ , $\delta(x_n, x) \to 0 \iff \abs{x_n - x} \to 0$ (para valores pequeños las dos distancias coinciden): mismo convergente secuencias como de costumbre. Para $d$ : $d(x_n, x) \to 0 \iff \arctan x_n \to \arctan x \iff x_n \to x$ (continuidad y estricta monotonicidad de $\arctan$ y de su inverso en los rangos relevantes): nuevamente el convergencia habitual.

$(\R, d)$ es no completo: $x_n = n$ satisface $d(x_p, x_q) = \abs{\arctan p - \arctan q} \to 0$ (ambos tienden a $\frac\pi2$ ): Cauchy; pero $(x_n)$ no converge para $d$ (su límite $d$ sería ser un límite ordinario). Lo completo es propiedad del distancia, no sólo de las secuencias convergentes.

Ejercicio 4.2 ★

En un espacio métrico, demuestre que una secuencia convergente es Cauchy y acotado, y que una secuencia de Cauchy con una subsecuencia convergente converge. Deduzca nuevamente que espacios métricos compactos son completo.

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

Convergente $\Rightarrow$ Cauchy: $d(x_p, x_q) \leq d(x_p, \ell) + d(\ell, x_q)$ . Acotado: más allá de $N$ , $d(x_n, \ell) \leq 1$ ; el un número finito de primeros términos también están dentro de un cierto radio.

Cauchy $+$ subsecuencia convergente $x_{\varphi(n)} \to \ell$ : dado $\varepsilon$ , para $n$ , $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{\varphi(n)}) + d(x_{\varphi(n)}, \ell) \leq 2\varepsilon$ grandes (el primer mandato de Cauchy, desde $\varphi(n) \geq n$ ).

Compacto $\Rightarrow$ completo: una secuencia de Cauchy tiene un subsecuencia (compacidad), por lo tanto converge.

Ejercicio 4.3 ★

En $\bigl(C(\intcc{0}{1}), d_\infty\bigr)$ , calcule la distancia entre $f(x) = x$ y $g(x) = x^2$ ; describir la bola cerrada $\overline B(0, 1)$ ; y demostrar que el conjunto $\{f : f(0) = 0\}$ es cerrado mientras $\{f : f(0) > 0\}$ es abierto.

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

$d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{0}{1}} \abs{x - x^2} = \frac14$ (máximo de $x - x^2$ a $x = \frac12$ ).

$\overline B(0, 1) = \{f : \sup\abs f \leq 1\}$ : el continuo funciones con valores en $\intcc{-1}{1}$ .

$\{f : f(0) = 0\}$ es la preimagen de $\{0\}$ bajo el evaluación $f \mapsto f(0)$ , que es $1$ -Lipschitz ( $\abs{f(0) - g(0)} \leq d_\infty(f,g)$ ), por lo tanto continuo: el conjunto está cerrado (Teorema 4.6). Asimismo $\{f : f(0) > 0\}$ es la preimagen de abierto $\intoo{0}{+\infty}$ : abierto.

Ejercicio 4.4 ★★

Demuestre que el discreto espacio métrico $X$ (cualquier conjunto) es completo, y que es compacto si y sólo si $X$ es finito. ¿Qué subconjuntos son? conectado?

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

Completo: es una secuencia de Cauchy con $\varepsilon = \frac12$ . eventualmente constante, por lo tanto convergente.

Compacto iff finite: si $X$ es finito, cualquier secuencia requiere algo de tiempo. valor infinitamente frecuente (subsecuencia constante). Si $X$ es infinito, una secuencia de puntos distintos por pares tiene todas las distancias mutuas $1$ : no hay subsecuencia de Cauchy, por lo que no hay convergente.

Conectado subsets: los singleton (y $\emptyset$ ). Cualquier $A$ con dos puntos $x \neq y$ se divide como $\{x\} \cup (A \setminus\{x\})$ , ambos abierto en $A$ (cada subconjunto de un punto discreto el espacio es abierto — las bolas de radio $\frac12$ son singletons).

Ejercicio 4.5 ★★

Sea $X$ compacto y $f \colon X \to X$ con

d\bigl(f(x), f(y)\bigr) < d(x, y) \quad \text{for all } x \neq y .

Demuestre que $f$ tiene un punto fijo único (minimize $x \mapsto d(x, f(x))$ ) y dé un ejemplo sobre $X = \intco{1}{+\infty}$ (no compacto) sin punto fijo.

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

La función $g(x) = d(x, f(x))$ es continuo en el compacto $X$ ( $\abs{g(x) - g(y)} \leq 2d(x,y)$ por dos desigualdades triangulares), entonces alcanza su mínimo en algún $a$ (Teorema 4.16). Si $f(a) \neq a$ :

g\bigl(f(a)\bigr) = d\bigl(f(a), f(f(a))\bigr) < d(a, f(a)) = g(a),

minimalismo contradictorio. Entonces $f(a) = a$ ; singularidad como de costumbre (dos puntos fijos $a \neq b$ dan $d(a,b) = d(f(a), f(b)) < d(a,b)$ ).

No compacto ejemplo: $f(x) = x + \frac1x$ en $\intco{1}{+\infty}$ : $\abs{f(x) - f(y)} = \abs{x - y}\,\abs{1 - \frac{1}{xy}} < \abs{x - y}$ para $x \neq y$ (como $xy > 1$ ), pero $f(x) > x$ en todas partes.

Ejercicio 4.6 ★★

(Anidado compactos) Sea $(K_n)$ una secuencia decreciente de valores no vacíos. compacto subconjuntos de un espacio métrico. Demuestre que $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$ (pick $x_n \in K_n$ and extract). Mostrar con el ejemplo que los conjuntos cerrado anidados no vacíos en $\R$ pueden tener valores vacíos intersección.

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

Elija $x_n \in K_n$ . Todos los términos del rango $n$ en adelante se encuentran en $K_n$ ; en En particular, toda la secuencia se encuentra en compacto $K_0$ : extracto $x_{\varphi(k)} \to \ell$ . Para cada $n$ fijo, los términos $x_{\varphi(k)}$ con $\varphi(k) \geq n$ se encuentran en el cerrado $K_n$ , por lo que el límite $\ell \in K_n$ . Por lo tanto $\ell \in \bigcap K_n$ .

Contraejemplo cerrado: $F_n = \intco{n}{+\infty}$ en $\R$ : anidado, Intersección cerrada, no vacía y vacía.

Ejercicio 4.7 ★★

Sean $K$ compacto y $f \colon K \to Y$ continuo y biyectivo. Demuestre que $f^{-1}$ es continuo (use closed sets: Teorema 4.6 and Teorema 4.16). Da un contraejemplo sin compacidad ( $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ en $\intco{0}{2\pi}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

Continuidad de $f^{-1}$ significa: las imágenes $f(F)$ de conjuntos cerrados $F \subseteq K$ están cerradas (las preimágenes bajo $f^{-1}$ son imágenes bajo $f$ ). Un $F$ cerrado en el compacto $K$ es compacto (Teorema 4.16 (1)); su imagen continuo $f(F)$ es compacto, por lo tanto cerrado. Entonces $f^{-1}$ es continuo: $f$ es un homeomorfismo.

Contraejemplo: $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ de $\intco{0}{2\pi}$ (no compacto) en el círculo unitario es un Biyección continuo, pero $\gamma^{-1}$ es discontinua en $(1,0)$ : Los puntos en el círculo justo debajo del eje tienen parámetros cercanos. $2\pi$ , no cerca de $0$ .

Ejercicio 4.8 ★★

El conjunto de cantantes $C$ se obtiene de $\intcc{0}{1}$ por eliminando repetidamente abierto tercios medios. Demuestre que $C$ es compacto, tiene interior vacío, y es infinito — de hecho equipotente a $\{0,1\}^{\N}$ (ternary expansions with digits $0,2$ ; Ejercicio 1.3).

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

$C = \bigcap_n C_n$ donde cada $C_n$ (unión de $2^n$ cerrada intervalos de longitud $3^{-n}$ ) está cerrado: $C$ está cerrado y acotado en $\R$ , por lo tanto compacto (Teorema 4.16 (2)).

Interior vacío: $C$ no contiene ningún intervalo de longitud $> 3^{-n}$ ( se encuentra dentro de $C_n$ , cuyos componentes tienen esa longitud), por cada $n$ .

Cardinalidad: los puntos de $C$ son exactamente los reales $\sum_{n\geq1} a_n 3^{-n}$ con dígitos $a_n \in \{0, 2\}$ (en cada etapa, el el tercio medio eliminado elimina el dígito $1$ ); el mapa $(a_n) \mapsto \sum a_n 3^{-n}$ es una biyección de $\{0,2\}^{\N^*}$ a $C$ (inyectividad como en Ejercicio 1.3). Entonces $C$ es equipotente a $\{0,1\}^{\N}$ : incontable, aunque de “longitud cero”.

Ejercicio 4.9 ★★★

Sea $X$ un compacto espacio métrico y $f \colon X \to X$ un isometría: $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$ . Demuestre que $f$ es sobreyectivo. Hint: if $a \notin f(X)$ , then $\varepsilon = d(a, f(X)) > 0$ (why?); study the orbit $a, f(a), f^2(a), \dots$ and show its points are pairwise $\geq \varepsilon$ apart — contradiction with compacidad.

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

Supongamos $a \notin f(X)$ . La imagen $f(X)$ es compacto (continuo imagen), por lo tanto cerrado; entonces

\varepsilon = d\bigl(a, f(X)\bigr) = \inf_{y \in f(X)} d(a, y) > 0

(se alcanza el mínimo de una función continuo en un conjunto compacto; si fuera $0$ , $a$ sería adherente al $f(X)$ cerrado, por lo tanto en eso).

Considere la órbita $x_n = f^n(a)$ ( $x_0 = a$ ). Para $p < q$ :

d(x_p, x_q) = d\bigl(f^p(a), f^p(f^{q-p}(a))\bigr) = d\bigl(a, f^{q-p}(a)\bigr) \geq \varepsilon,

(isometría iterada $p$ veces; y $f^{q-p}(a) \in f(X)$ desde $q - p \geq 1$ ). Una secuencia con distancias mutuas $\geq \varepsilon$ no tiene subsecuencia convergente — contradice compacidad. Por lo tanto $f(X) = X$ .

Ejercicio 4.10 ★★★

Demuestre que $GL_n(\C)$ es conectado por camino. Hint: given $A, B$ invertible, consider $p(z) = \det\bigl((1 - z)A + zB\bigr)$ for $z \in \C$ : a polynomial in $z$ , not identically zero, so it has finitely many roots; join $0$ to $1$ in $\C$ by a path avoiding them.

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

Sean $A, B \in GL_n(\C)$ y $p(z) = \det\bigl((1-z)A + zB\bigr)$ : a polinomio en $z$ (cada entrada es afín en $z$ ; el determinante es un polinomio en las entradas). $p(0) = \det A \neq 0$ : $p$ no es idénticamente cero, por lo que tiene un número finito de raíces $z_1, \dots, z_m$ (ninguno igual a $0$ o $1$ : $p(1) = \det B \neq 0$ ). El avión $\C$ menos un número finito de puntos es conectado por camino: un camino desde $0$ a $1$ evitando que exista $z_i$ (tome una línea discontinua que pase por un punto lejano de todas las raíces, o un arco circular; sólo un número finito de obstáculos). A lo largo de dicho camino $\gamma$ , $t \mapsto (1 - \gamma(t))A + \gamma(t)B$ es un camino continuo adentro $GL_n(\C)$ desde $A$ a $B$ (el determinante nunca desaparece). Por lo tanto $GL_n(\C)$ es conectado por camino — a diferencia de su primo real (Ejemplo 4.28): el avión complejo tiene espacio para caminar alrededor de obstáculos.

Ejercicio 4.11 ★★

Para $\emptyset \neq A \subseteq X$ , configure $d(x, A) = \inf_{a \in A} d(x, a)$ . Demuestre que $x \mapsto d(x, A)$ es $1$ -Lipschitz, que $d(x, A) = 0$ si $x \in \overline A$ , y eso para disjuntos cerrado no vacío establece $A, B$ la función

\varphi(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}

está bien definido, continuo, igual a $0$ exactamente en $A$ y a $1$ exactamente en $B$ — un “interruptor” continuo que separa dos conjuntos cerrados disjuntos.

Solución

Solución de Ejercicio 4.11.

Lipschitz: para $a \in A$ , $d(x, a) \leq d(x, y) + d(y, a)$ ; tome el mínimo sobre $a$ : $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y, A)$ e intercambie $x, y$ : $\abs{d(x,A) - d(y,A)} \leq d(x,y)$ .

Desvanecimiento: $d(x, A) = 0$ si hay $a_n \in A$ con $d(x, a_n) \to 0$ si $x$ es un límite de puntos de $A$ si $x \in \overline A$ .

El interruptor: para cerrado disjunto $A, B$ : el denominador $d(x,A) + d(x,B)$ nunca desaparece (forzaría a $x \in \overline A \cap \overline B = A \cap B = \emptyset$ ), por lo que $\varphi$ está bien definido, y continuo como un cociente de funciones continuo con denominador que no desaparece. $\varphi(x) = 0$ y si $d(x, A) = 0$ y si $x \in A$ ; $\varphi(x) = 1$ si $d(x, B) = 0$ si $x \in B$ ; y $0 \leq \varphi \leq 1$ en todas partes.

Ejercicio 4.12 ★★★

(Baire) Sea $X$ un espacio métrico completo y $(U_n)_{n\geq1}$ un secuencia de subconjuntos densos abierto. Demuestre que $\bigcap_n U_n$ es denso en $X$ (inside any ball, build nested closed balls $\overline B(x_n, r_n) \subseteq U_n$ with $r_n \to 0$ and use lo completo). Deducir que $\R$ no es una unión contable de conjuntos cerrados con interior vacío, y recuperar — otra vez — eso $\R$ es incontable.

Solución

Solución de Ejercicio 4.12.

Sea $B(x_0, r_0)$ cualquier bola; encontramos un punto de $\bigcap U_n$ en ello. Como $U_1$ es denso y abierto, $U_1 \cap B(x_0, r_0)$ es no vacío y abierto: contiene una bola cerrada $\overline B(x_1, r_1)$ con $0 < r_1 \leq \frac{r_0}2$ (reducir el radio). Inductivamente, $U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ no está vacío abierto: elija $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ con $r_{n+1} \leq \frac{r_n}2$ . Para $p, q \geq n$ , ambos $x_p, x_q$ se encuentran en $B(x_n, r_n)$ con $r_n \leq 2^{-n}r_0$ : el La secuencia es Cauchy y converge a algún $\ell$ por lo completo. Para cada $n$ , la cola de la secuencia se encuentra en el cerrado bola $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_0, r_0)$ , entonces $\ell \in U_{n+1}$ por cada $n$ y $\ell \in \overline B(x_1, r_1) \subseteq B(x_0, r_0)$ . Por lo tanto $\bigcap_n U_n$ cumple con cada bola: densa.

Solicitud: si $\R = \bigcup_n F_n$ con $F_n$ cerrado con interior vacío, entonces $U_n = \R \setminus F_n$ son densos ( $\overline{U_n} = \R$ si $F_n$ tiene el interior vacío) y abierto, y Baire da un punto en $\bigcap U_n = \R \setminus \bigcup F_n$ : contradicción. En particular, $\R \neq \bigcup_{x \in D} \{x\}$ para contable $D$ (los singleton se cierran con vacíos). interior): $\R$ es incontable — Teorema 1.9 por otra ruta.

4.6 Problema: iteración de Picard

Lo completo plus contracción es una máquina de resolución: aliméntala ecuación escrita como un problema de punto fijo y devuelve existencia, unicidad, un algoritmo y barras de error. este fin de semana El problema ejecuta la máquina a máxima potencia en la ecuación $y' = f(t, y)$ : probamos el Picard–Lindelöf theorem local (el corazón no lineal de Cauchy–Lipschitz de Capítulo 16 teoría), observe cómo cada hipótesis se mantiene contraejemplos y cobrar dividendos puramente métricos — continuo dependencia de los datos, la ecuación de Kepler y la autosimilitud del conjunto de Cantor.

Picard itera para y' = y, y(0) = 1: cada pasada hasta T(y)(t) = 1 + ∈t_0t y agrega un término de Taylor, y el la contracción aprieta toda la secuencia uniformemente sobre \,t. — Picard itera para $y' = y$ , $y(0) = 1$ : cada pasada hasta $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ agrega un término de Taylor, y el la contracción aprieta toda la secuencia uniformemente sobre $\eu^{\,t}$ .

Problema 4.1

Problema del fin de semana — el Picard–Lindelöf teorema

En todo momento, $t_0 \in \R$ , $y_0 \in \R$ , $a, b > 0$ y $f$ son Función continuo en el rectángulo $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 + a} \times \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ , delimitada por $M = \sup_R\,\abs f$ y $L$ -Lipschitz en su segunda variable: $\abs{f(t, y) - f(t, z)} \leq L\abs{y - z}$ siempre que ambos puntos se encuentran en $R$ . conjunto

h = \min\Bigl(a, \frac bM\Bigr) \quad (\text{with } h = a \text{ if } M = 0), \qquad I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}.

Parte I — The completo stage.

Demuestre las dos afirmaciones citadas en Definición 4.7: un subconjunto cerrado de un espacio métrico completo es completo y un subconjunto completo de cualquier espacio métrico está cerrado. Deducir que cada cerrado El subconjunto de $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ es un completo espacio métrico.
Muestre que el mapa $C(I) \to C(I)$ , $y \mapsto \bigl(t \mapsto \int_{t_0}^{t}y(s)\,\dd s\bigr)$ , es $h$ -Lipschitz para $d_\infty$ .
(Los puntos fijos se mueven menos que los mapas) Sea $g \colon X \to X$ una contracción $k$ de un espacio métrico con puntos fijos punto $\ell_g$ y $\widetilde g \colon X \to X$ Mapa cualquier con punto fijo $\ell_{\widetilde g}$ . probar

$d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) \leq \frac{d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr)}{1 - k} \leq \frac{\sup_{x \in X} d\bigl(g(x), \widetilde g(x)\bigr)}{1 - k}.$
(El truco de iteración) Sea $X$ completo no vacío y $g \colon X \to X$ un mapa — no se supone continuo — de modo que alguna iteración $g^m$ sea una contracción $k$ . Demuestre que $g$ tiene un punto fijo único $\ell$ y que La órbita cada $x_{n+1} = g(x_n)$ converge a $\ell$ . (Fixed points of $g$ are fixed points of $g^m$ ; conversely $g(\ell)$ is a fixed point of $g^m$ ; split the orbit along residues mod $m$ .)

Parte II — The Picard–Lindelöf theorem.

Mostrar que una función $y \colon I \to \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ es $C^1$ con $y(t_0) = y_0$ y $y' = f(t, y)$ activadas $I$ si y sólo si es continuo y satisface los ecuación integral

$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s \qquad (t \in I).$
Dejemos que $X_h = \{y \in C(I) : \abs{y(t) - y_0} \leq b \text{ on } I\}$ y $T$ estén definidos por $T(y)(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s$ . Demuestre que $X_h$ es un subconjunto cerrado no vacío de $C(I)$ , por lo tanto completo, y que $T$ asigna $X_h$ a $X_h$ — aquí es donde funciona $h \leq b/M$ .
Mostrar que $d_\infty\bigl(T(y), T(z)\bigr) \leq Lh\,d_\infty(y, z)$ en $X_h$ : si $Lh < 1$ , Banach’s El teorema ya concluye. Quitamos esta pequeñez condición siguiente.
Demostrar por inducción en $n$ :

$\abs{T^n(y)(t) - T^n(z)(t)} \leq \frac{\bigl(L\abs{t - t_0}\bigr)^n}{n!}\, d_\infty(y, z) \qquad (y, z \in X_h,\ t \in I),$

entonces alguna iteración de $T$ es una contracción. Concluir con pregunta 4 (the Picard–Lindelöf theorem): la El problema de Cauchy $y' = f(t,y)$ , $y(t_0) = y_0$ tiene exactamente una solución en $I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}$ con valores en $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ .
Mostrar que la restricción “con valores en $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ ” es automática: cualquier solución del Cauchy problema definido en $I$ cuyo gráfico comienza en $R$ se queda en $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ (consider the first exit time and bound $\abs{y(t) - y_0}$ by $M\abs{t - t_0}$ ). Por lo tanto, la unicidad se mantiene entre todas las soluciones en $I$ .
Ejecute la máquina en $y' = y$ , $y(0) = 1$ , comenzando desde la constante $y^{(0)} \equiv 1$ : calcula el Picard itera $y^{(n)}$ , identifíquelos y describa el convergencia.

Parte III — Every hypothesis earns its keep.

(Lipschitz falla, la unicidad falla) Para $y' = 2\sqrt{\abs y}$ , $y(0) = 0$ : verifique que $y \equiv 0$ y, para cada $c \geq 0$ , la función $y_c(t) = 0$ para $t \leq c$ , $y_c(t) = (t - c)^2$ para $t > c$ , son todos Soluciones $C^1$ en $\R$ . ¿Dónde exactamente $y \mapsto 2\sqrt{\abs y}$ no es Lipschitz?
(La localidad es real) Para $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : resolver explícitamente, dar el intervalo máximo de existencia, y Calcule el mejor $h$ que el teorema puede certificar sobre todos opciones del rectángulo ( $a$ grande, $b$ gratis): mostrar $h_{\max} = \sup_{b>0} \frac{b}{(1+b)^2} = \frac14$ , mientras que la verdadera solución vive en $\intoo{-\infty}{1}$ .
(Lo completo no es decoración) En $X = \Q \cap \intcc{1}{2}$ con la distancia habitual, deje $g(x) = \frac x2 + \frac1x$ . Mostrar $g(X) \subseteq X$ , ese $g$ es una contracción $\frac12$ (valor medio desigualdad), y que $g$ no tiene un punto fijo en $X$ . ¿Qué hipótesis del teorema de Banach falla y cuál es? ¿El punto fijo en la finalización?
(barras de error) Para una contracción $k$ $g$ en un completo espacio, demuestre la estimación a posteriori $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}\,d(x_n, x_{n-1})$ . Para garza mapa $g(x) = \frac x2 + \frac 1x$ en $\intcc{1}{2}$ (punto fijo $\sqrt2$ ), a partir de $x_0 = \frac32$ : ¿Cuántos pasos enlaza el a priori? $\frac{k^n}{1-k}d(x_1, x_0)$ exigencia de precisión $10^{-6}$ , ¿y cuántos pasos son suficientes en realidad? (Calcule $x_1, x_2, x_3$ y sus errores; el El límite de contracción es honesto pero pesimista. Heron converge cuadráticamente.)

Parte IV — Continuo dependence. En este parte $Lh < 1$ , por lo que $T$ en sí es una contracción de $X_h$ (pregunta 7); escriba $y[\,y_0\,]$ para la solución con valor inicial $y_0$ .

(Dependencia del valor inicial) Sea $z_0$ otro valor inicial con $\abs{z_0 - y_0}$ lo suficientemente pequeño como para ambos problemas caben en el rectángulo. Usando la pregunta 3, probar

$d_\infty\bigl(y[y_0], y[z_0]\bigr) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh}.$
(Intervalos largos por encadenamiento) Supongamos que existen las soluciones. en un segmento largo cortado en $m$ trozos consecutivos en cada uno de los cuales se aplica el límite anterior con $Lh \leq \frac12$ . Muestre que la desviación crece como máximo en un factor $2$ por pieza, por lo tanto $d_\infty \leq 2^m\abs{y_0 - z_0}$ general — un límite de longitud exponencial, el discreto sombra del $\eu^{L\abs{t - t_0}}$ del lema de Gronwall (Capítulo 16).
(Dependencia del campo) Sea $g$ otro campo en $R$ , también $L$ -Lipschitz en $y$ , con $\sup_R \abs{f - g} \leq \varepsilon$ . Demostrar que el correspondiente las soluciones satisfacen $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ : error de modelado se propaga linealmente.
(Parámetros) Si una familia $f_\lambda$ de campos es $L$ -Lipschitz en $y$ uniformemente y $\sup_R\abs{f_\lambda - f_\mu} \leq C\abs{\lambda - \mu}$ , deduce que $\lambda \mapsto y_\lambda$ es Lipschitz del espacio de parámetros en $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ .
(Los sistemas no cuestan nada) Explique por qué las Partes I, II y IV mantenga textualmente $y$ con valores en $\R^n$ (sup distancias construidas sobre cualquiera de las distancias de Ejemplo 4.2), luego calcula todos los Picard itera para el sistema $y' = Ay$ , $y(0) = (c_1, c_2)$ , $A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$ : muestra que la iteración se convierte estacionario en la solución exacta después de un paso.

Part V — Metric dividends and synthesis.

(Perturbación de la identidad) Sea $X$ un completo etapa similar al espacio normado: tome $X = C(I)$ o $\R^n$ . si $\eta \colon X \to X$ es $k$ -Lipschitz con $k < 1$ , demostrar que $x \mapsto x + \eta(x)$ es una biyección de $X$ cuyo inverso es $\frac1{1-k}$ -Lipschitz (for each $y$ , apply Banach to $x \mapsto y - \eta(x)$ ). esto es el corazón métrico del teorema de la función inversa (Capítulo 15).
(ecuación de Kepler) Para $0 \leq e < 1$ y $m \in \R$ , demostrar que $x = m + e\sin x$ tiene exactamente una solución, que la iteración $x_{n+1} = m + e\sin x_n$ converge desde cualquier inicio, y calcule: para $e = \frac12$ , $m = 1$ , ¿cuántas iteraciones garantizan un error $\leq 10^{-3}$ por el límite a priori? (La solución es $x \approx 1.4987$ ).
(El conjunto de Cantor es un punto fijo) Dejemos $S_1(x) = \frac x3$ y $S_2(x) = \frac x3 + \frac23$ en $\R$ , y dejemos $C$ será el conjunto de Cantor de Ejercicio 4.8. probar $C = S_1(C) \cup S_2(C)$ , y explícalo en una frase. ¿Por qué ningún conjunto otro no vacío compacto satisface esto? ecuación (el mapa $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ es una contracción para una distancia entre conjuntos compacto — el distancia de Hausdorff, sincerada en el volumen del Año 3).
(Conectividad globaliza la unicidad) Deje que $f$ sea local Lipschitz en $y$ en un conjunto abierto, y sean $y, z$ dos soluciones de $y' = f(t, y)$ en un intervalo común $J$ con $y(t_0) = z(t_0)$ . Demuestre $y = z$ en $J$ : demuestre que $\{t \in J : y(t) = z(t)\}$ no está vacío, cerrado en $J$ , y abierto en $J$ (por unicidad local), y utilice el conectividad de intervalos (Teorema 4.27).
(Sin pequeñez para ecuaciones lineales) Para $y' = \alpha(t)y + \beta(t)$ con $\alpha, \beta$ continuo en un segmento $\intcc{A}{B}$ , adapte la pregunta 8 para mostrar el límite factorial se mantiene en el segmento entero, entonces la existencia y la unicidad son globales allí — el caso escalar de Cauchy–Lipschitz de Capítulo 16 teorema, sin restricción en la longitud $B - A$ .
(Síntesis) Una frase cada uno: qué lo completo contribuido; qué contribuyó la contracción; que truco iterado comprado en comparación con Banach simple; donde conectividad entró; y qué contraejemplo de la parte III guarda qué hipótesis. Nombra el teorema de la cumbre, y diga qué reemplaza la contracción cuando $f$ es simplemente continuo (teorema de Peano, vía compacidad en función espacios — el volumen del año 3 Arzelà–Ascoli).

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. Sea $F$ cerrado en el completo $X$ y $(x_n) \subseteq F$ Cauchy: converge en $X$ a algún $\ell$ , y $\ell \in F$ porque $F$ está cerrado (límites de secuencias de $F$ permanecer en $\overline F = F$ ): $F$ es completo. Por el contrario, sea $A \subseteq X$ completo y $x \in \overline A$ : alguna secuencia de $A$ converge a $x$ ; es Cauchy, entonces converge in $A$ ; Los límites son únicos, por lo que $x \in A$ : $A$ están cerrados. desde $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ es completo (Teorema 4.9), sus subconjuntos cerrados son completo.

2. Para $y, z \in C(I)$ y $t \in I$ :

\Bigl|\int_{t_0}^{t}y - \int_{t_0}^{t}z\Bigr| \leq \abs{t - t_0}\,\sup_I\abs{y - z} \leq h\,d_\infty(y, z),

y sube sobre $t$ .

3. Usando las dos ecuaciones de punto fijo y el triángulo desigualdad:

d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) = d\bigl(g(\ell_g), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr) \leq d\bigl(g(\ell_g), g(\ell_{\widetilde g})\bigr) + d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr) \leq k\,d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) + d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr),

y resuelva para $d(\ell_g, \ell_{\widetilde g})$ (el coeficiente $1 - k$ es positivo). La segunda desigualdad limita lo evaluado. brecha por la uniforme.

4. $g^m$ es una contracción en un espacio completo no vacío: tiene un punto fijo único $\ell$ (Teorema 4.12). Entonces $g^m(g(\ell)) = g(g^m(\ell)) = g(\ell)$ : $g(\ell)$ es un punto fijo de $g^m$ , entonces $g(\ell) = \ell$ por unicidad. Cualquier punto fijo de $g$ es uno de $g^m$ : unicidad para $g$ . Órbitas: arreglar $r \in \{0, \dots, m-1\}$ ; la subsecuencia $(x_{qm + r})_q$ es la órbita $g^m$ comenzó en $x_r$ , por lo que converge a $\ell$ como $q \to \infty$ (Banach de nuevo). Todas las subsecuencias $m$ convergen a la misma $\ell$ , por lo tanto $x_n \to \ell$ : dado $\varepsilon$ , cada residuo La clase finalmente está dentro de $\varepsilon$ , y hay un número finito de muchas clases.

5. Si $y$ es continuo con valores en $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ , el integrando $s \mapsto f(s, y(s))$ es continuo en $I$ (composición), por lo que el lado derecho es $C^1$ con derivada $f(t, y(t))$ (teorema fundamental de cálculo, Año 1 volumen). Si $y$ satisface la ecuación integral, es que Función $C^1$ , $y(t_0) = y_0$ y $y' = f(t, y)$ . Por el contrario, Al integrar $y' = f(s, y(s))$ de $t_0$ a $t$ se obtiene ecuación integral.

6. $X_h$ contiene la constante $y_0$ ; esta cerrado como la preimagen de $\intcc{0}{b}$ bajo el mapa continuo $y \mapsto d_\infty(y, y_0)$ (las distancias son $1$ -Lipschitz), por lo tanto completo por pregunta 1. Estabilidad: para $y \in X_h$ y $t \in I$ ,

\abs{T(y)(t) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s\Bigr| \leq M\abs{t - t_0} \leq Mh \leq b ,

el último paso por $h \leq b/M$ (o $M = 0$ , trivial). Y $T(y)$ es continuo ( $C^1$ par, pregunta 5): $T(y) \in X_h$ .

7. Para $t \in I$ :

\abs{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t}\abs{f(s, y(s)) - f(s, z(s))}\,\abs{\dd s} \leq L\abs{t - t_0}\,d_\infty(y,z) \leq Lh\,d_\infty(y,z).

Si $Lh < 1$ : $T$ es una contracción del completo no vacío $X_h$ , y Banach da un punto fijo único — en la pregunta 5, la solución única.

8. Inducción; el caso $n = 1$ es el punto medio de la pregunta 7 desigualdad. Suponiendo el límite para $n$ , para $t \geq t_0$ (el caso $t \leq t_0$ es simétrico):

\abs{T^{n+1}(y)(t) - T^{n+1}(z)(t)} \leq L\int_{t_0}^{t}\abs{T^n(y)(s) - T^n(z)(s)}\dd s \leq L\int_{t_0}^{t}\frac{L^n(s - t_0)^n}{n!}\dd s\; d_\infty(y,z),

y la integral se evalúa como $\frac{L^n(t - t_0)^{n+1}}{(n+1)!}$ : el límite con $n + 1$ . Por lo tanto $d_\infty(T^n y, T^n z) \leq \frac{(Lh)^n}{n!}d_\infty(y, z)$ , y $\frac{(Lh)^n}{n!} \to 0$ (la serie exponencial converge): algo de $T^m$ es una contracción. La pregunta 4 se aplica a el completo $X_h$ : $T$ tiene un punto fijo único, es decir, el El problema de Cauchy tiene exactamente una solución en $I$ con valores en $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ .

9. Deje que $y$ resuelva el problema en $I$ y suponga que el conjunto $E = \{t \in I, t > t_0 : \abs{y(t) - y_0} > b\}$ no está vacío (el lado $t < t_0$ es simétrico); deja $\tau = \inf E$ . Por continuidad, $\abs{y(s) - y_0} \leq b$ para $s \in \intcc{t_0}{\tau}$ , por lo que la gráfica se encuentra en $R$ allí, la integral la ecuación tiene hasta $\tau$ , y

\abs{y(\tau) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{\tau}f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s\Bigr| \leq M(\tau - t_0) \leq Mh \leq b .

Si $\tau < t_0 + h$ , los puntos de $E$ están arbitrariamente cerca de $\tau$ desde la derecha dé, por continuidad, $\abs{y(\tau) - y_0} \geq b$ , por lo tanto $= b$ ; pero luego la pantalla fuerza $M(\tau - t_0) = Mh$ , es decir $\tau = t_0 + h$ : contradicción. Entonces $\tau = t_0 + h$ , $E \subseteq \{t_0 + h\}$ y la pantalla (en $\tau = t_0 + h$ ) da $\abs{y(t_0 + h) - y_0} \leq b$ , membresía contradictoria en $E$ . Por lo tanto $E = \emptyset$ : cada solución en $I$ permanece en la banda, es un punto fijo de $T$ en $X_h$ , y la unicidad es incondicional.

10. $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ . De $y^{(0)} \equiv 1$ :

y^{(1)}(t) = 1 + t,\quad y^{(2)}(t) = 1 + t + \frac{t^2}2,\quad\dots\quad y^{(n)}(t) = \sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}

(inducción: integrar la suma parcial suma el siguiente término). Estas son las sumas parciales de Taylor de $\eu^{\,t}$ ; en cualquier límite $I$ convergen uniformemente a $\eu^{\,t}$ (la cola es dominada por la serie numérica convergente $\sum h^k/k!$ ), que es de hecho la única solución.

11. $y \equiv 0$ es una solución. Para $y_c$ : es $C^1$ (ambas piezas son, y en $t = c$ los derivados coinciden: $0$ y $2(t - c) \to 0$ ), y para $t > c$ : $y_c' = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{y_c}}$ ; para $t \leq c$ ambos lados desaparecer. Entonces el problema de Cauchy $y(0) = 0$ tiene infinitos soluciones ( $c \geq 0$ arbitraria y $y \equiv 0$ ). el campo $\varphi(y) = 2\sqrt{\abs y}$ no es Lipschitz cerca de $0$ : $\frac{\varphi(y) - \varphi(0)}{y - 0} = \frac{2}{\sqrt y} \to +\infty$ como $y \to 0^+$ : ninguna constante $L$ funciona en ningún barrio de $0$ — exactamente donde están todas las soluciones rama.

12. Separando variables (o comprobando directamente), el La solución local única es $y(t) = \frac1{1 - t}$ , definida en $\intoo{-\infty}{1}$ y explotando en $t = 1$ . Para el rectángulo $\intcc{-a}{a} \times \intcc{1 - b}{1 + b}$ : $M = \sup y^2 = (1 + b)^2$ , por lo que el ancho medio certificado es $h = \min\bigl(a, \frac{b}{(1+b)^2}\bigr)$ . Maximizando $\frac{b}{(1+b)^2}$ : derivada cero en $b = 1$ , valor $\frac14$ . Entonces el teorema garantiza vida sólo en $\intcc{-\frac14}{\frac14}$ — correctamente menor que el verdadero esperanza de vida $1$ hacia adelante e infinitamente menos hacia atrás: el teorema es local por naturaleza y la ampliación demuestra que no puede ser de otra manera.

13. $g$ asigna $\intcc12$ a sí mismo: $g$ disminuye en $\intcc{1}{\sqrt2}$ y aumenta después (estudio $g'(x) = \frac12 - \frac1{x^2}$ ), con $g(1) = g(2) = \frac32$ y mínimo $g(\sqrt2) = \sqrt2 > 1$ : $g(\intcc12) \subseteq \intcc{\sqrt2}{\frac32} \subseteq \intcc12$ ; y mapas $g$ racionales a racionales. Contracción: $\abs{g'(x)} = \abs{\frac12 - \frac1{x^2}} \leq \frac12$ en $\intcc12$ ( $\frac1{x^2} \in \intcc{\frac14}{1}$ ), por lo que la desigualdad del valor medio da $\abs{g(x) - g(y)} \leq \frac12\abs{x - y}$ . un punto fijo satisface $\frac x2 = \frac1x$ , es decir $x^2 = 2$ : imposible en $\Q$ . La hipótesis fallida es lo completo de $X$ ( $\Q \cap \intcc12$ no es completo); en la terminación $\intcc12$ el punto fijo es $\sqrt2$ — El teorema de Banach se ejecuta en el racionales crea lo irracional.

14. A posteriori: $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, \ell) \leq k\,d(x_{n-1}, x_n) + k\,d(x_n, \ell)$ , de donde $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}d(x_n, x_{n-1})$ . garza de $x_0 = \frac32$ : $x_1 = \frac{17}{12}$ , $d(x_1, x_0) = \frac1{12}$ , $k = \frac12$ : el límite a priori $\frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0) = \frac{2^{-n+1}}{12}$ cae por debajo $10^{-6}$ primero en $n = 18$ . En realidad $x_1 = \frac{17}{12} \approx 1.41667$ (error $2.5\cdot10^{-3}$ ), $x_2 = \frac{577}{408} \approx 1.4142157$ (error $2.1\cdot10^{-6}$ ), $x_3 \approx 1.41421356237469$ (error $1.6\cdot10^{-12}$ ): tres pasos son suficientes. Cada Garza paso aproximadamente cuadrícula el error (convergencia cuadrática, un fenómeno de Newton: Capítulo 8); la estimación de contracción, que sólo lo reduce a la mitad, es honesto en el peor de los casos, pero pesimista en este caso.

15. Aplique la pregunta 3 con $g = T_{y_0}$ (un $Lh$ -contracción, $Lh < 1$ ) y $\widetilde g = T_{z_0}$ , cuyas El punto fijo es $y[z_0]$ . Para cualquier $y$ ,

\abs{T_{y_0}(y)(t) - T_{z_0}(y)(t)} = \abs{y_0 - z_0},

(las integrales son idénticas), entonces $\sup_y d_\infty(T_{y_0}(y), T_{z_0}(y)) = \abs{y_0 - z_0}$ , y la pregunta 3 da

d_\infty(y[y_0], y[z_0]) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh} .

16. En cada pieza se aplicó la pregunta 15 con la Los valores del punto final izquierdo como datos iniciales limitan la desviación en el punto final correcto:

d_\infty \leq \frac{1}{1 - 1/2}\,(\text{left deviation}) = 2\,(\text{left deviation}) .

Por inducción sobre las piezas $m$ , la desviación final es como máximo $2^m\abs{y_0 - z_0}$ , y la desviación uniforme en todo el El segmento obedece al mismo límite (el sup de cada pieza se controla en su etapa). Con piezas de longitud $h \asymp \frac1{2L}$ , el El factor es $2^m = 2^{\,\text{length}\cdot 2L}$ : exponencial en la longitud del intervalo, exactamente como el límite de Gronwall $\eu^{L\abs{t-t_0}}$ predice, con mejores constantes.

17. Mismo esquema: para $y \in X_h$ ,

\abs{T_f(y)(t) - T_g(y)(t)} \leq \int_{t_0}^t \abs{f(s,y(s)) - g(s,y(s))}\,\abs{\dd s} \leq \varepsilon h ,

entonces la pregunta 3 (con $T_f$ la contracción, $T_g$ la perturbada mapa) produce $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ .

18. Por pregunta 17 aplicada a $f = f_\lambda$ , $g = f_\mu$ : $d_\infty(y_\lambda, y_\mu) \leq \frac{Ch}{1 - Lh}\abs{\lambda - \mu}$ : el mapa de solución es Lipschitz con constante $\frac{Ch}{1-Lh}$ .

19. Se utilizan únicamente todos los argumentos: los axiomas métricos, los lo completo de la etapa, el $\abs{\int} \leq \int\abs{\cdot}$ vinculado y la propiedad Lipschitz de $f$ — todos disponible para funciones con valores $\R^n$ con $d_\infty$ integrado cualquiera de las distancias equivalentes de Ejemplo 4.2 (completo por Teorema 4.9). Para $y' = Ay$ con el nilpotente $A$ : $y^{(0)} \equiv (c_1, c_2)$ ,

y^{(1)}(t) = (c_1, c_2) + \int_0^t (c_2, 0)\,\dd s = (c_1 + tc_2,\; c_2),

y $Ay^{(1)}(s) = (c_2, 0)$ nuevamente: $y^{(2)} = y^{(1)}$ . el la iteración es estacionaria desde $n = 1$ en adelante, en la solución exacta $y(t) = (c_1 + tc_2, c_2) = \eu^{tA}y(0)$ — nilpotencia trunca la serie exponencial y Picard se da cuenta.

20. Reparar $y \in X$ y dejar que $g_y(x) = y - \eta(x)$ : a $k$ -contracción del completo $X$ , por lo que hay exactamente un $x$ con $x + \eta(x) = y$ : el mapa $\Phi = \mathrm{id} + \eta$ es biyectivo. Lipschitz inversa: si $\Phi(x) = y$ y $\Phi(x') = y'$ ,

d(x, x') \leq d(y, y') + d\bigl(\eta(x), \eta(x')\bigr) \leq d(y, y') + k\,d(x, x'),

entonces $d(x, x') \leq \frac{1}{1-k}d(y, y')$ . (Las distancias aquí vienen de la estructura de la norma, por lo $d(a - c, b - c) = d(a, b)$ , que la primera desigualdad utilizada.)

21. $g(x) = m + e\sin x$ es $e$ -Lipschitz en el completo $\R$ (desigualdad del valor medio, $\abs{g'} = \abs{e\cos x} \leq e < 1$ ): Banach da una solución única y global convergencia de la iteración. Para $e = \frac12$ , $m = 1$ , $x_0 = 1$ : $x_1 = 1 + \frac12\sin 1 \approx 1.42074$ , $d(x_1, x_0) \approx 0.4207$ y el límite a priori $\frac{(1/2)^n}{1/2}\cdot 0.4207 \leq 10^{-3}$ primera espera en $n = 10$ : diez iteraciones certificadas (el valor real $x \approx 1.4987$ se alcanza de hecho en $10^{-3}$ ya alrededor de $n = 5$ ).

22. Utilice la descripción del dígito (Ejercicio 4.8): $C$ es el conjunto de sumas $\sum_{n\geq1}a_n3^{-n}$ , $a_n \in \{0, 2\}$ . Entonces $S_1(C) = \{x/3 : x \in C\}$ es el subconjunto con $a_1 = 0$ y $S_2(C) = \{x/3 + 2/3\}$ el subconjunto con $a_1 = 2$ : su unión, sobre el libre elección de $a_1$ , es exactamente $C$ . Unicidad en uno oración: en el espacio de subconjuntos compacto no vacíos de $\intcc01$ metrizado por la distancia de Hausdorff, $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ es una contracción $\frac13$ de completo espacio, por lo que Banach permite sólo un conjunto fijo — el Año 3 El volumen hace que la métrica de Hausdorff y este argumento sean rigurosos.

23. Deje $Z = \{t \in J : y(t) = z(t)\}$ : no vacío ( $t_0 \in Z$ ), cerrado en $J$ (ecualizador de dos mapas continuo: preimagen de $\{0\}$ bajo $y - z$ ). Abierto: si $t_1 \in Z$ , aplicar el teorema local (pregunta 8) en el punto $(t_1, y(t_1))$ , en un rectángulo donde $f$ es Lipschitz: en un pequeño intervalo alrededor de $t_1$ , tanto $y$ como $z$ resuelven el mismo problema de Cauchy, por lo que coinciden allí (unicidad incondicional de la pregunta 9): un barrio de $t_1$ se encuentra en $Z$ . Un subconjunto no vacío de El intervalo $J$ que es a la vez abierto y cerrado en $J$ es todo $J$ . (los intervalos son conectado, Teorema 4.27): $y = z$ en $J$ .

24. Aquí $f(t, y) = \alpha(t)y + \beta(t)$ está $L$ -Lipschitz en $y$ en todo $\intcc AB \times \R$ con $L = \sup\abs\alpha$ (finito: $\alpha$ continuo en un segmento), y no se necesita ninguna banda $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ : tome $X = C(\intcc AB)$ entera, en la que $T$ está bien definida. La inducción de La pregunta 8 se ejecuta palabra por palabra y da $d_\infty(T^ny, T^nz) \leq \frac{(L(B - A))^n}{n!}d_\infty(y, z)$ : una iteración es una contracción cualquiera que sea la longitud $B - A$ , y pregunta 4 concluye: una y sólo una solución en todo el segmento. La linealidad entra exactamente una vez: hace que el Lipschitz se una global en $y$ , eliminando el rectángulo y su $h \leq b/M$ .

25. Lo completo convirtió la secuencia de Cauchy de itera en una solución real (preguntas 1, 6, 8), y su La ausencia dejó escapar a $\sqrt2$ de $\Q$ (pregunta 13). Contracción dio la unicidad, el algoritmo y el barras de error (preguntas 7, 14). El truco de iterar eliminado la condición de pequeñez $Lh < 1$ , por lo que el intervalo certificado depende solo de $M$ , no de $L$ — y realizó ecuaciones lineales global (preguntas 8, 24). Conectividad promocionado local unicidad a la unicidad global (pregunta 23). el contraejemplos: $2\sqrt{\abs y}$ guardias Lipschitz (pregunta 11), $y^2$ guardias localidad (pregunta 12), $\Q$ guardias lo completo (pregunta 13). La cumbre es la Picard–Lindelöf del teorema (pregunta 8); cuando $f$ es simplemente continuo, la existencia sobrevive pero la unicidad muere, y el la prueba intercambia la contracción por compacidad de conjuntos de funciones — Teorema de Peano vía Arzelà–Ascoli, en el Año 3 volumen.