Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

14Serie Fourier

¿Se puede reconstruir cada señal periódica a partir de senos y cosenos puros? El audaz "sí" de Fourier generó un siglo de análisis. esto El capítulo demuestra los dos pilares al alcance de MP*: Dirichlet teorema (reconstrucción puntualmente para funciones $C^1$ por partes, a través del Núcleo de Dirichlet) y La identidad de Parseval. (la energía de una señal es la suma de las energías de sus armónicos), y cosecha la serie numérica clásica — $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ de Basilea en primer lugar entre ellas.

En todo momento, las funciones son $2\pi$ : periódica, continuo por partes, de valor complejo; $\mathcal{C}$ denota los continuo.

14.1 coeficientes de Fourier

Definición 14.1

El coeficientes de Fourier de $f$ son

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

y los coeficientes en forma real $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , de modo que los Sumas parciales de Fourier sean

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

En $\mathcal{C}$ , defina Producto interior hermitiano $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : el los exponenciales $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ son ortonormal ( $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ , cómputo directo), y $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : El análisis de Fourier es hermitiano geometría (Capítulo 13) en dimensión infinita.

Proposición 14.2 (desigualdad de Bessel)

$S_N(f)$ es la proyección ortogonal de $f$ en el espacio $\mathcal{T}_N$ de polinomios trigonométricos de grado $\leq N$ , y

\sum_{n=-N}^{N} \abs{c_n(f)}^2 \leq \norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs f^2 :

la serie $\sum \abs{c_n}^2$ converge, y $c_n(f) \to 0$ como $\abs n \to \infty$ (Riemann–Lebesgue para coeficientes).

Demostración. $f - S_N(f)$ es ortogonal a cada $e_k$ , $\abs k \leq N$ ( $\langle e_k, f - S_N f\rangle = c_k - c_k = 0$ ): $S_Nf$ es el ortogonal proyección sobre $\mathcal{T}_N = \operatorname{Vect}(e_{-N}, \dots, e_N)$ (teorema de proyección del volumen del año 1, palabra por palabra en el hermitiano). Pitágoras: $\norm f_2^2 = \norm{S_Nf}_2^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2 \geq \norm{S_Nf}_2^2 = \sum_{\abs n \leq N} \abs{c_n}^2$ ; deja $N \to \infty$ . ∎

Ejemplo 14.3 (Mejor aproximación, medida)

¿Qué tan bien se aproximan los polinomios trigonométricos de bajo grado? el diente de sierra $f(t) = t$ (en $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) en el media cuadrática? Por Proposición 14.2 lo mejor grado- $N$ aproximación is $S_N(f)$ , con error al cuadrado

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Aquí $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ , y desde $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Ejemplo 14.12): $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . entonces

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: numerically } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

para $N = 1, 2, 3, 4$ — disminuyendo, pero lentamente: la cola $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ se rige por la lentitud $\frac1n$ decaimiento de los coeficientes, en sí mismo la firma de el salto (Ejercicio 14.6 leído al revés). Cierre Insight: Parseval convierte la calidad de aproximación en la cola de un serie numérica — y predice, antes que cualquier imagen, que Los saltos hacen que las series de Fourier converjan a regañadientes.

Método 14.4 (Calcular eficientemente los coeficientes de Fourier)

Antes de integrar nada:

Paridad: incluso $f$ tiene $b_n = 0$ , $f$ impar tiene $a_n = 0$ y las integrales supervivientes se reducen a $\frac2\pi \int_0^\pi$ : la mitad del trabajo, el doble de confiabilidad.
Los polinomios trigonométricos ya están hechos: linealizar productos ( $\cos^3$ , $\sin^2\cos$ , …) y leer los coeficientes (Ejercicio 14.9); la ortonormalidad hace que cualquier una mayor integración redundante.
Exponenciales complejas para exponenciales: para factores $\eu^{at}$ u oscilaciones amortiguadas, calcular $c_n$ directamente — una integral de $\eu^{(a - \iu n)t}$ le gana a dos integraciones por partes (Ejercicio 14.10).
Diferenciar una expansión conocida: si $f'$ tiene coeficientes conocidos y $f$ es continuo, $c_n(f) = \frac{c_n(f')}{\iu n}$ ( $n \neq 0$ ) recupera todo menos $c_0$ , que es la media, a menudo la ruta más rápida, y legítimo exactamente bajo las hipótesis de Teorema 14.10 (1).

14.2 teorema de dirichlet

Lema 14.5 (Núcleo de Dirichlet)

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x + u)\,D_N(u)\,\dd u$ , donde

D_N(u) = \sum_{n=-N}^{N} \eu^{\iu nu} = \frac{\sin\bigl((N + \frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} \quad (u \notin 2\pi\Z), \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N = 1 .

Demostración. Inserte la definición de $c_n$ en $S_N$ e intercambie la suma y la integral (legítimo: la suma es finita):

S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N}\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu nt}\dd t\Bigr)\eu^{\iu nx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sum_{n=-N}^{N}\eu^{\iu n(x-t)}\,\dd t ;

sustituya $u = t - x$ y deslice el segmento de integración hacia atrás a $\intcc{-\pi}{\pi}$ por $2\pi$ -periodicidad del integrando; el rango de índice simétrico hace $\sum_n\eu^{-\iu nu} = D_N(u)$ . La forma cerrada: suma geométrica con relación $\eu^{\iu u}$ ,

D_N(u) = \eu^{-\iu Nu}\,\frac{\eu^{\iu(2N+1)u} - 1}{\eu^{\iu u} - 1} = \frac{\eu^{\iu(N + \frac12)u} - \eu^{-\iu(N+\frac12)u}} {\eu^{\iu u/2} - \eu^{-\iu u/2}} ,

que es el cociente seno. Su media es $1$ : solo $n = 0$ contribuye. ∎

Teorema 14.6 (Riemann–lema de Lebesgue)

Para $g$ continuo por partes en un segmento, $\int_a^b g(t)\sin(\lambda t + \varphi)\,\dd t \to 0$ como $\lambda \to +\infty$ .

Demostración. Funciones aproximadas $g$ uniformemente por paso (Teorema 10.16 no es necesario — la primaria aproximación de función escalonada de funciones continuo por partes basta) e integrar cada paso explícitamente: cada pieza contribuye $O\bigl(\frac1\lambda\bigr)$ , y la aproximación el error contribuye $\varepsilon(b - a)$ . Este argumento fue llevado en su totalidad como ejercicio final del volumen del Año 1. capítulo de integración; para piezas $C^1$ se pueden integrar mediante partes y sujeto a $\frac C\lambda$ . ∎

Ejemplo 14.7 (¿Qué tan rápido mueren los coeficientes?)

Riemann-Lebesgue dice que los coeficientes tienden a $0$ ; su tasa es un medidor de suavidad. Tres ejemplares de este capítulo y sus ejercicios:

\text{square wave: } b_n = \frac{4}{\pi n}\ (n\ \text{odd}), \qquad \abs t : a_n = \frac{-4}{\pi n^2}\ (n\ \text{odd}), \qquad \abs{\sin t} : a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} .

Un salto en $f$ (onda cuadrada, diente de sierra) deja coeficientes de orden $\frac1n$ : no convergencia normal, Gibbs se excede en el salta. Continuidad con una esquina — un salto en $f'$ solamente — mejora el orden a $\frac{1}{n^2}$ : convergencia normal, reconstrucción uniforme. En general los derivados $k$ compran $c_n = O(n^{-k})$ (Ejercicio 14.6), y por el contrario un espectro. decaer más rápido que cada poder obliga a $f$ a ser $C^\infty$ (diferenciar término por término, ahora legítimamente). Cierre Insight: regularidad de la señal y caída del espectro. son la misma información — un ingeniero lee uno del pendiente del otro sin siquiera trazar la función.

Teorema 14.8 (Dirichlet)

Sea $f$ $2\pi$ -periódico y $C^1$ por partes. Luego, por cada $x$ ,

S_N(f)(x) \xrightarrow[N \to \infty]{} \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}

(la media de los límites unilaterales) — en particular $S_N(f)(x) \to f(x)$ en cada punto de continuidad.

Demostración. Por el lema del núcleo y su media unitaria, dividir la integral en Mitades $u > 0$ y $u < 0$ (cada una de la media $\frac12$ ):

\begin{align*} S_N(f)(x) - \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)D_N(u)\,\dd u\\ &\quad+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)D_N(u)\,\dd u . \end{align*}

Trate el primero (el segundo es simétrico). escribir

\bigl(f(x + u) - f(x^+)\bigr)\,D_N(u) = \underbrace{\frac{f(x+u) - f(x^+)}{\sin\frac u2}}_{g(u)}\, \sin\Bigl(\Bigl(N + \frac12\Bigr)u\Bigr) .

La función $g$ es continuo por partes en $\intoc{0}{\pi}$ y tiene un límite finito en $0^+$ : escritura

g(u) = \frac{f(x+u) - f(x^+)}{u}\cdot\frac{u}{\sin\frac u2} ,

el primer factor tiende a $f'(x^+)$ (unilateral diferenciabilidad, desde $C^1$ por partes) y el segundo a $2$ (el límite estándar $\frac{\sin v}{v} \to 1$ en $v = \frac u2$ ): $g(0^+) = 2f'(x^+)$ existe. Entonces $g$ se extiende por partes continuamente a $\intcc{0}{\pi}$ , y Riemann–Lebesgue (Teorema 14.6) envía la integral a $0$ . Éste es el objetivo de la hipótesis: sin derivadas unilaterales, el factor $\frac{1}{\sin(u/2)}$ explota hasta $0$ más rápido que Riemann-Lebesgue puede compensar, y convergencia puntual realmente puede fallar por simplemente continuo $f$ — la brecha que el teorema de Fejér (problema de fin de semana) cierra promediando. ∎

Ejemplo 14.9 (Dirichlet en un salto)

Para el diente de sierra $f(t) = t$ en $\intoo{-\pi}{\pi}$ (Ejemplo 14.12 a continuación), la extensión periódica salta en $t = \pi$ de $f(\pi^-) = \pi$ a $f(\pi^+) = -\pi$ . Dirichlet promete el valor $\frac{\pi + (-\pi)}{2} = 0$ allí, y de hecho cada término de $\sum \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nt$ desaparece en $t = \pi$ : el La serie converge cortésmente al punto medio, ignorando ambos. valores unilaterales. Mover el punto de evaluación a $t = \frac\pi2$ (un punto continuidad) convierte la misma serie en $\frac\pi4$ de Leibniz. Una serie, dos comportamientos — exactamente las dos cláusulas del teorema.

Teorema 14.10 (Convergencia normal para $C^1$ ; Parseval)

Si $f$ es continuo, $2\pi$ -periódico y $C^1$ por partes, luego $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ , la serie de Fourier de $f$ converge normalmente en $\R$ y su suma es $f$ .
(Parseval) Para cada fragmento continuo $2\pi$ -periódico $f$ :

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs{c_n(f)}^2 = \frac{\abs{a_0}^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} \bigl(\abs{a_n}^2 + \abs{b_n}^2\bigr).$

(Proved here for $f$ continuo piecewise $C^1$ ; admitted in general.)

Demostración. (1) Integración por partes en cada pieza $C^1$ (los términos acotados cancelan por continuidad y periodicidad): $c_n(f') = \iu n c_n(f)$ . Entonces, por Cauchy–Schwarz sobre las dos familias sumable al cuadrado (Proposición 14.2 para $f'$ ):

\sum_{n \neq 0} \abs{c_n(f)} = \sum_{n\neq0} \frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum \abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\sum_{n\neq0}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{1/2} < \infty :

convergencia normal de la serie de Fourier. Su suma es continuo y coincide con $f$ en cada punto de Dirichlet (Teorema 14.8: $f$ es continuo): la serie converge a $f$ , uniformemente.

(2) Para tal $f$ : $S_N f \to f$ uniformemente, entonces $\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - S_Nf}_\infty \to 0$ , y Pitágoras ( $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n \leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ ) pasa al límite. La forma real es la contabilidad con $a_n, b_n$ . ∎

Ejemplo 14.11 (La cola $C^1$ se hace cuantitativa)

La prueba de Teorema 14.10 (1) oculta un utilizable estimación. Para continuo por partes- $C^1$ $f$ , lo mismo Cauchy–Schwarz aplicado a la cola sólo da

\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f)} = \sum_{\abs n > N}\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{\!1/2} \Bigl(\sum_{\abs n>N}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{\!1/2} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac{2}{N}} ,

utilizando Bessel para $f'$ y $\sum_{n>N}n^{-2} \leq \frac1N$ . entonces el error uniforme de las sumas parciales obedece

\norm{f - S_Nf}_\infty \leq \sum_{\abs n>N}\abs{c_n(f)} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac2N} .

Para $f(t) = \abs t$ : $\norm{f'}_2 = 1$ (la derivada es $\pm1$ ), por lo que diez términos ya reconstruyen $\abs t$ uniformemente dentro de $\sqrt{0.2} \approx 0.45$ y $N = 10^4$ dentro $0.015$ . Información final: un derivado compra el $\frac{1}{\sqrt N}$ tarifa uniforme; comparando con el $\frac1n$ -coeficiente mundo de la onda cuadrada (no uniforme convergencia en absoluto), el diccionario de Ejemplo 14.7 adquiere números.

Ejemplo 14.12 (Basilea y amigos)

Deje $f(t) = t$ en $\intoo{-\pi}{\pi}$ , extendido $2\pi$ periódicamente (un diente de sierra, a trozos $C^1$ ). Computación, $a_n = 0$ (rareza) y

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin nt\,\dd t = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} .

Dirichlet en $t = \frac\pi2$ recupera el $\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots$ de Leibniz; Parseval da

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac12\sum_{n\geq1}\frac{4}{n^2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

— Suma de Basilea de Euler, en dos líneas. La función $f(t) = t^2$ de manera similar produce $\sum \frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ (Ejercicio 14.3).

Ejemplo 14.13 (Una expansión completa con verificación incorporada: $\abs{\sin t}$ )

La función $f(t) = \abs{\sin t}$ es continuo, par, $\pi$ -periódico (de ahí $2\pi$ -periódico), $C^1$ por partes. La uniformidad mata al $b_n$ ; $a_0 = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \abs{\sin t}\dd t = \frac4\pi$ ; y para $n \geq 1$ , producto a suma da

a_n = \frac2\pi\int_0^\pi \sin t\cos nt\,\dd t = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\bigl(\sin(1+n)t + \sin(1-n)t\bigr)\dd t = \frac2\pi\cdot\frac{1 + \cos n\pi}{1 - n^2}

para $n \neq 1$ (y $a_1 = 0$ directamente): cero para $n$ impar, y $a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)}$ . Por Teorema 14.10 (1) la convergencia es normal, y

\abs{\sin t} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k\geq1}\frac{\cos(2kt)}{4k^2 - 1} \qquad (t \in \R) .

Control incorporado en $t = 0$ : las exigencias de identidad $\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12$ , que telescópico confirma:

\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12\sum_{k\geq1}\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\Bigr) = \frac12 . \checkmark

Información final: el espectro de $\abs{\sin}$ vive en el incluso solo frecuencias — rectificar un seno duplica su contenido de frecuencia, razón por la cual los rectificadores de onda completa zumban a $100$ o $120$ hercios, el doble de la frecuencia de red.

Ejemplo 14.14 (Parseval como dispositivo informático)

Parseval convierte las expansiones en series numéricas al por mayor. Aplicarlo a $f(t) = \abs t$ (Ejercicio 14.2: $a_0 = \pi$ , $a_n = \frac{-4}{\pi n^2}$ para $n$ impar, el resto cero):

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n \text{ odd}} a_n^2 = \frac{\pi^2}{4} + \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\text{ odd}}\frac{1}{n^4} ,

de donde

\sum_{n\text{ odd}}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^2}{8}\Bigl(\frac{\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{4}\Bigr) = \frac{\pi^4}{96} .

Verificación cruzada con Ejercicio 14.3: división $\sum\frac1{n^4}$ en partes pares e impares da el estilo $\zeta$ contabilidad $S = S_{\mathrm{odd}} + \frac{S}{16}$ , entonces $S = \frac{16}{15}\cdot\frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ — exactamente el valor encontrado allí por una función diferente. dos expansiones, un número: la consistencia es la isometría de Parseval en el trabajo. Perspectiva final: cada nueva expansión de Fourier es una máquina generadora de identidades de series; el fin de semana La Parte II del problema explica por qué la máquina nunca puede contradecirse.

La onda cuadrada (gris) y la Sumas parciales de Fourier S_1 (azul) y S_9 (rojo): convergencia en cada punto continuidad, pero un sobreimpulso persistente 9\% cerca de los saltos — el fenómeno de gibbs. uniforme convergencia falla exactamente porque el límite es discontinuo. — La onda cuadrada (gris) y la Sumas parciales de Fourier $S_1$ (azul) y $S_9$ (rojo): convergencia en cada punto continuidad, pero un sobreimpulso persistente $\sim 9\%$ cerca de los saltos — el *fenómeno de gibbs*. uniforme convergencia falla exactamente porque el límite es discontinuo.

Ejemplo 14.15 (Traducción y modulación)

Dos reglas de una línea generan muchas expansiones a partir de una. Para $a \in \R$ , sustituyendo $s = t - a$ :

c_n\bigl(f(\cdot - a)\bigr) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t - a)\eu^{-\iu nt}\dd t = \eu^{-\iu na}\,c_n(f) \qquad\text{(translation modulates the spectrum)},

y directamente de la definición,

c_n\bigl(\eu^{\iu kt}f\bigr) = c_{n-k}(f) \qquad\text{(modulation translates the spectrum)}.

Ejemplo resuelto: el diente de sierra desplazado $\pi$ , $g(t) = f(t - \pi)$ con $f(t) = t$ , tiene coeficientes $b_n$ $(-1)^n\cdot\frac{2(-1)^{n+1}}{n} = -\frac2n$ : la expansión $g \sim -2\sum\frac{\sin nt}{n}$ del diente de sierra que salta $0$ en lugar de $\pi$ — no se vuelve a calcular la integral. Cierre Idea: los cambios de tiempo solo giran en fases, nunca en amplitudes ( $\abs{c_n}$ es invariante por cambio), razón por la cual la energía (Parseval) y la clase de convergencia son propiedades de la señal. forma, no de donde empieza el reloj.

Observación 14.16 (Errores comunes)

(i) Tres convergencias, tres monedas:puntualmente (Dirichlet: necesita $C^1$ por partes, paga el punto medio en cada salto — nunca el valor unilateral), uniforme (necesita un Límite continuo; imposible cruzar un salto, Gibbs es el síntoma visible) y media cuadrática (Parseval: el más robusto, ciego a puntos individuales). Dime siempre cuál están reclamando. (ii) No hay diferenciación temporal por predeterminado: diferenciando la serie de dientes de sierra de Ejemplo 14.12 término por término arroja $\sum 2(-1)^{n+1}\cos nt$ , cuyos términos ni siquiera tienden a $0$ — los teoremas de transferencia del capítulo de secuencias de funciones necesitan convergencia uniforme de la serie derivado, que el el salto destruye. Suavidad primero, diferenciación después (Ejercicio 14.6 es el diccionario). (iii) Simétrico partial sums: El teorema de Dirichlet se refiere a $S_N = \sum_{-N}^{N}$ ; reorganizar o sumar un lado primero puede cambiar la divergencia en convergencia y viceversa. Las convenciones (v) Deriva de normalización: difieren entre libros. ( $\frac{1}{2\pi}$ o $\frac1\pi$ al frente, punto $2\pi$ o $1$ ); las invariantes confiables son las relaciones de ortonormalidad — recalcular $\langle e_m, e_n\rangle$ en la convención en mano antes de confiar en cualquier fórmula.

Observación 14.17 (donde se utiliza)

Parseval es el germen de la teoría $L^2$ de series de Fourier: la El volumen del año 3 completa el cuadro (las exponenciales son una base de Hilbert de $L^2$ , y el mapa $f \mapsto (c_n)$ es una isometría biyectiva). Dentro de este volumen, el problema del fin de semana prueba Fejér’s theorem — el Cesàro significa del Las series de Fourier convergen uniformemente para cada periódico continuo $f$ — que actualiza el Parseval general admitido a un teorema, produce el teorema trigonométrico de Weierstrass y paga dos dividendos espectaculares: el teorema de equidistribución de Weyl y la desigualdad isoperimétrica. Matemáticas aplicadas lee esto capítulo diario: espectros de señales, armónicos de vibración. sistemas y la rápida transformada de Fourier (el avatar finito era Ejercicio 13.10).

Observación 14.18 (Perspectivas dentro de este volumen)

Tres capítulos conversan con éste. Al revés: el hermitiano El capítulo proporcionó la geometría (familias ortonormales, proyecciones, Bessel), y el capítulo de secuencias de funciones del análisis (convergencia uniforme, teoremas de transferencia, aproximación identidades — El núcleo de Fejér es para la serie de Fourier lo que Los polinomios de Bernstein fueron a Weierstrass). De lado: el La teoría de límites del capítulo de series de potencias regresa a través de abel sumatoria, realizada aquí por el núcleo de Poisson. (Ejercicio 14.12) — el radio del disco $r$ reproduciéndose el papel del parámetro de suma. adelante: el El capítulo de ecuaciones diferenciales descompone el forzamiento periódico. en armónicos y alimenta cada uno a la frecuencia del oscilador respuesta; La resonancia ocurre cuando un modo de Fourier de la entrada coincide con una frecuencia natural, por lo que su problema de fin de semana y los de este capítulo son dos mitades de una historia.

El Núcleo de Dirichlet D_8 (azul) oscila y toma valores negativos; el núcleo Fejér F_8 (rojo) no es negativo, se concentra en 0, y tiene media 1: un aproximado identidad. La positividad es exactamente lo que el Núcleo de Dirichlet le falta y lo que hace que el teorema de Fejér en el fin de semana sea un problema incondicional. — El Núcleo de Dirichlet $D_8$ (azul) oscila y toma valores negativos; el núcleo Fejér $F_8$ (rojo) no es negativo, se concentra en $0$ , y tiene media $1$ : un *aproximado identidad*. La positividad es exactamente lo que el Núcleo de Dirichlet le falta y lo que hace que el teorema de Fejér en el fin de semana sea un problema incondicional.

14.3 Ceremonias

Ejercicio 14.1 ★

Calcule el coeficientes de Fourier de la onda cuadrada ( $f = -1$ en $\intoo{-\pi}{0}$ , $+1$ en $\intoo{0}{\pi}$ ), estado de Dirichlet conclusión en $t = \frac\pi2$ y en el salto $t = 0$ , y recuperar La serie de Leibniz.

Solución

Solución de Ejercicio 14.1.

La rareza mata al $a_n$ . Para $n \geq 1$ :

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - (-1)^n}{n} = \begin{cases} \frac{4}{\pi n} & n \text{ odd},\\ 0 & n \text{ even}. \end{cases}

Entonces $S(f)(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\sin\bigl((2k+1)t \bigr)}{2k+1}$ . Dirichlet en $t = \frac\pi2$ (un punto continuidad, valor $1$ ): $\sin\bigl((2k+1)\frac\pi2\bigr) = (-1)^k$ , dando

1 = \frac4\pi \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} \quad\text{(Leibniz)}.

En el salto $t = 0$ : la serie suma $0 = \frac{f(0^+) + f(0^-)}{2}$ , como prescribe Dirichlet (todos los términos desaparecen: consistente).

Ejercicio 14.2 ★

Expanda $f(t) = \abs t$ ( $\abs t \leq \pi$ , $2\pi$ -periódico) en serie de Fourier; justificar la convergencia normal; evaluar en $t = 0$ para obtener $\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ , y recuperar Basilea a partir de él.

Solución

Solución de Ejercicio 14.2.

La uniformidad mata al $b_n$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs t\,\dd t = \pi$ y para $n \geq 1$ :

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n - 1}{n^2} = \begin{cases} -\frac{4}{\pi n^2} & n \text{ odd},\\ 0 & n \text{ even}, \end{cases}

(una integración por partes). Por lo tanto

\abs t = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2} ,

con convergencia normal ( $\sum (2k+1)^{-2} < \infty$ ) — como Teorema 14.10 (1) predice para este continuo Función por partes- $C^1$ . En $t = 0$ :

0 = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} .

Dividiendo $\sum \frac{1}{n^2}$ en partes pares e impares: $S = \frac{\pi^2}{8} + \frac S4$ , entonces $S = \frac{\pi^2}{6}$ : Basilea nuevamente.

Ejercicio 14.3 ★

Expanda $f(t) = t^2$ ( $\abs t \leq \pi$ ) y deduzca

\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}, \qquad \sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} \quad\text{(Parseval)}.

Solución

Solución de Ejercicio 14.3.

Uniformidad: $b_n = 0$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2 = \frac{2\pi^2}{3}$ ; dos integraciones por partes dan $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ ( $n \geq 1$ ). Por lo tanto

t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nt \qquad (\abs t \leq \pi),

normalmente convergente. En $t = 0$ : $0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ , es decir $\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ . Parseval:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^4\,\dd t = \frac{\pi^4}{5} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} a_n^2 = \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} ,

Entonces $\sum \frac{1}{n^4} = \frac18\bigl(\frac{\pi^4}{5} - \frac{\pi^4}{9}\bigr) = \frac{\pi^4}{90}$ .

Ejercicio 14.4 ★★

Sea $f$ continuo $2\pi$ -periódico con $c_n(f) = 0$ para todos $n$ . Prueba $f = 0$ (Parseval — for which class is it proved here? justify that continuidad plus piecewise $C^1$ can be dropped by admitting general Parseval, or give the density argument in outline).

Solución

Solución de Ejercicio 14.4.

Si además $f$ es $C^1$ por partes: Parseval (probado) da $\norm f_2^2 = \sum\abs{c_n}^2 = 0$ , y estricta positividad del integral de las fuerzas continuo $\abs f^2$ $f = 0$ .

Para simplemente continuo $f$ , admita Parseval general: la misma línea prueba. (Esquema de la ruta de densidad: Fejér/Weierstrass-tipo La aproximación trigonométrica muestra que los polinomios trigonométricos son $\norm\cdot_2$ -denso entre continuo funciones periódicas; ya que $f \perp$ todos ellos, $\norm f_2^2 = \langle f, f - P\rangle \leq \norm f_2\norm{f - P}_2$ para aproximantes $P$ , forzando a $\norm f_2 = 0$ .)

Ejercicio 14.5 ★★

Para $\alpha \notin \Z$ , expanda $f(t) = \cos(\alpha t)$ ( $\abs t \leq \pi$ ) y deduzca la expansión en fracción parcial de cotangente:

\pi\cot(\pi\alpha) = \frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2} .

Solución

Solución de Ejercicio 14.5.

Uniformidad: $b_n = 0$ ;

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(\alpha t)\cos(nt)\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{(-1)^n\,\alpha\sin(\pi\alpha)}{\alpha^2 - n^2}

(producto a suma, luego integrar; $a_0 = \frac{2\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}$ ). Dirichlet en $t = \pi$ (un continuidad punto de la extensión periódica, cuyos valores unilaterales de acuerdo por equidad):

\cos(\pi\alpha) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha\sin(\pi\alpha)}{\pi(\alpha^2 - n^2)}\,(-1)^n\cos(n\pi) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi}\Bigl(\frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1}\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2}\Bigr),

utilizando $(-1)^n\cos n\pi = 1$ . Dividiendo por $\sin(\pi\alpha)/\pi$ da la expansión cotangente.

Ejercicio 14.6 ★★

Demuestre que si $f$ es $2\pi$ -periódico y $C^k$ con $f^{(k)}$ por partes continuo, luego $c_n(f) = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr)$ : suavidad de la señal $=$ decaimiento de su espectro.

Solución

Solución de Ejercicio 14.6.

Iterando $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ ( $k$ veces, integración por partes a través de las piezas $C^{k}$ con valores límite coincidentes): $c_n(f^{(k)}) = (\iu n)^k c_n(f)$ . Los coeficientes de la por partes continuo $f^{(k)}$ están acotados (de hecho, $\to 0$ , Bessel):

\abs{c_n(f)} = \frac{\abs{c_n(f^{(k)})}}{\abs n^k} = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr) .

Ejercicio 14.7 ★★★

(Desigualdad de Wirtinger) Sea $f$ $C^1$ , $2\pi$ -periódico, con $\int_{-\pi}^{\pi} f = 0$ . probar

\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f}^2 \leq \int_{-\pi}^{\pi} \abs{f'}^2 ,

con igualdad si $f(t) = a\cos t + b\sin t$ . (Parseval on both sides; compare $\abs{c_n}^2$ and $n^2\abs{c_n}^2$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 14.7.

Parseval para $f$ y para $f'$ (ambos legítimos: $f$ es $C^1$ , $f'$ por partes continuo — de hecho continuo):

\frac{1}{2\pi}\int \abs f^2 = \sum_{n\neq0} \abs{c_n}^2 \quad (c_0 = 0 \text{ by the mean-zero hypothesis}), \qquad \frac{1}{2\pi}\int \abs{f'}^2 = \sum_{n\neq0} n^2\abs{c_n}^2 .

Por términos, $n^2\abs{c_n}^2 \geq \abs{c_n}^2$ para $\abs n \geq 1$ : la desigualdad sigue. Fuerzas de igualdad $(n^2 - 1)\abs{c_n}^2 = 0$ para todos $n$ , es decir, $c_n = 0$ para $\abs n \geq 2$ : $f(t) = c_1\eu^{\iu t} + c_{-1}\eu^{-\iu t} = a\cos t + b\sin t$ (real forma); por el contrario, tales $f$ dan igualdad.

Ejercicio 14.8 ★★★

(La constante de Gibbs) Para la onda cuadrada de Ejercicio 14.1, evalúe la suma parcial en $x_N = \frac{\pi}{2N}$ : escribiendo $u_k = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ y $\Delta u = \frac{\pi}{N}$ , demuestre que

S_{2N-1}\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{u_k}\,\Delta u \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx 1.179 :

una suma de Riemann de $\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin u}{u}$ en $\intcc{0}{\pi}$ en los puntos medios. Concluir que el exceso más allá el valor de salto $1$ no desaparece como $N \to \infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.8.

De Ejercicio 14.1, $S_{2N-1}(x) = \frac4\pi\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$ . En $x_N = \frac{\pi}{2N}$ , con $u_k = (2k+1)x_N = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ :

S_{2N-1}(x_N) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{\pi}{N},

desde $\frac{u_k}{2k+1} = \frac{\pi}{2N}$ . Los puntos $u_k$ son los puntos medios de los subintervalos $N$ de $\intcc{0}{\pi}$ de longitud $\frac{\pi}{N}$ : la suma es una suma de Riemann en el punto medio de la continuo $u \mapsto \frac{\sin u}{u}$ , por lo tanto converge a

\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx \frac{2}{\pi}\times 1.8519 \approx 1.179 .

Las sumas parciales cerca del salto sobrepasan para siempre el valor $1$ por $\approx 18\%$ del medio salto: el fenómeno de Gibbs, cuantificado.

Ejercicio 14.9 ★

Ampliar $\cos^3 t$ y $\sin^2 t\,\cos t$ en series de Fourier (linealizar; un polinomio trigonométrico es su propio Fourier serie, por unicidad de coeficientes). ¿Qué son $c_n$ ? $a_n$ , $b_n$ para cada uno?

Solución

Solución de Ejercicio 14.9.

De $\cos 3t = 4\cos^3t - 3\cos t$ :

\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4}, \qquad \sin^2t\,\cos t = \cos t - \cos^3 t = \frac{\cos t - \cos 3t}{4} .

Cada uno es un polinomio trigonométrico, por lo tanto igual a su propio Serie de Fourier (unicidad de los coeficientes: dos expansiones diferiría por un polinomio trigonométrico con todos coeficientes cero). Para $\cos^3t$ : $a_1 = \frac34$ , $a_3 = \frac14$ , todos los demás $a_n$ y todos $b_n$ cero; $c_{\pm1} = \frac38$ , $c_{\pm3} = \frac18$ . Para $\sin^2t\cos t$ : $a_1 = \frac14$ , $a_3 = -\frac14$ ; $c_{\pm1} = \frac18$ , $c_{\pm3} = -\frac18$ .

Ejercicio 14.10 ★★

Deje $a > 0$ y $f(t) = \eu^{at}$ en $\intoc{-\pi}{\pi}$ , extendido $2\pi$ -periódicamente. calcular

c_n(f) = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

aplicar el teorema de Dirichlet en el salto $t = \pi$ y deducir el expansión en fracción parcial de la cotangente hiperbólica:

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1} \frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} .

Solución

Solución de Ejercicio 14.10.

Cálculo directo:

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{(a - \iu n)t}\dd t = \frac{\eu^{(a-\iu n)\pi} - \eu^{-(a - \iu n)\pi}} {2\pi(a - \iu n)} = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

utilizando $\eu^{\pm\iu n\pi} = (-1)^n$ . En $t = \pi$ el periódico la extensión salta de $\eu^{a\pi}$ a $\eu^{-a\pi}$ ; Dirichlet (simétrico sumas parciales) da

\cosh(a\pi) = \sum_{n\in\Z}(-1)^n c_n\, = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{1}{a - \iu n} + \frac{1}{a + \iu n}\Bigr)\Bigr) = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{a^2 + n^2}\Bigr) ,

las partes imaginarias de los términos emparejados se cancelan. dividir por $\sinh(a\pi)$ :

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} ,

el gemelo hiperbólico de Ejercicio 14.5.

Ejercicio 14.11 ★★

(Convolución) Para $f, g$ continuo y $2\pi$ -definición periódica

(f * g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)\,g(t)\, \dd t .

Muestra que $f * g = g * f$ , que $c_n(f*g) = c_n(f)\,c_n(g)$ (to swap the two integrals of a continuo integrand, compare the two functions of the upper limit: both vanish at the left endpoint and have the same derivative, by continuidad and differentiation under the integral sign), y ese $S_N(f) = f * D_N$ para el Núcleo de Dirichlet. (El problema del fin de semana Fejér significa que también son convoluciones, $\sigma_N(f) = f * F_N$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 14.11.

Conmutatividad: sustituir $s = x - t$ y utilizar la periodicidad de el integrando. Para $c_n(f * g)$ , el integrando $(x, t) \mapsto f(x-t)g(t)\eu^{-\iu nx}$ es continuo; los dos iterados integrales concuerdan (ambas, como funciones del límite superior de la variable exterior, desaparece en el punto final izquierdo y tiene el mismo derivado — continuidad más Teorema 9.10 justificar la diferenciación la integral iterada). Por lo tanto

c_n(f*g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)\,\eu^{-\iu nt} \Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,\eu^{-\iu n(x-t)}\dd x\Bigr)\dd t = c_n(f)\,c_n(g),

la integral interna es $c_n(f)$ para cada $t$ (sustitución y periodicidad). Finalmente Lema 14.5 dice $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)D_N(u)\dd u$ ; el sustitución $u \mapsto -t$ y la uniformidad de $D_N$ convierten esto en $(f * D_N)(x)$ .

Ejercicio 14.12 ★★★

(Núcleo de Poisson: Abel significa serie de Fourier) Para $0 \leq r < 1$ establezca $P_r(t) = \sum_{n\in\Z} r^{\abs n}\eu^{\iu nt}$ .

Suma las dos series geométricas y muestra

$P_r(t) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0, \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_r = 1 .$
Muestre que para $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ como $r \to 1^-$ , uniformemente.
Deduce que por cada continuo $2\pi$ -periódico $f$ , el Abel significa $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\,\eu^{\iu nx}$ converge a $f$ uniformemente como $r \to 1^-$ — el parámetro continuo hermano del teorema de Fejér y el de Fourier encarnación de resumen de abel de la serie de potencias capítulo.

Solución

Solución de Ejercicio 14.12.

Con $w = r\eu^{\iu t}$ :

$P_r(t) = 1 + 2\,\Re\frac{w}{1 - w} = \Re\frac{1 + w}{1 - w} = \frac{1 - \abs w^2}{\abs{1 - w}^2} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0 .$

Media $1$ : integración término a término del normalmente La serie convergente mantiene solo $n = 0$ .
Para $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $\cos t \leq \cos\delta$ , entonces $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2}$ , cuyo denominador tiende a $2 - 2\cos\delta > 0$ mientras que el numerador tiende a $0$ : convergencia uniforme a $0$ en cualquier entorno de $0$ .
Integración término por término (convergencia normal en $t$ ) da $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\eu^{\iu nx}$ . La identidad aproximada argumento: con media $1$ y positividad,

$\abs{(f*P_r)(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f(x-t) - f(x)}\,P_r(t)\,\dd t ,$

dividir en $\abs t = \delta$ : como máximo $\varepsilon$ (Heine) más $2\norm f_\infty\sup_{\delta\leq\abs t\leq\pi}P_r \to \varepsilon$ : convergencia uniforme como $r \to 1^-$ . Este es resumen de abel del Fourier. serie — el gemelo de Fourier de la serie de potencias La teoría de límites del capítulo.

14.4 Problema: el teorema de Fej’er y sus dividendos

Problema 14.1

El teorema de Dirichlet necesita $f$ por partes $C^1$ ; por simplemente continuo $f$ las sumas parciales $S_N(f)$ pueden comportarse mal. Fejérs descubrimiento: sus Cesàro means nunca lo hacen. el motor es la positividad del núcleo Fejér, y la cosecha es inmenso: aproximación trigonométrica uniforme (Weierstrass), unicidad de coeficientes de Fourier, Parseval para cada función de este capítulo (eliminando lo "admitido" en Teorema 14.10), equidistribución de Weyl teorema, y — coronando un siglo de geometría — el desigualdad isoperimétrica. En todo momento, $f$ es $2\pi$ periódico y continuo por partes, y

\sigma_N(f) = \frac{S_0(f) + S_1(f) + \dots + S_{N-1}(f)}{N} .

Parte I — The Fejér kernel.

Muestra que $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\,F_N(u)\,\dd u$ con $F_N = \frac{D_0 + \dots + D_{N-1}}{N}$ , y que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N = 1$ .
Demuestre la forma cerrada, para $u \notin 2\pi\Z$ :

$F_N(u) = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\bigl(\frac{Nu}{2}\bigr)} {\sin^2\bigl(\frac u2\bigr)} \;\geq\; 0$

(sum $\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)$ as the imaginary part of a geometric series).
Muestra la estimación de concentración: para $0 < \delta \leq \abs u \leq \pi$ ,

$F_N(u) \leq \frac{1}{N\sin^2\frac\delta2} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \quad\text{uniformly} :$

$(F_N)$ es una identidad aproximada positiva.
(teorema de Fejér) Demuestre: si $f$ es continuo y $2\pi$ -periódico, luego $\sigma_N(f) \to f$ uniformemente en $\R$ (split the integral of $\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)$ at $\abs u = \delta$ ; use Heine and questions 1–3).
Para continuo $f$ por partes, muestre el puntualmente versión $\sigma_N(f)(x) \to \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ en cada $x$ , y el límite uniforme $\norm{\sigma_N(f)}_\infty \leq \norm f_\infty$ (¡positividad!).

Parte II — Weierstrass, uniqueness, Parseval.

(Weerstrass trigonométrico) Deducir: cada continuo $2\pi$ -la función periódica es un límite uniforme de polinomios trigonométricos.
(Singularidad) Deducir: un continuo $f$ con $c_n(f) = 0$ para todos $n$ es idénticamente cero — dos continuo funciones periódicas con el mismo coeficientes de Fourier coinciden (Ejercicio 14.4, ahora sin admisión).
(Parseval, caso continuo) Usando la proyección propiedad de $S_N$ (Proposición 14.2) y $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ , probar

$\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 ,$

y concluir la identidad de Parseval para cada continuo $2\pi$ -periódico $f$ .
(Parseval, caso continuo por partes) Dado $f$ por partes continuo y $\varepsilon > 0$ , construya un continuo periódico $g$ con $\norm{f - g}_2 \leq \varepsilon$ (reemplace $f$ por un afín interpolación en pequeños intervalos alrededor de los saltos), y deducir $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ (use Bessel: $\norm{S_Nh}_2 \leq \norm h_2$ ): Parseval sostiene en toda la generalidad expresada en Teorema 14.10 — el “admitido” se ha ido.
(Sin Gibbs para Fejér) Contraste con Ejercicio 14.8: muestra eso para la onda cuadrada $f$ , $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ en todas partes, para cada $N$ — Cesàro promediando borra el exceso que persigue a $S_N$ . Explica en una frase qué propiedad de $F_N$ es responsable.

Parte III — Rates.

Demuestre los dos límites del núcleo, para $0 < \abs u \leq \pi$ :

$F_N(u) \leq N, \qquad F_N(u) \leq \frac{\pi^2}{N u^2}$

(for the first, $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ by induction; for the second, $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ on $\intcc{0}{\pi}$ ).
Deducir la estimación del primer momento

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs u\,F_N(u)\,\dd u \;\leq\; \frac{C\,\ln N}{N} \qquad (N \geq 2)$

para una constante explícita (split at $\abs u = \frac1N$ ).
Concluye: si $f$ es $L$ -Lipschitz y $2\pi$ -periódico, entonces

$\norm{\sigma_N f - f}_\infty \leq \frac{C\,L\ln N}{N} .$
(Saturación) Calcule $\sigma_N(e_1)$ para $e_1(t) = \eu^{\iu t}$ y muestre $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ : incluso para las funciones más fluidas, Fejér converge no más rápido que $\frac1N$ — el exacto análogo de la saturación de Bernstein en el Problema de fin de semana del capítulo de secuencias de funciones.
(Localización) Mostrar: si $f$ (por partes continuo) desaparece en $\intoo{x - \delta}{x + \delta}$ , entonces $\sigma_N(f)(x) \to 0$ , por muy salvaje que sea $f$ en otra parte — la convergencia de las medias en $x$ solo ve $f$ cerca $x$ .

Parte IV — Weyl’s equidistribution theorem. Una secuencia $(x_n)_{n\geq1}$ en $\intco{0}{1}$ es equidistribuido cuando, para cada intervalo $\intcc{a}{b} \subseteq \intcc{0}{1}$ ,

\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \xrightarrow[N\to\infty]{} b - a .

Demuestre que $(x_n)$ está equidistribuido tan pronto como $\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) \to \int_0^1 f$ para cada continuo $1$ -periódico $f$ (squeeze the indicator of $\intcc ab$ between two continuo piecewise-affine functions whose integrals differ by $\varepsilon$ ).
(criterio de Weyl, suficiencia) Supongamos

$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kx_n} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \qquad\text{for every } k \in \Z\setminus\{0\} .$

Mostrar $\frac1N\sum f(x_n) \to \int_0^1f$ primero para polinomios trigonométricos, entonces para todos continuo $1$ -periódico $f$ por pregunta 6 (transportado al período $1$ ): con la pregunta 16, $(x_n)$ está equidistribuido.
Sea $\alpha$ irracional y $x_n = \{n\alpha\}$ (parte fraccionaria). Atado la suma geométrica

$\Bigl|\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kn\alpha}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - \eu^{2\iu\pi k\alpha}}} \qquad (k \neq 0),$

y concluir teorema de weyl: $(\{n\alpha\})$ es equidistribuidos en $\intco{0}{1}$ .
Deduzca que $(\{n\alpha\})$ es denso en $\intcc{0}{1}$ para $\alpha$ irracional, y explique en una frase por qué la equidistribución es estrictamente más fuerte que la densidad.
(Dígitos iniciales) Demuestre que la proporción de números enteros $n \leq N$ tal que $2^n$ tenga un dígito inicial (decimal) $1$ tiende a $\log_{10}2 \approx 0.301$ (leading digit $1$ means $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ ; show $\log_{10}2$ is irrational).

Part V — The isoperimetric inequality. Deja $\Gamma$ sea una curva cerrada simple $C^1$ de longitud $L$ que encierre un área firmada $A$ , parametrizada por longitud de arco escalada: $z(t) = x(t) + \iu y(t)$ , $2\pi$ -periódico, con $\abs{z'(t)} = \frac{L}{2\pi}$ constante; el área cerrada es

A = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(x\,y' - y\,x'\bigr)\dd t = \frac{1}{2}\,\Im\int_0^{2\pi}\conj{z}\,z'\,\dd t

(tomado aquí como la definición del área firmada; el capítulo en integrales múltiples demuestra que concuerda con la intuitiva, mediante la fórmula de Green).

Expandir $z(t) = \sum_{n\in\Z}c_n\eu^{\iu nt}$ (el serie de una función $C^1$ , normalmente convergente) y probar, por Parseval aplicado a $z'$ :

$\frac{L^2}{2\pi} = \int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\sum_{n\in\Z}n^2\abs{c_n}^2 .$
Demuestre lo mismo $A = \pi\sum_{n\in\Z} n\,\abs{c_n}^2$ (Parseval in its polarized form: $\frac{1}{2\pi}\int\conj f g = \sum \conj{c_n(f)}c_n(g)$ , applied to $f = z$ , $g = z'$ ).
(Hurwitz) Concluye:

$L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_{n\in\Z} (n^2 - n)\abs{c_n}^2 \;\geq\; 0 ,$

con igualdad si y solo si $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ — un círculo. El isoperimétrico desigualdad: entre curvas cerradas de longitud $L$ , solo el círculo encierra el área $\frac{L^2}{4\pi}$ .
Comprobaciones de cordura: verificar la igualdad para el círculo de radio $R$ y la desigualdad estricta para el cuadrado de lado $a$ ; explica por qué $n^2 - n \geq 0$ para cada entero $n$ , incluidos los negativos, y donde Se utilizó la velocidad constante de la parametrización.
Síntesis. En una frase cada uno: (i) el único propiedad de $F_N$ de la cual fluyen las Partes I–III, y que le falta a $D_N$ ; (ii) cómo se resume Cesàro aquí se relaciona con el problema del fin de semana del capítulo de series de potencias (Frobenio); (iii) qué dividendo se utilizó únicamente Weierstrass (pregunta 6) y cuál necesitaba plena Parséval; (iv) una oración sobre lo que el volumen del Año 3 añade ( $L^2$ lo completo: Serie de Fourier como Hilbert base).

Solución

Solución de Problema 14.1.

1. Promediando Lema 14.5 sobre $n = 0, \dots, N-1$ (linealidad de la integral) se obtiene $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)F_N(u)\dd u$ ; cada $D_n$ tiene media $1$ , por lo que $F_N$ significa $1$ .

2. Con $\eu^{\iu u} - 1 = 2\iu\,\eu^{\iu u/2}\sin\frac u2$ :

\sum_{n=0}^{N-1}\sin\Bigl(\Bigl(n + \frac12\Bigr)u\Bigr) = \Im\Bigl[\eu^{\iu u/2}\,\frac{\eu^{\iu Nu} - 1}{\eu^{\iu u} - 1}\Bigr] = \Re\,\frac{1 - \eu^{\iu Nu}}{2\sin\frac u2} = \frac{1 - \cos Nu}{2\sin\frac u2} = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{\sin\frac u2} .

Dividiendo por $N\sin\frac u2$ :

F_N(u) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} \frac{\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\frac{Nu}{2}}{\sin^2\frac u2} \geq 0 .

3. En $\delta \leq \abs u \leq \pi$ : $\sin^2\frac u2 \geq \sin^2\frac\delta2$ y $\sin^2\frac{Nu}2 \leq 1$ : $F_N \leq \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ , uniformemente allí.

4. Por unidad media, $\sigma_Nf(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)\dd u$ . dado $\varepsilon$ , Heine produce $\delta$ con $\abs{f(x+u) - f(x)} \leq \varepsilon$ para $\abs u \leq \delta$ , uniformemente en $x$ . Luego, usando $F_N \geq 0$ y su media unitaria,

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \varepsilon + 2\norm f_\infty\cdot\frac{1}{2\pi} \int_{\delta\leq\abs u\leq\pi}F_N \leq \varepsilon + \frac{2\norm f_\infty}{N\sin^2\frac\delta2} \leq 2\varepsilon

para $N$ grande, uniformemente en $x$ : teorema de Fejér.

5. $F_N$ es par con la media $1$ : cada mitad $\intcc{0}{\pi}$ , $\intcc{-\pi}{0}$ lleva la media $\frac12$ . entonces

\sigma_Nf(x) - \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)F_N\,\dd u + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)F_N\,\dd u ;

en cada mitad, dividido en $\abs u = \delta$ donde el unilateral El límite es $\varepsilon$ -close y deja que la pregunta 3 acabe con el límite parte: ambas integrales tienden a $0$ . El cota: $F_N \geq 0$ da $\abs{\sigma_Nf(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u)}F_N \leq \norm f_\infty$ .

6. Cada $\sigma_N(f)$ es un polinomio trigonométrico (un promedio de $S_n(f)$ , $n < N$ ) y $\sigma_N(f) \to f$ uniformemente: el teorema trigonométrico de Weierstrass.

7. $c_n(f) = 0$ para todos los $n$ hace cada $S_n(f) = 0$ , de ahí cada $\sigma_N(f) = 0$ ; por Fejér, $f = \lim\sigma_Nf = 0$ . Aplicando esto a una diferencia: continuo periódica Las funciones están determinadas por su coeficientes de Fourier.

8. $S_Nf$ es la proyección ortogonal de $f$ sobre $\mathcal T_N$ (Proposición 14.2), por lo que minimiza $\norm{f - P}_2$ sobre $P \in \mathcal T_N$ ; desde $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ :

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \to 0

(la desigualdad media porque la media de $\abs\cdot^2$ está en la mayoría del sup al cuadrado). Pitágoras $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ pasa luego al límite: Parseval para cada continuo periódico $f$ .

9. Sean $t_1, \dots, t_p$ los saltos de $f$ en un período, $M = \norm f_\infty$ . Para $\eta$ pequeño, defina $g = f$ fuera de los intervalos $\intoo{t_j - \eta}{t_j + \eta}$ y por el acorde afín en cada uno de estos intervalos: $g$ es continuo, periódico, $\norm g_\infty \leq M$ , y

\norm{f - g}_2^2 \leq \frac{1}{2\pi}\,p\cdot(2M)^2\cdot2\eta \leq \varepsilon^2

para $\eta$ pequeño. Bessel hace $S_N$ una contracción para $\norm\cdot_2$ , entonces

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - g}_2 + \norm{g - S_Ng}_2 + \norm{S_N(g - f)}_2 \leq 2\varepsilon + \norm{g - S_Ng}_2 ,

y la pregunta 8 da $\limsup_N\norm{f - S_Nf}_2 \leq 2\varepsilon$ por cada $\varepsilon$ : $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ , y Pitágoras da Parseval por cada trozo continuo $f$ : el “admitido” en Teorema 14.10 es ahora un teorema.

10. La onda cuadrada tiene $\norm f_\infty = 1$ , entonces la pregunta 5 da $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ en todas partes y para cada $N$ — sin exceso, nunca — mientras Ejercicio 14.8 muestra $\sup_xS_{2N-1}(f)(x) \to \approx 1.179$ . La única propiedad responsable: $F_N \geq 0$ , entonces $\sigma_Nf(x)$ es un promedio ponderado de valores de $f$ y nunca podrá salir de $\intcc{\min f}{\max f}$ ; $D_N$ toma valores negativos, por lo que $S_N$ puede hacerlo.

11. $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ por inducción ( $\abs{\sin(N{+}1)\theta} \leq \abs{\sin N\theta}\abs{\cos\theta} + \abs{\cos N\theta}\abs{\sin\theta} \leq (N+1)\abs{\sin\theta}$ ): con $\theta = \frac u2$ ,

F_N(u) = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{N\sin^2\frac u2} \leq \frac{N^2\sin^2\frac u2}{N\sin^2\frac u2} = N .

La concavidad de $\sin$ en $\intcc{0}{\frac\pi2}$ da $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ para $0 \leq u \leq \pi$ , entonces $F_N(u) \leq \frac{1}{N(u/\pi)^2} = \frac{\pi^2}{Nu^2}$ .

12. Por equidad y división en $\frac1N$ :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs uF_N = \frac1\pi\int_0^\pi uF_N \leq \frac1\pi\Bigl(\int_0^{1/N}uN\,\dd u + \int_{1/N}^{\pi}\frac{\pi^2}{Nu}\,\dd u\Bigr) = \frac{1}{2\pi N} + \frac{\pi\ln(\pi N)}{N} .

Para $N \geq 2$ : $\ln(\pi N) \leq \bigl(1 + \frac{\ln\pi}{\ln2}\bigr)\ln N \leq 2.66\ln N$ y $\frac{1}{2\pi N} \leq \frac{\ln N}{N}$ , entonces el momento es $\leq \frac{9\ln N}{N}$ .

13. Para $L$ -Lipschitz $f$ :

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u) - f(x)}F_N(u)\dd u \leq L\cdot\frac{1}{2\pi}\int\abs uF_N \leq \frac{9L\ln N}{N},

uniformemente en $x$ .

14. $c_0(e_1) = 0$ da $S_0(e_1) = 0$ , mientras $S_n(e_1) = e_1$ para $n \geq 1$ : $\sigma_N(e_1) = \frac{N-1}{N}e_1$ , entonces $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ . Incluso para toda esta señal de banda limitada, la velocidad es $\frac1N$ : Fejér satura, exactamente como el operador de Bernstein satura en $\frac1n$ (Voronovskaya, en el problema de fin de semana del capítulo de secuencias de funciones).

15. Si $f$ desaparece en $\intoo{x-\delta}{x+\delta}$ , luego $\sigma_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq \abs u \leq \pi}f(x+u)F_N(u)\dd u$ , de valor absoluto como máximo $\frac{\norm f_\infty}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ : el Cesàro significa que en $x$ solo se ve $f$ cerca de $x$ .

16. Dados $\intcc ab$ y $\varepsilon$ , elija continuo $1$ -periódico afín por partes $\varphi^\pm$ con $\varphi^- \leq \mathbf 1_{\intcc ab} \leq \varphi^+$ y $\int_0^1(\varphi^+ - \varphi^-) \leq \varepsilon$ (trapecios con pendientes en intervalos de longitud total $\varepsilon$ ). entonces

\limsup_N\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \leq \lim_N\frac1N\sum_{n\leq N}\varphi^+(x_n) = \int_0^1\varphi^+ \leq b - a + \varepsilon ,

y simétricamente $\liminf \geq b - a - \varepsilon$ : el la proporción tiende a $b - a$ .

17. Para $f = \eu^{2\iu\pi k\cdot}$ con $k \neq 0$ el la hipótesis da el límite $0 = \int_0^1f$ ; para $k = 0$ ambos los lados son $1$ ; la linealidad maneja cada trigonometría polinomio. Para continuo $1$ -periódico $f$ y $\varepsilon > 0$ , la pregunta 6 (transportada por $t = 2\pi x$ ) proporciona una polinomio trigonométrico $P$ con $\norm{f - P}_\infty \leq \varepsilon$ :

\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) - \int_0^1f\Bigr| \leq 2\varepsilon + \Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}P(x_n) - \int_0^1P\Bigr| \longrightarrow 2\varepsilon .

Con la pregunta 16: $(x_n)$ está equidistribuido.

18. Para $k \neq 0$ e irracional $\alpha$ , $w = \eu^{2\iu\pi k\alpha} \neq 1$ :

\Bigl|\sum_{n=1}^{N}w^n\Bigr| = \Bigl|\frac{w(w^N - 1)}{w - 1}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - w}} ,

un límite independiente de $N$ ; al dividir entre $N$ se obtiene Weyl criterio, y la pregunta 17 concluye: $(\{n\alpha\})$ es equidistribuido.

19. Cada subintervalo recibe proporción asintótica igual a su longitud, en particular infinitos puntos: $(\{n\alpha\})$ es denso. La equidistribución es más fuerte: a La secuencia puede ser densa y pasar casi todo el tiempo en una. esquina (la densidad dice dónde está la secuencia va, la equidistribución dice con qué frecuencia).

20. $2^n$ tiene el dígito inicial $1$ iff $10^m \leq 2^n < 2\cdot10^m$ para algunos $m$ , es decir, iff $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ . Irracionalidad: $\log_{10}2 = \frac pq$ daría $2^q = 10^p = 2^p5^p$ , imposible para $p \geq 1$ por factorización única. Teorema de Weyl (pregunta 18 con $\alpha = \log_{10}2$ ; el intervalo medio abierto está comprimido entre cerrados de longitudes cercanas) da la proporción $\log_{10}2 \approx 0.301$ : siguen los primeros dígitos de $2^n$ La ley de Benford.

21. $z$ es $C^1$ , por lo que su serie de Fourier converge normalmente con suma $z$ (Teorema 14.10 (1)), y $c_n(z') = \iu n\,c_n$ . Desde $\abs{z'} = \frac{L}{2\pi}$ es constante,

\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\Bigl(\frac{L}{2\pi}\Bigr)^{\!2} = \frac{L^2}{2\pi} ,

y Parseval aplicado al continuo $z'$ da $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2 = \sum_n\abs{\iu nc_n}^2$ , es decir $\frac{L^2}{2\pi} = 2\pi\sum_n n^2\abs{c_n}^2$ .

22. El Parseval polarizado $\frac{1}{2\pi}\int\conj fg = \sum\conj{c_n(f)}c_n(g)$ se deriva del Parseval aplicado a $f + g$ y $f + \iu g$ (identidad de polarización), ambos continuo. Con $f = z$ , $g = z'$ :

A = \frac12\,\Im\int_0^{2\pi}\conj z\,z' = \pi\,\Im\sum_n\conj{c_n}(\iu n c_n) = \pi\sum_n n\abs{c_n}^2 .

23. Combinando las preguntas 21–22:

L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_n n^2\abs{c_n}^2 - 4\pi^2\sum_n n\abs{c_n}^2 = 4\pi^2\sum_{n\in\Z}(n^2 - n)\abs{c_n}^2 \geq 0 ,

desde $n^2 - n = n(n-1) \geq 0$ para cada número entero. Igualdad fuerza $c_n = 0$ para todo $n \notin \{0, 1\}$ : $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ , un círculo de centro $c_0$ y radio $\abs{c_1} = \frac{L}{2\pi}$ (velocidad constante). La prueba de Hurwitz de la desigualdad isoperimétrica: $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ , círculo solamente.

24. Círculo de radio $R$ : $L = 2\pi R$ , $A = \pi R^2$ : $L^2 = 4\pi^2R^2 = 4\pi A$ : igualdad. cuadrado de lado $a$ : $L^2 = 16a^2 > 4\pi a^2 = 4\pi A$ (como $16 > 4\pi \approx 12.57$ ). Para $n$ negativo, $n^2 - n = n(n - 1)$ es un producto de dos números enteros negativos: positivo — tan al revés Los modos cuestan el área dos veces. Velocidad constante ingresada en la pregunta 21, convirtiendo $\int\abs{z'}^2$ en $\frac{L^2}{2\pi}$ ; por un velocidad no constante, Cauchy-Schwarz da $\int\abs{z'}^2 \geq \frac{(\int\abs{z'})^2}{2\pi} = \frac{L^2}{2\pi}$ , por lo que el La desigualdad sobrevive y el círculo sigue siendo la única igualdad. caso.

25. (i) Todo fluye desde $F_N \geq 0$ (con unidad media y concentración); $D_N$ tiene unidad media y concentración de oscilación pero no de positividad, y Gibbs es el precio. (ii) Cesàro sumabilidad de la serie de Fourier implica su Abel sumabilidad con la misma suma (Frobenius, probado en el problema del fin de semana del capítulo de la serie de potencias) — el núcleo de Poisson La ruta de Ejercicio 14.12 es exactamente el método de Abel. (iii) El teorema de Weyl sólo necesitaba una aproximación uniforme (pregunta 6); la desigualdad isoperimétrica necesaria Parseval mismo (preguntas 8, 21-22). (iv) El volumen del año 3 demuestra lo completo: las exponenciales forman una base de Hilbert de $L^2$ , Parseval se convierte en una isometría de los espacios de Hilbert, y Fejér El teorema se convierte en la afirmación de que esta isometría es computable. por promedios positivos.