Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

13Formas hermitianas

Los espacios vectoriales complejos tienen su propia geometría de producto interno, con un giro: linealidad en una variable, conjugado-linealidad en el otro. La recompensa por aceptar el giro es una teoría espectral. incluso más limpio que el real — Endomorfismos hermitianos tiene real valores propios, unitario tienen valores propios unimodular, y ambos diagonalizar en bases ortonormales. Este breve capítulo recorre el Programa euclidiano de Capítulo 12 sobre $\C$ .

13.1 Productos internos hermitianos

Definición 13.1

A Producto interior hermitiano en un espacio vectorial complejo $E$ es un mapa $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ que es lineal en la segunda variable, conjugado-simétrico ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ — por lo tanto conjugado-lineal en la primera variable), y positivo definido ( $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ). el ejemplo estándar en $\C^n$ :

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

en funciones continuo, $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ . Norma: $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ; un El espacio complejo de dimensión finita así equipado es un hermitiano espacio.

Ejemplo 13.2 (primeros cálculos)

En $\C^2$ , tome $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ y $y = (\iu,\ 1)$ . entonces

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

y, conjugando el primer argumento,

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

Cauchy–Schwarz revisa: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — cerca de la igualdad, porque $x$ está cerca de un múltiplo de $y$ . Nota también $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : simetría conjugada en acción, y la razón $\langle x, x\rangle$ es siempre real.

Teorema 13.3 (Cauchy–Negro, complejo)

$\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x \norm y$ , con igualdad y sii $x, y$ son linealmente dependientes; $\norm\cdot$ es un norma. Además existen bases ortonormales (Gram-Schmidt corre textualmente), con

x = \sum_i \langle e_i, x\rangle\, e_i, \qquad \norm x^2 = \sum_i \abs{\langle e_i, x\rangle}^2 .

Demostración. Para $y \neq 0$ y $t \in \C$ : $0 \leq \norm{x - ty}^2 = \norm x^2 - 2\Re\bigl(\conj t\langle y, x\rangle\bigr) + \abs t^2\norm y^2$ . Elija $t = \frac{\langle y, x\rangle}{\norm y^2}$ :

0 \leq \norm x^2 - \frac{\abs{\langle y, x\rangle}^2}{\norm y^2},

cuál es la desigualdad; fuerzas de igualdad $x = ty$ . Triangulo desigualdad, en su totalidad:

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\,\Re\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\,\abs{\langle x, y\rangle} + \norm y^2 \leq \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

usando $\Re z \leq \abs z$ y luego Cauchy–Schwarz; homogeneidad y la separación son inmediatas, por lo que $\norm\cdot$ es un norma. Gram-Schmidt: como en el caso real, con conjugados colocado por la definición (tenga en cuenta la convención: nuestros productos son lineal conjugado en la ranura primero, por lo que las coordenadas son $\langle e_i, x\rangle$ ; el siguiente ejemplo ejecuta el algoritmo una vez en su totalidad). ∎

Ejemplo 13.4 (Gramo complejo–Schmidt, ejecutado completo)

Ortonormalizar la base $v_1 = (1, \iu)$ , $v_2 = (0, 1)$ de $\C^2$ . Primer vector: $\norm{v_1}^2 = \abs1^2 + \abs\iu^2 = 2$ , Entonces $e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ . Proyecto $v_2$ — con el conjugar en la primera ranura:

\langle e_1, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\conj{1}\cdot0 + \conj{\iu}\cdot1\bigr) = \frac{-\iu}{\sqrt2} , \qquad v_2 - \langle e_1, v_2\rangle e_1 = (0,1) + \frac{\iu}{2}\,(1, \iu) = \Bigl(\frac\iu2,\ \frac12\Bigr) .

Su norma es $\sqrt{\frac14 + \frac14} = \frac{1}{\sqrt2}$ : $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)$ . Verificar: $\langle e_1, e_2\rangle = \frac12(\conj1\cdot\iu + \conj\iu\cdot1) = \frac12(\iu - \iu) = 0$ . Coordenadas de $v_2$ en la nueva base: $v_2 = \langle e_1, v_2\rangle e_1 + \langle e_2, v_2\rangle e_2$ con $\langle e_2, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}$ — Tenga en cuenta el orden: $\langle v_2, e_1\rangle$ le daría el Coeficiente conjugado. Información final: el algoritmo es el euclidiano palabra por palabra; La única trampa es donde la conjugación cae, y el cálculo $\norm{v_2 - \text{proj}}^2 > 0$ usa silenciosamente la positividad — el axioma eso hace que toda la geometría funcione.

13.2 Endomorfismos adjuntos, hermitianos y unitarios.

Definición 13.5

El adjunto $u^*$ de $u \in \mathcal{L}(E)$ está definido por $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$ ; en un base ortonormal, $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf T} =: A^{\dagger}$ (conjugado transponer) — de hecho, si $B = (b_{ij})$ es la matriz de $u^*$ en base ortonormal $(e_i)$ , luego $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$ y el definir la identidad da

\conj{b_{ij}} = \langle u^*(e_j), e_i\rangle = \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} , \qquad\text{so}\qquad B = \conj{A}^{\mathsf T} .

$u$ es hermitiano cuando $u^* = u$ ( $A^\dagger = A$ ), unitario cuando $u^*u = \mathrm{id}$ ( $A^\dagger A = I$ : el grupo $U(n)$ ), normal cuando $u^*u = uu^*$ .

Proposición 13.6

Valores propios de un endomorfismo hermitiano son real; valores propios de un endomorfismo unitario tiene módulo $1$ ; en ambos casos espacios propios para distintos valores propios son ortogonales.

Demostración. hermitiano, $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda \norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u(x), x\rangle = \conj{\langle x, u(x)\rangle} = \conj\lambda\,\norm x^2 ,

entonces $\lambda \in \R$ . Unitario: $\norm{u(x)} = \norm x$ (de $u^*u = \mathrm{id}$ ), entonces $\abs\lambda\norm x = \norm x$ . Ortogonalidad (caso hermitiano): $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ para vectores propios con $\lambda \neq \mu$ real. Caso Unitario, en completo: para $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ con $\lambda \neq \mu$ (ambos unimodulares),

\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \conj\lambda\mu\,\langle x, y\rangle ,

y $\conj\lambda\mu = \frac{\mu}{\lambda} \neq 1$ : el factor no es $1$ , entonces $\langle x, y\rangle = 0$ . ∎

Ejemplo 13.7 (Una matriz sesgada-hermitiana, diagonalizada)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ satisface $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$ : sesgado-hermitiano (también real antisimétrico — sobre $\R$ no tiene valores propios). Polinomio característico $X^2 + 4$ : valores propios $\pm2\iu$ , puramente imaginario, como predice Ejercicio 13.9 en generales. Vectores propios: $(A - 2\iu I)v = 0$ da $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ y $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ para $-2\iu$ ; son ortogonales:

\langle v_1, v_2\rangle = \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 + \conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr) = \tfrac12(1 - 1) = 0 .

Entonces $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ con $U = (v_1\ v_2)$ unitario. Información final: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ es hermitiano con el espectro $\{\pm2\}$ real y el mismo vectores propios — la biyección $u \mapsto \iu u$ entre Endomorfismos hermitiano y sesgado-hermitiano (Ejercicio 13.9), visto matriz por matriz; sobre $\R$ el mismo $A$ es una escala de rotación sin vectores propios en todo, y sólo el pasaje a $\C$ revela su forma normal.

Teorema 13.8 (Teorema espectral de Hermitiano)

Cada endomorfismo hermitiano de un espacio hermitiano tiene una dirección ortonormal. base de vectores propios (con valores propios real): $A^\dagger = A$ implica $A = U D U^{\dagger}$ con $U \in U(n)$ y $D$ reales diagonal.

Demostración. Sobre $\C$ , el polinomio característico se divide: un vector propio $e_1$ existe (Capítulo 3) — no hay argumento compacidad necesario, una ventaja de $\C$ . Normalízalo. Su ortogonal el complemento $F = e_1^\perp$ es estable: para $x \perp e_1$ ,

\langle e_1, u(x)\rangle = \langle u(e_1), x\rangle = \lambda_1\langle e_1, x\rangle = 0

( $\lambda_1$ reales). La restricción es hermitiano; inducción en el dimensionar y concatenar. En detalle: la restricción $u|_F$ es un endomorfismo del espacio hermitiano $F$ (dimensión $n - 1$ ) con $\langle u|_F(x), y\rangle = \langle x, u|_F(y)\rangle$ heredado de $u$ ; La hipótesis de la inducción proporciona una base ortonormal $(e_2, \dots, e_n)$ de $F$ de vectores propios, y $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ es ortonormal en $E$ ( $e_1 \perp F$ ) y está hecho de vectores propios de $u$ . Traducción de matrices: el Las columnas de $U$ son las $e_i$ , $U^\dagger U = I$ expresa su ortonormalidad, y $AU = UD$ recopila el valor propio ecuaciones, de donde $A = UDU^\dagger$ con $D$ diagonal real (Proposición 13.6). ∎

Ejemplo 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ es hermitiano ( $A^\dagger = A$ ): valores propios de $\chi_A = X^2 - 1$ : $\pm 1$ (real, según lo prometido), con ortonormal vectores propios $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ y $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$ . (Los físicos conocen $A$ como matriz de Pauli; la La realidad de los espectros hermitiano es la razón por la que se modelan los observables cuánticos. por operadores hermitiano.)

Ejemplo 13.10 (Una matriz hermitiana definida positiva, trabajada)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ : hermitiano, ya que la diagonal es real y la fuera de diagonal las entradas son conjugadas. Polinomio característico:

(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4) :

espectro $\{1, 4\}$ , real y positivo — $A$ es positivo definitivo. Vectores propios: para $\lambda = 4$ , el sistema $(A - 4I)v = 0$ da $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (verifique la segunda fila: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$ ); para $\lambda = 1$ , $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$ . Ortogonalidad, con el conjugado en la primera ranura:

\langle v_4, v_1\rangle = \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1) = 2 - 2 = 0 . \checkmark

La normalización ( $\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$ , $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$ ) da unitario $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ con $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$ . Perspectiva final: el La lectura de Rayleigh es inmediata — en la esfera unitaria de $\C^2$ , $\langle x, Ax\rangle$ abarcan $\intcc{1}{4}$ , alcanzado en los dos vectores propios; este es el germen $n = 2$ de la teoría de Courant-Fischer se basó en el problema del fin de semana. Verifique también que el formulario sea real en vectores propios: en $x = (1, \iu)$ ,

Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr) = (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),

\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) + \conj{\iu}\,(1+4\iu) = (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in \R ,

como mecanismo de prueba de Proposición 13.6 (simetría conjugada contra $A^\dagger = A$ ) garantiza cada $x$ .

Ejemplo 13.11 (Una matriz unitaria diagonalizada)

$U = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1 \end{pmatrix}$ (unitario por Ejercicio 13.2). su polinomio característico es $\bigl(X - \frac{1}{\sqrt2}\bigr)^2 + \frac12$ , con raíces

\lambda_\pm = \frac{1 \pm \iu}{\sqrt2} = \eu^{\pm\iu\pi/4},

unimodular como prometió Proposición 13.6, y ortonormal vectores propios $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ . Entonces $U = V\operatorname{diag}(\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{-\iu\pi/4})V^\dagger$ : en la base correcta, $U$ es un par de rotaciones planas por $\pm\frac\pi4$ — una matriz de rotación real tiene no es vectores propios real, pero sobre $\C$ se divide en dos escalares unimodulares. Información final: espectros hermitiano activos la línea real, espectros unitario en el círculo unitario; ambos son sombras de la misma normalidad, y la transformada de Cayley de Ejercicio 13.6 asigna una imagen a la otra.

Ejemplo 13.12 (La transformada de Cayley, calculada)

Ejecute Ejercicio 13.6 en $H = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (hermitiano, espectro $\{1, -1\}$ , ortonormal vectores propios $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ ). en el base propia todo es escalar: la transformación $\lambda \mapsto \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ envía

1 \longmapsto \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu, \qquad -1 \longmapsto \frac{-1 - \iu}{-1 + \iu} = \iu ,

(multiplicado por el conjugado del denominador), entonces $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ es el unitario con valores propios $\mp\iu$ sobre esos mismos vectores propios:

U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\iu & 0\\ 0 & \iu\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0\end{pmatrix} .

Verifique: $U^\dagger U = I$ y $1 \notin \operatorname{Sp}U = \{\pm\iu\}$ , como promete la teoría. Perspectiva final: lo real la línea se asigna al círculo unitario menos el punto $1$ — valor propio por valor propio, la transformada de Cayley es la Möbius mapa $\frac{\lambda-\iu}{\lambda+\iu}$ y matrices simplemente sigue sus espectros.

Observación 13.13 (Errores comunes)

(i) Dónde cae la barra: este libro conjuga la Ranura primero, por lo que las coordenadas son $\langle e_i, x\rangle$ y $\langle\lambda x, y\rangle = \conj\lambda\langle x, y\rangle$ ; muchos textos conjugan la segunda ranura — traducir antes de comparar fórmulas o signos de $\iu$ ir mal en silencio. (ii) Complex polarización is stronger: sobre $\C$ , si $\langle x, u(x)\rangle = 0$ para todo $x$ luego $u = 0$ (expandir $x + y$ y $x + \iu y$ : ambos el real y partes imaginarias de $\langle x, u(y)\rangle$ desaparecen); encima $\R$ esto falla — la rotación por $\frac\pi2$ satisface $\langle x, u(x)\rangle = 0$ en todas partes. En consecuencia, más Sólo $\C$ , “ $\langle x, u(x)\rangle \in \R$ para todos los $x$ ” ya fuerza $u$ hermitiano. (iii) Real normal is not diagonalizable: la matriz de Ejemplo 13.7 es normal pero no tiene real valor propio; unitario la diagonalización es un teorema encima $\C$ y a partir de $\R$ solo se obtienen reducciones en bloque. (iv) Comprobación de la unitaridad: $U^\dagger U = I$ significa el columnas son ortonormales para el producto hermitiano — probando $UU^{\mathsf T}$ , u olvidando la conjugación en el productos de columna, son las dos formas clásicas de certificar un error matriz.

Ejemplo 13.14 (Las isometrías son exactamente las unitarias.)

La preservación Norma parece más débil que la unitaridad, pero más allá de $\C$ no es: si $\norm{u(x)} = \norm x$ para todos los $x$ , entonces $u^*u = \mathrm{id}$ . De hecho $v = u^*u - \mathrm{id}$ es hermitiano y satisface $\langle x, v(x)\rangle = \norm{u(x)}^2 - \norm x^2 = 0$ para cada $x$ ; por el complejo polarización (obstáculo (ii) arriba), un mapa con una “diagonal” que desaparece idénticamente es cero: $v = 0$ . En concreto, el polarización funciona

0 = \langle x + y, v(x+y)\rangle = \langle x, v(y)\rangle + \langle y, v(x)\rangle, \qquad 0 = \langle x + \iu y, v(x + \iu y)\rangle = \iu\langle x, v(y)\rangle - \iu\langle y, v(x)\rangle ,

y las dos líneas juntas fuerzan $\langle x, v(y)\rangle = 0$ para todos los $x, y$ . Información final: esta es la razón por la que “unitario” puede comprobarse midiendo longitudes únicamente — rigidez que el Capítulo de Fourier explotará, donde preservar la energía. $\norm f_2$ (Parseval) es lo mismo que preservar todo el interior productos de coeficientes.

Observación 13.15 (Perspectivas dentro de este volumen)

La maquinaria hermitiano construida aquí se consume casi inmediatamente. El capítulo de Fourier is hermitiano geometría en dimensión infinita: los exponenciales $(e_n)$ son un familia ortonormal para $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int\conj fg$ , la desigualdad de Bessel es la estimación de proyección de este capítulo Teorema 13.3, y Parseval es su limitante igualdad. La transformada finita de Fourier (Ejercicio 13.10) reaparece cada vez que hay convolución debe estar diagonalizado. Y el problema del fin de semana de este capítulo — Courant–Fischer, Weyl, entrelazado— proporciona la valor propio estabilidad que el capítulo de ecuaciones diferenciales invoca cuando afirma que pequeñas perturbaciones de un sistema mueve sus frecuencias sólo ligeramente. Al revés, todo aquí. es el espejo complejo del capítulo de formas cuadráticas: mantenga la dos diccionarios uno al lado del otro ( $A^{\mathsf T} \leftrightarrow A^\dagger$ , ortogonal $\leftrightarrow$ unitario, Rayleigh real en ambos).

Observación 13.16 (endomorfismos normales)

Sobre $\C$ la declaración definitiva es: $u$ es unitarily diagonalizable if and only if it is normal ( $u^*u = uu^*$ ) — cubriendo los mapas hermitiano, unitario y sesgado-hermitiano a la vez. el La prueba es un agradable fortalecimiento del argumento anterior. (Ejercicio 13.8). Más de $\R$ , por el contrario, sólo normalidad. compra diagonalización de bloques (bloques de rotación): la geometría compleja es genuinamente más simple.

Observación 13.17 (donde se utiliza)

hermitiano la teoría espectral es la matemática cuántica mecánica: los observables son modelados por operadores hermitiano (espectros reales = valores medibles), evolución temporal por unitario unos (norma preservación = conservación de probabilidad). dentro En este libro, el capítulo de Fourier se basa en la ortonormalidad de los exponenciales — una declaración de producto interno hermitiano — y la diagonalización de matrices circulantes (Ejercicio 13.10) es la transformada finita de Fourier. El problema del fin de semana desarrolla el cálculo variacional de valores propios (Courant–Fischer, Weyl, entrelazado), el diario pan de análisis numérico y física matemática; el año 3 volumen lo extiende a los operadores compacto autoadjunto en Espacios de Hilbert.

13.3 Ceremonias

Ejercicio 13.1 ★

En $\C^2$ : calcule $\langle x, y\rangle$ , $\norm x$ , $\norm y$ para $x = (1, \iu)$ , $y = (\iu, 1)$ ; son ortogonales? dar un base ortonormal que contiene $\frac{x}{\norm x}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

$\langle x, y\rangle = \conj{1}\cdot\iu + \conj{\iu}\cdot 1 = \iu - \iu = 0$ : ortogonal. $\norm x = \norm y = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ . Base ortonormal: $\bigl(\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu),\; \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)\bigr)$ — el par normalizado en sí.

Ejercicio 13.2 ★

¿Cuáles son hermitiano? unitario? ¿normal?

\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 2 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

Primero: es igual a su conjugado transponer (diagonal real, $\conj{\iu} = -\iu$ intercambiada): hermitiano (por lo tanto normal); no unitario ( $A^\dagger A \neq I$ : columnas no unidad).

Segundo: $A^\dagger A = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I$ : unitario (por lo tanto normal); no hermitiano.

Tercero: $A^\dagger A = E_{22} \neq E_{11} = AA^\dagger$ : no normal (por lo que ni hermitiano ni unitario) — el nilpotente estándar contraejemplo.

Ejercicio 13.3 ★

Demuestre que una matriz $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ escribe de forma única $A = H + \iu K$ con $H, K$ hermitiano (the “real and imaginary parts” $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ , $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ), y que $A$ es normal si $H$ y $K$ conmutar.

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

Unicidad: $A = H + \iu K$ con $H^\dagger = H$ , $K^\dagger = K$ fuerza a $A^\dagger = H - \iu K$ , por lo que $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ , $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ; estas fórmulas son hermitiano (verificar: $\bigl(\frac{A - A^\dagger}{2\iu}\bigr)^\dagger = \frac{ A^\dagger - A}{-2\iu} = K$ ) y reconstruir $A$ : existencia.

Normalidad: $A^\dagger A - AA^\dagger = (H - \iu K)(H + \iu K) - (H + \iu K)(H - \iu K) = 2\iu(HK - KH)$ : desaparece si $HK = KH$ .

Ejercicio 13.4 ★★

Diagonalice en forma ortonormal: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ y calcule $A^k$ para $k \in \N$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

$\chi_A = (X-2)^2 - 1$ : valores propios $3$ y $1$ . Vectores propios, por cálculo directo:

A\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu(-\iu)\\ -\iu + 2(-\iu)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -3\iu \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu\cdot\iu\\ -\iu + 2\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}.

Base propia ortonormal: $u_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ (valor propio $3$ ), $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ (valor propio $1$ ); ortogonalidad como en Ejercicio 13.1. poderes, a través de las proyecciones espectrales $A^k = 3^k u_1u_1^\dagger + 1^k\, u_2u_2^\dagger$ :

A^k = U\begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}U^\dagger = \frac{3^k}{2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 3^k + 1 & (3^k - 1)\iu\\ -(3^k-1)\iu & 3^k + 1 \end{pmatrix}.

(Marque $k = 1$ : recupera $A$ ).

Ejercicio 13.5 ★★

Demuestre que $U(n)$ es compacto y que el mapa valor propio es en: cada $\lambda$ unimodular surge para alguna matriz unitario. Demuestre que $\det U \in \mathbb{U}$ (el círculo unitario) para $U \in U(n)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

Compacto: cerrado (preimagen de $I$ bajo continuo $U \mapsto U^\dagger U$ ) y acotado (las columnas son vectores unitarios: entradas de módulo $\leq 1$ ) en $\mathcal{M}_n(\C) \simeq \R^{2n^2}$ .

Valores propios: $\operatorname{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ es unitario para cualquier $\abs\lambda = 1$ . Determinante: $\abs{\det U}^2 = \det U^\dagger \det U = \det(U^\dagger U) = 1$ (usando $\det A^\dagger = \conj{\det A}$ ): $\det U$ se encuentra en el círculo unitario.

Ejercicio 13.6 ★★

(Transformada de Cayley) Sea $H$ hermitiano. Demuestre que $H + \iu I$ es invertible y que $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ es unitario, con $1 \notin \operatorname{Sp}(U)$ . (Trabajar espectralmente: en un base propia de $H$ , todo es escalar.)

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

Según el teorema espectral, trabaje en una base propia ortonormal de $H$ : todo se reduce a escalares $\lambda \in \R$ (el valores propios). $H + \iu I$ tiene valores propios $\lambda + \iu \neq 0$ : invertible. $U$ tiene valores propios $\mu = \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ , de módulo $1$ ( $\abs{\lambda - \iu} = \abs{\lambda + \iu}$ de verdad $\lambda$ ): $U^\dagger U = I$ se mantiene ya que $U$ es unitariamente diagonalizable con valores propios unimodular (es diagonal en el base ortonormal elegida). Y $\mu = 1$ forzaría a $-\iu = \iu$ : imposible, entonces $1 \notin \operatorname{Sp} U$ . (El Cayley transformar mapas hermitiano a unitario menos un punto — la matriz versión del mapa de $\R$ al círculo.)

Ejercicio 13.7 ★★

Para $A$ hermitiano positivo definido ( $\langle x, Ax\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ), probar que $\operatorname{Sp}(A) \subseteq \intoo{0}{\infty}$ , que $A = B^2$ para un hermitiano positivo definido $B$ , y que $\det A > 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

Para un par propio $Ax = \lambda x$ ( $x \neq 0$ ): $\lambda\norm x^2 = \langle x, Ax\rangle > 0$ , entonces $\lambda > 0$ (ya real, Proposición 13.6). Raíz cuadrada: en un espectro base, $B = U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^\dagger$ : hermitiano, positivo definido, $B^2 = A$ . Determinante: producto de el positivo valores propios.

Ejercicio 13.8 ★★★

(Teorema espectral para endomorfismos normales) Sea $u$ normal en un espacio hermitiano.

Demuestre $\norm{u(x)} = \norm{u^*(x)}$ para todos los $x$ y deduzca $\ker(u - \lambda) = \ker(u^* - \conj\lambda)$ .
Demuestre que espacios propios de $u$ para distintos valores propios son ortogonal, y que el complemento ortogonal de un espacio propio es $u$ estable.
Concluir por inducción que $u$ es unitariamente diagonalizable; y a la inversa.

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

$\norm{u(x)}^2 = \langle u(x), u(x)\rangle = \langle x, u^*u(x)\rangle = \langle x, uu^*(x)\rangle = \norm{u^*(x)}^2$ . Aplicando esto al $u - \lambda\,\mathrm{id}$ normal (su adjunto es $u^* - \conj\lambda$ , y la normalidad se hereda): $\norm{(u - \lambda)x} = \norm{(u^* - \conj\lambda)x}$ , entonces los núcleos de acuerdo.
Para vectores propios $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ ( $\lambda \neq \mu$ ): usando (1), $u^*(x) = \conj\lambda x$ ; entonces

$\lambda\langle y, x\rangle = \langle y, u(x)\rangle = \langle u^*(y), x\rangle = \langle \conj\mu\, y, x\rangle = \mu \langle y, x\rangle ,$

entonces $\langle y, x\rangle = 0$ . Estabilidad de $E_\lambda^\perp$ : para $x \perp E_\lambda$ y $z \in E_\lambda$ , $\langle z, u(x)\rangle = \langle u^*(z), x\rangle = \langle\conj\lambda z, x\rangle = 0$ .
Inducción en dimensión: sobre $\C$ , $u$ tiene un vector propio $e_1$ (normalizar); su complemento ortogonal es estable bajo $u$ (por (2)) y bajo $u^*$ (mismo argumento con roles intercambiados), por lo que la restricción es normal: inducir y concatenar bases propias ortonormales. Por el contrario, un unitariamente diagonalizable $u = UDU^\dagger$ satisface $u^*u = U\conj D D U^\dagger = U D\conj D U^\dagger = uu^*$ : normales.

Ejercicio 13.9 ★

Un endomorfismo es sesgado-hermitiano cuando $u^* = -u$ . probar que sus valores propios son puramente imaginarios, que $u \mapsto \iu u$ es una biyección de hermitiano a sesgado-hermitiano endomorfismos, y que los endomorfismos sesgado-hermitiano son unitariamente diagonalizable (Ejercicio 13.8).

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

Valores propios: para $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda\norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u^*(x), x\rangle = -\langle u(x), x\rangle = -\conj{\langle x, u(x)\rangle} = -\conj\lambda\,\norm x^2 ,

entonces $\lambda = -\conj\lambda$ : puramente imaginario. Desde $(\iu u)^* = -\iu\,u^*$ (el adjunto es lineal conjugado en escalares), $u^* = u$ da $(\iu u)^* = -\iu u$ : el mapa $u \mapsto \iu u$ envía hermitiano a sesgado-hermitiano, con $w \mapsto -\iu w$ inverso: una biyección. A sesgado-hermitiano $u$ satisface $u^*u = -u^2 = uu^*$ : normal, por lo tanto unitariamente diagonalizable por Ejercicio 13.8.

Ejercicio 13.10 ★★

(La transformada finita de Fourier) Sea $S$ el desplazamiento cíclico de $\C^n$ : $S(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}) = (x_{n-1}, x_0, \dots, x_{n-2})$ y $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ .

Demuestre que $S$ es unitario, y que los vectores $f_k = \frac{1}{\sqrt n}\bigl(1, \omega^k, \omega^{2k}, \dots, \omega^{(n-1)k}\bigr)$ , $0 \leq k < n$ , forman un base ortonormal de vectores propios: $Sf_k = \omega^{-k} f_k$ .
Deduzca que toda matriz circulante $C = \sum_{j=0}^{n-1} c_jS^j$ es normal, diagonalizada por misma base, con valores propios $\widehat c(k) = \sum_j c_j\,\omega^{-jk}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

$S$ permuta una base ortonormal: $\norm{Sx} = \norm x$ , por lo que $S$ es unitario. Coordenadas de indexación por $j = 0, \dots, n-1$ módulo $n$ : $(Sx)_j = x_{j-1}$ , por lo que para $(f_k)_j = \frac{\omega^{jk}}{\sqrt n}$ :

$(Sf_k)_j = \frac{\omega^{(j-1)k}}{\sqrt n} = \omega^{-k}\,(f_k)_j : \qquad Sf_k = \omega^{-k}f_k .$

Ortonormalidad: $\langle f_k, f_l\rangle = \frac1n \sum_j \omega^{j(l-k)} = \delta_{kl}$ (suma geométrica de una raíz no trivial de unidad se desvanece).
$Cf_k = \sum_j c_j S^jf_k = \bigl(\sum_j c_j\omega^{-jk}\bigr)f_k = \widehat c(k)\,f_k$ : cada circulante es diagonal en la base ortonormal de Fourier, por lo tanto normal, con espectro $\{\widehat c(k)\}$ . (El El cambio de base es la transformada discreta de Fourier: la convolución se convierte en multiplicación.)

Ejercicio 13.11 ★★

Sea $P$ un endomorfismo idempotente ( $P^2 = P$ ) de un hermitiano espacio. Demuestre que $P$ es la proyección ortogonal sobre $\operatorname{im} P$ si y sólo si $P^* = P$ . dar la matriz de la proyección ortogonal sobre $\C v$ ( $\norm v = 1$ ), y en un subespacio con base ortonormal $(v_1, \dots, v_k)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

( $\Leftarrow$ ) Vamos $P^2 = P = P^*$ . Cada $v$ se divide como $v = Pv + (v - Pv)$ con $Pv \in \operatorname{im} P$ y $P(v - Pv) = 0$ . Las dos piezas son ortogonales: para cualquier $x, y$ ,

\langle Px, (I - P)y\rangle = \langle x, P(I-P)y\rangle = \langle x, (P - P^2)y\rangle = 0 :

$\ker P \perp \operatorname{im} P$ , entonces $P$ es el ortogonal proyección sobre su imagen. ( $\Rightarrow$ ) Si $P$ es el proyección ortogonal sobre $F = \operatorname{im}P$ : para todos $x, y$ , $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle$ (el componente $y - Py \perp F$ cae) y simétricamente $\langle x, Py\rangle = \langle Px, Py\rangle$ : $\langle Px, y\rangle = \langle x, Py\rangle$ , es decir $P^* = P$ . Matrices: sobre $\C v$ ( $\norm v = 1$ ): $Px = v\,\langle v, x\rangle$ , es decir $P = vv^\dagger$ ; en $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ ortonormal: $P = \sum_i v_iv_i^\dagger$ .

Ejercicio 13.12 ★★★

(Proyectores espectrales por interpolación) Sea $A$ hermitiano con distinto valores propios $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ y espacio propio descomposición $E = \bigoplus_i E_i$ . Definir el Polinomios de Lagrange $L_i(X) = \prod_{j\neq i}\frac{X - \lambda_j}{\lambda_i - \lambda_j}$ . Demuestre que $P_i = L_i(A)$ es la proyección ortogonal sobre $E_i$ , que $P_iP_j = 0$ para $i \neq j$ , $\sum_i P_i = I$ y $A = \sum_i \lambda_iP_i$ (el descomposición espectral); expresa $f(A)$ para cualquier polinomio $f$ en términos del $P_i$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.12.

Diagonalizar $A = U D U^\dagger$ (teorema espectral), $D$ diagonal con entradas entre el $\lambda_i$ . Entonces $P_i = L_i(A) = U L_i(D)U^\dagger$ y $L_i(D)$ son diagonales con entradas $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ : los que están exactamente en las ranuras de $E_i$ . Entonces $P_i$ es hermitiano ( $L_i$ real, $D$ real), idempotente, con imagen $E_i$ y kernel $\bigoplus_{j\neq i}E_j = E_i^\perp$ (ortogonalidad de espacios propios): la proyección ortogonal sobre $E_i$ (Ejercicio 13.11). Patrones diagonales disjuntos dar $P_iP_j = 0$ ( $i \neq j$ ); $\sum_i L_i = 1$ (grado $< p$ , valor $1$ en puntos $p$ ), por lo que $\sum P_i = I$ ; y $\sum_i \lambda_iL_i(\lambda_j) = \lambda_j$ da $A = \sum \lambda_iP_i$ . Para cualquier polinomio $f$ : $f(D)$ tiene diagonal $f(\lambda_j)$ , entonces

f(A) = \sum_{i=1}^{p} f(\lambda_i)\,P_i :

Las funciones de $A$ se calculan espectralmente — el cálculo que el volumen del año 3 se extiende hasta continuo $f$ y más allá.

13.4 Problema: Courant–Fischer, Weyl y el cálculo de valores propios

Problema 13.1

Las valores propios de una matriz hermitiano no son solo raíces de una polinomio: son soluciones de problemas de optimización. Ese punto de vista variacional — cocientes de Rayleigh y el Teorema mín-máx de Courant-Fischer — hace que valores propios sea comparable, estable y computable, y este problema cosecha sus cosechas clásicas: Desigualdades de perturbación de Weyl, entrelazado de cauchy, el fan de Schur y Ky trazar desigualdades, la monotonía de la raíz cuadrada de la matriz, y el espectro del laplaciano discreto. En todo momento, $A, B, E$ son hermitiano en $E = \C^n$ y valores propios figuran en orden decreciente $\lambda_1(A) \geq \dots \geq \lambda_n(A)$ , y $R_A(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\langle x, x\rangle}$ para $x \neq 0$ es el cociente de Rayleigh.

Parte I — cocientes de Rayleigh and min-max. Arreglar una base propia ortonormal $(e_1, \dots, e_n)$ , $Ae_i = \lambda_ie_i$ .

Demuestre que $R_A(x)$ es real y que

$\lambda_n \leq R_A(x) \leq \lambda_1 \qquad (x \neq 0),$

ambos límites alcanzados: $\lambda_1 = \max R_A$ , $\lambda_n = \min R_A$ .
Demuestre que los puntos críticos de $R_A$ son exactamente los vectores propios de $A$ (expand $t \mapsto R_A(x + tv)$ at $t = 0$ for $v$ arbitrary, then replace $v$ by $\iu v$ ).
Deja que $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ y $W_k = \operatorname{Vect}(e_k, \dots, e_n)$ . Mostrar

$\min_{x \in V_k\setminus\{0\}} R_A(x) = \lambda_k = \max_{x \in W_k\setminus\{0\}} R_A(x) .$
Pruebe el Teorema de Courant-Fischer: para $1 \leq k \leq n$ ,

$\lambda_k = \max_{\dim V = k}\;\min_{x \in V\setminus\{0\}} R_A(x) = \min_{\dim W = n-k+1}\;\max_{x \in W\setminus\{0\}} R_A(x)$

(for any $V$ of dimension $k$ : $V \cap W_k \neq \{0\}$ by Grassmann, so $\min_V R_A \leq \lambda_k$ ; question 3 shows the bound is attained).
(Monotonicidad) Escribe $A \leq B$ cuando $B - A$ sea semidefinido positivo. Deducir de la pregunta 4: $A \leq B$ implica $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(B)$ por cada $k$ .

Parte II — Weyl’s inequalities.

Demuestre que los subespacios $V, W \subseteq \C^n$ con $\dim V + \dim W > n$ se cruzan de manera no trivial y generalice: $\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n$ .
Demuestre La desigualdad de Weyl: para $i + j - 1 \leq n$ ,

$\lambda_{i+j-1}(A + B) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B)$

(intersect the subspaces $W_i(A)$ , $W_j(B)$ and $V_{i+j-1}(A+B)$ of question 3 and count dimensions).
Definir $\vertiii{E}_2 = \max_{\norm x = 1}\norm{Ex}$ y mostrar $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ para hermitiano $E$ . Deducir La perturbación de Weyl teorema:

$\bigl|\lambda_k(A + E) - \lambda_k(A)\bigr| \leq \vertiii{E}_2 \qquad (1 \leq k \leq n) :$

cada valor propio es una función $1$ -Lipschitz del matriz.
(Perturbaciones de rango uno) Sea $P$ hermitiano positivo semidefinido de rango $1$ . Mostrar

$\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) \qquad (2 \leq k \leq n),$

junto con $\lambda_1(A) \leq \lambda_1(A+P)$ : el nuevos valores propios entrelazar los antiguos.
Marque la pregunta 8 numéricamente: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ (Ejercicio 13.4: espectro $\{3, 1\}$ ) y $E = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (espectro $\{1, -1\}$ ): calcula el espectro de $A + E$ y ambos lados de la desigualdad.

Parte III — Interlacing and trace inequalities.

(entrelazado de Cauchy) Sea $B$ la submatriz principal $(n-1) \times(n-1)$ de $A$ . probar

$\lambda_{k+1}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A) \qquad (1 \leq k \leq n-1)$

(view $\C^{n-1} \subseteq \C^n$ ; on it, $R_B$ is the restriction of $R_A$ ; apply Courant–Fischer on both levels).
Iterar: para una submatriz principal $B$ de tamaño $n - m$ , $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .
(Schur) Sea $d_1 \geq d_2 \geq \dots \geq d_n$ el Entradas diagonales de $A$ , ordenadas. Demuestre, para cada $k$ :

$\sum_{i=1}^{k} d_i \leq \sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A),$

con igualdad en $k = n$ (la traza) (the $k$ chosen diagonal entries form a principal $k\times k$ submatrix; bound its trace by question 12).
(Ky Fan) Demuestra

$\sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A) = \max\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\langle x_i, Ax_i\rangle : (x_1, \dots, x_k) \text{ orthonormal}\Bigr\} .$
Verifique las preguntas 11 y 13 del

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \qquad \bigl(\operatorname{Sp} = \{2 - \sqrt2,\ 2,\ 2+\sqrt2\}\bigr)$

contra su bloque líder $2\times2$ (espectro $\{1, 3\}$ ) y su diagonal.

Parte IV — The Loewner order. $A \leq B$ todavía significa $B - A$ semidefinido positivo; todas las matrices en este parte son hermitiano.

Mostrar: $A \leq B$ implica $a_{ii} \leq b_{ii}$ para todos $i$ , $\operatorname{tr} A \leq \operatorname{tr} B$ , y $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ para cada matriz compleja $C$ .
Demuestre que elevar al cuadrado es no monótono: para

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},$

marque $0 \leq A \leq B$ pero $A^2 \not\leq B^2$ .
Demuestre que la raíz cuadrada is monótona: $0 \leq A \leq B$ implica $\sqrt A \leq \sqrt B$ (let $\mu$ be an valor propio of $\sqrt B - \sqrt A$ with unit vector propio $v$ ; compute $\langle v, (B - A)v\rangle = \mu\bigl(\langle v, \sqrt B\,v\rangle + \langle v, \sqrt A\,v\rangle\bigr)$ and discuss).
Demuestre que la inversión es antítono sobre definida positiva matrices: $0 < A \leq B$ implica $B^{-1} \leq A^{-1}$ (congruate by $A^{-1/2}$ to reduce to $I \leq M \Rightarrow M^{-1} \leq I$ , which is scalar in a spectral basis).
Sea $A, B$ positivo definido. Demuestre que el valores propios de $AB$ (¡no hermitiano en general!) son real y positivo, y que

$\lambda_{\max}(AB) \leq \lambda_{\max}(A)\,\lambda_{\max}(B)$

(conjugate by $\sqrt A$ : $AB \sim \sqrt A\,B\sqrt A$ ).

Part V — The discrete Laplacian, worked. Sea $T_n$ la matriz tridiagonal $n \times n$ con $2$ en la diagonal y $-1$ en las dos diagonales adyacentes.

Con $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ , verifique que el vectores $v_k = \bigl(\sin(j\theta_k)\bigr)_{1\leq j\leq n}$ satisfacen $T_nv_k = (2 - 2\cos\theta_k)\,v_k$ (identidad producto-suma; verifique las filas límite $j = 1, n$ ). Concluir:

$\operatorname{Sp}(T_n) = \Bigl\{4\sin^2 \frac{k\pi}{2(n+1)} : 1 \leq k \leq n\Bigr\},$

Todo simple, todo positivo: $T_n$ es positivo definido.
(potencial A) Para una diagonal real $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ , intercale el espectro: por cada $k$ ,

$\lambda_k(T_n) + \min_i d_i \;\leq\; \lambda_k(T_n + D) \;\leq\; \lambda_k(T_n) + \max_i d_i .$
Verifique el entrelazado de Cauchy entre $T_3$ y $T_2$ explícitamente (espectros $\{2 \pm \sqrt2, 2\}$ y $\{1, 3\}$ ), e interpreta: $T_2$ es $T_3$ con un punto final del camino eliminado.
Muestra la satisfacción extrema valores propios, como $n \to \infty$ :

$\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) \to 4 ,$

entonces el número de condición $\kappa_n = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ crece como $\frac{4(n+1)^2}{\pi^2}$ : discretizando un segundo derivada en una cuadrícula cada vez más fina es intrínsecamente mal condicionado.
Síntesis. En una oración cada uno: (i) por qué el La caracterización variacional, no el característica polinomio, es lo que hace que valores propios sea estable. (preguntas 8–9); (ii) qué preguntas se utilizaron únicamente $\lambda_1 = \max R_A$ y cuál necesitaba el completo mín-máx; (iii) lo que la orden Loewner añade a la historia; (iv) dónde reaparecen estas herramientas (números análisis de las matrices de rigidez de la pregunta 24; cuántico teoría de la perturbación; y, en el volumen del año 3, el Principio mínimo-máximo para compacto autoadjunto operadores).

Solución

Solución de Problema 13.1.

1. $\conj{\langle x, Ax\rangle} = \langle Ax, x\rangle = \langle x, A^*x\rangle = \langle x, Ax\rangle$ : real. escribiendo $x = \sum c_ie_i$ :

R_A(x) = \frac{\sum_i\lambda_i\abs{c_i}^2} {\sum_i\abs{c_i}^2} ,

un promedio ponderado del valores propios: se encuentra en $\intcc{\lambda_n}{\lambda_1}$ , con los límites alcanzados en $e_1$ y $e_n$ .

2. Para $t$ real y cualquier $v$ , expanda $R_A(x + tv) = \frac{N(t)}{D(t)}$ con

N(t) = \langle x, Ax\rangle + 2t\Re\langle v, Ax\rangle + t^2\langle v, Av\rangle, \quad D(t) = \norm x^2 + 2t\Re\langle v, x\rangle + t^2\norm v^2 .

La derivada en $t = 0$ es

\frac{2}{\norm x^2}\, \Re\bigl\langle v,\ Ax - R_A(x)\,x\bigr\rangle .

Desaparece para todos $v$ si $\Re\langle v, w\rangle = 0$ para todos $v$ , donde $w = Ax - R_A(x)x$ ; reemplazando $v$ por $\iu v$ mata también la parte imaginaria: $w = 0$ , es decir $Ax = R_A(x)x$ . Los puntos críticos de $R_A$ son exactamente vectores propios, con valor crítico el valor propio.

3. Para $x = \sum_{i\leq k}c_ie_i \in V_k$ : $R_A(x)$ es un promedio ponderado de $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ , por lo tanto $\geq \lambda_k$ , con igualdad en $e_k$ : $\min_{V_k} R_A = \lambda_k$ . Simétricamente en $W_k$ el promedio involucra $\lambda_k, \dots, \lambda_n$ : $\max_{W_k}R_A = \lambda_k$ .

4. Vamos $\dim V = k$ . Entonces $\dim V + \dim W_k = n + 1 > n$ , por lo que hay una unidad $x \in V \cap W_k$ y $R_A(x) \leq \lambda_k$ (pregunta 3): $\min_{V}R_A \leq \lambda_k$ para cada tal $V$ . Dado que $V_k$ alcanza $\lambda_k$ , el máximo-mínimo es igual $\lambda_k$ . La fórmula min-max es el mismo argumento con la roles invertidos ( $\dim W = n - k + 1$ fuerza a $W \cap V_k \neq \{0\}$ , por lo que $\max_W R_A \geq \lambda_k$ se alcanza en $W_k$ ).

5. $R_B(x) = R_A(x) + \frac{\langle x, (B-A)x\rangle}{\norm x^2} \geq R_A(x)$ puntualmente. tomando $\min$ sobre cualquier $k$ -dimensional $V$ y luego $\max$ sobre $V$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_k(A)$ por la pregunta 4.

6. Grassmann: $\dim(V\cap W) = \dim V + \dim W - \dim(V + W) \geq \dim V + \dim W - n > 0$ . Aplicando esto dos veces:

\dim(V_1\cap V_2\cap V_3) \geq \dim(V_1\cap V_2) + \dim V_3 - n \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n .

7. Los subespacios $W_i(A)$ , $W_j(B)$ (pregunta 3, para $A$ y $B$ ) y $V_{i+j-1}(A+B)$ tienen dimensiones $(n-i+1) + (n-j+1) + (i+j-1) = 2n + 1 > 2n$ : por la pregunta 6 hay una unidad vector $x$ en los tres. entonces

\lambda_{i+j-1}(A+B) \leq R_{A+B}(x) = R_A(x) + R_B(x) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B),

la desigualdad izquierda porque $x \in V_{i+j-1}(A+B)$ (pregunta 3), a la derecha junto a los dos $W$ .

8. En una base espectral de $E$ : $\norm{Ex}^2 = \sum \lambda_k(E)^2\abs{c_k}^2 \leq \max_k\lambda_k(E)^2\,\norm x^2$ , alcanzada en el correspondiente vector propio: $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ . Weyl con $j = 1$ : $\lambda_k(A+E) \leq \lambda_k(A) + \lambda_1(E) \leq \lambda_k(A) + \vertiii E_2$ ; aplicando esto a $(A+E) + (-E)$ : $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A+E) + \vertiii E_2$ . Juntos: $\abs{\lambda_k(A+E) - \lambda_k(A)} \leq \vertiii E_2$ .

9. Límites inferiores: $P \geq 0$ y pregunta 5. Superior: $P$ tiene rango $1$ , por lo que $\lambda_2(P) = 0$ ; Weyl con $i = k-1$ , $j = 2$ :

\lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) + \lambda_2(P) = \lambda_{k-1}(A) .

10. $A + E = \begin{pmatrix} 2 & 1+\iu\\ 1-\iu & 2\end{pmatrix}$ : polinomio característico $(2-\lambda)^2 - \abs{1+\iu}^2 = (2-\lambda)^2 - 2$ , espectro $\{2 + \sqrt2,\ 2 - \sqrt2\}$ . Contra $\operatorname{Sp}A = \{3, 1\}$ :

\abs{(2+\sqrt2) - 3} = \abs{(2-\sqrt2) - 1} = \sqrt2 - 1 \approx 0.414 \leq 1 = \vertiii E_2 . \checkmark

11. Ver $\C^{n-1} = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ dentro de $\C^n$ (base estándar): para $x$ allí, $\langle x, Bx\rangle = \langle x, Ax\rangle$ , entonces $R_B$ es el restricción de $R_A$ . Límite superior: el máximo-mínimo para $\lambda_k (B)$ abarca subespacios dimensionales $k$ of $\C^{n-1}$ , una subfamilia de las de $\C^n$ : $\lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ . Límite inferior: el mínimo-máximo para $\lambda_k(B)$ abarca subespacios de $\C^{n-1}$ de dimensión $(n-1)-k+1 = n-k$ ; cada uno también es un subespacio de $\C^n$ de dimensión $n - (k+1) + 1$ , por lo que su máximo es $\geq \lambda_{k+1}(A)$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_{k+1}(A)$ .

12. Retire las filas/columnas una a la vez y encadene pregunta 11: cada eliminación desplaza el índice inferior en uno, dando $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .

13. Conjugando $A$ mediante una matriz de permutación (unitario) No cambia el espectro ni el multiset de diagonal. entradas: asumen que $d_1, \dots, d_k$ ocupan las posiciones de liderazgo. La submatriz principal $k\times k$ $B$ tiene entonces $\operatorname{tr} B = \sum_{i\leq k}d_i$ y su valores propios satisfacer $\mu_i(B) \leq \lambda_i(A)$ (pregunta 12): sumando, $\sum_{i\leq k}d_i \leq \sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . En $k = n$ ambos lados son $\operatorname{tr} A$ .

14. Tomando $x_i = e_i$ se obtiene el valor. $\sum_{i\leq k}\lambda_i$ : el máximo es $\geq$ . Por el contrario, un familia ortonormal $(x_1, \dots, x_k)$ se extiende a un base ortonormal, es decir, a unitario $U$ con las primeras columnas $x_i$ ; entonces $\sum_i\langle x_i, Ax_i\rangle$ es la suma de los primeras entradas diagonales $k$ de $U^\dagger AU$ , que por cuestión 13 es como máximo la suma de su $k$ mayor valores propios — a saber, $\sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . El máximo de Ky Fan El principio sigue.

15. Entrelazado ( $\operatorname{Sp}A = \{2+\sqrt2, 2, 2-\sqrt2\}$ , $\operatorname{Sp}B = \{3, 1\}$ ):

2 \leq 3 \leq 2 + \sqrt2, \qquad 2 - \sqrt2 \leq 1 \leq 2 . \checkmark

Schur con diagonal $(2,2,2)$ : $2 \leq 2+\sqrt2$ ; $4 \leq 4 + \sqrt2$ ; $6 = 6$ (rastro). ✓16. $b_{ii} - a_{ii} = \langle e_i, (B-A)e_i\rangle \geq 0$ ; la suma da las huellas. Para cualquier $C$ : $\langle x, C^\dagger(B - A)Cx\rangle = \langle Cx, (B-A)(Cx)\rangle \geq 0$ : $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ .

17. $A \geq 0$ claro; $B - A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ es semidefinido positivo (valores propios $2, 0$ ): $A \leq B$ . pero

B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad B^2 - A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(B^2 - A^2) = -1 < 0 :

Semidefinida no positiva. La cuadratura no respeta la Orden de Löwner.

18. Deje $S = \sqrt A$ , $T = \sqrt B$ (hermitiano semidefinido positivo, Ejercicio 13.7 extendido a semidefinido por la misma fórmula espectral). $T - S$ es hermitiano; sea $\mu$ cualquier valor propio, $v$ una unidad vector propio. De $T^2 - S^2 = T(T - S) + (T - S)S$ :

0 \leq \langle v, (B - A)v\rangle = \langle Tv, (T-S)v\rangle + \langle (T-S)v, Sv\rangle = \mu\bigl(\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle\bigr)

( $\mu$ es real). Si $\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle > 0$ , entonces $\mu \geq 0$ . Si desaparece, ambos los términos no negativos desaparecen; $\langle v, Tv\rangle = \norm{T^{1/2}v}^2 = 0$ fuerza a $Tv = 0$ , del mismo modo a $Sv = 0$ , por lo que $\mu v = (T - S)v = 0$ y $\mu = 0$ . Todos los valores propios de $T - S$ son $\geq 0$ : $\sqrt A \leq \sqrt B$ .

19. Congruencia por $A^{-1/2}$ (pregunta 16): $I \leq M := A^{-1/2}BA^{-1/2}$ . Entonces todos los valores propios de $M$ son $\geq 1$ , de ahí que los de $M^{-1}$ recaigan en $\intoc{0}{1}$ : $M^{-1} \leq I$ . Pero $M^{-1} = A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$ ; La congruencia de $M^{-1} \leq I$ con $A^{-1/2}$ da $B^{-1} \leq A^{-1}$ .

20. $\sqrt A^{-1}(AB)\sqrt A = \sqrt A\,B\sqrt A$ : entonces $AB$ es similar al hermitiano positivo definido $\sqrt A\,B\sqrt A$ (definido: $\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle = \langle \sqrt Ax, B\sqrt Ax\rangle > 0$ ): sus valores propios son real y positivo. Además

\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(B)\,\norm{\sqrt Ax}^2 = \lambda_{\max}(B)\,\langle x, Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)\norm x^2 ,

entonces $\lambda_{\max}(AB) = \max R_{\sqrt AB\sqrt A} \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)$ .

21. Con $v_k = (\sin j\theta_k)_j$ y la identidad $\sin((j-1)\theta) + \sin((j+1)\theta) = 2\sin(j\theta)\cos\theta$ : para $2 \leq j \leq n-1$ ,

(T_nv_k)_j = -\sin((j{-}1)\theta_k) + 2\sin(j\theta_k) - \sin((j{+}1)\theta_k) = (2 - 2\cos\theta_k)\sin(j\theta_k) .

La fila $1$ funciona porque $\sin(0\cdot\theta_k) = 0$ , fila $n$ porque $\sin((n+1)\theta_k) = \sin(k\pi) = 0$ : el límite condiciones seleccione exactamente $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ . entonces $T_nv_k = 4\sin^2\bigl(\frac{k\pi}{2(n+1)}\bigr)v_k$ ; el $n$ Los valores son distintos en $\intoo04$ y $v_k \neq 0$ : esto es el espectro completo es positivo, por lo que $T_n$ es positivo definido.

22. $\min_id_i\,I \leq D \leq \max_id_i\,I$ , entonces $T_n + \min_id_i\,I \leq T_n + D \leq T_n + \max_id_i\,I$ (agregar $T_n$ conserva el orden); pregunta 5 y $\lambda_k(T_n + cI) = \lambda_k(T_n) + c$ dale el sándwich.

23. $T_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ tiene espectro $\{3, 1\}$ , y

2 - \sqrt2 \;\leq\; 1 \;\leq\; 2 \;\leq\; 3 \;\leq\; 2 + \sqrt2 :

Entrelazado de Cauchy, verificado. (Estos son los mismos espectros que en pregunta 15: conjugación por volteretas $\operatorname{diag}(1,-1,1)$ el signo de la diagonal.) Lectura del gráfico: $T_2$ es el Matriz de tipo laplaciano del camino con el último vértice eliminado — una submatriz principal, exactamente la situación en cuestión 11.

24. Los extremos valores propios se comportan como

\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) = 4\cos^2\frac{\pi}{2(n+1)} \longrightarrow 4 .

Por lo tanto

\kappa_n = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} \sim \frac{4(n+1)^2}{\pi^2} :

cuanto más fina es la rejilla, peor condiciona el segundo discreto derivada — un hecho que impulsa el diseño de sistemas numéricos. álgebra lineal.

25. (i) Las raíces del polinomio característico pueden moverse salvajemente bajo perturbaciones de una matriz general, pero el pines de caracterización min-max cada hermitiano valor propio entre valores de optimización explícitos, lo que obliga al $1$ -Lipschitz Estabilidad de las preguntas 8–9. (ii) Se utilizan las preguntas 1, 5, 16-20 sólo los valores extremos de Rayleigh; Weyl, entrelazado, Schur y Ky Fan (preguntas 7 a 14) realmente necesitaba el mínimo-máximo completo sobre subespacios. (iii) El orden de Loewner convierte estos escalares desigualdades en un cálculo de desigualdades matriciales — con trampas reales (pregunta 17) y teoremas reales (preguntas 18-19). (iv) Estas herramientas son el pan de cada día del análisis numérico. (matrices de rigidez de la pregunta 24), de perturbación cuántica teoría (Weyl: los niveles de energía se mueven como máximo el norma del perturbación), y del principio mínimo-máximo del volumen del año 3 para operadores compacto autoadjunto.