الاتصال কী?

مثال 21.17

للمعادلة $x^3 + x = 1$ حل حقيقي وحيد. وفعلًا، $f(x) = x^3 + x$ متصلة ومتزايدة تمامًا على $\R$ (بوصفها مجموع دالتين متزايدتين تمامًا)، و $\lim_{-\infty} f = -\infty$ و $\lim_{+\infty} f = +\infty$، إذن تنطبق مبرهنة التقابل مع $k = 1$. وبما أن $f(0.6) = 0.816 < 1$ و $f(0.7) = 1.043 > 1$، فإن الحل يقع في $\intoo{0.6}{0.7}$.

مثال 13.7 (تصنيف الانقطاعات)

ثلاث كيفيات للفشل عند نقطة، متزايدة الشدة. قابل للرفع: للمقدار $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ على $\R^*$ نهايةٌ $1$ عند $0$؛ ويصلحه تعريف $f(0) = 1$ — فالانقطاع كان ثقبًا لا سِمة. بقفزة: للمقدار $\lfloor x \rfloor$ عند عدد صحيح نهايتان متمايزتان من الجهتين ($n - 1$ و $n$)؛ ولا اختيار للقيمة يوفّق بينهما، لكن نصفَي النهاية موجودان. جوهري: للمقدار $\sin\frac1x$ عند $0$ لا نهاية من أيّ جهة أصلًا (التمرين 13.1) — أي تذبذب دون استقرار. وأمّا الدوال الرتيبة فلا تنتج إلا النوع الأوسط (لأن نهاياتها من جهة واحدة موجودة دائمًا، لكونها حدودًا عليا ودنيا)، ولذلك تكون مجموعات انقطاعها قابلة للعدّ على الأكثر — عدد ناطق واحد لكل قفزة. وأمّا المشتقات، فحسب مبرهنة دربو (التمرين 14.10)، لا تنتج إلا النوع الأخير: فالدالة ذات الانقطاع بقفزة ليست مشتقة أيّ شيء أبدًا.

مثال 13.9 (القيمة العظمى والصغرى لدالتين متصلتين)

إذا كانت $f, g$ متصلتين، فكذلك $\max(f, g)$ و $\min(f, g)$: دون أيّ حاجة إلى تحليل حالات، بفضل المتطابقتين

واتصال المجاميع واتصال $\abs{\,\cdot\,}$ (القضية 13.8). وعلى الخصوص تكون $f^+ = \max(f, 0)$ و $f^- = \max(-f, 0)$ متصلتين مع $f = f^+ - f^-$: ومنه ففصل الإشارة المستعمل من أجل المتسلسلات (الفصل 17)، وعلى نطاق كامل في نظرية التكامل في مجلّد السنة الثالثة، لا يكلّف شيئًا في الانتظام.

مثال 13.11 (معادلة واحدة، والبروتوكول كاملًا)

حُلَّ $\eu^x = 3 - x$ على $\R$: الوجود والوحدانية والموضع. ضع $g(x) = \eu^x + x - 3$، وهي متصلة. الموضع و الوجود: $g(0) = -2 < 0$ و $g(1) = \eu - 2 > 0$، ومنه تزرع مبرهنة القيم الوسطى حلًا في $\intoo{0}{1}$. والوحدانية: $g$ مجموع الدالة المتزايدة قطعًا $\eu^x$ والدالة $x - 3$، ومنه فهي متزايدة قطعًا على $\R$؛ والدالة الرتيبة قطعًا تأخذ كل قيمة مرة واحدة على الأكثر، ومنه فالحل وحيد على $\R$ كله (لا في الفترة المسبورة فقط). والبروتوكول — رتّب لتحصل على $g = 0$، ثم تغيّر الإشارة من أجل الوجود، ثم الرتابة من أجل الوحدانية — يفصل في أكثر أسئلة «كم عدد الحلول» في ثلاثة أسطر، و تمدّه جداول التغيرات في الفصل 14 إلى $g$ غير الرتيبة بقطع $\R$ إلى فروع رتيبة.