3الدوال

حل المسألة 3.1.

1. مجموعة التعريف: $x \neq 0$ (قسمة على $x$). $f(1) = \frac12(1 + 2) = \frac32$؛ $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$؛ $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac{17}{12}$.

2. $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ يعطي $x^2 + 2 = 3x$، أي $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$: إذن سابقتا $\frac32$ هما $1$ و $2$ — كما أعلن السؤال 1.

3. $f(x) = x$ يعطي $x + \frac2x = 2x$، إذن $\frac2x = x$ و $x^2 = 2$: فالنقطتان الثابتتان $\sqrt2$ و $-\sqrt2$. والموجبة منهما هي قطر مربع الوحدة، وهو عدد أصمّ حسب مسألة نهاية الأسبوع عن الصمم في الكتاب السابق.

4. $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to \frac{577}{408}$: وهي تقريبات هيرون للعدد $\sqrt2$. ووصفته “خذ متوسط التخمين مع $2/$التخمين” هي بالضبط تكرار الدالة $f$ — والعدد الذي يطارده المسار هو النقطة الثابتة للدالة $f$.

5. النقطتان الثابتتان هما تقاطعا المنحنى مع القطر $y = x$: فإعادة إطعام الخرج تمشي بالنقطة على المنحنى نحو ذلك التقاطع. وفي مسألة نهاية الأسبوع عن الميزانين الحراريين في الكتاب السابق، كانت القراءة $-40^\circ$ هي فكرة تقاطع القطر نفسها من أجل دالة التحويل.

6. $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u = \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$. من أجل $0 < u < v \leq \sqrt2$: يكون $uv < 2$، فالقوس سالب و $f(v) < f(u)$: متناقصة. ومن أجل $\sqrt2 \leq u < v$: يكون $uv > 2$: متزايدة. ونقطة الانعطاف: $\sqrt2$.

7. متناقصة قبل $\sqrt2$ ومتزايدة بعده: إذن تبلغ $f$ قيمتها الصغرى عند $\sqrt2$، وهي تساوي $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right) = \sqrt2$. والنتيجة: كل خرج من الآلة (من أجل دخل موجب) لا يقل عن $\sqrt2$ — فبعد دورة واحدة من المرفع، تعيش التخمينات في $\intco{\sqrt2}{+\infty}$.

8. إذا كان $x > \sqrt2$، فإن $x^2 > 2$، إذن $\frac2x < x$ ويكون متوسط $f(x)$ للعددين $x$ و $\frac2x$ أصغر من $x$؛ و$f(x) \geq \sqrt2$ حسب السؤال 7، مع تحقق المساواة عند $x = \sqrt2$ فقط. إذن $\sqrt2 < f(x) < x$: فكل تكرار يحسّن تمامًا دون تجاوز — والمتتالية في السؤال 4 تنزلق نازلة إلى $\sqrt2$.

9. على $\intoo{0}{+\infty}$: متناقصة من $+\infty$ (قرب $0$) نزولًا إلى القيمة الصغرى $\sqrt2$ عند $x = \sqrt2$، ثم متزايدة بلا حد.

10. $g(x) = x$ يعطي $x^2 = x$ و $x(x - 1) = 0$: فالنقطتان الثابتتان $0$ و $1$. انطلاقًا من $0.9$: $0.81$ و $0.656$ و $0.430$ و $0.185$ — انزلاق نحو $0$. وانطلاقًا من $1.1$: $1.21$ و $1.464$ و $2.144$ و $4.595$ — هروب إلى ما لا نهاية. فالنقطة الثابتة $0$ جاذبة و $1$ طاردة: فرق شعرة في البداية، ومصيران متعاكسان.

11. $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$: ست عشرة خطوة، وذروة عند $52$.

12. $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to 47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$ — ما زال يتسلق بعد عشر خطوات، في طريقه إلى ذروة عند $9\,232$ ورحلة من $111$ خطوة. والدرس: قاعدة من سطرين قد تنتج سلوكًا لا يستطيع أحد التنبؤ به بنظرة — فالأعداد المتجاورة ($26$ و $27$ و $28$) لها رحلات شديدة الاختلاف.

13. تتنصّف قوة العدد $2$ نزولًا على سلّمها كله: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$. وفي القاع، $h(1) = 4$ و $h(4) = 2$ و $h(2) = 1$: فتدخل الرحلة الدورة $4 \to 2 \to 1 \to 4$. والنقطة الثابتة تستلزم $\frac n2 = n$ (ولا يحقق ذلك سوى $n = 0$) أو $3n + 1 = n$ (وهو سالب): فلا نقطة ثابتة بين الأعداد الصحيحة الموجبة — والرحلات المرصودة تنتهي لا عند نقطة ثابتة بل في تلك الدورة الصغيرة.

14. المثال المضاد إما رحلة تنمو إلى الأبد (ولا تعود أبدًا إلى $1$) وإما دورة ثانية منفصلة عن $4 \to 2 \to 1$. والتحقق حتى $10^{20}$ يترك عددًا لا نهائيًا من الأعداد غير المختبرة — وهو بالضبط درس مناطق الدائرة في مسألة نهاية الأسبوع عن عرّاف أعواد الثقاب في الكتاب السابق: فالتوافق على عدد منته من الحالات لا يبرهن على شيء بشأنها جميعًا.

15. في آلة هيرون كان لدينا بنية — فرق محلَّل إلى عوامل (السؤال 6) يكشف التغيرات، وقيمة صغرى، وحصر — بينما لا تقدّم قاعدة آلة البَرَد المتبدّلة بالزوجية أي مقبض كهذا: فما من أحد وجد البنية التي تروّضها.

16. $\sqrt{x - 3}$: تستلزم $x - 3 \geq 0$: $\intco{3}{+\infty}$. و$\frac{1}{x^2 - 9}$: تستلزم $x \neq \pm 3$: أي $\R$ محرومة من $-3$ و $3$. و $\sqrt{9 - x^2}$: تستلزم $x^2 \leq 9$: أي $\intcc{-3}{3}$.

17. $f(x) = 3$ يعطي $x + \frac2x = 6$، إذن $x^2 - 6x + 2 = 0$، أي $(x - 3)^2 = 7$: فيكون $x = 3 - \sqrt7$ أو $x = 3 + \sqrt7$ (وكلاهما موجب: سابقتان مضبوطتان).

18. يكون للعبارة معنى فيزيائي ما دام الحجر محلقًا: $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ من أجل $t \in \intcc{0}{4}$. وبإتمام المربع: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$: أي ارتفاع أعظمي $20$ م عند $t = 2$ ثا. والتغيرات: متزايدة على $\intcc{0}{2}$ من $0$ إلى $20$، ومتناقصة على $\intcc{2}{4}$ عودًا إلى $0$.

19. $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff (t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$: أي ثانيتان كاملتان فوق $15$ م.

20. لكل آلة مجموعة تعريف (حيث تُسمح القاعدة)، وقاعدة (العبارة أو التبديل بالزوجية)، ومنحنى أو جدول يعرضها كاملة. وسألنا كلًّا منها السؤالين الكبيرين: إلى أين يقود التكرار (نقط ثابتة، ودورات، وجذب — محسومة عند هيرون، مفتوحة عند البَرَد) وكيف يتحرك الخرج مع الدخل (التغيرات والقيم الحدية — ذروة الحجر، والقيمة الصغرى عند هيرون). والفصول المقبلة تصقل الأمرين: الدوال المرجعية أولًا، ثم، في سنوات لاحقة، المشتقات لقياس التغير والنهايات لتوثيق مستقر التكرارات.