رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

11الدوال والتغيرات

ينظّم هذا الفصل ما ينبغي معرفته عن الدوال قبل حساب التفاضل: العائلة الصغيرة من الدوال المرجعية التي يجب حفظ منحنياتها عن ظهر قلب، والمعنى الدقيق لكون الدالة متزايدة أو متناقصة، وكيف تتصرف التغيرات عند تركيب الدوال.

11.1 الدوال والمنحنيات

تعريف 11.1 (الدالة ومجموعة التعريف والمنحنى)

الدالة $f$ ترفق بكل عدد $x$ من مجموعة $D \subseteq \R$ (وهي مجموعة تعريفها) عددًا واحدًا بالضبط هو $f(x)$ . ومنحنيها (أو تمثيلها البياني) هو مجموعة النقط $\bigl(x, f(x)\bigr)$ من أجل $x \in D$ .

مثال 11.2

تستلزم العبارة $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ أن يكون $x + 2 \geq 0$ (من أجل الجذر التربيعي) و $x \neq 1$ (لأن المقام غير معدوم): إذن مجموعة التعريف هي $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ .

11.2 الدوال المرجعية

يجب أن تصير الدوال الخمس التالية ومنحنياتها ردود فعل.

تعريف 11.3 (الدوال المرجعية)

x \mapsto x^2 \text{ (مربع)}, \quad x \mapsto x^3 \text{ (تكعيب)}, \quad x \mapsto \sqrt{x}, \quad x \mapsto \frac{1}{x}, \quad x \mapsto \abs{x}.

ومجموعات تعريفها هي $\R$ و $\R$ و $\intco{0}{+\infty}$ و $\R \setminus \{0\}$ و $\R$ على الترتيب. ومنحنى $x \mapsto \frac1x$ هو قطع زائد.

المنحنيات المرجعية الخمسة: القطع المكافئ x2 والتكعيب x3 (إلى اليسار)؛ و √ x و x والقطع الزائد 1x (إلى اليمين). — المنحنيات المرجعية الخمسة: القطع المكافئ $x^2$ والتكعيب $x^3$ (إلى اليسار)؛ و $\sqrt x$ و $\abs x$ والقطع الزائد $\frac1x$ (إلى اليمين).

11.3 التغيرات على فترة

تعريف 11.4 (متزايدة، متناقصة)

لتكن $f$ معرَّفة على فترة $I$ . تكون الدالة $f$ متزايدة على $I$ إذا حفظت الترتيب:

\text{من أجل كل } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

وتكون متناقصة إذا قلبت الترتيب ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). ومع المتراجحات التامة في الطرف الأيمن، تكون $f$ متزايدة تمامًا (على الترتيب متناقصة تمامًا). والدالة المتزايدة أو المتناقصة على $I$ تُسمّى رتيبة على $I$ .

طريقة 11.5 (البرهان على تغير انطلاقًا من التعريف)

خذ عددين كيفيين $u < v$ من الفترة، وحدّد إشارة الفرق $f(v) - f(u)$ ، وذلك عادةً عن طريق تحليله إلى عوامل. وإذا كانت الإشارة ثابتة على الفترة، فاستنتج.

قضية 11.6 (تغيرات الدوال المرجعية)

$x^2$ متناقصة تمامًا على $\intoc{-\infty}{0}$ ومتزايدة تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$ .
$x^3$ متزايدة تمامًا على $\R$ .
$\sqrt x$ متزايدة تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$ .
$\frac1x$ متناقصة تمامًا على $\intoo{-\infty}{0}$ وعلى $\intoo{0}{+\infty}$ (لكن ليس على اتحادهما).
$\abs x$ متناقصة تمامًا على $\intoc{-\infty}{0}$ و متزايدة تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$ .

برهان. ليكن $u < v$ . نحلّل $f(v) - f(u)$ إلى عوامل في كل حالة.

1. $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . فعلى $\intco{0}{+\infty}$ : يكون $v - u > 0$ و $v + u > 0$ (لأن $v > u \geq 0$ )، إذن $v^2 > u^2$ . وعلى $\intoc{-\infty}{0}$ : يكون $v + u < 0$ ، إذن $v^2 < u^2$ .

2. $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$ ، والعامل الثاني يساوي $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ إلا إذا كان $u = v = 0$ . ومنه $v^3 > u^3$ كلما $v > u$ .

3. من أجل $0 \leq u < v$ : $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)} {\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$ .

4. من أجل $0 < u < v$ : $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ لأن $u - v < 0$ و $uv > 0$ ؛ والحساب نفسه من أجل $u < v < 0$ . أما على الاتحاد فيسقط الادعاء: إذ $-1 < 1$ لكن $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$ .

5. على $\intco{0}{+\infty}$ يكون $\abs x = x$ متزايدًا تمامًا؛ وعلى $\intoc{-\infty}{0}$ يكون $\abs x = -x$ متناقصًا تمامًا. ∎

ملاحظة 11.7

النقطة 4 فخّ كلاسيكي: فعبارة “متناقصة على $\intoo{-\infty}{0}$ وعلى $\intoo{0}{+\infty}$ ” ليست كعبارة “متناقصة على $\R \setminus \{0\}$ ”. فالتغيرات لا معنى لها إلا على الفترات.

مثال 11.8 (المقارنة دون حساب)

بما أن $\sqrt x$ متزايدة تمامًا، فإن $\sqrt{7} < \sqrt{8}$ ؛ وبما أن $x^2$ متناقصة تمامًا على $\intoc{-\infty}{0}$ ، فإن $(-3)^2 > (-2)^2$ . فالرتابة تحوّل مقارنة الصور إلى مقارنة السوابق.

11.4 دوال جديدة من دوال قديمة

قضية 11.9 (التحويلات)

لتكن $u$ دالة معرَّفة على فترة $I$ وليكن $k \in \R$ .

للدالة $u + k$ تغيرات $u$ نفسها على $I$ ؛ ومنحنيها منحنى $u$ منسحبًا شاقوليًا بمقدار $k$ .
ومن أجل $\lambda > 0$ ، للدالة $\lambda u$ تغيرات $u$ نفسها؛ ومن أجل $\lambda < 0$ تنقلب التغيرات.
وإذا كان $u \geq 0$ على $I$ ، فللدالة $\sqrt u$ تغيرات $u$ نفسها.
وإذا كان $u \neq 0$ وكانت إشارة $u$ ثابتة على $I$ ، فللدالة $\frac1u$ تغيرات معاكسة لتغيرات $u$ .

برهان. ليكن $u < v$ في $I$ (وبتسامح في الترميز، نقارن قيمتَي $x$ حيث $u < v$ ؛ ونكتب $s = u(x_1)$ و $t = u(x_2)$ لصورتَي $x_1 < x_2$ ).

1. $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$ : فالفرق بين الصورتين لم يتغير، إذن لم تتغير إشارته.

2. $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$ : فتُحفظ الإشارة إذا كان $\lambda > 0$ ، وتنقلب إذا كان $\lambda < 0$ .

3. إذا كانت $u$ متزايدة و $x_1 < x_2$ ، فإن $0 \leq s \leq t$ ، و بما أن $\sqrt{}$ متزايدة (القضية 11.6) نجد $\sqrt s \leq \sqrt t$ . والحجة نفسها في حالة التناقص.

4. إذا كانت $u$ متزايدة، و $0 < s \leq t$ (أو $s \leq t < 0$ )، فإن $\frac1s \geq \frac1t$ لأن $x \mapsto \frac1x$ متناقصة على كل جهة من جهتَي $0$ : فينقلب الترتيب. ∎

مثال 11.10

ادرس $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ على $\R$ . الدالة الداخلية $u(x) = x^2 + 1$ موجبة، ومتناقصة على $\intoc{-\infty}{0}$ و متزايدة على $\intco{0}{+\infty}$ (وهي مربع منسحب). وحسب النقطة 3، تكون للدالة $f$ التغيرات نفسها: متناقصة ثم متزايدة، وقيمتها الصغرى $f(0) = 1$ .

التحويلات في العمل: انسحاب x2 إلى أعلى بمقدار 1 (بالأحمر) يحفظ تغيراتها؛ وأخذ الجذر التربيعي (بالبرتقالي) يحفظها من جديد، كما في . — التحويلات في العمل: انسحاب $x^2$ إلى أعلى بمقدار $1$ (بالأحمر) يحفظ تغيراتها؛ وأخذ الجذر التربيعي (بالبرتقالي) يحفظها من جديد، كما في المثال 11.10.

11.5 الدوال الزوجية والفردية

تعريف 11.11 (الزوجية)

لتكن $f$ معرَّفة على مجموعة تعريف $D$ متناظرة بالنسبة إلى $0$ (أي أن $-x \in D$ كلما $x \in D$ ). تكون الدالة $f$ زوجية إذا كان $f(-x) = f(x)$ من أجل كل $x \in D$ ، وتكون فردية إذا كان $f(-x) = -f(x)$ من أجل كل $x \in D$ .

قضية 11.12 (المعنى الهندسي)

منحنى الدالة الزوجية متناظر بالنسبة إلى المحور $y$ ؛ ومنحنى الدالة الفردية متناظر بالنسبة إلى المبدأ.

برهان. إذا كانت $f$ زوجية وكانت $(x, y)$ على المنحنى (أي $y = f(x)$ )، فإن $f(-x) = f(x) = y$ : فالنقطة المقابلة $(-x, y)$ تقع على المنحنى أيضًا. وإذا كانت $f$ فردية، فإن $f(-x) = -y$ : فالنقطة $(-x, -y)$ ، وهي نظيرة $(x,y)$ بالنسبة إلى المبدأ، تقع على المنحنى. ∎

مثال 11.13

الدالتان $x^2$ و $\abs x$ زوجيتان؛ والدالتان $x^3$ و $\frac1x$ فرديتان؛ والدالة $f(x) = x^2 + x$ ليست زوجية ولا فردية: إذ $f(-1) = 0$ بينما $f(1) = 2$ ، إذن $f(-1) \neq \pm f(1)$ . والزوجية تنصّف العمل: فالدالة الزوجية أو الفردية لا تحتاج إلى دراسة إلا على $\intco{0}{+\infty}$ .

11.6 تمارين

تمرين 11.1 ★

أعطِ مجموعة تعريف كل دالة:

f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .

حل

حل التمرين 11.1.

$f$ : يلزم $3 - x \geq 0$ ، فمجموعة التعريف $\intoc{-\infty}{3}$ .

$g$ : يلزم $x^2 - 4 \neq 0$ ، أي $x \neq \pm 2$ : فمجموعة التعريف $\R \setminus \{-2, 2\}$ .

$h$ : يلزم $x \geq 0$ و $x \neq 5$ : فمجموعة التعريف $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$ .

تمرين 11.2 ★

مستعملًا تغيرات الدوال المرجعية، قارن دون آلة حاسبة:

\sqrt{11} \text{ و } \sqrt{13}; \qquad (-2.1)^2 \text{ و } (-2.05)^2; \qquad \frac{1}{0.9} \text{ و } \frac{1}{1.1}; \qquad (-1.01)^3 \text{ و } (-0.99)^3 .

حل

حل التمرين 11.2.

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ لأن $\sqrt{}$ متزايدة و $11 < 13$ .

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ لأن $x^2$ متناقصة على $\intoc{-\infty}{0}$ و $-2.1 < -2.05$ .

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ لأن $\frac1x$ متناقصة على $\intoo{0}{+\infty}$ و $0.9 < 1.1$ .

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ لأن $x^3$ متزايدة و $-1.01 < -0.99$ .

تمرين 11.3 ★

حدّد هل كل دالة زوجية أم فردية أم لا هذه ولا تلك:

f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad g(x) = x^3 + x, \qquad h(x) = x^2 + x^3, \qquad k(x) = \frac{x}{x^2+1} .

حل

حل التمرين 11.3.

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$ : زوجية.

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$ : فردية.

$h(1) = 2$ و $h(-1) = 1 - 1 = 0$ ، إذن $h(-1)$ لا يساوي $h(1)$ ولا $-h(1)$ : فليست زوجية ولا فردية.

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$ : فردية.

تمرين 11.4 ★

لدالة $f$ سلوك التغير التالي: متزايدة على $\intcc{-3}{1}$ من $f(-3) = -2$ إلى $f(1) = 4$ ، ثم متناقصة على $\intcc{1}{5}$ نزولًا إلى $f(5) = 0$ . كم حلًّا للمعادلة $f(x) = 1$ على $\intcc{-3}{5}$ ؟ وللمعادلة $f(x) = 5$ ؟

حل

حل التمرين 11.4.

اقرأ جدول التغيرات. على $\intcc{-3}{1}$ تتسلق $f$ من $-2$ إلى $4$ وتعبر القيمة $1$ مرة واحدة بالضبط؛ وعلى $\intcc{1}{5}$ تهبط من $4$ إلى $0$ وتعبر $1$ مرة أخرى: إذن للمعادلة $f(x) = 1$ حلان. والقيمة العظمى للدالة $f$ هي $f(1) = 4 < 5$ ، إذن ليس للمعادلة $f(x) = 5$ حل.

تمرين 11.5 ★★

مستعملًا الطريقة 11.5 (إشارة $f(v) - f(u)$ )، برهن على أن $f(x) = x^2 - 4x$ متزايدة تمامًا على $\intco{2}{+\infty}$ .

حل

حل التمرين 11.5.

ليكن $2 \leq u < v$ . عندئذٍ

f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u) = (v - u)(u + v - 4).

والعاملان موجبان: إذ $v - u > 0$ ، و $u + v > 2 + 2 = 4$ لأن $u \geq 2$ و $v > 2$ . ومنه $f(v) > f(u)$ : أي أن $f$ متزايدة تمامًا على $\intco{2}{+\infty}$ .

تمرين 11.6 ★★

دون حساب أي مشتقة، أعطِ تغيرات

f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ على } \intoc{-\infty}{5}, \quad g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ على } \intco{0}{+\infty}, \quad h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ على } \intco{0}{+\infty}.

حل

حل التمرين 11.6.

$f = \sqrt{u}$ حيث $u(x) = 5 - x$ متناقصة وغير سالبة على $\intoc{-\infty}{5}$ : إذن $f$ متناقصة هناك (القضية 11.9).

$g = \frac1u$ حيث $u(x) = x^2 + 1$ متزايدة وموجبة على $\intco{0}{+\infty}$ : إذن $g$ متناقصة هناك.

$h = 3 - 2\sqrt x$ : الدالة $\sqrt x$ متزايدة، والضرب في $-2 < 0$ يقلب، وإضافة $3$ لا تغيّر شيئًا: إذن $h$ متناقصة على $\intco{0}{+\infty}$ .

تمرين 11.7 ★★

لتكن $f(x) = (x-2)^2 - 3$ على $\R$ .

أعطِ تغيرات $f$ وقيمتها الصغرى.
استنتج تغيرات $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ وقيمتها العظمى. (لاحظ أن $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

حل

حل التمرين 11.7.

1. الدالة $f$ على الصورة النموذجية: متناقصة على $\intoc{-\infty}{2}$ ، ومتزايدة على $\intco{2}{+\infty}$ ، وقيمتها الصغرى $f(2) = -3$ .

2. $g = \frac{1}{u}$ حيث $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$ . و الانسحاب بمقدار $4$ يحفظ تغيرات $f$ ، و $u \geq 1 > 0$ . وأخذ المقلوب يقلبها: إذن $g$ متزايدة على $\intoc{-\infty}{2}$ و متناقصة على $\intco{2}{+\infty}$ ، وقيمتها العظمى $g(2) = \frac{1}{1} = 1$ .

تمرين 11.8 ★★

يمر منحنى دالة $f$ بالنقط $(0, 1)$ و $(2, 3)$ و $(4, 1)$ ، والدالة $f$ متزايدة على $\intcc{0}{2}$ ومتناقصة على $\intcc{2}{4}$ . ارسم منحنى ممكنًا، ثم ارسم منحنيات $f + 2$ و $-f$ و $2f$ .

حل

حل التمرين 11.8.

يصلح أي منحنى على هيئة تلّ يمر بالنقط الثلاث. عندئذٍ: يمر $f + 2$ بالنقط $(0,3)$ و $(2,5)$ و $(4,3)$ ، وله التغيرات نفسها (انسحاب شاقولي)؛ ويمر $-f$ بالنقط $(0,-1)$ و $(2,-3)$ و $(4,-1)$ مع تغيرات منقلبة (فالقمة تصير قاعًا)؛ ويمر $2f$ بالنقط $(0,2)$ و $(2,6)$ و $(4,2)$ ، وله التغيرات نفسها لكن مضخَّمة شاقوليًا.

تمرين 11.9 ★★

بيّن أنه يمكن كتابة الدالة $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ على الصورة $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ ، واستنتج تغيراتها على $\intoo{-1}{+\infty}$ .

حل

حل التمرين 11.9.

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$ . وعلى $\intoo{-1}{+\infty}$ ، تكون $u(x) = x + 1$ متزايدة وموجبة، إذن $\frac1u$ متناقصة، و $-\frac1u$ متزايدة، وإضافة $2$ لا تغيّر شيئًا: إذن $f$ متزايدة تمامًا على $\intoo{-1}{+\infty}$ .

تمرين 11.10 ★★

صحيح أم خطأ (برّر أو أعطِ مثالًا مضادًا):

مجموع دالتين متزايدتين على $I$ متزايد على $I$ .
جداء دالتين متزايدتين على $I$ متزايد على $I$ .
إذا كانت $f$ متزايدة على $I$ ، فإن $f^2$ ( $= f \times f$ ) متزايدة على $I$ .

حل

حل التمرين 11.10.

1. صحيح. إذا كان $u < v$ ، فإن $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ هو مجموع عددين غير سالبين.

2. خطأ. $f(x) = g(x) = x$ متزايدتان على $\R$ ، لكن جداءهما $x^2$ ليس متزايدًا على $\R$ (فهو يتناقص على $\intoc{-\infty}{0}$ ). (وتصير العبارة صحيحة إذا كانت الدالتان غير سالبتين أيضًا.)

3. خطأ. المثال المضاد نفسه: فالدالة $f(x) = x$ متزايدة على $\R$ لكن $f^2(x) = x^2$ ليست كذلك.

تمرين 11.11 ★★★

لتكن $f(x) = x + \frac{1}{x}$ من أجل $x > 0$ .

بيّن أنه من أجل $0 < u < v$ ، $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
استنتج أن $f$ متناقصة تمامًا على $\intoc{0}{1}$ و متزايدة تمامًا على $\intco{1}{+\infty}$ .
استنتج أن $x + \frac1x \geq 2$ من أجل كل $x > 0$ ، مع تحقق المساواة عند $x = 1$ فقط.

حل

حل التمرين 11.11.

1. من أجل $0 < u < v$ :

f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u = (v - u) + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.

2. دائمًا $v - u > 0$ و $uv > 0$ . فإذا كان $0 < u < v \leq 1$ ، فإن $uv < 1$ ، إذن $uv - 1 < 0$ و $f(v) < f(u)$ : أي أن $f$ متناقصة تمامًا على $\intoc{0}{1}$ . وإذا كان $1 \leq u < v$ ، فإن $uv > 1$ و $f(v) > f(u)$ : أي أن $f$ متزايدة تمامًا على $\intco{1}{+\infty}$ .

3. تتناقص $f$ قبل $1$ وتتزايد بعده، إذن $f(x) \geq f(1) = 2$ من أجل كل $x > 0$ ، مع تحقق المساواة عند $x = 1$ بالضبط. (وتعود هذه المتراجحة في صور كثيرة؛ قارن المثال 10.3 ومتراجحات المماس في الفصل 22.)

11.7 مسألة: مصنع التناظر

مسألة 11.1

مسألة نهاية الأسبوع — كل دالة جزء زوجي زائد جزء فردي: قواعد الزوجية، ولعبة التحويلات، و قيم صغرى تُكسب دون حساب تفاضل

بعض الدوال متناظرة بالنسبة إلى مرآة، وبعضها متناظر بنصف دورة، ومعظمها لا هذا ولا ذاك — ومع ذلك تقول معجزة جبرية صغيرة إن كل دالة هي، بطريقة وحيدة، مجموع قطعة متناظرة بالمرآة وقطعة متناظرة بنصف دورة. تبرهن هذه المسألة على المعجزة، وتلعب لعبة التحويلات على المنحنيات المرجعية (القضية 11.9)، وتختم بتقنية تحليل الفرق إلى عوامل في التمرين 11.11، التي تكسب مسائل التصغير قبل فصل كامل من وصول المشتقة.

الجزء الأول — الطلاقة في الزوجية.

زوجية أم فردية أم لا هذه ولا تلك (التعريف 11.11)؟ برّر كل حالة: $x^4 - 3x^2$ ؛ $x^3 - x$ ؛ $x^2 + x$ ؛ $\abs x$ ؛ $\frac1x$ .
بيّن المعنى الهندسي لكل حكم (القضية 11.12): أي تناظر لمنحنى دالة زوجية؟ ولمنحنى دالة فردية؟
تتضاعف الزوجية كما تتضاعف الإشارات: برهن على أن جداء دالتين فرديتين زوجي، وأكمل جدول الضرب كله (زوجية $\times$ زوجية، وزوجية $\times$ فردية، وفردية $\times$ فردية).
نتائج سريعة: إذا كانت $f$ فردية ومعرَّفة عند $0$ ، فما $f(0)$ ؟ وإذا كانت $f$ زوجية و $f(3) = 7$ ، فما $f(-3)$ ؟ وبيّن أن الدالة الوحيدة الزوجية والفردية معًا هي الدالة المعدومة.
كم من منحنى دالة زوجية يكفي لتحديده كله؟ أعطِ دالة ليست زوجية ولا فردية، و فسّر ما الذي يسقط.

الجزء الثاني — مبرهنة التفكيك. من أجل دالة $f$ معرَّفة على مجموعة تعريف متناظرة بالنسبة إلى $0$ ، ضع

E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}, \qquad O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .

احسب $E$ و $O$ من أجل $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ ، و تحقق: $E$ زوجية، و $O$ فردية، و $E + O = f$ .
برهن على الصياغة العامة: من أجل أي $f$ ، تكون الدالة $E$ زوجية و $O$ فردية و $f = E + O$ — أي أن كل دالة تنقسم إلى جزء زوجي وجزء فردي.
برهن على وحدانية الانقسام: إذا كان $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ حيث $E_i$ زوجية و $O_i$ فردية، فاستعمل السؤال 4 على $E_1 - E_2$ .
فكّك $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (من أجل $x \neq \pm 1$ ): ضع $E$ و $O$ على المقام المشترك $1 - x^2$ وبسّط.
نظرة إلى الأمام، في جملة لكل بند: سيكون الجزآن الزوجي والفردي من الدالة الأسية هما الدالتين التوأمين في السنة الأخيرة (جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي)؛ وتشغّل الغريزة نفسها — تقسيم كائن إلى قطع متناظرة ومعالجة كل قطعة بتناظرها — تحليلَ الصوت والإشارات في الكتب الجامعية. فلماذا يكون تقسيم كهذا مفيدًا بوجه عام؟

الجزء الثالث — لعبة التحويلات.

انطلاقًا من منحنى $x \mapsto x^2$ ، صف بدقة منحنيات $(x - 3)^2$ و $x^2 + 2$ و $(x - 3)^2 + 2$ و $-x^2$ و $2x^2$ (القضية 11.9).
ردّ $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ إلى عبارة متقطعة على الفترات الثلاث التي يقطعها $-2$ و $2$ ، وصف منحنيها (وله قاع مسطح شهير).
أي التحويلات تحترم الزوجية؟ قرّر، مع برهان أو مثال مضاد: الانسحاب الأفقي $f(x - 3)$ ؛ والانسحاب الشاقولي $f(x) + 2$ ؛ والتمديد الشاقولي $2 f(x)$ (وكلها مطبقة على دالة زوجية $f$ ).
حل $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ مستعملًا العبارة المتقطعة في السؤال 12.
الهندسة العكسية: لقطع مكافئ رأسه $(2, -3)$ ويمر بالنقطة $(0, 1)$ . أعد بناء معادلته على الصورة النموذجية.

الجزء الرابع — قيم صغرى دون حساب تفاضل.

قابِل التمرين 11.11 من أجل $g(x) = x + \dfrac4x$ على $\intoo{0}{+\infty}$ : بيّن أن $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ ، وحدّد القيمة الصغرى، وأعطِ قيمتها.
طبّق: من بين كل المستطيلات ذات المساحة $16$ ، أيها له أصغر محيط؟ (اكتب $P = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ واستعمل آلة السؤال 16.) ويختم صديق قديم.
حدّد تغيرات $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ على $\R$ كلها، جامعًا بين حجة تركيب على $\intco{0}{+\infty}$ وحجة زوجية من أجل الباقي.
أقرب نقطة: أوجد نقطة المنحنى $y = \sqrt x$ الأقرب إلى $(3, 0)$ . (صغّر مربع المسافة — وهو مقدار تربيعي في $x$ — و فسّر لماذا يكون تصغير المربع مشروعًا.)
الخاتمة، وهي جولة في المصنع: المنحنيات المرجعية هي المادة الخام؛ والتحويلات هي الآلات؛ والزوجية والتفكيك هما ضبط الجودة؛ وتحليل الفرق إلى عوامل هو منضدة القياس. جملة واحدة عن كل بند — وسمِّ الأداة القوية التي يقدمها الفصل التالي.

حل

حل المسألة 11.1.

1. $x^4 - 3x^2$ : زوجية ( $(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2$ ). و $x^3 - x$ : فردية. و $x^2 + x$ : لا هذه ولا تلك ( $f(-1) = 0 \neq f(1) = 2$ و $\neq -f(1)$ ). و $\abs x$ : زوجية. و $\frac1x$ : فردية.

2. الزوجية: المنحنى متناظر بالنسبة إلى المحور $y$ (مرآة). والفردية: متناظر بالنسبة إلى المبدأ (نصف دورة).

3. إذا كانت $f$ و $g$ فرديتين: $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$ : أي زوجية. والجدول: زوجية $\times$ زوجية $=$ زوجية؛ وزوجية $\times$ فردية $=$ فردية؛ وفردية $\times$ فردية $=$ زوجية — إنها قاعدة الإشارات بالزوجيات.

4. الفردية عند $0$ : $f(0) = -f(0)$ ، إذن $f(0) = 0$ . والزوجية: $f(-3) = f(3) = 7$ . والزوجية والفردية معًا: $f(x) = f(-x) = -f(x)$ من أجل كل $x$ ، إذن $2f(x) = 0$ : أي أن $f$ هي الدالة المعدومة.

5. النصف الأيمن ( $x \geq 0$ ) يحدد الدالة الزوجية تحديدًا كاملًا: فالنصف الأيسر صورته بالمرآة. أما ما ليس زوجيًا ولا فرديًا: فمثاله $x^2 + x$ (السؤال 1) — إذ يسقط تناظراه عند $x = 1$ .

6. $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^2 + 1$ (زوجية)، و $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) - (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ (فردية)؛ ومجموعهما $f$ .

7. $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$ : زوجية. و $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$ : فردية. و $E(x) + O(x) = f(x)$ بالجمع المباشر: فكل دالة تنقسم.

8. من $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ : $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$ . والطرف الأيسر زوجي والأيمن فردي — إذن هذه الدالة زوجية وفردية معًا، أي معدومة (السؤال 4): فيكون $E_1 = E_2$ و $O_1 = O_2$ . إذن الانقسام وحيد.

9. $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{1}{1 - x^2}$ ، و $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{x}{1 - x^2}$ . وتحقق: $E$ زوجية و $O$ فردية، و مجموعهما $\frac{1 + x}{1 - x^2} = \frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$ .

10. لأن كل قطعة تخضع لتناظر، يكفي نصف العمل (ونصف المعطيات) لكل منهما: فتحل على جهة واحدة، ثم تعكس على الأخرى — كما أن عمليات كثيرة (التكامل، و المتسلسلات، وتحليل الإشارات) تعالج القطع المتناظرة على نحو أبسط بكثير من الدوال الخام.

11. $(x-3)^2$ : منسحبة $3$ نحو اليمين. و $x^2 + 2$ : منسحبة $2$ نحو الأعلى. و $(x-3)^2 + 2$ : الأمران معًا. و $-x^2$ : مقلوبة رأسًا على عقب. و $2x^2$ : ممدَّدة شاقوليًا بمعامل $2$ (فالوعاء أضيق).

12. من أجل $x \geq 2$ : $(x - 2) + (x + 2) = 2x$ . ومن أجل $-2 \leq x \leq 2$ : $(2 - x) + (x + 2) = 4$ . ومن أجل $x \leq -2$ : $-2x$ . فينزل المنحنى بميل $-2$ ، ويسير مسطحًا على الارتفاع $4$ بين $-2$ و $2$ ، ثم يتسلق بميل $2$ : أي واد ذو أرضية مسطحة.

13. الانسحاب الشاقولي: تبقى $f(x) + 2$ زوجية ( $f(-x) + 2 = f(x) + 2$ ). والتمديد الشاقولي: تبقى $2f(x)$ زوجية. أما الانسحاب الأفقي: فإن $(x - 3)^2$ ليست زوجية ( $f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$ ): إذ يهدم الانزلاق الجانبي المرآة.

14. على الأرضية المسطحة تكون القيمة $4 \neq 6$ . ومن أجل $x \geq 2$ : $2x = 6$ فيكون $x = 3$ . ومن أجل $x \leq -2$ : $-2x = 6$ فيكون $x = -3$ . إذن الحلول: $\pm 3$ .

15. $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ حيث $f(0) = 4a - 3 = 1$ : فيكون $a = 1$ ، إذن $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ .

16. $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv} = (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$ : سالب من أجل $u < v$ مع $uv < 4$ ، وموجب مع $uv > 4$ : إذن متناقصة على $\intoc{0}{2}$ ، ومتزايدة على $\intco{2}{+\infty}$ ؛ والقيمة الصغرى عند $x = 2$ ، وقيمتها $g(2) = 4$ .

17. الضلعان $x$ و $\frac{16}{x}$ : $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ ، ويُصغَّر (بآلة السؤال 16 مع $4 \to 16$ ، ونقطة الانعطاف $\sqrt{16} = 4$ ) عند $x = 4$ : أي المربع $4 \times 4$ ، ومحيطه $16$ — وهو جواب ديدو، مبرهنًا عليه الآن من أجل كل طول ضلع حقيقي.

18. على $\intco{0}{+\infty}$ : تتزايد $x \mapsto x^2 + 1$ ، وتتزايد $\sqrt{\phantom{x}}$ ، إذن تتزايد الدالة المركبة. و $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$ : أي أن $h$ زوجية، فتتناقص بالتناظر المرآتي على $\intoc{-\infty}{0}$ . والقيمة الصغرى $h(0) = 1$ .

19. مربع المسافة من النقطة $(x, \sqrt x)$ إلى $(3, 0)$ : $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$ ، وهو أصغري عند $x = \frac52$ : فأقرب نقطة $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$ ، والمسافة $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ . وتصغير $d^2$ مشروع لأن التربيع متزايد تمامًا على الأعداد الموجبة: فتبلغ $d$ و $d^2$ قاعهما في الموضع نفسه.

20. المادة الخام: المنحنيات المرجعية، محفوظة عن ظهر قلب. والآلات: الانسحابات والقلوب والتمديدات التي تركّب منحنيات جديدة من قديمة. وضبط الجودة: الزوجية والانقسام إلى زوجي وفردي، وهما ينصّفان كل دراسة. ومنضدة القياس: تحليل $f(v) - f(u)$ إلى عوامل، وهو يقرأ التغيرات والقيم الصغرى مباشرة. أما الأداة القوية في الفصل التالي فهي المشتقة، التي تقرؤها بنظرة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد