الرياضيات الجامعية — السنة 3 · Bachelor Year 3

8فضاءات باناخ والمبرهنات الأساسية

يدرس التحليل الدالي الفضاءات المعيارية اللامنتهية البُعد عبر المؤثرات والمؤثرات الدالية التي تعيش عليها. واكتشافه المؤسِّس هو أن التمام، عبر مبرهنة بير، يفرض انتظامًا قويًا: فالعائلات المحدودة نقطةً نقطة من المؤثرات محدودةٌ بالمعيار (باناخ–شتاينهاوس)، وللتقابلات المتصلة مقلوباتٌ متصلة (التطبيق المفتوح)، وتكشف المنحنيات البيانية الاتصالَ (المنحني البياني المغلق). أما الركن الآخر، هان–باناخ، فلا يحتاج إلى التمام البتة — بل إلى مبرهنة زورن المساعدة فحسب — ويضمن أن الفضاءات الثنوية غنية بما يكفي لرؤية كل متجهة. ويبرهن هذا الفصل على المبرهنات الأربع كلها ويختبرها على فضاءات المتتاليات الكلاسيكية $\ell^p$ ، وعلى حسابات ثنوية ملموسة، وعلى تطبيق مفاجئ حقًّا: إذ توجد دوال متصلة دورية بالدور $2\pi$ تتباعد متسلسلة فورييه لها عند نقطة — فيُحسم بالنفي سؤالٌ تركته السنة الجامعية 2 مفتوحًا.

في كل ما يلي، $E, F$ فضاءان معياريان على $K = \R$ أو $\C$ ؛ وتعني عبارة فضاء باناخ فضاءً معياريًا تامًّا.

8.1 المؤثرات المحدودة؛ فضاءات المتتاليات

تعريف 8.1

يرمز $\mathcal L(E, F)$ إلى فضاء التطبيقات الخطية المحدودة (= المتصلة، السنة الجامعية 2) وعليه معيار المؤثر $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{Tx}$ ؛ وهو تحت الضربي: $\vertiii{ST} \leq \vertiii S\,\vertiii T$ . والفضاء الثنوي هو $E' = \mathcal L(E, K)$ .

قضية 8.2

إذا كان $F$ فضاء باناخ، فكذلك $\mathcal L(E, F)$ ؛ وعلى وجه الخصوص يكون $E'$ فضاء باناخ دائمًا.

برهان. لتكن $(T_n)$ متتالية كوشي من أجل $\vertiii\cdot$ . فمن أجل كل $x$ ، $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$ : أي إن $(T_nx)$ متتالية كوشي في $F$ ، فهي متقاربة؛ ولنسمِّ نهايتها $Tx$ . والتطبيق $T$ خطي (بنهايات المتطابقات الخطية)؛ وبالانتقال إلى النهاية في $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ (حيث $n, m \geq N$ ) نجد $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$ : أي $T_n \to T$ بمعيار المؤثر، و $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} + \varepsilon < \infty$ . ∎

تعريف 8.3

فضاءات المتتاليات الكلاسيكية (على $K$ ، مفهرسة بالدليل $\N$ ):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

و $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ مع $\norm\cdot_\infty$ . وكون $\norm\cdot_p$ معيارًا ينتج من متراجحة منكوفسكي، المبرهَن عليها في الحالة المتقطّعة تمامًا كما في الفصل 12 (أو بجمع المتراجحة المنتهية البُعد من السنة الجامعية 2). وكلها فضاءات باناخ، ويكون $c_0$ فضاءً جزئيًا مغلقًا من $\ell^\infty$ (التمرين 8.3).

الكرات الواحدية لمعايير p في المستوي، متداخلةً حين ينمو p من 1 (المعيّن) مرورًا بالقيمة 2 (القرص) و 4 (شبه الإهليلج) وصولًا إلى ∈fty (المربّع). وتحدّب كل كرة هو متراجحة منكوفسكي؛ والزوايا عند p = 1 و p = ∈fty هي حيث ينحلّ دفعةً واحدة كلٌّ من التحدّب التام ووحدانية أفضل التقريبات وحالات التساوي في . — الكرات الواحدية لمعايير $p$ في المستوي، متداخلةً حين ينمو $p$ من $1$ (المعيّن) مرورًا بالقيمة $2$ (القرص) و $4$ (شبه الإهليلج) وصولًا إلى $\infty$ (المربّع). وتحدّب كل كرة هو متراجحة منكوفسكي؛ والزوايا عند $p = 1$ و $p = \infty$ هي حيث ينحلّ دفعةً واحدة كلٌّ من التحدّب التام ووحدانية أفضل التقريبات وحالات التساوي في التمرين 12.12.

قضية 8.4 (متسلسلة نويمان)

ليكن $E$ فضاء باناخ وليكن $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ مع $\vertiii T < 1$ . عندئذٍ يكون $I - T$ قابلًا للقلب في $\mathcal L(E)$ ، مع $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (وهي متقاربة بمعيار المؤثر). ومن ثَمّ فإن مجموعة المؤثرات القابلة للقلب مفتوحة، والقلب متصل عليها.

برهان. تتقارب المتسلسلة تقاربًا مطلقًا ( $\vertiii{T^n} \leq \vertiii T^n$ ، وهي هندسية) في فضاء باناخ $\mathcal L(E)$ (القضية 8.2؛ التمرين 7.1(b)). وبالاختصار التلسكوبي، $(I - T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$ ، وبالمثل من الجهة الأخرى. وأما الانفتاح: فإذا كان $S$ قابلًا للقلب وكان $\vertiii{H} < 1/\vertiii{S^{-1}}$ ، فإن $S + H = S(I + S^{-1}H)$ مع $\vertiii{S^{-1}H} < 1$ : أي إنه قابل للقلب. وأما اتصال القلب: فيعطي تعبير المتسلسلة أن $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$ محليًا. ∎

مثال 8.5 (معادلة فولتيرا، محلولةً بنويمان)

على $E = \mathcal C(\intcc01)$ لننظر في المعادلة التكاملية

u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t, \qquad\text{أي}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu, \quad (Tu)(x) = \int_0^xu .

وهنا $\vertiii T \leq 1$ ، ومنه فمن أجل $\abs\lambda < 1$ تنطبق متسلسلة نويمان مباشرةً: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$ . وبالحساب، $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$ ، ومنه

u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} = \eu^{\lambda x} ,

كما يؤكّد الاشتقاق. بل أفضل: $\vertiii{T^n} \leq \frac1{n!}$ (لأن النواة المتكررة تتقلص عامليًا)، ومنه فإن $\sum\lambda^nT^n$ تتقارب من أجل كل $\lambda$ — أي إن المؤثر $I - \lambda T$ قابل للقلب من أجل كل $\lambda \in \C$ ، حتى وإن كان $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ في نهاية المطاف: فالمهم هو التناقص الطيفي للقوى، لا المعيار الأول. ولمؤثرات فولتيرا هذا التناقص العاملي مضمَّنًا فيها (وقد استثمر التمرين 7.4(a) ذلك بالضبط)، ولهذا لا تعاني مسائل القيم الابتدائية أبدًا من ظواهر الرنين التي تعانيها مسائل القيم الحدّية (الفصل 15).

8.2 هان–باناخ

مبرهنة 8.6 (هان–باناخ، الصيغة التحليلية)

ليكن $E$ فضاءً متجهيًا حقيقيًا، وليكن $p \colon E \to \R$ تحت خطي (أي $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ و $p(tx) = tp(x)$ من أجل $t \geq 0$ )، وليكن $F \subseteq E$ فضاءً جزئيًا وليكن $f \colon F \to \R$ خطيًا مع $f \leq p$ على $F$ . عندئذٍ يمتد $f$ إلى تطبيق خطي $\tilde f \colon E \to \R$ يحقق $\tilde f \leq p$ على $E$ .

برهان. التمديد بخطوة واحدة. ليكن $x_0 \notin F$ ؛ نمدّد $f$ إلى $F \oplus \R x_0$ باختيار $\alpha = \tilde f(x_0)$ اختيارًا صحيحًا: إذ نحتاج، من أجل كل $y \in F$ و $t > 0$ ، إلى

f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0) \quad\text{و}\quad f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),

وهذا يختزل بعد القسمة على $t$ (بالتحت خطية) إلى

\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr] \;\leq\; \alpha \;\leq\; \inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].

ويوجد مثل هذا $\alpha$ إذا وفقط إذا كان كل طرف أيسر $\leq$ كل طرف أيمن: وبالفعل $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$ ، أي $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$ .

زورن. نرتّب تمديدات $f$ المهيمَن عليها بالمقدار $p$ (وهي أزواج: فضاء جزئي، ومؤثر دالي) بالتمديد؛ ولكل سلسلة الاتحادُ حدًّا أعلى؛ ويجب أن يكون العنصر الأعظمي معرَّفًا على $E$ كلها، وإلا ناقض التمديدُ بخطوة واحدة الأعظمية. ∎

نتيجة 8.7

ليكن $E$ فضاءً معياريًا (حيث $K = \R$ أو $\C$ ).

كل $f \in F'$ (حيث $F$ فضاء جزئي) يمتد إلى $\tilde f \in E'$ مع $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ .
من أجل كل $x \neq 0$ يوجد $f \in E'$ يحقق $\norm f = 1$ و $f(x) = \norm x$ . وعلى وجه الخصوص، يفصل $E'$ نقطَ $E$ ، و $\norm x = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)}$ .
من أجل فضاء جزئي مغلق $F$ ومن أجل $x \notin F$ ، يوجد $f \in E'$ ينعدم على $F$ ويحقق $f(x) = d(x, F)$ و $\norm f \leq 1$ .

برهان. (1) الحالة الحقيقية: نطبّق المبرهنة 8.6 مع $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (وهو تحت خطي)؛ ويحقق التمديد $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$ ، ومنه $\norm{\tilde f} \leq \norm f$ ، والمتراجحة $\geq$ هي القصر. الحالة العقدية: ليكن $u = \operatorname{Re}f$ ، وهو مؤثر دالي حقيقي يحقق $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$ ؛ ولاحظ $f(x) = u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (بالتحقق على الجزأين الحقيقي والتخيلي: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$ ). نمدّد $u$ تمديدًا خطيًا حقيقيًا بالحد نفسه، ونضع $\tilde f(x) = \tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$ : فهو خطي على $\C$ (بتحقّق مباشر على الضرب في $\iu$ )، ويمدّد $f$ ؛ وأما المعيار: فمن أجل $x$ معطى نكتب $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$ ، ثم $\abs{\tilde f(x)} = \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm f\,\norm x$ .

(2) على $F = Kx$ نعرّف $f(tx) = t\norm x$ : ومعياره $1$ على $F$ ؛ ثم نمدّده حسب (1). وأما صيغة الثنوية: فالمتراجحة $\leq$ واضحة، والمتراجحة $\geq$ بهذا $f$ .

(3) على $F \oplus Kx$ نعرّف $f(y + tx) = t\,d(x, F)$ ؛ وعندئذٍ من أجل $t \neq 0$ لدينا $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$ : أي $\norm f \leq 1$ على الفضاء الجزئي؛ ثم نمدّده حسب (1). ∎

ملاحظة 8.8

حسب (2)، يكون التطبيق القانوني $J \colon E \to E''$ ، $J(x)(f) = f(x)$ ، تقييسًا (التمرين 8.10): أي إن كل فضاء معياري يقع داخل ثنويّه المضاعف. وتُسمّى الفضاءات التي يكون فيها $J$ شاملًا انعكاسية؛ وتُظهر مسألة نهاية الأسبوع أن $\ell^p$ (حيث $1 < p < \infty$ ) انعكاسي بينما $\ell^1$ ليس كذلك.

8.3 ثلاثية بير

مبرهنة 8.9 (باناخ–شتاينهاوس، الحد المنتظم)

ليكن $E$ فضاء باناخ، وليكن $F$ معياريًا، ولتكن $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ عائلة تحقق $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$ من أجل كل $x \in E$ . عندئذٍ $\sup_i \vertiii{T_i} < \infty$ .

برهان. المجموعات $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ مغلقة (بوصفها تقاطعات لسوابق كرات مغلقة) وتغطّي $E$ . وتعطي مبرهنة بير (المبرهنة 7.6) عددًا $n_0$ وكرة $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$ . ومن أجل $\norm z < r$ : $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$ ، ومنه $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ من أجل كل $i$ . ∎

نتيجة 8.10

إذا كان $E$ فضاء باناخ وتقاربت $T_n \in \mathcal L(E,F)$ نقطةً نقطة (أي $T_nx \to Tx$ من أجل كل $x$ )، فإن $\sup_n \vertiii{T_n} < \infty$ و $T \in \mathcal L(E, F)$ و $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$ .

برهان. المتتاليات المتقاربة محدودة: أي الحد نقطةً نقطة؛ وتحدّ مبرهنة باناخ–شتاينهاوس المعاييرِ بعدد $M$ ما؛ عندئذٍ $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ (لأن $T$ خطي بوصفه نهاية نقطةً نقطة)، والحد الأدقّ بالانتقال إلى $\liminf$ في $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$ . ∎

مبرهنة 8.11 (متسلسلات فورييه المتباعدة)

توجد دوال متصلة دورية بالدور $2\pi$ تتباعد متسلسلة فورييه لها عند $0$ : أي $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} = \infty$ . بل إن هذه الدوال $f$ تشكّل جزءًا كثيفًا من $\mathcal C(S^1)$ .

برهان. نعمل في $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$ ، وهو فضاء باناخ، بالمؤثّرات $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (نواة ديريكليه، السنة الجامعية 2). وكل $\Lambda_N$ متصل مع

\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd t \;=\; L_N .

(فالمتراجحة $\leq$ واضحة؛ وأما $\geq$ : فنأخذ $f$ متصلة مع $\norm f_\infty \leq 1$ تقرّب $\operatorname{sign}D_N$ — فللإشارة عدد منتهٍ من القفزات؛ وتنعيم كل قفزة على فترة طولها $\varepsilon$ يغيّر التكامل بمقدار $O(N\varepsilon)$ .) وتؤول ثوابت لوبيغ $L_N$ إلى اللانهاية:

L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}} \,\dd t \geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t = \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin u}}{u}\,\dd u

(باستعمال $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ على $[0, \pi]$ ، ثم بالتعويض $u = (N + \tfrac12)t$ ). وبالقطع إلى أقواس:

\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u \geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u = \frac{2}{k\pi}, \qquad\text{ومنه}\qquad L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k \xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .

ولو كان لكل دالة متصلة $f$ الشرطُ $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} < \infty$ ، لفرضت مبرهنة باناخ–شتاينهاوس أن $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$ : وهو تناقض. إذن توجد دالة $f$ — بل مجموعة غير هزيلة وكثيفة من الدوال $f$ (وهي متمم $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$ ، وهو اتحاد قابل للعدّ لمجموعات مغلقة ليس لها داخل حسب ما سبق مطبَّقًا في أي كرة، ومنه فهو هزيل) — تحقق $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$ . ∎

مبرهنة 8.12 (التطبيق المفتوح)

ليكن $E, F$ فضاءي باناخ وليكن $T \in \mathcal L(E, F)$ شاملًا. عندئذٍ يكون $T$ مفتوحًا: أي $T(B_E(0,1)) \supseteq B_F(0, c)$ من أجل $c > 0$ ما. ومن ثَمّ فإن لكل مؤثر محدود تقابلي بين فضاءي باناخ مقلوبًا محدودًا.

برهان. نكتب $B = B_E(0,1)$ . تعطي الشمولية $F = \bigcup_n \overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$ ؛ وتعطي مبرهنة بير (المبرهنة 7.6) داخلًا للمجموعة $\overline{T(B)}$ : أي $B_F(y_0, 4c) \subseteq \overline{T(B)}$ ما. ونعيد التمركز عند $0$ : فمن أجل $\norm y < 4c$ ، يكون كلٌّ من $y_0 + y$ و $y_0$ نهايةً لصور $Tu_k$ و $Tv_k$ مع $u_k, v_k \in B$ ، ومنه $y = \lim T(u_k - v_k)$ مع $u_k - v_k \in 2B$ : أي $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$ ، أي $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$ .

إزالة الغلق (وهنا يدخل تمام $E$ ): ليكن $\norm y < c$ . نختار $x_1 \in \frac12 B$ يحقق $\norm{y - Tx_1} < c/2$ ( $B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ محجَّمة بالعامل $\frac12$ )؛ وبالتتابع $x_k \in 2^{-k}B$ مع $\norm{y - T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$ . وتتقارب المتسلسلة $\sum x_k$ تقاربًا مطلقًا في فضاء باناخ $E$ إلى $x \in B$ (بمعيار $< \sum 2^{-k} = 1$ )، ويكون $Tx = y$ بالاتصال: أي $B_F(0, c) \subseteq T(B)$ . وينتج انفتاح $T$ على المفتوحات الكيفية بالانسحاب والتحجيم؛ وأما النتيجة الفرعية، فانفتاح $T$ يعني أن $T^{-1}$ متصل. ∎

نتيجة 8.13 (المعايير المتكافئة)

إذا كان فضاء متجهي تامًّا من أجل معيارين قابلين للمقارنة ( $\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$ )، فالمعياران متكافئان.

برهان. التطابق $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ محدود وتقابلي بين فضاءي باناخ: ومنه فمقلوبه محدود. ∎

مبرهنة 8.14 (المنحني البياني المغلق)

ليكن $E, F$ فضاءي باناخ وليكن $T \colon E \to F$ خطيًا. إذا كان المنحني البياني $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ مغلقًا في $E \times F$ (أي إن $x_n \to x$ و $Tx_n \to y$ يستلزمان $y = Tx$ )، فإن $T$ محدود.

برهان. الفضاء $E \times F$ مزوَّدًا بالمعيار $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ فضاءُ باناخ؛ و $\Gamma$ ، بوصفه فضاءً جزئيًا مغلقًا، فضاءُ باناخ. والإسقاط $\pi_E\colon \Gamma \to E$ محدود وتقابلي، ومنه فمقلوبه $x \mapsto (x, Tx)$ محدود (المبرهنة 8.12): أي $\norm{Tx} \leq \norm{(x, Tx)} \leq C\norm x$ . ∎

طريقة 8.15

متى نلجأ إلى أي مبرهنة. هان–باناخ: لإنتاج مؤثر دالي بسلوك مفروض (تنظيم متجهة، أو انعدام على فضاء جزئي، أو تمديد من فضاء جزئي) — ولا حاجة إلى التمام. باناخ–شتاينهاوس: لتحويل معلومة نقطةً نقطة إلى حدود منتظمة — وعادةً لإظهار أن عملية نهاية متصلة، أو (بعكس النقيض) لإثبات التباعد من أجل عنصر ما، كما في متسلسلات فورييه. التطبيق المفتوح / المنحني البياني المغلق: للحصول على الاتصال مجانًا من التقابلية الجبرية أو من خاصية انغلاق للمنحني البياني — والاستعمال النموذجي: مقارنة معيارين تامّين، أو إثبات الاتصال التلقائي. وتتطلب مبرهنات بير الثلاث جميعًا تمام المنطلق؛ وثمة أمثلة مضادّة فيما عدا ذلك (التمرين 8.7).

8.4 الفضاءات الثنوية، بصورة ملموسة

مبرهنة 8.16

تقييسيًا: $(c_0)' \cong \ell^1$ و $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ ، عبر المزاوجة $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

برهان. نبرهن على $(c_0)' \cong \ell^1$ ؛ والتعيين الثاني هو التمرين 8.5. نُلحق بالعنصر $y \in \ell^1$ التطبيقَ $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ (حيث $x \in c_0$ ): وهو متقارب تقاربًا مطلقًا مع $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ ، ومنه $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$ . وبالعكس، ليكن $\Lambda \in (c_0)'$ ؛ نضع $y_n = \Lambda(e_n)$ (حيث $e_n$ المتتاليات الواحدية). ومن أجل أي $N$ ، نختبر على $x^{(N)} = \sum_{n \leq N} \operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (ومعياره $\leq 1$ ؛ وفي الحالة العقدية نستعمل عوامل أحادية المعيار $\bar y_n/\abs {y_n}$ ): فنجد $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ . إذن $y \in \ell^1$ مع $\norm y_1 \leq \norm\Lambda$ . وأخيرًا $\Lambda = \Lambda_y$ : فكلاهما يتوافق على العناصر $e_n$ ، ومنه على المتتاليات المنتهية، وهي كثيفة في $c_0$ (بالبتر: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$ وذلك بالضبط لأن $x_n \to 0$ )؛ والمؤثرات الدالية المتصلة المتوافقة على مجموعة كثيفة متساوية. والتقابل خطي وتقابلي وتقييسي ( $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ من المتراجحتين). ∎

8.5 تمارين

تمرين 8.1 ★

احسب معايير المؤثرات: (a) الإزاحتان $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ و $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ على $\ell^2$ ؛ (b) مؤثر الضرب $M_a x = (a_nx_n)$ على $\ell^2$ ، من أجل $a \in \ell^\infty$ ؛ (c) المؤثر الدالي $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f - \int_{1/2}^1f$ على $\mathcal C(\intcc01)$ — برهن على $\norm\Lambda = 1$ وعلى أن المعيار غير مبلوغ.

حل

حل التمرين 8.1.

(a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$ : التطبيق $S$ تقييس، و $\vertiii S = 1$ . وأما الإزاحة الخلفية: $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$ ، مع التساوي من أجل $x = e_2$ : أي $\vertiii{S^*} = 1$ .

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm a_\infty^2\norm x_2^2$ ؛ وبالاختبار على $x = e_n$ نجد $\vertiii{M_a} \geq \abs{a_n}$ من أجل كل $n$ : ومنه $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$ .

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$ : $\norm\Lambda \leq 1$ . ومن أجل $\varepsilon > 0$ لتكن $f_\varepsilon$ مساوية $1$ على $[0, \frac12 - \varepsilon]$ و $-1$ على $[\frac12 + \varepsilon, 1]$ وتآلفية بينهما: عندئذٍ $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ و $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$ : ومنه $\norm\Lambda = 1$ . وغير مبلوغ: إذ يفرض $\Lambda(f) = 1$ مع $\norm f_\infty \leq 1$ أن $\int_0^{1/2}f = \frac12$ و $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$ ، أي (بالاتصال ومع $\abs f \leq 1$ ) أن $f \equiv 1$ على $[0, \frac12]$ و $f \equiv -1$ على $[\frac12, 1]$ : وهو تناقض عند $\frac12$ .

تمرين 8.2 ★

ليكن $E$ فضاء باناخ، وليكن $T \in \mathcal L(E)$ قابلًا للقلب، وليكن $S$ يحقق $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$ . برهن على أن $S$ قابل للقلب وقدّر $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$ . تطبيق: إذا كانت جملة خطية $Tx = b$ قابلة للحل مع $T$ قابل للقلب، فإن اضطرابًا صغيرًا بما يكفي للمؤثر $T$ يُبقيها قابلة للحل بطريقة وحيدة، مع حدّ كمّي على تغيّر الحل.

حل

حل التمرين 8.2.

نكتب $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ مع $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} = \theta < 1$ : فحسب القضية 8.4 يكون $S$ قابلًا للقلب مع $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T - S)\bigr)^nT^{-1}$ ، ومنه

\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq \sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}} = \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.

وأما الجملة الخطية: فيختلف $x_T = T^{-1}b$ عن $x_S = S^{-1}b$ بمقدار لا يتجاوز ذلك الحد مضروبًا في $\norm b$ — أي إن الاضطرابات الصغيرة لجملة قابلة للقلب تبقى قابلة للحل بطريقة وحيدة، مع تعلق ليبشيتزي للحل بالمؤثر.

تمرين 8.3 ★★

(a) برهن على أن $\ell^1$ و $\ell^\infty$ و $c_0$ فضاءات باناخ، وعلى أن $c_0$ هو الغلق في $\ell^\infty$ لفضاء المتتاليات المنتهية. (b) برهن على $\ell^p \subseteq \ell^q$ مع $\norm\cdot_q \leq \norm\cdot_p$ من أجل $1 \leq p \leq q \leq \infty$ ، وعلى أن الاحتواء تام.

حل

حل التمرين 8.3.

(a) الفضاء $\ell^1$ : لتكن $(x^{(k)})$ متتالية كوشي. كل إحداثي متتالية كوشي ( $\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$ ): وليكن $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$ . وإذا أُعطي $\varepsilon$ ، فمن أجل $k, l \geq K$ لدينا $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \varepsilon$ من أجل كل $N$ ؛ ونجعل $l \to \infty$ ثم $N \to \infty$ : فنجد $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$ ، و $x = x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$ . والفضاء $\ell^\infty$ : متتالية كوشي من أجل $\norm\cdot_\infty$ هي متتالية كوشي بانتظام: فتتقارب بانتظام إلى متتالية محدودة. والفضاء $c_0$ مغلق في $\ell^\infty$ : إذ إذا كان $x^{(k)} \to x$ بانتظام مع $x^{(k)}_n \to_n 0$ ، فإن $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ يعطي $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$ : أي $x \in c_0$ ؛ وكل فضاء جزئي مغلق من فضاء باناخ فضاءُ باناخ. وأما المتتاليات المنتهية: فغلقها يحتوي على كل $x \in c_0$ (لأن المبتورات تتقارب: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ) وهو محتوًى في $c_0$ المغلقة.

(b) بالتجانس نفترض $\norm x_p = 1$ : عندئذٍ $\abs{x_n} \leq 1$ من أجل كل $n$ ، ومنه $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ و $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$ ؛ ومن أجل $q = \infty$ ، $\abs{x_n} \leq \norm x_p$ مباشرةً. وأما كون الاحتواء تامًّا: فإن $x_n = n^{-\alpha}$ مع $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ يقع في $\ell^q \setminus \ell^p$ (بمتسلسلة ريمان).

تمرين 8.4 ★★

ليكن $F \subseteq E$ فضاءً جزئيًا مغلقًا وليكن $x \notin F$ . باستعمال النتيجة 8.7، برهن على صيغة الثنوية

d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\ f\restriction_F = 0\bigr\}

(ولاحظ: أنها قيمة عظمى). واستنتج أن $F = \bigcap\{\ker f : f \in E',\ f\restriction_F = 0\}$ : أي إن الفضاءات الجزئية المغلقة هي بالضبط تقاطعات نوى المؤثرات الدالية.

حل

حل التمرين 8.4.

( $\leq$ ) إذا كان $\norm f \leq 1$ و $f\restriction_F = 0$ : فمن أجل كل $y \in F$ لدينا $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x - y}$ ؛ ثم نأخذ الحد الأدنى. ( $\geq$ ، مبلوغة) تُنتج النتيجة 8.7(3) مؤثرًا داليًا $f$ يحقق $f\restriction_F = 0$ و $\norm f \leq 1$ و $f(x) = d(x, F)$ : أي إن الحد الأعلى قيمة عظمى. والنتيجة: $F \subseteq \bigcap\{\ker f : f\restriction_F = 0\}$ بداهةً، ويُستبعَد من التقاطع كلُّ نقطة $x \notin F$ بالمؤثر الدالي السابق ( $f(x) = d(x,F) > 0$ ، لأن $F$ مغلق).

تمرين 8.5 ★★

برهن على $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ تقييسيًا، متّبعًا مخطط المبرهنة 8.16 (فالمتتاليات المنتهية كثيفة في $\ell^1$ ). وأين تنهار الحجّة من أجل $(\ell^\infty)'$ ؟

حل

حل التمرين 8.5.

من أجل $y \in \ell^\infty$ : $\abs{\Lambda_y(x)} = \abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$ ، ومنه $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$ ؛ وبالاختبار على $e_n$ : $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$ : أي التساوي. وبالعكس، إذا أُعطي $\Lambda \in (\ell^1)'$ ، نضع $y_n = \Lambda(e_n)$ : فنجد $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ ، ومنه $y \in \ell^\infty$ ؛ ويتوافق $\Lambda$ مع $\Lambda_y$ على المتتاليات المنتهية، وهي كثيفة في $\ell^1$ ( $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ): أي $\Lambda = \Lambda_y$ . والتطبيق $y \mapsto \Lambda_y$ خطي وتقييسي وشامل. وأما من أجل $(\ell^\infty)'$ فتُنتج البدايةُ نفسها متتاليةً $y_n = \Lambda(e_n)$ ، لكن المتتاليات المنتهية ليست كثيفة في $\ell^\infty$ (فالمتتالية الثابتة $\mathbf 1$ تبعد عنها جميعًا مسافة $1$ )، ومنه لا يتحدّد $\Lambda$ بالعناصر $y_n$ — وبالفعل $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ (المسألة 8.1).

تمرين 8.6 ★★

ليكن $E, F, G$ فضاءات معيارية مع $E$ فضاء باناخ، وليكن $B \colon E \times F \to G$ ثنائي الخطية ومتصلًا في كل متغيّر على حدة. برهن على أن $B$ متصل (بالمعنى المشترك): أي $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ . (طبّق باناخ–شتاينهاوس على العائلة $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$ .)

حل

حل التمرين 8.6.

من أجل كل $x$ مثبَّت، يكون $y \mapsto B(x, y)$ خطيًا متصلًا: $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$ . ومنه فإن العائلة $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (وكل عنصر منها متصل، بالاتصال في $x$ ) محدودة نقطةً نقطة على فضاء باناخ $E$ : وتعطي مبرهنة باناخ–شتاينهاوس (المبرهنة 8.9) عددًا $C$ يحقق $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ من أجل كل $\norm y \leq 1$ ؛ ويُنهي التجانس في $y$ البرهانَ: أي $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ .

تمرين 8.7 ★★

(a) على $E = \mathcal C(\intcc01)$ ، قارن $\norm\cdot_\infty$ مع $\norm\cdot_1$ : فالتطابق $(E, \norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ محدود وتقابلي لكن مقلوبه غير محدود. وأي فرضية من فرضيات النتيجة 8.13 تخفق؟ (b) أظهر تطبيقًا خطيًا غير متصل من فضاء جزئي كثيف من $\ell^2$ إلى $K$ (مثلًا على المتتاليات المنتهية)، واشرح لماذا لا يناقض هذا مبرهنة المنحني البياني المغلق.

حل

حل التمرين 8.7.

(a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ : أي إن التطابق محدود وتقابلي. ومقلوبه غير محدود: فالدالة $f_n(x) = x^n$ تحقق $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ لكن $\norm{f_n}_\infty = 1$ . ولا تناقض مع النتيجة 8.13: لأن $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ ليس تامًّا (التمرين 7.1)؛ وتتطلب النتيجة الفرعية التمام من الجهتين.

(b) على فضاء المتتاليات المنتهية $E_0$ (الكثيف في $\ell^2$ )، يكون $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ خطيًا وغير محدود ( $\varphi(e_n) = n$ مع $\norm{e_n}_2 = 1$ ). ولا تنطبق مبرهنة المنحني البياني المغلق: لأن $E_0$ ليس تامًّا — وليس للتطبيق $\varphi$ تمديد متصل إلى $\ell^2$ ، وهذا يوضّح أن الكثافة دون اتصال منتظم عاجزة (المبرهنة 7.2).

تمرين 8.8 ★★★

(هيلنغر–تُبليتز) ليكن $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ خطيًا (ومعرَّفًا في كل مكان) ومتناظرًا: أي $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ من أجل كل $x, y$ ، حيث $\langle x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$ . برهن على أن $T$ محدود. (بالمنحني البياني المغلق: إذا كان $x_k \to x$ و $Tx_k \to z$ ، فاختبر على $y$ كيفي.) والعبرة: أن المؤثرات المتناظرة غير المحدودة — وهي هاميلتونيات ميكانيكا الكم — لا يمكن أبدًا أن تُعرَّف على الفضاء كله.

حل

حل التمرين 8.8.

نتحقق من فرضية المنحني البياني المغلق. ليكن $x_k \to x$ و $Tx_k \to z$ في $\ell^2$ . فمن أجل كل $y$ :

\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle = \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle = \langle Tx, y\rangle,

باستعمال اتصال الجداء السلَّمي في كل موضع (كوشي–شفارتز) والتناظر مرتين. ومنه فإن $z - Tx$ متعامد مع كل $y$ ، وعلى وجه الخصوص مع نفسه: أي $z = Tx$ . فالمنحني البياني مغلق و $\ell^2$ فضاء باناخ: ومنه فإن $T$ محدود (المبرهنة 8.14). ومن ثَمّ فإن كل مؤثر متناظر معرَّف على $\ell^2$ كلها محدودٌ تلقائيًا؛ أما المؤثرات المتناظرة غير المحدودة حقًّا (الموضع، وكمية الحركة، والهاميلتونيات) فيجب أن تعيش على فضاءات جزئية كثيفة فعلية.

تمرين 8.9 ★★★

(مبرهنة بويا في التربيع العددي) من أجل كل $n$ ، لتكن $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ قاعدة تربيع عددي على $\mathcal C(\intcc01)$ (حيث $x_{i,n} \in \intcc01$ ، $w_{i,n} \in \R$ ). برهن على أن $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ من أجل كل دالة متصلة $f$ إذا وفقط إذا: (أ) كان $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ من أجل كل كثير حدود $P$ ، و (ب) كان $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$ . (احسب $\norm{\Lambda_n}$ ؛ واستعمل باناخ–شتاينهاوس وفايرشتراس.) وتحقق من أن القواعد ذات الأوزان الموجبة والمضبوطة على الثوابت تحقق (ب) تلقائيًا.

حل

حل التمرين 8.9.

أولًا، $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$ : فالمتراجحة $\leq$ هي متراجحة المثلث؛ والمتراجحة $\geq$ بالاختبار على دالة $f$ خطية بالقطع تحقق $\norm f_\infty \leq 1$ و $f(x_{i,n}) = \operatorname{sign}(w_{i,n})$ (بالاستيفاء الخطي بين العقد المنتهية العدد؛ وحيث تتطابق العقد تتوافق الإشارات).

( $\Rightarrow$ ) يستلزم التقارب نقطةً نقطة عند كل $f$ الشرطَ (أ)، ويستلزم الحد نقطةً نقطة، ومنه تعطي باناخ–شتاينهاوس (المبرهنة 8.9) على فضاء باناخ $\mathcal C(\intcc01)$ الشرطَ (ب).

( $\Leftarrow$ ) ليكن $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$ . إذا أُعطي $f$ و $\varepsilon$ ، اخترنا كثير حدود $P$ يحقق $\norm{f - P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ (النتيجة 7.16)؛ عندئذٍ

\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr| \leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr| \leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to \varepsilon .

وأما الأوزان الموجبة والضبط على الثوابت: فإن $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ من أجل القواعد المضبوطة على الثوابت — أي إن (ب) يتحقق بالثابت $1$ .

تمرين 8.10 ★★

برهن على أن $J \colon E \to E''$ المعطى بالعلاقة $J(x)(f) = f(x)$ تقييسٌ خطي (استعمل النتيجة 8.7(2))، وعلى أنه شامل حين $\dim E < \infty$ . وبرهن أيضًا على أنه إذا كان $E'$ قابلًا للفصل فكذلك $E$ . (اختر $x_n$ تنظّم تقريبًا متتاليةً كثيفة من $E'$ وبرهن على أن الفضاء المولَّد المغلق لها هو $E$ ، بواسطة النتيجة 8.7(3).)

حل

حل التمرين 8.10.

خطية $J$ صورية؛ و $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$ حسب النتيجة 8.7(2). وإذا كان $\dim E = n$ : فإن $\dim E' = n$ (لأن أساسًا يعطي مؤثرات دالية إحداثية)، ومنه $\dim E'' = n$ ، ويكون $J$ المتباين (التقييسي) شاملًا. وأما القابلية للفصل: فلتكن $(f_n)$ كثيفة في $E'$ ولنختر $\norm{x_n} = 1$ يحقق $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$ . ولتكن $F = \overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$ ؛ فإذا كان $F \neq E$ ، أخذنا $g \in E'$ مع $g \neq 0$ ينعدم على $F$ (النتيجة 8.7(3))؛ ونختار $f_{n_k} \to g$ :

\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})} = \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}} \geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),

ومنه $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$ : وهو تناقض. إذن $F = E$ ، وتشكّل التركيبات الناطقة (أو من $\Q + \iu\Q$ ) للعناصر $x_n$ مجموعةً قابلة للعدّ كثيفة.

تمرين 8.11 ★★

(فضاءات القسمة) ليكن $E$ فضاء باناخ وليكن $F \subseteq E$ فضاءً جزئيًا مغلقًا. نعرّف على $E/F$

\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .

(a) برهن على أن هذا معيار معرَّف تعريفًا سليمًا على $E/F$ (وأين يدخل انغلاق $F$ ؟)، وعلى أن الإسقاط $\pi \colon E \to E/F$ يحقق $\vertiii\pi \leq 1$ ويرسل الكرة الواحدية المفتوحة على الكرة الواحدية المفتوحة. (b) برهن على أن $E/F$ تام. (استعمل محك المتسلسلات في التمرين 7.1(b): إذا أُعطيت أصناف $\bar x_k$ تحقق $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$ ، فارفع كلًّا منها إلى $x_k \in E$ يحقق $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ واجمع في $E$ .) (c) احسب: من أجل $E = c$ (المتتاليات المتقاربة) ومن أجل $F = c_0$ ، برهن على $c/c_0 \cong K$ تقييسيًا بواسطة $\bar x \mapsto \lim_nx_n$ .

حل

حل التمرين 8.11.

(a) معرَّف تعريفًا سليمًا: لأن $d(x, F)$ لا يتعلق إلا بالصنف $\bar x$ (فانسحاب $x$ بعنصر من $F$ لا يغيّر المسافة). وينتقل التجانس ومتراجحة المثلث من $\norm\cdot$ عبر الحد الأدنى. أما الفصل فيحتاج إلى الانغلاق: إذ يعني $\norm{\bar x} = 0$ أن $d(x, F) = 0$ ، أي $x \in \bar F = F$ ، أي $\bar x = 0$ . و $\vertiii\pi \leq 1$ : $\norm{\bar x} \leq \norm x$ . والكرة المفتوحة على الكرة المفتوحة: إذا كان $\norm{\bar x} < 1$ ، فإن لممثّل ما $\norm{x - y} < 1$ ؛ وبالعكس $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ بمتراجحة المعيار — ومنه فإن $\pi$ مفتوح، وهو الحالة النموذجية لمبرهنة التطبيق المفتوح.

(b) ليكن $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ ولنرفع مع $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ : عندئذٍ $\sum\norm{x_k} < \infty$ ، ومنه تتقارب $s = \sum_kx_k$ في فضاء باناخ $E$ (التمرين 7.1(b))، ويعطي اتصال $\pi$ أن $\sum_k\bar x_k = \bar s$ : أي إن كل متسلسلة متقاربة مطلقًا في $E/F$ تتقارب، وهذا يكافئ التمام (التمرين نفسه).

(c) التطبيق $\lambda(x) = \lim_nx_n$ خطي $c \to K$ ، وينعدم على $c_0$ بالضبط، ومنه فهو يُحدث تقابلًا خطيًا $c/c_0 \to K$ . وأما التقييس: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — فالمتراجحة $\leq$ : نطرح من $x$ المتتاليةَ $x - \lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$ ، فيبقى $\lambda(x)\mathbf 1$ بمعيار $\abs{\lambda(x)}$ ؛ والمتراجحة $\geq$ : من أجل $y \in c_0$ ، $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$ .

تمرين 8.12 ★★

(الإسقاطات المحدودة والفضاءات الجزئية المتمَّمة) ليكن $E$ فضاء باناخ وليكن $P \colon E \to E$ خطيًا مع $P^2 = P$ (أي إسقاط جبري)، و $V = \operatorname{im}P$ ، و $W = \ker P$ . (a) لنفترض أن $P$ محدود. برهن على أن $V$ و $W$ مغلقان وأن $E = V \oplus W$ بالتفكيك $x = Px + (x - Px)$ . (b) وبالعكس، لنفترض $E = V \oplus W$ مع كون $V, W$ مغلقين كليهما، وليكن $P$ الإسقاطَ على $V$ على امتداد $W$ . برهن على أن $P$ محدود. (بالمنحني البياني المغلق: إذا كان $x_n \to x$ و $Px_n \to z$ ، فإن $z \in V$ و $x_n - Px_n \to x - z \in W$ ، وتعيّن وحدانية التفكيك $z = Px$ .) (c) استنتج التكافؤ: أن فضاءً جزئيًا $V$ يقبل إسقاطًا محدودًا إذا وفقط إذا كان مغلقًا وله متمّم جبري مغلق — ولاحظ (دون برهان) أن ثمة فضاءات جزئية مغلقة بلا هذه الخاصية (والمثال الكلاسيكي هو $c_0$ داخل $\ell^\infty$ ): فإن فضاءات هيلبرت، حيث يفي $V^\perp$ بالغرض دائمًا (الفصل 13)، هي الاستثناء لا القاعدة.

حل

حل التمرين 8.12.

(a) المجموعة $W = \ker P$ مغلقة (بوصفها سابق $0$ بتطبيق متصل)؛ و $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (وبالفعل $Px = x$ إذا وفقط إذا كان $x \in \operatorname{im}P$ ، باستعمال $P^2 = P$ )، وهي مغلقة بالمثل. وينشطر كل $x$ على الصورة $Px + (x - Px)$ مع $Px \in V$ و $x - Px \in W$ ، و $V \cap W = 0$ ( $x = Px = 0$ ): أي $E = V \oplus W$ .

(b) حجّة المنحني البياني: ليكن $x_n \to x$ و $Px_n \to z$ . عندئذٍ $z \in V$ (لأن $V$ مغلق و $Px_n \in V$ ) و $x_n - Px_n \to x - z \in W$ (لأن $W$ مغلق). ومنه $x = z + (x - z)$ مع $z \in V$ و $x - z \in W$ ؛ وبوحدانية التفكيك، $z = Px$ . فالمنحني البياني للتطبيق $P$ مغلق و $E$ فضاء باناخ: ومنه فإن $P$ محدود (المبرهنة 8.14).

(c) الجزآن (a) و (b) معًا هما التكافؤ. وفي فضاء هيلبرت، لكل $V$ مغلق المتمّمُ المغلق $V^\perp$ (الفصل 13): أي إن كل فضاء جزئي مغلق متمَّم. وفي فضاءات باناخ العامة يخفق ذلك — فليس للفضاء $c_0$ متمّم مغلق في $\ell^\infty$ (مبرهنة فيليبس، وهي تتجاوز أدواتنا) — ومنه فإن الإسقاطات المحدودة امتياز، وتكون مبرهنة المنحني البياني المغلق هي بالضبط المحاسبة التي تحوّل الانشطارات الهندسية إلى مؤثرات محدودة.

8.6 مسألة: ثنوية الفضاءات $\ell^p$

مسألة 8.1

مسألة نهاية الأسبوع — $(\ell^p)' = \ell^q$ ، والانعكاسية، وغرابة $\ell^\infty$

لنثبّت $1 < p < \infty$ وليكن $q$ الأُسَّ المرافق، أي $\frac1p + \frac1q = 1$ . والمزاوجة في كل ما يلي هي $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

الجزء الأول — هولدر ومنكوفسكي من أجل المتتاليات.

(متراجحة يونغ) من أجل $a, b \geq 0$ ، برهن على $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ، باستعمال تقعّر $\log$ أو بدراسة $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ .
(هولدر) استنتج: $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x_p\norm y_q$ من أجل $x \in \ell^p$ و $y \in \ell^q$ ؛ وعيّن حالة التساوي.
(منكوفسكي) استنتج متراجحة المثلث من أجل $\norm\cdot_p$ . (اكتب $\abs{x_n + y_n}^p \leq \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} + \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ وطبّق هولدر على كل حد.)
برهن على أن $\ell^p$ تام وعلى أن المتتاليات المنتهية كثيفة فيه.

الجزء الثاني — الثنوية $(\ell^p)' = \ell^q$ .

من أجل $y \in \ell^q$ ، برهن على أن $\Lambda_y(x) = \langle x, y\rangle$ يعرّف $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ مع $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ ، وبالاختبار على $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (مبتورًا ومنظَّمًا على النحو الملائم)، على أن $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ .
وبالعكس، إذا أُعطي $\Lambda \in (\ell^p)'$ ، نضع $y_n = \Lambda(e_n)$ ؛ برهن على $y \in \ell^q$ مع $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ (بالاختبار على المبتورات كما في السؤال 5 وبجعل طول البتر ينمو)، واخلص إلى $\Lambda = \Lambda_y$ : أي إن التطبيق $y \mapsto \Lambda_y$ تماثل تقييسي $\ell^q \to (\ell^p)'$ .
استنتج أن $\ell^p$ انعكاسي من أجل $1 < p < \infty$ : فبتركيب الثنويتين، يأتي كل عنصر من $(\ell^p)''$ من $\ell^p$ ؛ وتحقق بعناية من أن المركّب هو $J$ القانوني.

الجزء الثالث — $\ell^1$ و $\ell^\infty$ حيوانان مختلفان.

برهن على أن $\ell^p$ (حيث $1 \leq p < \infty$ ) و $c_0$ قابلان للفصل، لكن $\ell^\infty$ ليس كذلك. (فمتتاليات الدلالة لأجزاء $\N$ ، وعددها غير قابل للعدّ، تبعد كلٌّ منها عن الأخرى مسافة $1$ .)
استنتج من التمرين 8.10 أن $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ لكن $(\ell^\infty)' \not\cong \ell^1$ : أي إن $\ell^1$ ليس انعكاسيًا. (إذ لو كان $(\ell^\infty)'$ هو $\ell^1$ ، لكان قابلًا للفصل، فيفرض قابلية $\ell^\infty$ للفصل.)
(نهاية باناخ، صراحةً) على $\ell^\infty_\R$ ، لتكن $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . برهن على أن $p$ تحت خطي، وعلى أنه على الفضاء الجزئي $c$ للمتتاليات المتقاربة يحقق $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ الشرطَ $\mathrm{LIM} \leq p$ . ومدّده بهان–باناخ إلى $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ وبرهن على أن $\mathrm{LIM}$ موجب ( $x \geq 0 \Rightarrow \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ )، وصامد بالإزاحة ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ )، ويمدّد النهاية، ويحقق $\liminf x \leq \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
برهن على أن مثل هذا $\mathrm{LIM}$ ، منظورًا إليه في $(\ell^\infty)'$ ، ليس من الشكل $\Lambda_y$ من أجل أي $y \in \ell^1$ ؛ واخلص من جديد إلى $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ . (قيّمه على المتتاليات الواحدية $e_n$ ، ثم على المتتالية الثابتة $1$ .)
قيّم $\mathrm{LIM}$ على $(0,1,0,1,\dots)$ ، وبرهن على أنه لا يمكن وجود تمديد ضربي صامد بالإزاحة للنهاية (انظر في $x = (0,1,0,1,\dots)$ وفي $x\cdot Sx$ حيث $S$ الإزاحة).

الجزء الرابع — خاتمة: لماذا تهمّ الانعكاسية.

باستعمال النتيجة 8.10 والسؤال 6، برهن على أن لكل متتالية محدودة من $\ell^p$ (حيث $1 < p < \infty$ ) متتاليةً جزئية $(x^{(k)})$ تتقارب ضعيفًا: أي إن $\Lambda(x^{(k)})$ تتقارب من أجل كل $\Lambda \in (\ell^p)'$ . (بالاستخراج القطري على الإحداثيات القابلة للعدّ؛ وعيّن النهاية الضعيفة في $\ell^p$ باستعمال الحد المنتظم للمعايير وهولدر.) وبرهن بمثال (المتتالية $e_n$ في $\ell^1$ ، مقابل عناصر مختارة بعناية من $\ell^\infty$ ) على أن ذلك يخفق في $\ell^1$ : فالتراص الضعيف امتياز للفضاءات الانعكاسية.

الجزء الخامس — الطوبولوجيا الضعيفة في العمل، ومفاجأة شور. نكتب $x^{(k)} \rightharpoonup x$ في فضاء معياري $E$ (التقارب الضعيف) حين يكون $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ من أجل كل $\Lambda \in E'$ .

أكمل الإحصاء: برهن على $(c_0)' \cong \ell^1$ تقييسيًا، بمخطط السؤالين 5 و 6 (وما الذي يحل محل متتاليات الاختبار؟). وكوِّن السلسلة $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ للثنويات المتتالية وحدّد أين تخفق الانعكاسية.
برهن على أن كل متتالية متقاربة ضعيفًا في فضاء باناخ محدودة: انظر إلى العناصر $x^{(k)}$ عبر الغمر القانوني $J$ بوصفها مؤثرات دالية على $E'$ وطبّق باناخ–شتاينهاوس (المبرهنة 8.9) — وعلى أي فضاء باناخ، ولماذا يكون التمام متاحًا هناك؟
برهن على أنه في $\ell^p$ مع $1 < p < \infty$ : يكون $x^{(k)} \rightharpoonup x$ إذا وفقط إذا كان $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ و $x^{(k)}_n \to x_n$ من أجل كل إحداثي $n$ (ويستعمل أحد الاتجاهين باناخ–شتاينهاوس عبر الغمر القانوني؛ ومن أجل الآخر، قرّب $y \in \ell^q$ بمتتاليات منتهية). واستنتج $e_k \rightharpoonup 0$ في $\ell^2$ بينما $\norm{e_k}_2 = 1$ : أي إن النهايات الضعيفة يمكن أن تفقد كتلة.
برهن على أن المعيار نصف متصل من الأسفل ضعيفًا: أي إن $x^{(k)} \rightharpoonup x$ يستلزم $\norm x \leq \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ (اختر مؤثرًا داليًا منظّمًا للعنصر $x$ ، النتيجة 8.7).
(رادون–ريس في $\ell^2$ ) برهن على أنه في $\ell^2$ ، يستلزم التقارب الضعيف مع تقارب المعايير التقاربَ بالمعيار (انشر $\norm{x^{(k)} - x}_2^2$ ). وأعطِ مثالًا مضادًّا للعبارة نفسها دون فرضية المعيار.
(شور، الخطوة 1) ليكن $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ في $\ell^1$ ولنفترض جدلًا أن $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ على متتالية جزئية. برهن أولًا على $x^{(k)}_n \to 0$ من أجل كل $n$ (وأي المؤثرات الدالية؟)، ثم أنشئ بالتتابع أدلّة $k_1 < k_2 < \cdots$ وأعدادًا صحيحة $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ بحيث تتركّز كتلة $x^{(k_j)}$ على الكتلة $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ :

$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$
(شور، الخطوة 2) نعرّف $y \in \ell^\infty$ بالعلاقة $y_n = \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ من أجل $n \in B_j$ . برهن على $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq \frac{8\delta}{10}$ واستخرج تناقضًا مع $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . واخلص إلى مبرهنة شور: أي إن المتتاليات المتقاربة ضعيفًا في $\ell^1$ تتقارب بالمعيار.
استنتج أنه ليست للمتتالية $(e_k)$ متتالية جزئية متقاربة ضعيفًا في $\ell^1$ (لأن نهايتها المرشّحة الوحيدة هي $0$ إحداثيًا — ثم نطبّق شور)، فتستعيد إخفاق التراص الضعيف في السؤال 13؛ وحلّ المفارقة الظاهرية: ففي $\ell^1$ يتطابق التقارب الضعيف والتقارب بالمعيار للمتتاليات، ومع ذلك تختلف الطوبولوجيتان الضعيفة والمعيارية وتبقى المجموعات المحدودة غير متراصة ضعيفًا بالمتتاليات — ولا تناقض في ذلك، بل مجرّد إخفاق الانعكاسية.
(جدول تركيبي) من أجل $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ ، كوِّن جدولًا يضم: الفضاء الثنوي؛ والقابلية للفصل؛ والانعكاسية؛ وهل تقبل المتتاليات المحدودة متتاليات جزئية متقاربة ضعيفًا؛ وخاصية مميّزة واحدة لكل فضاء، مبرَّرة بسطر واحد من هذه المسألة.

الجزء السادس — تكملات: أقرب النقط، والتقارب بالمتوسطات، وقيمة نهاية باناخ.

(أقرب النقط: عائد الانعكاسية) ليكن $F$ فضاءً جزئيًا مغلقًا من $\ell^p$ (حيث $1 < p < \infty$ ) وليكن $x \in \ell^p$ . برهن على أن $d = \operatorname{dist}(x, F)$ مبلوغة: استخرج من متتالية مصغّرة متتاليةً جزئية متقاربة ضعيفًا (السؤال 13)، وأبقِ النهاية الضعيفة داخل $F$ ببناء مؤثر دالي، بواسطة هان–باناخ، ينعدم على $F$ ولا ينعدم عند نقطة خارجه، ثم اخلص بالسؤال 17. ثم برهن على أن هذا الامتياز ليس شاملًا: ففي $c_0$ ، من أجل $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ ، برهن على أن $\norm\Lambda = 1$ غير مبلوغة على الكرة الواحدية، وأثبت صيغة المسافة $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ ، واستنتج أنه ليس لأي $x \notin \ker\Lambda$ أقربُ نقطة في الفضاء الفائق المغلق $\ker\Lambda$ .
(باناخ–ساكس في $\ell^2$ ) ليكن $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ في $\ell^2_{\R}$ مع $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$ . أنشئ متتالية جزئية $(y_j)$ تحقق $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq \frac1j$ من أجل كل $i < j$ ، واستنتج

$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$

أي إن متوسطات تشيزارو تتقارب بالمعيار بعد الاستخراج. وتحقق على $(e_k)$ ، التي معيار متوسطاتها $\frac1{\sqrt m}$ : فالتقارب الضعيف، عديم الجدوى للمتتالية نفسها (السؤال 16)، يصير تقاربًا بالمعيار للمتوسطات.
(قيمة نهاية باناخ) لتكن $L$ أي نهاية باناخ (السؤال 10) ولتكن $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots + S^{m-1}x)$ . برهن على $L(A_mx) = L(x)$ وعلى $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ؛ واستنتج أن جميع نهايات باناخ تتوافق على المتتاليات الدورية، بالقيمة المساوية للمتوسط على دور — أي $\frac13$ على $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ ، وهو متسق مع القيمة $\frac12$ في السؤال 12. ثم برهن على أن التوافق يخفق في العموم: فمن أجل المتتالية الكتلية $x$ المساوية $1$ على $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ من أجل $j$ زوجي و $0$ فيما عدا ذلك، برهن على أن متوسطات تشيزارو تتذبذب بين $\leq \frac13$ و $\geq \frac23$ ، وابنِ نهايتَي باناخ $L_\pm$ تحققان $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ (بالتمديد من $c \oplus \R x$ بالقيمتين القصويين المقبولتين $\pm$ : وتحقق من أن $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ مهيمَن عليه بالمقدار التحت خطي $p$ في السؤال 10).

حل

حل المسألة 8.1.

1. من أجل $a, b > 0$ : بتقعّر $\log$ نجد $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$ ؛ ثم نأخذ الأُسّي. (وإذا كان $ab = 0$ فالمتراجحة تافهة.) والتساوي إذا وفقط إذا كان $a^p = b^q$ .

2. يمكننا أن نفترض $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (بالتجانس؛ والحالات المعدومة تافهة). عندئذٍ

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n} \leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p + \frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 = \norm x_p\norm y_q .

ويتطلب التساوي أن يكون $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ من أجل كل $n$ (بحالة تساوي يونغ) وأن تتوافق أطوار $x_ny_n$ .

3. $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} + \abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$ ؛ وبالجمع وتطبيق هولدر ( $p$ مقابل $q$ ، مع ملاحظة $(p - 1)q = p$ ):

\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q} = \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};

فإذا كان $\norm{x + y}_p \neq 0$ (وإلا فالأمر تافه)، قسمنا على $\norm{x+y}_p^{p/q}$ واستعملنا $p - \frac pq = 1$ . (وأما كون $\norm{x+y}_p$ منتهيًا أولًا: $\abs{x_n+y_n}^p \leq 2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$ .)

4. التمام: كما في حالة $\ell^1$ (التمرين 8.3)، بنهايات إحداثية مع الحد الذيلي المنتظم $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p \leq \varepsilon^p$ ، بجعل $l$ ثم $N$ يؤولان إلى اللانهاية. وكثافة المتتاليات المنتهية: $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$ .

5. تعطي هولدر أن $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_p\norm y_q$ : ومنه $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ . وبالاختبار: لتكن $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ من أجل $n \leq N$ ، و $0$ فيما بعد (حيث $\operatorname{sign}$ الطور الأحادي المعيار، بحيث يكون $x_ny_n = \abs{y_n}^q$ ). عندئذٍ $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ و $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (لأن $(q-1)p = q$ )، ومنه

\norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{} \norm y_q .

6. نضع $y_n = \Lambda(e_n)$ . وبمتجهات الاختبار نفسها، $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$ ، ومنه $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq \norm\Lambda$ من أجل كل $N$ : أي $y \in \ell^q$ مع $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ . ويتوافق المؤثران $\Lambda$ و $\Lambda_y$ على المتتاليات المنتهية الكثيفة (السؤال 4): أي $\Lambda = \Lambda_y$ . ومع السؤال 5، يكون $y \mapsto \Lambda_y$ تماثلًا تقييسيًا $\ell^q \cong (\ell^p)'$ .

7. ليكن $\xi \in (\ell^p)''$ . وبالتركيب مع التقييس $\ell^q \cong (\ell^p)'$ في السؤال 6، يعرّف $\xi$ عنصرًا من $(\ell^q)'$ ، وهو (بالسؤال 6 مع تبديل $p, q$ ) يساوي $\Lambda_z$ من أجل $z \in \ell^p$ وحيد: أي إنه من أجل كل $y \in \ell^q$ لدينا $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$ . ومن جهة أخرى $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$ : أي القيمة نفسها. وبما أن كل عنصر من $(\ell^p)'$ هو $\Lambda_y$ ما، فإن $\xi = J(z)$ : أي إن $J$ شامل — ومنه فإن $\ell^p$ انعكاسي.

8. المتتاليات المنتهية ذات المدخلات الناطقة (الحقيقية والتخيلية) قابلة للعدّ وكثيفة في $\ell^p$ (حيث $p < \infty$ ) وفي $c_0$ . وفي $\ell^\infty$ : العائلة $\{\mathbf 1_A : A \subseteq \N\}$ غير قابلة للعدّ مع $\norm{\mathbf 1_A - \mathbf 1_B}_\infty = 1$ من أجل $A \neq B$ ؛ والكرات $B(\mathbf 1_A, \frac12)$ منفصلة مثنى مثنى، وأي مجموعة كثيفة يجب أن تلاقي كلًّا منها: فلا توجد مجموعة قابلة للعدّ كثيفة.

9. لو كان $\ell^1$ انعكاسيًا، لكان $(\ell^\infty)' \cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ قابلًا للفصل (بوصفه صورة تقييسية للفضاء $\ell^1$ القابل للفصل)؛ وحسب التمرين 8.10، فإن قابلية الثنوي $(\ell^\infty)'$ للفصل ستفرض قابلية $\ell^\infty$ للفصل — وهذا يناقض السؤال 8. إذن $\ell^1$ ليس انعكاسيًا (ويكون $(\ell^\infty)'$ أكبر تمامًا من $\ell^1$ ، كما يجسّده السؤال 11).

10. تجانس $p$ واضح؛ وأما التحت جمعية: فالمتوسطات خطية، و $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n + \limsup v_n$ . وعلى $c$ : تتقارب متوسطات تشيزارو لمتتالية متقاربة إلى نهايتها، ومنه $p(x) = \lim x = \mathrm{LIM}(x)$ هناك؛ وعلى وجه الخصوص $\mathrm{LIM} \leq p$ على $c$ . وتمدّد هان–باناخ (المبرهنة 8.6) المؤثرَ $\mathrm{LIM}$ إلى $\ell^\infty_\R$ مع $\mathrm{LIM} \leq p$ عالميًا. وأما الإيجابية: فمن أجل $x \geq 0$ لدينا $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{متوسط}(-x) \leq 0$ . وأما الصمود بالإزاحة: فمتوسطات $x - Sx$ تتلسكب إلى $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$ ، ومنه $p(\pm(x - Sx)) = 0$ و $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$ . وأما الحدود: فإن $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$ (لأن المتوسطات تتخلّف عن الحدود العليا)، وبتطبيق ذلك على $-x$ نحصل على الحد الأدنى.

11. لدينا $e_n \in c_0$ ، ومنه $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ من أجل كل $n$ . فلو كان $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ مع $y \in \ell^1$ ، لكان $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ من أجل كل $n$ : أي $\Lambda_y = 0$ ؛ لكن $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$ . إذن $\mathrm{LIM} \in (\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$ : أي $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ ، من جديد.

12. من أجل $x = (0,1,0,1,\dots)$ : $x + Sx = \mathbf 1$ ، ومنه $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) = 1$ : أي $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$ . ولو كان $\varphi$ تمديدًا ضربيًا صامدًا بالإزاحة للنهاية: لأعطى $x\cdot Sx = 0$ أن $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$ ، ومنه $\varphi(x) = 0$ ؛ لكن $\varphi(x) + \varphi(Sx) = \varphi(\mathbf 1) = 1$ يعطي $2\varphi(x) = 1$ : وهو تناقض. فالمتوسطة والضرب لا يتعايشان.

13. ليكن $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$ . والإحداثيات محدودة بالعدد $M$ : فيعطي استخراج قطري متتاليةً جزئية (لا نزال نكتبها $x^{(k)}$ ) تحقق $x^{(k)}_n \to x_n$ من أجل كل $n$ . عندئذٍ $x \in \ell^p$ : لأن $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ من أجل كل $N$ . وأما التقارب الضعيف: فمن أجل $y \in \ell^q$ و $N$ كيفي،

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q},

حيث يؤول الحد الأول إلى $0$ حين $k \to \infty$ (لأن الإحداثيات منتهية العدد) ويكون الثاني صغيرًا من أجل $N$ كبير (بهولدر على الذيل): ومنه $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ من أجل كل $y$ — أي التقارب الضعيف، لأن كل مؤثر دالي هو $\Lambda_y$ ما (السؤال 6). وفي $\ell^1$ يخفق ذلك: لننظر في $(e_n)$ ، وهي محدودة. وتتقارب أي متتالية جزئية $(e_{n_k})$ إحداثيًا إلى $0$ ، ومنه فنهايتها الضعيفة المرشّحة الوحيدة هي $0$ ؛ لكن بالاختبار على $y \in \ell^\infty$ المعرَّف بالعلاقة $y_{n_k} = (-1)^k$ (و $0$ فيما عدا ذلك)، يتباعد $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$ . فلا توجد متتالية جزئية متقاربة ضعيفًا: أي إن التراص الضعيف بالمتتاليات للكرات يميّز العالم الانعكاسي.

14. من أجل $y \in \ell^1$ ، يكون $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ معرَّفًا على $c_0$ مع $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ ، وبالاختبار على $x^{(N)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0, \dots) \in c_0$ نجد $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$ : أي $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ . وبالعكس، من أجل $\Lambda \in (c_0)'$ نضع $y_n = \Lambda(e_n)$ ؛ وتعطي الاختبارات نفسها أن $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda$ ، ومنه $y \in \ell^1$ ، و $\Lambda = \Lambda_y$ على المتتاليات المنتهية الكثيفة، ومنه في كل مكان. وسلسلة الثنويات: $(c_0)' = \ell^1$ ، $(\ell^1)' = \ell^\infty$ (التمرين 8.10)، $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (الأسئلة 9–11): فتخفق الانعكاسية منذ الخطوة الأولى — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — ولا تتعافى أبدًا.

15. العائلة $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ عائلةٌ من المؤثرات الدالية المحدودة على فضاء باناخ $E'$ (فالثنويات تامة، القضية 8.2)؛ ومن أجل كل $\Lambda \in E'$ ، تتقارب المتتالية $Jx^{(k)}(\Lambda) = \Lambda(x^{(k)})$ ، ومنه فهي محدودة. وتعطي باناخ–شتاينهاوس على $E'$ أن $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$ ، و $J$ تقييسي (الملاحظة 8.8): أي $\sup_k\norm{x^{(k)}} < \infty$ .

16. ( $\Rightarrow$ ) الحد هو السؤال 15؛ والإحداثيات هي المؤثرات الدالية $\Lambda_{e_n}$ . ( $\Leftarrow$ ) ليكن $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$ و $y \in \ell^q$ و $\varepsilon > 0$ ؛ نختار $N$ يحقق $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$ . عندئذٍ

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} + \norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} + (M + \norm x_p)\,\varepsilon,

ويؤول المجموع المنتهي إلى $0$ : أي $\limsup \leq (M + \norm x_p)\varepsilon$ من أجل كل $\varepsilon$ . (وأما أن $x \in \ell^p$ مع $\norm x_p \leq M$ فينتج من حدود المقاطع المنتهية على طريقة فاتو: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ .) ومن أجل $e_k$ في $\ell^2$ : فهي محدودة وإحداثيًا $\to 0$ ، ومنه $e_k \rightharpoonup 0$ ، ومع ذلك $\norm{e_k} = 1$ : أي إن وحدة الكتلة تهرب إلى الأدلّة اللامنتهية، غير مرئية لأي مؤثر دالي مثبَّت.

17. نأخذ $\Lambda$ يحقق $\norm\Lambda = 1$ و $\Lambda(x) = \norm x$ (النتيجة 8.7). عندئذٍ $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} = \liminf\norm{x^{(k)}}$ . (ومع $e_k \rightharpoonup 0$ : $0 \leq \liminf 1$ ، ويمكن أن تكون المتراجحة تامة.)

18. في $\ell^2$ ، $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 = \norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)}, x\rangle + \norm x_2^2$ (وفي الحالة الحقيقية: $-2\langle x^{(k)}, x\rangle$ ). ويعطي التقارب الضعيف المطبَّق على المؤثر الدالي $\Lambda_x$ أن $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm x_2^2$ ، وتتقارب المعايير بالفرضية: ومنه يؤول الطرف الأيمن إلى $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$ . ومثال مضادّ دون تقارب المعايير: $e_k \rightharpoonup 0$ ، $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$ .

19. التقارب الإحداثي: نطبّق المؤثرات الدالية $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ (حيث $y = e_n$ ). وأما البناء: فبعد اختيار $k_{j-1}, N_{j-1}$ ، نختار $k_j > k_{j-1}$ كبيرًا بحيث $\sum_{n \leq N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (لأن الإحداثيات منتهية العدد وكلٌّ منها يحقق $\to 0$ )، ثم $N_j > N_{j-1}$ كبيرًا بحيث يحقق الذيل $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (بتقارب المتسلسلة المعرِّفة للمقدار $\norm{x^{(k_j)}}_1$ ). وعندئذٍ تحمل الكتلة $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ كلَّ كتلة $x^{(k_j)}$ عدا $\frac\delta{10}$ .

20. مع $y$ كما عُرّف ( $\abs{y_n} \leq 1$ في كل مكان):

\langle x^{(k_j)}, y\rangle = \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n} + \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n \geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) - \frac\delta{10} \geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0,

والمتراجحة الوسطى لأن الكتلة خارج الكتلة لا تتجاوز $\frac\delta{10}$ (السؤال 19). لكن $y \in \ell^\infty = (\ell^1)'$ و $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ يفرضان $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$ : وهو تناقض. ومنه فإن المتتاليات المتلاشية ضعيفًا في $\ell^1$ متلاشية بالمعيار، وبالانسحاب تتقارب المتقاربة ضعيفًا بالمعيار: أي مبرهنة شور.

21. لأي متتالية جزئية متقاربة ضعيفًا من $(e_k)$ النهايةُ $0$ (بالإحداثيات)، ومنه حسب شور $\norm{e_{k_j}}_1 \to 0$ — لكن المعايير تساوي $1$ . إذن لا توجد متتالية جزئية متقاربة ضعيفًا، كما وجدنا يدويًا في السؤال 13. ولا مفارقة: فتقول مبرهنة شور إن المتتاليات لا تستطيع التمييز بين الطوبولوجيا الضعيفة والمعيارية في $\ell^1$ (والطوبولوجيتان نفساهما تختلفان فعلًا — فالجوارات الضعيفة ليست محدودة بالمعيار أبدًا)، والتراص الضعيف بالمتتاليات للكرة الواحدية خاصية مختلفة أقوى، تكافئ الانعكاسية (إيبرلاين–شمولْيان، وهي تتجاوز أدواتنا؛ أما الإخفاق فقد برهنّا عليه).

22. الإحصاء.

$E$	$E'$	قابل للفصل	انعكاسي	كرات متراصة ضعيفًا
$c_0$	$\ell^1$	نعم	لا	لا ( $e_1{+}\dots{+}e_k$ )
$\ell^1$	$\ell^\infty$	نعم	لا	لا ( $e_k$ ، س. 21)
$\ell^p$	$\ell^q$	نعم	نعم	نعم (س. 13)
$\ell^\infty$	$\supsetneq\ell^1$	لا	لا	لا

والسمات المميّزة: $c_0$ — ثنويّه المضاعف هو $\ell^\infty$ : أي أول خطوة غير انعكاسية (السؤال 14)؛ و $\ell^1$ — خاصية شور (السؤال 20)؛ و $\ell^p$ — الانعكاسية والتراص الضعيف (السؤالان 7 و 13)؛ و $\ell^\infty$ — عدم القابلية للفصل ونهايات باناخ: أي مؤثرات دالية لا تستطيع أي متتالية تمثيلها (الأسئلة 8 و 10–11). عائلة واحدة من الفضاءات، وأربعة عوالم مختلفة.

23. ليكن $(f_k) \subseteq F$ مع $\norm{x - f_k} \to d$ . عندئذٍ $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x - f_k}$ : أي إنها محدودة، ومنه حسب السؤال 13 توجد متتالية جزئية $f_{k_j} \rightharpoonup f$ . فإذا كان $f \notin F$ ، فإن $\delta = \operatorname{dist}(f, F) > 0$ (لأن $F$ مغلق)؛ وعلى $F \oplus \R f$ يحقق الشكل الخطي $\lambda(g + tf) = t$ العلاقةَ $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ (لأن $\norm{g + tf} \geq \abs t\,\delta$ )، وتمدّده هان–باناخ إلى $\Lambda \in (\ell^p)'$ مع $\Lambda\restriction_F = 0$ و $\Lambda(f) = 1$ ؛ لكن عندئذٍ $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to \Lambda(f) = 1$ : وهو تناقض. إذن $f \in F$ ، ويعطي $x - f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ ، حسب السؤال 17، أن

d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d :

أي إن المسافة مبلوغة عند $f$ . وفي $c_0$ : $\abs{\Lambda(x)} \leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ من أجل كل $x \neq 0$ (لأن متتالية متلاشية غير معدومة لا يمكن أن تحقق $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ من أجل كل $n$ )، بينما تعطي المبتورات $(1, \dots, 1, 0, \dots)$ أن $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$ : ومنه $\norm\Lambda = 1$ ، وهو غير مبلوغ أبدًا. وأما صيغة المسافة: فمن أجل $f \in \ker\Lambda$ لدينا $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)} \leq \norm{x - f}$ ، ومنه $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) \geq \abs{\Lambda(x)}$ ؛ وبالعكس، من أجل $u$ في الكرة الواحدية مع $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$ ، تقع المتجهة $f = x - \frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ في $\ker\Lambda$ مع $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$ : أي التساوي. ولو بلغها $f \in \ker\Lambda$ ما، لحقّق $z = x - f$ الشرطَ $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} = \norm z \neq 0$ ، فيبلغ $\Lambda$ معياره عند $z/\norm z$ : وهذا مستحيل. أي فضاء فائق مغلق في $c_0$ بلا أقرب نقطة في أي موضع — فالانعكاسية لم تكن زخرفة.

24. نضع $y_1 = x^{(1)}$ . وإذا أُعطي $y_1, \dots, y_j$ ، فإن كل تطبيق $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ يؤول إلى $0$ ( $y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$ )، ومنه يوجد $k_{j+1}$ بعد الدليل السابق يحقق $\abs{\langle y_i, x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$ من أجل $i = 1, \dots, j$ ؛ ونسمّي هذا الاختيار $y_{j+1}$ . عندئذٍ

\Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2 = \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2 + 2\sum_{j=2}^m\sum_{i<j}\langle y_i, y_j\rangle \leq mC^2 + 2\sum_{j=2}^m\frac{j-1}j \leq mC^2 + 2m,

وبالقسمة على $m^2$ : $\norm{\frac1m\sum_jy_j}_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \to 0$ . (ومن أجل نهاية ضعيفة $x \neq 0$ ، نطبّق ذلك على $x^{(k)} - x$ .) وعلى العائلة المتعامدة الممنظّمة $(e_k)$ لا نحتاج حتى إلى استخراج: $\norm{\frac1m(e_1 + \dots + e_m)}_2 = \frac{\sqrt m}m = \frac1{\sqrt m}$ . فالمتوسطات تحوّل التقارب الضعيف إلى تقارب بالمعيار: أي خاصية باناخ–ساكس للفضاء $\ell^2$ .

25. $A_mx = \frac1m\sum_{i=0}^{m-1}S^ix$ ، ومنه تعطي الخطية والصمود بالإزاحة أن $L(A_mx) = L(x)$ . ومن أجل أي $u$ محدودة ومن أجل $\varepsilon > 0$ ، نختار $N$ يحقق $u_n \leq \limsup u + \varepsilon$ من أجل $n \geq N$ ؛ وتعطي الإيجابية المطبَّقة على $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ مع $L(S^Nu) = L(u)$ أن $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$ ، وبالتناظر $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$ : ومنه $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ من أجل كل $m$ . وإذا كانت $x$ دورية بالدور $T$ ، فإن $A_Tx$ هي المتتالية الثابتة المساوية متوسط الدور $\mu$ : أي $L(x) = \mu$ من أجل كل نهاية باناخ — $\frac13$ على $(1,0,0,\dots)$ ، و $\frac12$ على $(0,1,0,1,\dots)$ كما في السؤال 12. وأما المتتالية الكتلية: فعند $N = 3^j$ مع $j$ زوجي تكون الكتلة الأخيرة كلها آحادًا، ومنه متوسط تشيزارو $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$ ؛ وعند $N = 3^j$ مع $j$ فردي تقع جميع الآحاد في $\intoc0 {3^{j-1}}$ ، ومنه المتوسط $\leq \frac13$ . ومنه $p(x) \geq \frac23$ و $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n \leq \frac13$ . وعلى $M = c \oplus \R x$ نعرّف $\Lambda_+(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ . وأما الهيمنة بالمقدار $p$ : فمن أجل $t > 0$ ، تعطي التحت خطية أن $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$ ، أي $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (ولاحظ $p(\pm y) = \pm\lim y$ من أجل $y \in c$ : لأن متوسطات تشيزارو لمتتالية متقاربة تتقارب إلى نهايتها)؛ ومن أجل $t = -s < 0$ ، يعطي $p(y) \leq p(y - sx) + p(sx)$ أن $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$ ؛ ومن أجل $t = 0$ يكون هناك تساوٍ. إذن $\Lambda_+ \leq p$ على $M$ ، وتمدّده هان–باناخ إلى $L_+ \leq p$ على $\ell^\infty_\R$ ، وهو نهاية باناخ تمامًا كما في السؤال 10 (فالهيمنة بالمقدار $p$ تعطي الإيجابية والصمود بالإزاحة والقيمة $\lim$ على $c$ )، مع $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$ . ويعطي الحساب نفسه مع $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ (باستعمال $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ من أجل الحالة $t = -s < 0$ ) نهايةَ باناخ $L_-$ تحقق $L_-(x) = -p(-x) \leq \frac13$ . أي نهايتا باناخ، ومتتالية واحدة، وقيمتان: فخارج العالم الدوري (وبصورة أعمّ العالم شبه المتقارب)، تكون نهاية باناخ اختيارًا حقيقيًا.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد