ما معنى طول قوس؟ — الرياضيات

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — العربية সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

تعريف 24.9 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · অধ্যায় 24 — المنحنيات المستوية

طول قوس من الصنف $C^1$ $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ هو تكامل السرعة:

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(والتحفيز: على فترة صغيرة، $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ ، ومنه فالقوس قريب من مضلع تُجمع أطوال قطعه لتعطي مجموع ريمان للمقدار $\norm{f'}$ ، المبرهنة 15.20.) ومن أجل منحن قطبي $r = r(\theta)$ ، يكون للسرعة $r'\vec u + r\vec v$ مركّبتان متعامدتان، ومنه

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

ولا يتعلق الطول بالتعليم المختار (الرتيب، من الصنف $C^1$ ): إذ إن التعويض $t = \varphi(s)$ في التكامل (المبرهنة 15.15) يضرب $f'$ في $\varphi'$ و $\dd t$ في $\varphi'^{-1}$ .

قوس واحد من الدويرية (بنصف قطر R = 1)، والدائرة المتدحرجة عند t = 2، ومستقيما الإرشاد في مسألة نهاية الأسبوع: فالوتر MC إلى نقطة التماس ناظم على المنحني، والوتر MT إلى قمة الدائرة مماس. — قوس واحد من الدويرية (بنصف قطر $R = 1$ )، والدائرة المتدحرجة عند $t = 2$ ، ومستقيما الإرشاد في مسألة نهاية الأسبوع: فالوتر $MC$ إلى نقطة التماس *ناظم* على المنحني، والوتر $MT$ إلى قمة الدائرة *مماس*.

উদাহরণ

مثال 24.10 (تحقق من السلامة: الدائرة)

من أجل $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ على $\intcc{0}{2\pi}$ : $\norm{f'} = R$ ، ومنه $L = 2\pi R$ — فيعيد التعريف المحيط. واختبار إعادة التعليم: يرسم التطبيق $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ على $\intcc{0}{\pi}$ الدائرةَ نفسها بسرعة مضاعفة $\norm{g'} = 2R$ ، و

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

مرة أخرى: نصف الزمن وضِعف السرعة والطول نفسه — وهو الحفظ الموعود به في التعريف، مراقَبًا مرة على أعداد. (وتشغيل $g$ على $\intcc{0}{2\pi}$ كله سيعطي $4\pi R$ : فالمنحني المقطوع مرتين أطول مرتين بوصفه رحلة؛ فالطول يقيس المسار المعلَّم، ومسك الدفاتر الأمين للفترة جزء من الحساب.) ومن أجل النجمية $(\cos^3t, \sin^3t)$ : $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ ، وبالتناظر $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : أي منحني مرسوم داخل الدائرة الواحدية، طوله $6 < 2\pi$ . وتقيس مسألة نهاية الأسبوع أشهر قوس على الإطلاق.

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ