रैखिक रूप क्या है?

उदाहरण 20.18 (एक मूल्यांकन रूप और उसका अधिसमतल)

$\R_2[X]$ पर मूल्यांकन $\varphi(P) = P(2)$ एक रैखिक रूप है, और अशून्य ($\varphi(1) = 1$)। उसकी अष्टि $2$ पर शून्य होने वाले बहुपदों का अधिसमतल है, अर्थात् (गुणनखंड प्रमेय, प्रमेय 8.7) $\R_2[X]$ के भीतर $X - 2$ के गुणज:

$(1, X, X^2)$ पर निर्देशांकों में $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$: परिमित-विमीय समष्टि पर हर रैखिक रूप, आधार नियत होते ही, निर्देशांकों में एक नियत रैखिक व्यंजक होता है — रूप “पंक्ति सदिश” हैं, जैसा अध्याय 21 अक्षरशः बना देगा, और यहाँ गुणांकों की पंक्ति $(1, 2, 4)$ एक वांडरमोंड पंक्ति है: मूल्यांकन रूप ही वे द्वार हैं जिनसे अध्याय 22 की सप्ताहांत समस्या का अंतर्वेशन-सिद्धांत रैखिक बीजगणित में प्रवेश करता है।

उदाहरण 20.20

$K^n$ में अधिसमतल कोई हल-समुच्चय $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ है, जहाँ $a_i$ सब शून्य न हों — $\R^3$ में मूल बिंदु से होकर जाने वाले समतल का वही परिचित समीकरण। फलन समष्टियों में मूल्यांकन रूप $P \mapsto P(1)$ अथवा $f \mapsto \int_0^1 f$ $\R_n[X]$ के, $C(\intcc{0}{1})$ के अधिसमतल परिभाषित करते हैं (अभ्यास 19.6 देखिए)।

उदाहरण 20.21 (एक अधिसमतल, तीन तरीक़ों से)

$\R^3$ पर $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ लीजिए और $H = \ker\varphi$। आधार: $x = 2y - 3z$ हल कीजिए:

दो स्वतंत्र सदिश: $\dim H = 2$, अर्थात् एक अधिसमतल, जैसा प्रमेय 20.19 $\varphi \neq 0$ से बता देता है। पूरक रेखा: $H$ के बाहर का कोई भी सदिश एक रेखा जनित करता है, जैसे $a = (1, 0, 0)$ ($\varphi(a) = 1 \neq 0$); और किसी भी $v$ का विघटन स्पष्ट है:

क्योंकि $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$। अनुपातिता: यदि $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$, तो $\psi = -2\varphi$ और दोनों की अष्टि $H$ है; विलोमतः $H$ पर शून्य होने वाला कोई भी रूप $\varphi$ का गुणज है (अभ्यास 20.8) — अर्थात् अधिसमतल का समीकरण मापन तक अद्वितीय है, और यह तथ्य ज्यामिति में समतलों के लिए निरंतर काम आता है।