¿Qué es forma lineal?

Ejemplo 20.18 (Una forma de evaluación y su hiperplano)

En $\R_2[X]$, la evaluación $\varphi(P) = P(2)$ es una forma lineal no nula ($\varphi(1) = 1$). Su núcleo es el hiperplano de los polinomios que se anulan en $2$, es decir (teorema del factor, Teorema 8.7), los múltiplos de $X - 2$ dentro de $\R_2[X]$:

En coordenadas sobre $(1, X, X^2)$, $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$: toda forma lineal en un espacio de dimensión finita es, una vez fijada una base, una expresión lineal fija en las coordenadas — las formas son «vectores fila», como el Capítulo 21 volverá literal, y la fila de coeficientes de aquí, $(1, 2, 4)$, es una fila de Vandermonde: las formas de evaluación son la puerta por la que entra en el álgebra lineal la teoría de interpolación del problema del fin de semana del Capítulo 22.

Ejemplo 20.20

En $K^n$, un hiperplano es un conjunto de soluciones $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ con los $a_i$ no todos nulos — la conocida ecuación de un plano que pasa por el origen en $\R^3$. En los espacios de funciones, las formas de evaluación $P \mapsto P(1)$ o $f \mapsto \int_0^1 f$ definen hiperplanos de $\R_n[X]$ y de $C(\intcc{0}{1})$ (cf. Ejercicio 19.6).

Ejemplo 20.21 (Un hiperplano, trabajado de tres maneras)

Tómense $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ en $\R^3$ y $H = \ker\varphi$. Base: resuélvase $x = 2y - 3z$:

dos vectores libres: $\dim H = 2$, un hiperplano, como predice el Teorema 20.19 a partir de $\varphi \neq 0$. Recta suplementaria: cualquier vector fuera de $H$ genera una, por ejemplo $a = (1, 0, 0)$ ($\varphi(a) = 1 \neq 0$); y la descomposición de un $v$ arbitrario es explícita:

ya que $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$. Proporcionalidad: si $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$, entonces $\psi = -2\varphi$ y las dos tienen núcleo $H$; recíprocamente, toda forma que se anule en $H$ es múltiplo de $\varphi$ (Ejercicio 20.8) — la ecuación de un hiperplano es única salvo escala, hecho que se usa constantemente para los planos en geometría.