Qu'est-ce que « forme linéaire » ?

Exemple 20.18 (Une forme d’évaluation et son hyperplan)

Sur $\R_2[X]$, l’évaluation $\varphi(P) = P(2)$ est une forme linéaire, non nulle ($\varphi(1) = 1$). Son noyau est l’hyperplan des polynômes s’annulant en $2$, c’est-à-dire (théorème de factorisation, Théorème 8.7) les multiples de $X - 2$ à l’intérieur de $\R_2[X]$ :

En coordonnées dans la base $(1, X, X^2)$, $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$ : toute forme linéaire sur un espace de dimension finie est, une fois une base fixée, une expression linéaire fixe en les coordonnées — les formes sont des « vecteurs lignes », ce que le Chapitre 21 rendra littéral, et la ligne de coefficients obtenue ici, $(1, 2, 4)$, est une ligne de Vandermonde : les formes d’évaluation sont la porte par laquelle la théorie de l’interpolation du devoir maison du Chapitre 22 entre en algèbre linéaire.

Exemple 20.20

Dans $K^n$, un hyperplan est un ensemble de solutions $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ avec les $a_i$ non tous nuls — l’équation familière d’un plan passant par l’origine dans $\R^3$. Dans les espaces de fonctions, les formes d’évaluation $P \mapsto P(1)$ ou $f \mapsto \int_0^1 f$ définissent des hyperplans de $\R_n[X]$, de $C(\intcc{0}{1})$ (cf. Exercice 19.6).

Exemple 20.21 (Un hyperplan, traité de trois façons)

Prenons $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ sur $\R^3$ et $H = \ker\varphi$. Base : résolvons $x = 2y - 3z$ :

deux vecteurs libres : $\dim H = 2$, un hyperplan, comme le Théorème 20.19 le prédit à partir de $\varphi \neq 0$. Droite supplémentaire : tout vecteur hors de $H$ en engendre une, par exemple $a = (1, 0, 0)$ ($\varphi(a) = 1 \neq 0$) ; la décomposition d’un $v$ arbitraire est explicite :

puisque $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$. Proportionnalité : si $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$, alors $\psi = -2\varphi$ et toutes deux ont pour noyau $H$ ; réciproquement, toute forme s’annulant sur $H$ est un multiple de $\varphi$ (Exercice 20.8) — l’équation d’un hyperplan est unique à un scalaire près, fait utilisé constamment pour les plans en géométrie.