O que é forma linear?

Exemplo 20.18 (Uma forma de avaliação e o seu hiperplano)

Em $\R_2[X]$, a avaliação $\varphi(P) = P(2)$ é uma forma linear, não nula ($\varphi(1) = 1$). O seu núcleo é o hiperplano dos polinômios que se anulam em $2$, isto é (teorema do fator, Teorema 8.7), os múltiplos de $X - 2$ dentro de $\R_2[X]$:

Em coordenadas na base $(1, X, X^2)$, $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$: toda forma linear num espaço de dimensão finita é, uma vez fixada uma base, uma expressão linear fixa nas coordenadas — as formas são “vetores linha”, como o Capítulo 21 tornará literal, e a linha de coeficientes aqui, $(1, 2, 4)$, é uma linha de Vandermonde: as formas de avaliação são o modo como a teoria da interpolação do problema de fim de semana do Capítulo 22 entra na álgebra linear.

Exemplo 20.20

Em $K^n$, um hiperplano é um conjunto de soluções $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ com nem todos os $a_i$ nulos — a familiar equação de um plano pela origem em $\R^3$. Em espaços de funções, formas de avaliação como $P \mapsto P(1)$ ou $f \mapsto \int_0^1 f$ definem hiperplanos de $\R_n[X]$ e de $C(\intcc{0}{1})$ (cf. o Exercício 19.6).

Exemplo 20.21 (Um hiperplano, trabalhado de três maneiras)

Tome $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ em $\R^3$ e $H = \ker\varphi$. Base: resolva $x = 2y - 3z$:

dois vetores livres: $\dim H = 2$, um hiperplano, como o Teorema 20.19 prevê a partir de $\varphi \neq 0$. Reta suplementar: qualquer vetor fora de $H$ gera uma, por exemplo $a = (1, 0, 0)$ ($\varphi(a) = 1 \neq 0$); a decomposição de um $v$ arbitrário é explícita:

pois $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$. Proporcionalidade: se $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$, então $\psi = -2\varphi$ e ambas têm núcleo $H$; reciprocamente, toda forma que se anula em $H$ é um múltiplo de $\varphi$ (o Exercício 20.8) — a equação de um hiperplano é única a menos de escala, fato usado constantemente para planos em geometria.