Wat is lineaire vorm?

Voorbeeld 20.18 (Een evaluatievorm en haar hypervlak)

Op $\R_2[X]$ is de evaluatie $\varphi(P) = P(2)$ een lineaire vorm, ongelijk aan nul ($\varphi(1) = 1$). Haar kern is het hypervlak van de veeltermen die in $2$ nul worden, dat wil zeggen (factorstelling, Stelling 8.7) de veelvouden van $X - 2$ binnen $\R_2[X]$:

In coördinaten op $(1, X, X^2)$ is $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$: elke lineaire vorm op een eindigdimensionale ruimte is, zodra een basis is vastgelegd, een vaste lineaire uitdrukking in de coördinaten — vormen zijn “rijvectoren”, zoals Hoofdstuk 21 letterlijk zal maken, en de rij coëfficiënten hier, $(1, 2, 4)$, is een rij van Vandermonde: evaluatievormen zijn de manier waarop de interpolatietheorie van de weekendopgave van Hoofdstuk 22 de lineaire algebra binnenkomt.

Voorbeeld 20.20

In $K^n$ is een hypervlak een oplossingsverzameling $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ met niet alle $a_i$ nul — de vertrouwde vergelijking van een vlak door de oorsprong in $\R^3$. In functieruimten definiëren evaluatievormen $P \mapsto P(1)$ of $f \mapsto \int_0^1 f$ hypervlakken van $\R_n[X]$ en van $C(\intcc{0}{1})$ (vergelijk Oefening 19.6).

Voorbeeld 20.21 (Eén hypervlak, op drie manieren behandeld)

Neem $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ op $\R^3$ en $H = \ker\varphi$. Basis: los $x = 2y - 3z$ op:

twee vrije vectoren: $\dim H = 2$, een hypervlak, zoals Stelling 20.19 uit $\varphi \neq 0$ voorspelt. Complementaire rechte: elke vector buiten $H$ spant er een op, bijvoorbeeld $a = (1, 0, 0)$ ($\varphi(a) = 1 \neq 0$); de ontbinding van een willekeurige $v$ is expliciet:

want $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$. Evenredigheid: is $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$, dan is $\psi = -2\varphi$ en hebben beide de kern $H$; omgekeerd is elke vorm die op $H$ nul wordt een veelvoud van $\varphi$ (Oefening 20.8) — de vergelijking van een hypervlak is op een schaalfactor na eenduidig, een feit dat voor vlakken in de meetkunde voortdurend wordt gebruikt.