Apa itu bentuk linear?

Contoh 20.18 (Sebuah bentuk penilaian dan hiperbidangnya)

Pada $\R_2[X]$, penilaian $\varphi(P) = P(2)$ merupakan bentuk linear yang taknol (karena $\varphi(1) = 1$). Adapun kernelnya adalah hiperbidang berisi polinomial yang lenyap di $2$, yakni (menurut teorema faktor, Teorema 8.7) kelipatan $X - 2$ di dalam $\R_2[X]$:

Dalam koordinat pada $(1, X, X^2)$, $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$: jadi setiap bentuk linear pada ruang yang berdimensi hingga, begitu sebuah basis ditetapkan, merupakan ungkapan linear yang tetap dalam koordinatnya — sehingga bentuknya menjadi “vektor baris”, sebagaimana Bab 21 akan membuatnya harfiah, dan baris koefisien di sini, $(1, 2, 4)$, merupakan baris Vandermonde: jadi bentuk penilaian adalah cara teori interpolasi pada soal akhir pekan Bab 22 masuk ke aljabar linear.

Contoh 20.20

Di dalam $K^n$, sebuah hiperbidang merupakan himpunan penyelesaian $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ dengan tak semua $a_i$ nol — yaitu persamaan yang dikenal bagi sebuah bidang lewat titik asal di $\R^3$. Adapun pada ruang fungsi, bentuk penilaian $P \mapsto P(1)$ atau $f \mapsto \int_0^1 f$ mendefinisikan hiperbidang $\R_n[X]$, dan $C(\intcc{0}{1})$ (bandingkan Latihan 19.6).

Contoh 20.21 (Satu hiperbidang, yang dikerjakan tiga cara)

Ambillah $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ pada $\R^3$ dan $H = \ker\varphi$. Basisnya: pecahkanlah $x = 2y - 3z$:

yaitu dua vektor yang bebas: sehingga $\dim H = 2$, jadi sebuah hiperbidang, sebagaimana diramalkan Teorema 20.19 dari $\varphi \neq 0$. Garis pelengkapnya: sebarang vektor di luar $H$ merentangnya, misalnya $a = (1, 0, 0)$ (karena $\varphi(a) = 1 \neq 0$); dan penguraian sebarang $v$ bersifat eksplisit:

karena $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$. Kesebandingannya: jika $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$, maka $\psi = -2\varphi$ dan keduanya berkernel $H$; sebaliknya, sebarang bentuk yang lenyap pada $H$ merupakan kelipatan $\varphi$ (Latihan 20.8) — jadi persamaan sebuah hiperbidang tunggal sampai skalanya, yaitu fakta yang terus-menerus dipakai bagi bidang dalam geometri.