القوى، رتبة عنصر কী?

مثال 7.15

في $(\C^*, \times)$: رتبة $\iu$ هي $4$، مع $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$؛ وبعمومية أكبر، رتبة $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ هي $n$ و$\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. وفي $(\Z, +)$، لكل $x \neq 0$ رتبة لا نهائية. ولماذا تصحّ الدعاوى الواردة في التعريف: إذا كانت رتبة $x$ هي $m$، فاقسم أيّ $k$ على $m$ (أي $k = mq + r$ حيث $0 \leq r < m$، المبرهنة 6.2): عندئذ $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$، فتدور القوى بدور $m$، وتكون العناصر المسرودة متمايزة مثنى مثنى بأصغرية $m$، ويفرض $x^k = e$ أن $r = 0$. وتُحسب رتب التبديلات في مسألة نهاية الأسبوع أدناه.

مثال 7.16 (الرتب داخل $\mathbb U_{12}$)

ما رتبة $\omega^k$ في $\mathbb U_n$، من أجل $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$؟ لدينا $(\omega^k)^m = 1$ إذا وفقط إذا كان $n \mid km$، و بكتابة $d = \gcd(n, k)$ و $n = dn'$ و $k = dk'$ حيث $\gcd(n', k') = 1$: يكون $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (بمبرهنة غاوس المساعدة، المبرهنة 6.8). وأصغر $m \geq 1$ كهذا هو $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. ففي $\mathbb U_{12}$ مثلًا، رتبة $\omega^8$ هي $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (وبالفعل $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$)، بينما رتبة $\omega^5$ هي $12$: فهو يولّد الزمرة كلها، وإن لم يكن المولّد «المعياري». وعدّ المولّدات — أي الأعداد $k$ التي تحقق $\gcd(k, n) = 1$ — يستعيد عدّ الأعداد الأولية فيما بينها في المثال 2.25: فتلتقي نظرية الزمر بالعدّ.

مثال 7.6 (تناظرات المستطيل)

يقبل المستطيل (غير المربع) أربعة تقايسات على نفسه بالضبط: التطبيق المطابق $e$، والتناظر بالنسبة إلى المحور الأفقي $h$، والتناظر بالنسبة إلى المحور العمودي $v$، ونصف الدورة $r$ حول المركز. ويجعل التركيب هذه المجموعة الرباعية زمرة: فكل عنصر مقلوب نفسه ($h^2 = v^2 = r^2 = e$)، ويكون جداء أيّ عنصرين متمايزين غير محايدين هو الثالث ($hv = vh = r$: فالتناظر بالنسبة إلى المحورين هو نصف الدورة). و الجدول الكامل متناظر، فالزمرة تبديلية — ومع ذلك فهي ليست الزمرة نفسها التي هي زمرة الدورانات $\mathbb U_4$ في المثال 7.15: فهناك رتبة $\iu$ تساوي $4$، بينما هنا رتبة كل عنصر $\leq 2$. فزمرتان لهما الحجم نفسه قد يكون لهما بنيتا ضرب مختلفتان حقًّا — ويعرض الرسم أدناه الجدولين جنبًا إلى جنب. وتعود هذه الزمرة الرباعية في صورة $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$، ويشرح التمرين 7.7 لماذا يجب على أيّ زمرة كل مربعاتها محايدة أن تكون، مثل هذه، تبديلية.