ما معنى فضاء احتمالي؟

مثال 22.2

القوانين المعيارية وتحويلاتها الجديرة بالذكر: برنولي $\mathcal B(p)$، والثنائي $\mathcal B(n, p)$، والهندسي، وبواسون $\mathcal P(\lambda)$ (وهي متقطّعة: وتبقى جداول السنة الجامعية 2 صحيحة)؛ والمنتظم على $\intcc01$ (أي قياس لوبيغ نفسه)؛ والأُسّي $\mathcal E(\lambda)$ (بكثافة $\lambda\eu^{-\lambda x}\mathbf 1_{x>0}$)؛ والقانون الغاوسي $\mathcal N(m, \sigma^2)$ بكثافة $\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\bigl(-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2}\bigr)$ — وهي كثافة احتمالية حسب المسألة 10.1، بمتوسط $m$ وتباين $\sigma^2$ (العزوم الغاوسية، التمرين 11.10).

مثال 22.14 (ما يشتريه القانون القوي)

(a) التواترات: من أجل رميات قطعة نقدية مستقلة متماثلة التوزيع، يتقارب التواتر المرصود للوجه شبه أكيد إلى $p$ — أي التبرير التجريبي للاحتمال نفسه. (b) مونتي كارلو: من أجل $g \in L^1(\intcc01)$ ومن أجل $(U_n)$ مستقلة متماثلة منتظمة (المبرهنة 22.6)، $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$ شبه أكيد: أي التكاملات بالمعاينة، في أي بُعد، بالمعدل المستقل عن البُعد $\sim n^{-1/2}$ المضبوط في الفصل 23. (c) الأعداد الناظمية: لكل عدد حقيقي تقريبًا، في نشره الثنائي، تواترٌ مقارب $\frac12$ من الآحاد (بتطبيق القانون القوي على متغيّرات الأرقام في المبرهنة 22.6) — أي مبرهنة بوريل، وهي عبارة عن أعداد كل يوم مبرهَنٌ عليها بالقياس: ويكملها المسألة 22.1 في جميع الأسس.