O que é espaço de probabilidade?

Exemplo 22.2

As leis padrão e suas transformadas notáveis: Bernoulli $\mathcal B(p)$, binomial $\mathcal B(n, p)$, geométrica, Poisson $\mathcal P(\lambda)$ (discretas: as tabelas do segundo ano continuam válidas); uniforme em $\intcc01$ (a própria medida de Lebesgue); exponencial $\mathcal E(\lambda)$ (densidade $\lambda\eu^{-\lambda x}\mathbf 1_{x>0}$); e a gaussiana $\mathcal N(m, \sigma^2)$, de densidade $\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\bigl(-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2}\bigr)$ — uma densidade de probabilidade pelo Problema 10.1, de média $m$ e variância $\sigma^2$ (momentos gaussianos, Exercício 11.10).

Exemplo 22.14 (O que a lei forte compra)

(a) Frequências: para lançamentos de moeda i.i.d., a frequência observada de caras converge q.c. a $p$ — a justificativa empírica da própria probabilidade. (b) Monte Carlo: para $g \in L^1(\intcc01)$ e $(U_n)$ i.i.d. uniformes (Teorema 22.6), $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$ q.c.: integrais por amostragem, em qualquer dimensão, à taxa $\sim n^{-1/2}$ independente da dimensão, tornada precisa no Capítulo 23. (c) Números normais: quase todo número real tem, em sua expansão binária, frequência assintótica $\frac12$ de uns (aplique a lei forte às variáveis dígito do Teorema 22.6) — o teorema de Borel, uma afirmação sobre os números de todo dia demonstrada por medida; o Problema 22.1 a completa em todas as bases.