9نظرية القياس

حل التمرين 9.1.

(a) يبادل أخذُ المتمم بين الحالتين المعرِّفتين. واتحاد قابل للعدّ لمجموعات قابلة للعدّ قابلٌ للعدّ؛ وإذا كان أحد العناصر متممُه قابل للعدّ، كان الاتحاد متممُه قابلًا للعدّ: فالصمود يتحقق. وهي تحتوي على المجموعات الأحادية، وكل جبر من النمط $\sigma$ يحتوي عليها يحتوي على جميع المجموعات القابلة للعدّ (بالاتحادات القابلة للعدّ) وعلى متمماتها: أي إنه $\sigma(\{\text{مجموعات أحادية}\})$.

(b) نكتب $\mathcal B = \sigma(\text{المفتوحات})$. وكل جزء مفتوح من $\R$ اتحادٌ قابل للعدّ لفترات مفتوحة ذات أطراف ناطقة (فحول كل نقطة ناطقة من المفتوحة يوجد فترة نصف قطرها ناطق داخلها)، ومنه فالمفتوحات $\in \sigma(\text{فترات مفتوحة}) \subseteq \sigma(\text{معطيات ناطقة})$. والتحويلات: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a + \frac1n}{b - \frac1n}$؛ $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a - \frac1n}{b + \frac1n}$؛ $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n \intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ وبالعكس $\intoo ab = \intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$؛ والأشعة الناطقة: $\intoc{-\infty}a = \bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$. وتولّد كل عائلة الأخريات بعمليات قابلة للعدّ: فالعائلات الأربع كلها تولّد $\mathcal B$.

(c) بالأطراف المنتهية وحدها، لا تكون العائلة حتى جبرًا: فمتمم $\intoc01$ يحتوي على أشعة غير محدودة. وبالسماح بأطراف لامنتهية ($\intoc{-\infty}b$، $\intoo a{+\infty}$) تصير جبرًا (لأن متممات هذه الاتحادات واتحاداتها المنتهية من النوع نفسه)، لكنها ليست جبرًا من النمط $\sigma$: فإن $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ ليست اتحادًا منتهيًا لفترات غير متلاشية.

حل التمرين 9.2.

(a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$، ومنه $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (والانتهاء يسمح بالطرح). وأما من أجل ثلاث مجموعات: فنطبّق صيغة المجموعتين مرتين،

(والمجاميع على مجموعات الأدلّة الواضحة).

(b) من أجل قياس لوبيغ، $A_n = [n, +\infty) \downarrow \varnothing$، لكن $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$.

(c) تقع نقطة في فترة طولها $\varepsilon$: ومنه $\lambda(\{x\}) = 0$؛ وتقضي التحت جمعية القابلة للعدّ على المجموعات القابلة للعدّ. ومنه $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$، وبالجمعية $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$: أي إن الأعداد الصمّاء تحمل الطول كله.

حل التمرين 9.3.

تشكّل الأشعة $\intoc{-\infty}t$ نظامًا من النمط $\pi$ (لأن تقاطع اثنين منها هو الأصغر) يولّد $\mathcal B(\R)$ (التمرين 9.1). والمجموعات $P_k = \intoc{-\infty}k$ تتزايد إلى $\R$ مع $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$: ومنه تنطبق المبرهنة 9.7، ويكون $\mu = \nu$ على $\mathcal B(\R)$. ومن ثَمّ تحدّد دالةُ التوزيع القياسَ.

حل التمرين 9.4.

من أجل كل $N$، $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$، ومنه $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$، وهو ذيل متسلسلة متقاربة: فنجعل $N \to \infty$. تطبيق: بوضع $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ (حيث $r_n$ العدد الناطق النوني)، يكون $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ قابلًا للجمع: ومنه $\lambda(\limsup A_n) = 0$، أي إن كل $x$ تقريبًا ينتمي إلى عدد منتهٍ فقط من المجموعات $A_n$. (ومع ذلك فكل $x$ نهايةٌ لأعداد ناطقة: والمهم هو السرعة $4^{-n}$.)

حل التمرين 9.5.

المجموعة $K = \bigcap K_n$ تقاطعٌ لاتحادات منتهية من الفترات المغلقة: ومنه فهي متراصة. وعند المرحلة $n$ يبقى $2^n$ فترةً طول كلٍّ منها $\ell_n \leq 2^{-n}$ (لأن كل مرحلة تنصّف وتقلّص)؛ وأي فترة $I \subseteq K$ ستقع داخل فترة واحدة من فترات المرحلة $n$ من أجل كل $n$، وهذا يفرض $\ell(I) = 0$: أي إن الداخل خالٍ. والقياس المنزوع هو $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot 4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$، وجميع المنزوعات فترات مفتوحة منفصلة: ومنه $\lambda(K) = \frac12$.

نسخة أخرى: نزع فترات مركزية طولها $\varepsilon 4^{-n}$ يترك متراصًّا غير كثيف في أي مكان $K^{(\varepsilon)}$ قياسه $1 - \frac\varepsilon2$. وعندئذٍ تكون $\bigcup_m K^{(1/m)}$ هزيلةً (بوصفها اتحادًا قابلًا للعدّ لمجموعات غير كثيفة في أي مكان) وقياسها $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$: أي مجموعة هزيلة ذات قياس كامل — ويكون متممها في $\intoo01$ مجموعةً $G_\delta$ كثيفة قياسها $0$ (سمينة طوبولوجيًا، معدومة متريًا). ومتمم $K^{(\varepsilon)}$ في $\intoo01$ مفتوح وكثيف وقياسه $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$.

حل التمرين 9.6.

بقطع $\intoc01$ إلى $2^n$ انسحابًا للفترة $\intoc0{2^{-n}}$: نجد $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$، ومنه $\mu(\intoc0{2^{-n}}) = c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$. وبالصمود بالانسحاب والجمعية، يكون $\mu = c\lambda$ على كل فترة $\intoc ab$ يكون فيها $b - a$ عددًا ناطقًا ثنائيًا ومن أجل أي $a$؛ وأي فترة عامة $\intoc ab$ اتحادٌ متزايد لفترات كهذه (بخطوات ثنائية $b_k \uparrow b$ انطلاقًا من $a$)، ويمدّد الاتصال من الأسفل التساوي. وتشكّل الفترات $\intoc ab$ نظامًا من النمط $\pi$ يولّد $\mathcal B(\R)$، مع $\intoc{-k}k \uparrow \R$ ذات قياس منتهٍ ($\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$): ومنه تعطي المبرهنة 9.7 أن $\mu = c\lambda$ على $\mathcal B(\R)$.

حل التمرين 9.7.

بالانتظام (المبرهنة 9.13) نختار $K \subseteq A \subseteq U$ حيث $K$ متراصة و $U$ مفتوحة و $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (والتقريبان كلاهما في حدود $\varepsilon/2$، و $\lambda(U \setminus K) = \lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$). نكتب $U$ اتحادًا قابلًا للعدّ منفصلًا لفترات مفتوحة $(I_n)$ (وهي مركّبات المفتوحة)؛ ويغطّي عددٌ منتهٍ منها المتراصَّ $K$، أي $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq U$. عندئذٍ $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq U\setminus K$ و $B \setminus A \subseteq U \setminus A \subseteq U\setminus K$: ومنه $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — ونبدأ من $\varepsilon/2$ لننتهي دون $\varepsilon$.

حل التمرين 9.8.

باستبدال $A \cap [-M, M]$ ذات القياس الموجب بالمجموعة $A$ (وثمة $M$ يفي بالغرض، بالاتصال من الأسفل)، نفترض $0 < \lambda(A) < \infty$. نأخذ $U \supseteq A$ مفتوحة تحقق $\lambda(U) < \frac43\lambda(A)$ ونفكّك $U = \bigsqcup_nI_n$ إلى فترات مفتوحة منفصلة: $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap I_n)$. فلو كان لكل $n$ الشرطُ $\lambda(A\cap I_n) \leq \frac34\ell(I_n)$، لأعطى الجمع أن $\lambda(A) \leq \frac34\lambda(U) < \lambda(A)$: ومنه توجد فترة $I$ تحقق $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$. نضع $B = A \cap I$ ولنأخذ $\abs t < \frac12\ell(I)$: فتقع كلٌّ من $B$ و $B + t$ في الفترة $I \cup (I + t)$، وطولها $< \frac32\ell(I)$. ولو كانتا منفصلتين: لتجاوز $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B) > \frac32\ell(I)$ قياسَ الفترة الحاوية — وهذا مستحيل. إذن $B \cap (B + t) \neq \varnothing$: أي إن عنصرًا $x \in B$ يُكتب $x = y + t$ حيث $y \in B$، ومنه $t = x - y \in A - A$. ومن ثَمّ $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A - A$.

حل التمرين 9.9.

تُجزّئ انسحابات فيتالي $(V + q)_{q\in\Q}$ المجموعةَ $\R$ (لأن كل عدد حقيقي مكافئ لممثّل واحد بالضبط). ولنفترض أن جميع المجموعات $B_q = A \cap (V + q)$ قابلة للقياس. فأي عنصرين من $V + q$ يختلفان بعدد أصمّ أو بالصفر (لأن ممثّلين متمايزين غير متكافئين)، ومنه فإن $B_q - B_q$ لا يلاقي $\Q$ إلا في $\{0\}$: أي إنه لا يحتوي على أي فترة، وتفرض مبرهنة شتاينهاوس (التمرين 9.8) أن $\lambda(B_q) = 0$. وعندئذٍ $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$، وهذا يناقض $\lambda(A) > 0$. إذن إحدى المجموعات $B_q \subseteq A$ غير قابلة للقياس.

حل التمرين 9.10.

قابلة للقياس $\Rightarrow$ التقريب في حدود $\varepsilon$: بالانتظام الخارجي (المبرهنة 9.13) نختار مفتوحة $U \supseteq A$ تحقق $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$؛ وتسمح القابلية للقياس بالطرح $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq \varepsilon$. صيغة $\varepsilon$ $\Rightarrow$ صيغة $G_\delta$: نأخذ $U_n$ تحقق $\lambda^*(U_n\setminus A) < \frac1n$ و $G = \bigcap U_n$: فنحصل على مجموعة $G_\delta$ تحقق $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$. صيغة $G_\delta$ $\Rightarrow$ قابلة للقياس: إن $G\setminus A$ معدومة بالمعنى $\lambda^*$، ومنه فهي قابلة للقياس بالتمام (المبرهنة 9.9)، وتكون $A = G \setminus (G\setminus A)$ قابلة للقياس (لأن $G$ بوريلية). إذن مجموعات لوبيغ هي بالضبط «بوريل بترديد المعدومة القياس».

حل التمرين 9.11.

(a) المجموعة $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ اتحادٌ متزايد للمجموعات $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$، ومنه $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ (بالاتصال من الأسفل)؛ و $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$، ونهايتها $\liminf\mu(A_n)$. وأما من أجل $\limsup$: فنطبّق الأمر نفسه على المتممات داخل المحيط ذي القياس المنتهي $U = \bigcup A_n$ — إذ يتطلب الاتصال من الأعلى على المجموعات المتناقصة $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ أن يكون $\mu(C_1) \leq \mu(U) < \infty$، ويعطي $\mu(\limsup A_n) = \lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$.

(b) الفترة المتحرّكة $A_n = \intcc n{n+1}$: فكل نقطة تنتمي إلى مجموعتين من $A_n$ على الأكثر ولا تنتمي إلى أي منها في نهاية المطاف، ومنه $\limsup A_n = \varnothing$؛ ومع ذلك $\mu(A_n) = 1$. إذن $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$: فدون غلاف ذي قياس منتهٍ تخفق المتراجحة الثانية في (a) — إذ تهرب الكتلة إلى اللانهاية، حيث لا تستطيع أي مجموعة مثبَّتة أن تمسكها.