ما معنى المماس؟ — الرياضيات

تعريف 22.2 رياضيات المرحلة الثانوية · الفصل 22 — الاشتقاق والتحدب

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، فإن المماس لمنحنى $f$ عند النقطة $(a, f(a))$ هو المستقيم ذو المعادلة

y = f(a) + f'(a)(x - a).

لما يتناقص h، يدور القاطع المار بالنقطتين A = (a, f(a)) و (a+h, f(a+h)) (بالبرتقالي) نحو المماس عند A (بالأحمر): إذ يؤول ميله f(a+h)-f(a)/h إلى f'(a). — لما يتناقص $h$ ، يدور القاطع المار بالنقطتين $A = (a, f(a))$ و $(a+h, f(a+h))$ (بالبرتقالي) نحو المماس عند $A$ (بالأحمر): إذ يؤول ميله $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ إلى $f'(a)$ .

أمثلة

مثال 22.14

من أجل $f(x) = x^3$ يكون $f''(x) = 6x$ : فتكون $f$ مقعرة على $\intoc{-\infty}{0}$ ، ومحدبة على $\intco{0}{+\infty}$ ، مع نقطة انعطاف عند المبدأ، حيث يقطع المنحنى مماسه (وهو المحور $x$ ).

مثال 22.15 (متراجحات التحدب)

الدالة الأسية محدبة على $\R$ (فمشتقتها الثانية هي نفسها، وهي موجبة). ومماسها عند $0$ هو $y = 1 + x$ ، إذن

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{من أجل كل } x \in \R .

ومثل هذه المتراجحات المماسية ناتج معياري من نواتج التحدب.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة