O que é Reta tangente? — Matemática

Definição 22.2 Matemática do ensino médio · Capítulo 22 — Derivadas e convexidade

Se $f$ é derivável em $a$ , a tangente à curva de $f$ no ponto $(a, f(a))$ é a reta de equação

y = f(a) + f'(a)(x - a).

À medida que h diminui, a secante por A = (a, f(a)) e (a+h, f(a+h)) (laranja) gira rumo à tangente em A (vermelha): seu coeficiente angular f(a+h)-f(a)/h tende a f'(a). — À medida que $h$ diminui, a secante por $A = (a, f(a))$ e $(a+h, f(a+h))$ (laranja) gira rumo à tangente em $A$ (vermelha): seu coeficiente angular $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tende a $f'(a)$ .

Exemplos

Exemplo 22.14

$f(x) = x^3$ tem $f''(x) = 6x$ : $f$ é côncava em $\intoc{-\infty}{0}$ , convexa em $\intco{0}{+\infty}$ , com ponto de inflexão na origem, onde a curva atravessa sua tangente (o eixo $x$ ).

Exemplo 22.15 (Desigualdades de convexidade)

A exponencial é convexa em $\R$ (sua segunda derivada é ela mesma, positiva). Sua tangente em $0$ é $y = 1 + x$ , de modo que

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{para todo } x \in \R .

Essas desigualdades da reta tangente são um produto padrão da convexidade.

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