¿Qué es Recta tangente? — Matemáticas

Definición 22.2 Matemáticas de secundaria · Capítulo 22 — Derivación y convexidad

Si $f$ es derivable en $a$ , la tangente a la curva de $f$ en el punto $(a, f(a))$ es la recta de ecuación

y = f(a) + f'(a)(x - a).

A medida que h disminuye, la recta secante que pasa por A = (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)) (en naranja) gira hacia la tangente en A (en rojo): su pendiente f(a+h)-f(a)/h tiende a f'(a). — A medida que $h$ disminuye, la recta secante que pasa por $A = (a, f(a))$ y $(a+h, f(a+h))$ (en naranja) gira hacia la tangente en $A$ (en rojo): su pendiente $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tiende a $f'(a)$ .

Ejemplos

Ejemplo 22.14

$f(x) = x^3$ tiene $f''(x) = 6x$ : $f$ es cóncava en $\intoc{-\infty}{0}$ y convexa en $\intco{0}{+\infty}$ , con un punto de inflexión en el origen, donde la curva atraviesa su tangente (el eje $x$ ).

Ejemplo 22.15 (Desigualdades por convexidad)

La exponencial es convexa en $\R$ (su derivada segunda es ella misma, que es positiva). Su tangente en $0$ es $y = 1 + x$ , así que

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{para todo } x \in \R .

Estas desigualdades de la recta tangente son un producto habitual de la convexidad.

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Ejemplos

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