¿Qué es cambio de base? — Matemáticas

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Definición 21.8 Matemáticas universitarias — Grado 1 · অধ্যায় 21 — Matrices

Sean $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ bases de $E$ . La matriz de cambio de base $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la base nueva en la base antigua. Es invertible, $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$ , y las coordenadas se transforman por $X = PX'$ (antiguas $=$ $P\,\cdot$ nuevas).

উদাহরণ

Ejemplo 21.9 (Leer la matriz de cambio de base)

En $\R^2$ , de la canónica $\mathcal B$ a $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}

(los vectores nuevos escritos en coordenadas antiguas, columna a columna). El vector de coordenadas antiguas $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ tiene coordenadas nuevas $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$ : en efecto, $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$ . Ojo con el sentido — la matriz $P$ se construye con la base nueva pero convierte de nuevas a antiguas las coordenadas ( $X = PX'$ ); pasar de antiguas a nuevas cuesta la inversa. Escribir la comprobación $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ tras cada conversión atrapa el error de invertir $P$ , que es el fallo más frecuente del capítulo.

Ejemplo 21.11 (Una buena base vuelve transparente una aplicación)

Sea $u(x, y) = (y, x)$ (el intercambio), con matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ en la base canónica. En la base $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

En realidad no hacía falta ningún producto de matrices: $u$ deja fijo $(1,1)$ e invierte $(1,-1)$ , así que en $\mathcal B'$ su matriz tiene que ser $\operatorname{diag}(1, -1)$ — el intercambio es la reflexión respecto de la recta $y = x$ . Hallar, para un endomorfismo dado, una base en la que su matriz sea diagonal es el problema central del volumen del segundo año (la teoría de reducción); y el problema del fin de semana de más abajo muestra hasta dónde llegan ya las solas identidades polinómicas.

Ejemplo 21.12 (Cambio de base, al revés)

La proyección sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ tiene, en la base adaptada $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$ , la matriz transparente $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$ . Para obtener su matriz en la base canónica, ejecútese al revés el Teorema 21.10, $A = P A' P^{-1}$ :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

Comprobación: $A^2 = A$ (idempotente), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$ y $A\binom{1}{1} = \binom11$ , $A\binom{1}{-1} = 0$ , como se prescribió. Este sentido inverso —diséñese la matriz en la base buena y conjúguese después de vuelta— es como se producen en la práctica las matrices de rotación, de reflexión y de proyección.

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