coeficientes de Fourier কী?

Ejemplo 14.3 (La mejor aproximación, medida)

¿Con qué precisión aproximan los polinomios trigonométricos de grado bajo a la señal en diente de sierra $f(t) = t$ (sobre $\intoo{-\pi}{\pi}$) en media cuadrática? Por la Proposición 14.2, la mejor aproximación de grado $N$ es $S_N(f)$, con error cuadrático

Aquí $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$, y de $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Ejemplo 14.12) resulta $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$. Por tanto,

para $N = 1, 2, 3, 4$: decreciente, pero despacio; la cola $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ la gobierna el lento decaimiento $\frac1n$ de los coeficientes, que a su vez es la firma del salto (el Ejercicio 14.6 leído al revés). Moraleja: Parseval convierte la calidad de la aproximación en la cola de una serie numérica, y predice, antes de dibujar nada, que los saltos hacen que las series de Fourier converjan de mala gana.