¿Qué es Traspuesta; traza?

Ejemplo 21.6 (La traza en acción)

La proyección del Capítulo 20 sobre $\operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $\operatorname{Vect}(0,1)$, $p(x, y) = (x, x)$, tiene matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ en la base canónica: en efecto, $A^2 = A$, y

lo que ilustra el Ejercicio 21.8: para los idempotentes, la traza cuenta la dimensión de la imagen, sea cual sea la base torcida en la que esté escrita la matriz. El mecanismo de la invariancia es la identidad $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$:

de modo que todas las matrices semejantes a $A$ comparten su traza — el primer invariante numérico de un endomorfismo, al que se sumará el determinante en el Capítulo 22 (la pareja $(s, p)$ del problema del fin de semana de más abajo).

Ejemplo 21.7 (Simétrica más antisimétrica)

Dígase que $A$ es simétrica cuando $A^{\mathsf T} = A$, y antisimétrica cuando $A^{\mathsf T} = -A$. Toda matriz cuadrada se parte de forma única como una más la otra:

y una matriz que sea las dos cosas es nula ($A = -A$): los dos conjuntos son subespacios suplementarios de $\mathcal{M}_n(K)$ — el análogo exacto de la separación par/impar de las funciones (Ejemplo 18.11), con la trasposición en el papel de $x \mapsto -x$. Dimensiones: una matriz simétrica es libre en la diagonal y por encima, y una antisimétrica, estrictamente por encima (diagonal nula):

y el que la cuenta cuadre es la confirmación de Grassmann de que la suma es directa. Para $n = 2$: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$. Las matrices simétricas vuelven como los datos de segunda derivada del Capítulo 25 (la terna de Monge $r, s, t$), y las simétricas ortogonales se clasifican en el Ejercicio 23.12.