Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

14Derivación

Las derivadas se calcularon a lo largo de todo el volumen anterior; lo que faltaba es la cadena de teoremas que convierte el cálculo en información sobre las funciones: el teorema de Rolle, el teorema del valor medio y sus consecuencias — criterios de monotonía, cotas lipschitzianas, convexidad. Todo este capítulo trata de funciones definidas en un intervalo $I$ .

14.1 La derivada

Definición 14.1

$f \colon I \to \R$ es derivable en $x_0 \in I$ cuando el cociente incremental $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ tiene límite (finito) al tender $x \to x_0$ ; ese límite se escribe $f'(x_0)$ . Equivalentemente:

f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + h\,\varepsilon(h), \qquad \varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 ,

admitiendo entonces la gráfica la recta tangente $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ . La derivabilidad en $x_0$ implica la continuidad en $x_0$ (léase la fórmula anterior). $f$ es derivable en $I$ cuando lo es en cada punto; $f$ es de clase $C^1$ si además $f'$ es continua, y de clase $C^k$ cuando $f$ se puede derivar $k$ veces con $f^{(k)}$ continua.

Ejemplo 14.2

El recíproco de «derivable $\Rightarrow$ continua» falla: $\abs{\,\cdot\,}$ en $0$ . Más sorprendente aún: ser derivable no implica ser de clase $C^1$ ; la función $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ( $f(0) = 0$ ) es derivable en todas partes, con $f'(0) = 0$ , pero $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ no tiene límite en $0$ (Ejercicio 14.2).

Ejemplo 14.3 (Derivable en exactamente un punto)

Sea $f(x) = x^2$ para $x \in \Q$ y $f(x) = 0$ para $x \notin \Q$ . En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$ , luego $f$ es derivable en $0$ con $f'(0) = 0$ . En cualquier $x_0 \neq 0$ , $f$ ni siquiera es continua: sucesiones racionales e irracionales que convergen a $x_0$ mandan $f$ a $x_0^2 \neq 0$ y a $0$ , respectivamente (densidad, Teorema 10.14). Así pues, la derivabilidad es una noción genuinamente puntual: puede darse en un punto de $\R$ y en ningún otro. La moraleja práctica: los enunciados como el criterio de monotonía o el de Rolle exigen la derivada en un intervalo — poseer $f'(x_0)$ en puntos aislados, por muchos que sean, no sostiene ninguna conclusión global.

Teorema 14.4 (Operaciones)

Si $f, g$ son derivables en $x_0$ (y donde las fórmulas tengan sentido):

(f + g)' = f' + g', \qquad (fg)' = f'g + fg', \qquad \Bigl(\frac fg\Bigr)' = \frac{f'g - fg'}{g^2},

y, si $g$ es derivable en $f(x_0)$ : $\;(g \circ f)'(x_0) = g'\bigl(f(x_0)\bigr)\, f'(x_0)$ (regla de la cadena).

Demostración. Suma: inmediato. Producto: escríbase

f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = \bigl(f(x) - f(x_0)\bigr) g(x) + f(x_0)\bigl(g(x) - g(x_0)\bigr),

divídase por $x - x_0$ y hágase $x \to x_0$ ( $g$ es continua en $x_0$ ). Cociente: trátese $\frac 1g$ mediante $\frac{1/g(x) - 1/g(x_0)}{x - x_0} = \frac{-1}{g(x)g(x_0)}\cdot\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$ y aplíquese después la regla del producto. Regla de la cadena: con $y_0 = f(x_0)$ , defínase $\theta(y) = \frac{g(y) - g(y_0)}{y - y_0}$ para $y \neq y_0$ y $\theta(y_0) = g'(y_0)$ : $\theta$ es continua en $y_0$ y, para $x \neq x_0$ ,

\frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} = \theta\bigl(f(x)\bigr)\cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \longrightarrow g'(y_0)\, f'(x_0),

el primer factor por composición de límites (este recurso trata con limpieza el caso $f(x) = f(x_0)$ , donde el ingenuo «multiplicar y dividir por $f(x) - f(x_0)$ » se rompe). ∎

Teorema 14.5 (Derivada de una función inversa)

Sea $f$ continua y estrictamente monótona en $I$ , y derivable en $x_0$ con $f'(x_0) \neq 0$ . Entonces $f^{-1}$ (Teorema 13.16) es derivable en $y_0 = f(x_0)$ , con

(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y_0)\bigr)} .

Si $f'(x_0) = 0$ , la inversa tiene tangente vertical en $y_0$ .

Demostración. Para $y \to y_0$ , póngase $x = f^{-1}(y)$ : la continuidad de $f^{-1}$ da $x \to x_0$ , y

\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0} = \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \frac{1}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \longrightarrow \frac{1}{f'(x_0)} .

Afirmación sobre la tangente vertical: si $f'(x_0) = 0$ , el cociente anterior es el inverso de una cantidad que tiende a $0$ manteniendo un signo constante (para $f$ estrictamente creciente, $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0$ para todo $x \neq x_0$ ): el cociente incremental de $f^{-1}$ tiende, por tanto, a $+\infty$ (a $-\infty$ para $f$ decreciente). La inversa sigue siendo continua, pero no es derivable en $y_0$ — su gráfica, reflejo de la de $f$ respecto de la diagonal, se pone vertical exactamente donde la de $f$ iba horizontal, como ilustra $x^{1/3}$ en $0$ frente a $x^3$ . ∎

Ejemplo 14.6 (Derivadas de inversas, dos veces)

El teorema recalcula las derivadas clásicas sin ningún trabajo con límites. Para $\ln = \exp^{-1}$ : en $y = \eu^x$ ,

(\ln)'(y) = \frac{1}{\exp'(x)} = \frac{1}{\eu^{x}} = \frac1y ,

válido para todo $y > 0$ , ya que $\exp' = \exp$ no se anula nunca. Para $\arctan = \tan^{-1}$ : en $y = \tan x$ ,

(\arctan)'(y) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + y^2} ,

usando $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$ . La idea de cierre: la fórmula convierte el conocimiento de una función en conocimiento de su inversa al precio de una sustitución — y la sustitución ( $x = \ln y$ , $x = \arctan y$ ) es exactamente el enunciado de que las dos variables viven a lados opuestos de la biyección.

14.2 Rolle y el teorema del valor medio

Proposición 14.7 (Extremo interior)

Si $f$ es derivable en un punto interior $x_0$ de $I$ y tiene ahí un extremo local, entonces $f'(x_0) = 0$ .

Demostración. Digamos que se trata de un máximo local: hay $r > 0$ con $f(x) \leq f(x_0)$ para $\abs{x - x_0} \leq r$ , y la interioridad garantiza que los dos lados de $x_0$ están disponibles dentro de $I$ . Para $0 < h \leq r$ , el cociente $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ tiene numerador $\leq 0$ y denominador $> 0$ : es $\leq 0$ , y su límite $f'(x_0)$ hereda el $\leq 0$ (las desigualdades amplias pasan al límite, Teorema 11.7); para $-r \leq h < 0$ el cociente es $\geq 0$ , lo que da $f'(x_0) \geq 0$ . Luego $f'(x_0) = 0$ . (En un extremo del intervalo solo se dispone de un signo: ahí la conclusión falla — piénsese en $x$ sobre $\intcc{0}{1}$ , máximo en $1$ con derivada $1$ .) ∎

Teorema 14.8 (Rolle)

Sea $f$ continua en $\intcc{a}{b}$ y derivable en $\intoo{a}{b}$ , con $f(a) = f(b)$ . Entonces $f'(c) = 0$ para algún $c \in \intoo{a}{b}$ .

Demostración. Por el teorema de los valores extremos (Teorema 13.13), $f$ alcanza su máximo y su mínimo en $\intcc{a}{b}$ . Si los dos se alcanzan en los extremos, entonces (puesto que $f(a) = f(b)$ ) máximo $=$ mínimo y $f$ es constante: sirve cualquier $c$ interior. En caso contrario, un extremo se alcanza en un punto interior $c$ , y la Proposición 14.7 da $f'(c) = 0$ . ∎

Teorema 14.9 (Teorema del valor medio)

Sea $f$ continua en $\intcc{a}{b}$ y derivable en $\intoo{a}{b}$ . Existe $c \in \intoo{a}{b}$ con

f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a) .

Desigualdad del valor medio: si además $m \leq f' \leq M$ en $\intoo{a}{b}$ , entonces $m(b-a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b-a)$ ; en particular, $\abs{f'} \leq K$ implica que $f$ es $K$ -lipschitziana.

Demostración. Aplíquese Rolle a $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ : $g$ es continua en $\intcc{a}{b}$ , derivable dentro, y $g(a) = f(a) = g(b)$ . En el punto $c$ donde $g'(c) = 0$ : $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . La desigualdad se sigue acotando $f'(c)$ ; y el enunciado lipschitziano la aplica a cada par de puntos. ∎

El teorema del valor medio: alguna tangente (a trazos) es paralela a la cuerda (gris). Su abscisa c es donde el teorema de Rolle, aplicado a la función menos su cuerda, halla un punto crítico. — El teorema del valor medio: alguna tangente (a trazos) es paralela a la cuerda (gris). Su abscisa $c$ es donde el teorema de Rolle, aplicado a la función menos su cuerda, halla un punto crítico.

Ejemplo 14.10 (El método de Newton es el de Herón)

El método de Newton para resolver $f(x) = 0$ sustituye la curva por su tangente en la estimación actual $x_n$ y toma la raíz de la tangente como estimación siguiente:

0 = f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n) \quad\Longrightarrow\quad x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .

Ejecútese sobre $f(x) = x^2 - 2$ :

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n} = \frac12\Bigl(x_n + \frac{2}{x_n}\Bigr) :

exactamente la iteración de Herón (Ejemplo 11.24), dos milenios antes. La velocidad cuadrática observada allí queda ahora explicada por la imagen de la tangente: cerca de una raíz simple, la curva y la tangente difieren en un error de segundo orden, de modo que cada paso viene a elevar al cuadrado el error — el enunciado general se sigue de las cotas de Taylor del Capítulo 16. La idea de cierre: mientras que la dicotomía (Ejemplo 13.12) solo usa la continuidad y gana un bit por paso, Newton gasta una derivada para duplicar el número de cifras correctas en cada paso.

Ejemplo 14.11 (El teorema del valor medio como estimador)

¿Cuánto vale $\sqrt{101}$ ? Aplíquese el teorema a $f(t) = \sqrt t$ en $\intcc{100}{101}$ : para algún $c \in \intoo{100}{101}$ ,

\sqrt{101} - 10 = \frac{1}{2\sqrt c}, \qquad\text{luego}\qquad \frac{1}{2\sqrt{101}} < \sqrt{101} - 10 < \frac{1}{20} = 0.05 ,

y, como $\sqrt{101} < 10.05$ , la cota izquierda supera $\frac{1}{20.1} > 0.0497$ : así pues, $10.0497 < \sqrt{101} < 10.05$ (valor verdadero $10.049875\dots$ ) — tres decimales correctos a partir de una sola evaluación de la derivada. Del mismo modo, $\abs{\sin a - \sin b} \leq \abs{a - b}$ (acótese $\abs{\cos}\leq 1$ ): todas las estimaciones lipschitzianas usadas desde el Capítulo 11 son este teorema. La idea de cierre: el teorema del valor medio es una fórmula de Taylor de orden cero — cambia un punto desconocido $c$ por una desigualdad firme, y el Capítulo 16 repetirá exactamente ese trueque.

Corolario 14.12 (Criterio de monotonía)

Sea $f$ continua en $I$ y derivable en el interior.

$f' \geq 0$ en el interior $\iff$ $f$ es creciente; $f' = 0$ $\iff$ $f$ constante.
Si $f' > 0$ salvo en finitos puntos donde se anula, $f$ es estrictamente creciente.

Demostración. Si $f' \geq 0$ : para $x < y$ en $I$ , el teorema del valor medio en $\intcc{x}{y}$ da $f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) \geq 0$ . Recíprocamente, los cocientes incrementales de una función creciente son $\geq 0$ , luego sus límites también. Caso constante: aplíquese lo anterior a $f'$ y a $-f' \geq 0$ . Versión estricta: $f$ es creciente; una igualdad $f(x) = f(y)$ con $x < y$ congelaría $f$ en $\intcc{x}{y}$ , forzando $f' = 0$ ahí — infinitos puntos. ∎

Ejemplo 14.13 (Derivadas iguales, funciones distintas)

En $\R^* = \intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{0}{+\infty}$ , tanto $f(x) = \ln\abs x$ como $g(x) = \ln\abs x + \mathbf{1}_{x>0}$ (que suma $1$ solo en la semirrecta derecha) cumplen $f' = g' = \frac1x$ . Y no difieren en una constante: el criterio « $f' = 0 \implies f$ constante» es un enunciado de intervalo — su demostración corre el teorema del valor medio entre dos puntos, lo que exige que todo el segmento que los une esté en el dominio. En cada semirrecta por separado, las primitivas de $\frac1x$ son $\ln\abs x + c$ , con una constante por semirrecta: dos constantes independientes en total. Capítulo 15 hereda esta letra pequeña: «la» primitiva de una función está bien definida salvo constante en cada intervalo de su dominio, y las tablas de primitivas suponen la conexión en silencio.

Ejemplo 14.14 (Estrictez gratis)

$x \mapsto x^3$ es estrictamente creciente en $\R$ aunque su derivada se anule en $0$ : la cláusula « $f' > 0$ salvo en finitos puntos» del criterio está pensada justo para esos puntos planos. En cambio, $f' \geq 0$ por sí solo únicamente da crecimiento en sentido amplio (una función constante lo cumple), y una derivada que se anula en todo un subintervalo sí congela la función ahí. La regla práctica: para afirmar monotonía estricta, enumérense los ceros de $f'$ ; que sean finitos (o, más en general, que no llenen ningún subintervalo) es inofensivo, y que formen un intervalo es fatal.

Ejemplo 14.15 (Un estudio de variación completo)

Estúdiese $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en $\R$ . Derivada: $f'(x) = 3(x^2 - 1)$ , positiva en $\intoo{-\infty}{-1}$ , negativa en $\intoo{-1}{1}$ y positiva en $\intoo{1}{+\infty}$ : por el criterio de monotonía, $f$ crece, después decrece y después crece, con un máximo local $f(-1) = 3$ y un mínimo local $f(1) = -1$ . Límites: $\mp\infty$ en $\mp\infty$ . Consecuencias, que se leen en la tabla de variación con el teorema del valor intermedio en cada rama monótona: $f$ se anula exactamente una vez en cada uno de

\intoo{-\infty}{-1}, \qquad \intoo{-1}{1}, \qquad \intoo{1}{+\infty}

(los valores en los empalmes tienen signos opuestos: $3 > 0 > -1$ ), de modo que la ecuación $x^3 - 3x + 1 = 0$ tiene exactamente tres raíces reales; numéricamente están cerca de $-1.88$ , $0.35$ y $1.53$ . La idea de cierre: una tabla de variación es un instrumento de demostración, no un boceto — rama monótona más cambio de signo es igual a exactamente una raíz, y la tabla enumera las ramas de forma exhaustiva.

Teorema 14.16 (Fórmula de Leibniz)

Si $f, g$ son $n$ veces derivables, también lo es $fg$ , y

(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk f^{(k)}\, g^{(n-k)} .

Demostración. Inducción sobre $n$ , exactamente paralela a la del teorema del binomio. El caso $n = 1$ es la regla del producto. Suponiendo la fórmula en el rango $n$ , derívese una vez más:

(fg)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \Bigl( f^{(k+1)} g^{(n-k)} + f^{(k)} g^{(n-k+1)} \Bigr),

y reindéxese después la primera suma con $j = k + 1$ y recójase el coeficiente de $f^{(j)} g^{(n+1-j)}$ : es $\binom{n}{j-1} + \binom nj = \binom{n+1}{j}$ por la regla de Pascal (Proposición 2.15), llevando los términos de frontera $j = 0$ y $j = n + 1$ el valor $\binom{n+1}{0} = \binom{n+1}{n+1} = 1$ , como debe ser. ∎

Ejemplo 14.17 (Leibniz en acción)

Calcúlese $\bigl(x^2 \eu^x\bigr)^{(n)}$ para $n \geq 2$ . Tómense $f = x^2$ , cuyas derivadas mueren enseguida ( $f' = 2x$ , $f'' = 2$ , $f^{(k)} = 0$ para $k \geq 3$ ), y $g = \eu^x$ : de la suma de Leibniz solo sobreviven tres términos,

\bigl(x^2\eu^x\bigr)^{(n)} = \binom n0 x^2 \eu^x + \binom n1 (2x)\,\eu^x + \binom n2\, 2\,\eu^x = \eu^x\bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr).

Comprobación en $n = 1$ : $\eu^x(x^2 + 2x)$ , que es en efecto $(x^2\eu^x)'$ . La idea de cierre: úsese Leibniz cuando uno de los factores sea un polinomio — la suma tiene entonces solo $\deg + 1$ términos, y la fórmula es una expresión cerrada, no una identidad abstracta. (Para dos factores infinitamente vivaces, como $\eu^x\sin x$ , las exponenciales complejas del Capítulo 3 son mejor herramienta.)

14.3 Convexidad

Definición 14.18

$f \colon I \to \R$ es convexa cuando toda cuerda queda por encima de la gráfica:

\forall x, y \in I,\ \forall t \in \intcc{0}{1}, \quad f\bigl(tx + (1-t)y\bigr) \leq t f(x) + (1-t) f(y).

( $f$ es cóncava cuando $-f$ es convexa.)

Teorema 14.19 (Caracterizaciones diferenciales)

Sea $f$ derivable en $I$ . Son equivalentes:

$f$ es convexa;
$f'$ es creciente en $I$ ;
la gráfica queda por encima de toda tangente: $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y - x)$ para todos $x, y \in I$ .

Si $f$ es dos veces derivable: $f$ convexa $\iff f'' \geq 0$ .

Demostración. (1 $\Rightarrow$ 3) La convexidad, escrita como $\frac{f(x + t(y-x)) - f(x)}{t} \leq f(y) - f(x)$ para $t \in \intoc{0}{1}$ ; hágase $t \to 0^+$ : $f'(x)(y - x) \leq f(y) - f(x)$ .

(3 $\Rightarrow$ 2) Para $x < y$ , las dos desigualdades de tangencia en $x$ y en $y$ dan $f'(x)(y-x) \leq f(y) - f(x) \leq f'(y)(y - x)$ , luego $f'(x) \leq f'(y)$ .

(2 $\Rightarrow$ 1) Fíjense $x < y$ y $t \in \intoo{0}{1}$ , y sea $z = tx + (1-t)y \in \intoo{x}{y}$ . Por el teorema del valor medio en $\intcc{x}{z}$ y en $\intcc{z}{y}$ , hay $c_1 < z < c_2$ con

\frac{f(z) - f(x)}{z - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(y) - f(z)}{y - z} ,

y, quitando denominadores ( $z - x = (1-t)(y-x)$ , $y - z = t(y-x)$ ), se reordena exactamente en la desigualdad de convexidad.

Caso dos veces derivable: $f'' \geq 0 \iff f'$ creciente (Corolario 14.12). ∎

La convexidad, dos veces: toda cuerda (gris) queda por encima de la gráfica, y la gráfica queda por encima de toda tangente (a trazos).

Ejemplo 14.20 (Desigualdades clásicas de convexidad)

$\exp$ es convexa ( $\exp'' = \exp > 0$ ): su tangente en $0$ da $\eu^x \geq 1 + x$ para todo $x$ . $\ln$ es cóncava: su tangente en $1$ da $\ln x \leq x - 1$ ; y sus cuerdas dan, para $0 < a \leq b$ , la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética: tomando $t = \frac12$ en la concavidad,

\ln\frac{a + b}{2} \geq \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\sqrt{ab}, \qquad\text{luego}\qquad \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} .

La desigualdad aritmético-geométrica general es el Ejercicio 14.9.

Ejemplo 14.21 (Una desigualdad de convexidad desde cero)

La función $f(t) = t\ln t$ es convexa en $\intoo{0}{+\infty}$ : $f''(t) = \frac1t > 0$ . Su desigualdad del punto medio, multiplicada por $2$ , dice: para todos $a, b > 0$ ,

a\ln a + b\ln b \;\geq\; (a + b)\,\ln\frac{a + b}{2} ,

con igualdad si y solo si $a = b$ (convexidad estricta). Prueba de manejo: $a = 1$ , $b = 3$ da $3\ln 3 = 3.296$ frente a $4\ln 2 = 2.773$ . Esta inocua desigualdad es el caso de dos puntos de la comparación de entropías que reaparece con la desigualdad de Jensen (Ejercicio 14.9) y en las asintóticas de la teoría de la información del volumen del tercer año. La idea de cierre: para fabricar una desigualdad, búsquese una función cuya segunda derivada tenga un signo y escríbase lo que dice la convexidad — la caracterización diferencial convierte una sola comprobación de signo en infinitas desigualdades.

Observación 14.22 (Errores frecuentes con las derivadas)

(i) Una derivada positiva en un punto no da monotonía cerca de él: $f(x) = \frac x2 + x^2\sin\frac1x$ (con $f(0) = 0$ ) tiene $f'(0) = \frac12 > 0$ y, sin embargo,

f'(x) = \frac12 + 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x

vale $-\frac12$ en cada $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ : todo entorno de $0$ contiene descensos. La monotonía necesita $f' \geq 0$ en un intervalo (Corolario 14.12); el signo puntual solo controla el cruce con la recta tangente. (ii) Las tres hipótesis de Rolle están todas activas: $\abs x$ en $\intcc{-1}{1}$ (sin derivabilidad interior), $x$ en $\intcc{0}{1}$ (extremos desiguales) y $x - \lfloor x\rfloor$ en $\intcc{0}{1}$ (la continuidad falla en $1$ ) rompen cada uno exactamente una hipótesis y también la conclusión. (iii) Las derivadas pueden ser discontinuas, pero no de cualquier manera: $f'$ puede oscilar (Ejemplo 14.2), pero siempre cumple la propiedad del valor intermedio (Darboux, Ejercicio 14.10): una derivada no salta nunca — si se calcula un «límite de la derivada» lateral con un salto, es que se ha derivado una función no derivable. (iv) La fórmula de la inversa necesita $f' \neq 0$ : $x \mapsto x^3$ es una biyección suave y estrictamente creciente cuya inversa $x^{1/3}$ tiene tangente vertical en $0$ — la derivabilidad de la inversa se pierde exactamente donde se anula $f'$ (Teorema 14.5).

Observación 14.23 (Dónde funciona a continuación el teorema del valor medio)

Casi todo enunciado cuantitativo de los capítulos siguientes es el teorema del valor medio de este capítulo disfrazado: el teorema fundamental del cálculo (Capítulo 15) deriva la función área y concluye con el criterio de monotonía; la fórmula de Taylor–Lagrange (Capítulo 16) es el teorema del valor medio iterado $n$ veces; el análisis del error del método de Newton y de las iteraciones de punto fijo (Ejercicio 14.11) es la forma lipschitziana; y el problema del fin de semana de este capítulo (Problema 14.1) convierte esa misma cota lipschitziana en teoría de números — una desigualdad de repulsión entre números algebraicos y racionales, que produce el primer número trascendente de la historia. En el volumen del segundo año, la desigualdad del valor medio sobrevive en varias variables allí donde la igualdad no lo hace.

Ejemplo 14.24 (La desigualdad de Young a partir de la concavidad)

Sean $p, q > 1$ con $\frac1p + \frac1q = 1$ . Para todos $a, b > 0$ :

ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

Demostración con una sola aplicación de la concavidad de $\ln$ con pesos $\frac1p, \frac1q$ (la desigualdad de Jensen de dos puntos, como en el Ejercicio 14.9):

\ln\Bigl(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\Bigr) \;\geq\; \frac1p \ln(a^p) + \frac1q \ln(b^q) = \ln a + \ln b = \ln(ab),

y ser $\ln$ creciente convierte la desigualdad entre logaritmos en la afirmación buscada; hay igualdad si y solo si $a^p = b^q$ (concavidad estricta). El caso $p = q = 2$ es la desigualdad aritmético-geométrica $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ disfrazada. La idea de cierre: la desigualdad de Young es la semilla algebraica de las desigualdades de Hölder y de Minkowski del volumen del segundo año — un solo enunciado de concavidad sobre $\ln$ , cosechado para las normas.

Observación 14.25 (Perspectivas dentro de este volumen)

La derivada adquiere tres vidas nuevas antes de que acabe el volumen. En el Capítulo 16 se itera: $n$ derivadas en un punto se comprimen en un polinomio más un error controlado, y el teorema del valor medio pasa a ser el resto de Lagrange. En el Capítulo 24, la derivación se vuelve geométrica: para una curva parametrizada $t \mapsto (x(t), y(t))$ , el par $(x'(t), y'(t))$ es un vector velocidad, la tangencia se convierte en colinealidad y los puntos críticos, en puntos de retroceso que hay que clasificar. En el Capítulo 25 se congela una variable cada vez: las derivadas parciales repiten dos veces este capítulo, y la recta tangente crece hasta ser un plano tangente. Los tres capítulos heredan la misma gramática — aproximación lineal local más un término de error — hablada aquí por primera vez.

14.4 Ejercicios

Ejercicio 14.1 ★

Derívense (precisando los dominios): $x^x$ ; $\;\ln\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr)$ ; $\;\arctan\frac{1}{x}$ ; $\;\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.1.

$x^x = \eu^{x\ln x}$ en $\intoo{0}{+\infty}$ : derivada $(\ln x + 1)\,x^x$ .

$\ln(x + \sqrt{x^2+1})$ en $\R$ (el argumento es siempre $> 0$ ): derivada $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (calculada en la Proposición 4.21 — se trata de $\operatorname{arsinh}$ ).

$\arctan\frac1x$ en $\R^*$ : derivada $\frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{1 + x^2}$ (en consonancia con la Proposición 4.12 (2): la función es $\pm\frac\pi2 - \arctan x$ en cada semirrecta).

$\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ en $\R$ : derivada $\frac{\eu^{2x}}{\sqrt{1 + \eu^{2x}}}$ .

Ejercicio 14.2 ★

Complétese el Ejemplo 14.2: demuéstrese que $f(x) = x^2 \sin\frac1x$ , $f(0) = 0$ , es derivable en $0$ con $f'(0) = 0$ , y que $f'$ no tiene límite en $0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.2.

En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| = \abs{h \sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , luego $f'(0) = 0$ . Para $x \neq 0$ , las reglas habituales dan $f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ . A lo largo de $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ : $f'(x_n) = 0 - 1 \to -1$ ; y a lo largo de $y_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$ : $f'(y_n) = 0 + 1 \to 1$ . Dos sucesiones que tienden a $0$ con límites distintos de $f'$ : no hay límite (Teorema 13.3), luego $f'$ no es continua en $0$ y $f$ es derivable sin ser de clase $C^1$ .

Ejercicio 14.3 ★

Usando el teorema del valor medio o las desigualdades de tangencia, demuéstrese que para todo $x > 0$ :

\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x .

Dedúzcase $\lim_{n\to\infty} \bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^x$ para todo $x > 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.3.

$\ln(1+x) < x$ para $x > 0$ : desigualdad de tangencia por concavidad en $0$ (estricta fuera del punto de contacto, pues $\ln$ es estrictamente cóncava; o aplíquese el teorema del valor medio: $\ln(1+x) = \frac{x}{1+c}$ para algún $c \in \intoo{0}{x}$ , y $\frac{x}{1+c} < x$ ). La misma identidad del valor medio da la cota inferior: $\frac{x}{1+c} > \frac{x}{1+x}$ .

Consecuencia: con $x/n$ en lugar de $x$ ,

\frac{x/n}{1 + x/n} < \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < \frac xn \quad\implies\quad \frac{x}{1 + x/n} < n \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < x .

El miembro izquierdo tiende a $x$ : por emparedado, $n\ln(1 + \frac xn) \to x$ y, por continuidad de $\exp$ , $\bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^{n\ln(1 + x/n)} \to \eu^x$ .

Ejercicio 14.4 ★

Sea $P$ un polinomio real con $k$ raíces reales distintas. Demuéstrese que $P'$ tiene al menos $k - 1$ raíces reales distintas, entrelazadas con las de $P$ . Dedúzcase que si $P$ tiene todas sus raíces reales, $P'$ también.

Solución

Solución de Ejercicio 14.4.

Sean $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ raíces distintas de $P$ . En cada $\intcc{x_i}{x_{i+1}}$ , Rolle (Teorema 14.8) produce $c_i \in \intoo{x_i}{x_{i+1}}$ con $P'(c_i) = 0$ : son $k - 1$ raíces de $P'$ , distintas porque los intervalos abiertos son disjuntos — y entrelazadas por construcción.

Si $P$ (de grado $n$ ) tiene todas sus raíces reales, escríbanse con sus multiplicidades $m_1 + \dots + m_k = n$ . Cada raíz de multiplicidad $m_i \geq 2$ es raíz de $P'$ de multiplicidad $m_i - 1$ (Proposición 8.11), lo que aporta $\sum (m_i - 1) = n - k$ ; Rolle aporta $k - 1$ más, todas distintas de las anteriores. Total $\geq n - 1 = \deg P'$ : todas las raíces de $P'$ son reales.

Ejercicio 14.5 ★★

Sea $f$ derivable en $\R$ con $f' (x)\to \ell$ cuando $x \to +\infty$ . Demuéstrese que $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ (teorema del valor medio en $\intcc{A}{x}$ ). ¿Se cumple también $f(x+1) - f(x) \to \ell$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 14.5.

Fíjense $\varepsilon > 0$ y $A$ con $\abs{f'(t) - \ell} \leq \varepsilon$ para $t \geq A$ . Para $x > A$ , el teorema del valor medio en $\intcc{A}{x}$ da $c \in \intoo{A}{x}$ con

f(x) = f(A) + f'(c)(x - A), \qquad\text{luego}\qquad \Bigl|\frac{f(x)}{x} - \ell\Bigr| \leq \frac{\abs{f(A)} + \abs\ell A}{x} + \abs{f'(c) - \ell} \cdot\frac{x - A}{x} \leq \frac{C_A}{x} + \varepsilon .

Para $x$ grande, $\frac{C_A}{x} \leq \varepsilon$ : por tanto, $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ .

Sí: $f(x+1) - f(x) = f'(c_x)$ con $c_x \in \intoo{x}{x+1}$ (teorema del valor medio en $\intcc{x}{x+1}$ ), y $c_x \to +\infty$ , luego $f(x+1) - f(x) \to \ell$ .

Ejercicio 14.6 ★★

(Un Rolle discreto) Sea $f$ $n$ veces derivable en $I$ y que se anula en $n + 1$ puntos distintos. Demuéstrese que $f^{(n)}$ se anula al menos una vez. Aplicación: un polinomio de grado $\leq n$ que se anula en $n+1$ puntos es nulo (una vez más).

Solución

Solución de Ejercicio 14.6.

Inducción sobre $n$ . Para $n = 1$ : Rolle. Si la afirmación vale para $n - 1$ : $f$ se anula en $n+1$ puntos, luego por Rolle aplicado en los $n$ huecos, $f'$ se anula en $n$ puntos distintos; y la hipótesis de inducción aplicada a $f'$ ( $n-1$ veces derivable, con $n$ ceros) hace que $(f')^{(n-1)} = f^{(n)}$ se anule en algún punto.

Aplicación: si $P$ , de grado $\leq n$ , se anula en $n+1$ puntos, entonces $P^{(n)}$ , que es una constante igual a $n!$ por el coeficiente director, se anula: el coeficiente director es $0$ , y se concluye por inducción descendente (o directamente: todos los coeficientes se anulan).

Ejercicio 14.7 ★★

Sea $f$ dos veces derivable en $\intcc{a}{b}$ con $f(a) = f(b) = 0$ y $f(x_0) > 0$ para algún $x_0$ interior. Demuéstrese que $f''(c) < 0$ para algún $c \in \intoo{a}{b}$ . (Dos teoremas del valor medio y una comparación de pendientes.)

Solución

Solución de Ejercicio 14.7.

Por el teorema del valor medio en $\intcc{a}{x_0}$ y en $\intcc{x_0}{b}$ :

f'(c_1) = \frac{f(x_0) - f(a)}{x_0 - a} = \frac{f(x_0)}{x_0 - a} > 0, \qquad f'(c_2) = \frac{f(b) - f(x_0)}{b - x_0} = \frac{-f(x_0)}{b - x_0} < 0,

con $c_1 < x_0 < c_2$ . Entonces el teorema del valor medio aplicado a $f'$ en $\intcc{c_1}{c_2}$ da $c$ con

f''(c) = \frac{f'(c_2) - f'(c_1)}{c_2 - c_1} < 0 . \qedhere

Ejercicio 14.8 ★★

Estúdiese la función $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ en $\intoo{0}{+\infty}$ : variaciones, límites, máximo. Dedúzcase que $a^b > b^a$ para todos los reales $\eu \leq a < b$ , y resuélvase el famoso caso particular: ¿cuál es mayor, $\eu^\pi$ o $\pi^\eu$ ? Compruébese con las parejas de enteros pequeños $(2,3)$ y $(2,4)$ : ¿por qué se comportan de forma distinta?

Solución

Solución de Ejercicio 14.8.

$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ : $f$ crece en $\intoc{0}{\eu}$ y decrece en $\intco{\eu}{+\infty}$ , con máximo $f(\eu) = \frac1\eu$ ; límites $-\infty$ en $0^+$ y $0$ en $+\infty$ (comparación de crecimientos).

Para $\eu \leq a < b$ : ser $f$ estrictamente decreciente ahí da $\frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$ , es decir, $b \ln a > a \ln b$ , es decir, $a^b > b^a$ .

Con $a = \eu < b = \pi$ : $\eu^\pi > \pi^\eu$ .

Parejas pequeñas: $(2, 3)$ : $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ — ¡al revés! La razón: $2 < \eu$ , y en $\intoo{0}{\eu}$ la función $f$ es creciente, de modo que la comparación se invierte cuando los dos números están por debajo de $\eu$ , y es imprevisible a caballo de $\eu$ ( $f(2) = f(4)$ explica el empate $2^4 = 4^2 = 16$ ).

Ejercicio 14.9 ★★

(Desigualdad aritmético-geométrica) Usando la concavidad de $\ln$ con pesos generales (la desigualdad de Jensen para $n$ puntos, que hay que demostrar por inducción sobre $n$ ), véase que para reales positivos $a_1, \dots, a_n$ :

\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + \dots + a_n}{n},

con igualdad si y solo si todos los $a_i$ son iguales.

Solución

Solución de Ejercicio 14.9.

Jensen para $\ln$ , por inducción sobre $n$ . Afirmación: para $x_i$ positivos y pesos $\lambda_i > 0$ con $\sum \lambda_i = 1$ : $\ln\bigl(\sum \lambda_i x_i\bigr) \geq \sum \lambda_i \ln x_i$ . Para $n = 2$ esto es la concavidad. Paso: con $\Lambda = \lambda_1 + \dots + \lambda_{n-1} = 1 - \lambda_n$ y $y = \sum_{i<n} \frac{\lambda_i}{\Lambda} x_i$ ,

\ln\Bigl(\sum_{i \leq n} \lambda_i x_i\Bigr) = \ln\bigl(\Lambda y + \lambda_n x_n\bigr) \geq \Lambda \ln y + \lambda_n \ln x_n \geq \Lambda \sum_{i<n} \frac{\lambda_i}{\Lambda}\ln x_i + \lambda_n \ln x_n,

usando la concavidad ( $n = 2$ ) y después la hipótesis de inducción.

Con $\lambda_i = \frac 1n$ y $x_i = a_i$ : $\ln\frac{\sum a_i}{n} \geq \frac 1n \sum \ln a_i = \ln\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$ ; tómense exponenciales. Igualdad: $\ln$ es estrictamente cóncava ( $\ln'' < 0$ ), de modo que la igualdad en cada paso obliga a que los puntos promediados coincidan —es decir, a que todos los $a_i$ sean iguales—; y si todos son iguales, la igualdad es clara.

Ejercicio 14.10 ★★★

(Darboux: las derivadas toman los valores intermedios) Sea $f$ derivable en $I$ y sean $a < b$ en $I$ con $f'(a) < v < f'(b)$ . Considerando $g(x) = f(x) - vx$ y el punto donde $g$ alcanza su mínimo en $\intcc{a}{b}$ , demuéstrese que $f'(c) = v$ para algún $c \in \intoo{a}{b}$ — aunque $f'$ no tenga por qué ser continua (Ejercicio 14.2).

Solución

Solución de Ejercicio 14.10.

Sea $g(x) = f(x) - vx$ : derivable, con $g'(a) = f'(a) - v < 0$ y $g'(b) = f'(b) - v > 0$ . Por el teorema de los valores extremos, $g$ alcanza su mínimo en $\intcc{a}{b}$ en cierto $c$ . No es en $a$ : como $g'(a) < 0$ , los puntos justo a la derecha de $a$ tienen $g < g(a)$ . Tampoco es en $b$ : como $g'(b) > 0$ , los puntos justo a la izquierda de $b$ tienen $g < g(b)$ . Luego $c$ es interior, y la Proposición 14.7 da $g'(c) = 0$ , es decir, $f'(c) = v$ .

Ejercicio 14.11 ★★★

Sea $f \colon \R \to \R$ derivable con $\abs{f'(x)} \leq k < 1$ para todo $x$ (una contracción). Demuéstrese que $f$ tiene exactamente un punto fijo $\ell$ , y que toda sucesión $u_{n+1} = f(u_n)$ converge a $\ell$ con $\abs{u_n - \ell} \leq k^n\abs{u_0 - \ell}$ . (Existencia: aplíquese el teorema del valor intermedio a $f(x) - x$ en un segmento grande, usando la cota lipschitziana; o úsese la completitud con el criterio de Cauchy.)

Solución

Solución de Ejercicio 14.11.

Unicidad: dos puntos fijos $\ell \neq \ell'$ darían $\abs{\ell - \ell'} = \abs{f(\ell) - f(\ell')} \leq k\abs{\ell - \ell'} < \abs{\ell - \ell'}$ , absurdo.

Existencia: $g(x) = f(x) - x$ cumple, por la desigualdad del valor medio, $f(x) \leq f(0) + k\abs x$ ; así, para $x \geq \frac{\abs{f(0)}}{1 - k}$ se tiene $g(x) \leq f(0) + kx - x \leq 0$ , y simétricamente $g(-x) \geq 0$ para $x$ grande. El teorema del valor intermedio da un cero $\ell$ de $g$ : un punto fijo.

Convergencia: otra vez la desigualdad del valor medio:

\abs{u_{n+1} - \ell} = \abs{f(u_n) - f(\ell)} \leq k\abs{u_n - \ell},

luego, por inducción, $\abs{u_n - \ell} \leq k^n \abs{u_0 - \ell} \to 0$ .

Ejercicio 14.12 ★★★

(Teorema del valor medio de Cauchy y regla de l’Hôpital)

Sean $f, g$ continuas en $\intcc{a}{b}$ y derivables en $\intoo{a}{b}$ , con $g'$ nunca nula ahí. Demuéstrese que $g(b) \neq g(a)$ y que algún $c \in \intoo{a}{b}$ cumple

$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

(aplíquese Rolle a $h = f - \lambda g$ con la constante $\lambda$ adecuada).
Dedúzcase la regla de l’Hôpital en la forma $\frac00$ en un punto: si $f(a) = g(a) = 0$ y $\frac{f'(x)}{g'(x)} \to \ell$ cuando $x \to a^+$ , entonces $\frac{f(x)}{g(x)} \to \ell$ .
Véase que el recíproco falla: para $f(x) = x^2\sin\frac1x$ ( $f(0) = 0$ ) y $g(x) = x$ , el cociente $\frac{f}{g}$ tiene límite en $0$ , pero $\frac{f'}{g'}$ no lo tiene.

Solución

Solución de Ejercicio 14.12.

Si $g(b) = g(a)$ , Rolle daría un cero interior de $g'$ : excluido. Póngase $\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$ y $h = f - \lambda g$ : $h$ es continua en $\intcc{a}{b}$ , derivable dentro, y $h(b) - h(a) = f(b) - f(a) - \lambda(g(b) - g(a)) = 0$ . Rolle proporciona $c$ con $h'(c) = 0$ , es decir, $f'(c) = \lambda\,g'(c)$ ; divídase por $g'(c) \neq 0$ .
Para $x > a$ próximo a $a$ , el apartado (1) en $\intcc{a}{x}$ (donde $g' \neq 0$ ) da $g(x) \neq 0$ y $c_x \in \intoo{a}{x}$ con

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} .$

Cuando $x \to a^+$ , $c_x \to a^+$ (emparedado), luego el miembro derecho tiende a $\ell$ : $\frac{f}{g} \to \ell$ .
$\frac{f(x)}{g(x)} = x\sin\frac1x \to 0$ , mientras que $\frac{f'(x)}{g'(x)} = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ no tiene límite en $0$ (Ejercicio 14.2): la regla de l’Hôpital transfiere información solo de $\frac{f'}{g'}$ a $\frac fg$ , nunca al revés.

14.5 Problema: la desigualdad de Liouville y el primer número trascendente

Problema 14.1

Problema del fin de semana — los números algebraicos repelen a los racionales: $\abs{x - p/q} \geq C/q^d$ , y la trascendencia de $\sum 10^{-n!}$

Un número real es algebraico cuando es raíz de un polinomio no nulo con coeficientes enteros, y trascendente en caso contrario. En 1844, Liouville produjo el primer número del que se demostró que era trascendente, y el motor de su demostración es el teorema del valor medio de este capítulo: un número algebraico de grado $d$ no se puede aproximar por racionales mejor que $C/q^d$ — de modo que un número aproximable más deprisa que toda potencia no puede ser algebraico. Este problema construye la desigualdad, construye el número de Liouville $L = 0.110001000\dots$ (unos en las posiciones factoriales, con la maquinaria de cifras del Problema 10.1), demuestra su trascendencia y termina con la demostración rival de Cantor y con cotas efectivas para $\sqrt2$ y $2^{1/3}$ .

Parte I — ¿Con qué precisión se pueden aproximar los racionales?

Véase que dos racionales distintos $\frac ab \neq \frac pq$ (escritos con $b, q \geq 1$ ) cumplen $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{bq}$ . Dedúzcase: si $x = \frac ab$ y $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{bq}$ , no existe tal $\frac pq$ — un racional repele a todos los demás racionales a escala $\frac 1q$ .
Demuéstrese que para todo racional $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ): $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{4q^2}$ (si la distancia supera $1$ está claro; en caso contrario, acótese $\abs{\sqrt2 + p/q} < 4$ y úsese el entero no nulo $\abs{p^2 - 2q^2} \geq 1$ ).
En la otra dirección: compruébese que $(p, q) \mapsto (p + 2q, p + q)$ conserva $\abs{p^2 - 2q^2} = 1$ , genérense a partir de $(1,1)$ las parejas $(3,2)$ , $(7,5)$ , $(17,12)$ , $(41,29)$ , $(99,70)$ , y véase que cada una cumple

$\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2\,(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} :$

infinitas aproximaciones de orden $2$ . Junto con la pregunta 2: el exponente de aproximación de $\sqrt 2$ es exactamente $2$ .
(Dirichlet) Sea $x$ irracional y $N \in \N^*$ . Considérense las $N + 1$ partes fraccionarias de $0, x, 2x, \dots, Nx$ en las $N$ cajas $\intco{\frac kN}{\frac{k + 1}{N}}$ : por el principio del palomar (Corolario 2.3), dos caen en la misma caja. Dedúzcanse $q \leq N$ y $p$ con $\abs{qx - p} < \frac 1N$ , y por tanto infinitos racionales con $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ : todo irracional es aproximable al orden $2$ .

Parte II — La desigualdad de Liouville. Sea $x$ irracional y algebraico.

Véase que entre los polinomios enteros no nulos que se anulan en $x$ hay uno, digamos $P$ de grado $d$ , sin ninguna raíz racional; y compruébese que $d \geq 2$ (divídase por un factor $X - \frac ab$ sobre $\Q$ y quítense denominadores; el grado $1$ haría racional a $x$ ).
Véase que para todo racional $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ): $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq \frac{1}{q^d}$ ( $q^d P(p/q)$ es un entero no nulo).
Sea $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} \abs{P'}$ (Teorema 13.13). Usando el teorema del valor medio entre $x$ y $\frac pq$ , demuéstrese la desigualdad de Liouville: con $C = \min\bigl(1, \frac 1M\bigr) > 0$ ,

$\Bigl| x - \frac pq \Bigr| \geq \frac{C}{q^{\,d}} \qquad\text{para todo racional } \frac pq,\ q \geq 1 .$
Llámese a $x$ número de Liouville cuando para todo $n \in \N$ existe un racional $\frac pq$ con $q \geq 2$ y $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < q^{-n}$ . Demuéstrese que un número de Liouville es irracional (pregunta 1: elíjase $n$ con $2^{\,n-1} > b$ ).
Demuéstrese el teorema de Liouville: un número de Liouville es trascendente (combínense las preguntas 7 y 8: la desigualdad $C < q^{\,d-n}$ falla para $n$ grande).

Parte III — El número $L$ .

Sea $L$ el valor (en el sentido del Problema 10.1) de la cadena de cifras decimales con la cifra $1$ en las posiciones $n!$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ) y $0$ en las demás, es decir, $L = \sup_k t_k$ con $t_k = \sum_{n=1}^{k} 10^{-n!}$ . Escríbanse las primeras $25$ cifras de $L$ .
Demuéstrese el encuadre de la cola, para todo $k \geq 1$ :

$10^{-(k+1)!} \;\leq\; L - t_k \;\leq\; \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} \;<\; 2\cdot 10^{-(k+1)!}$

(acótese toda suma parcial más allá de $t_k$ por una suma geométrica finita).
Escríbase $t_k = \frac{p_k}{q_k}$ con $q_k = 10^{k!}$ . Véase que $0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}}$ y conclúyase que $L$ es un número de Liouville en el sentido de la pregunta 8.
Conclúyase: $L$ es trascendente — el primer ejemplo explícito de la historia (Liouville, 1844). Compruébese además su irracionalidad directamente: sus cifras no son finalmente periódicas (huecos crecientes, como en el Problema 10.1, pregunta 20).
Generalícese: sustitúyase cada cifra $1$ por una cifra no nula arbitraria $d_n \in \intint{1}{9}$ . Véase que el valor sigue siendo un número de Liouville, y dedúzcase —por el argumento diagonal del Problema 10.1 (pregunta 22) aplicado a estas elecciones de cifras— que hay no numerablemente muchos números trascendentes de esta forma.

Parte IV — La jerarquía de los órdenes de aproximación. Dígase que $x$ es aproximable al orden $\mu$ cuando para alguna constante $c > 0$ hay infinitos racionales que cumplen $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^{\mu}}$ .

Móntese la jerarquía a partir de las partes I–III: los racionales son aproximables al orden $1$ y no mejor; $\sqrt 2$ al orden $2$ y no mejor; todo irracional, al menos al orden $2$ ; un número algebraico de grado $d$ , a ningún orden más allá de $d$ ; y los números de Liouville, a todo orden. Justifíquese cada afirmación citando la pregunta pertinente.
Véase que $L + r$ es un número de Liouville para todo racional $r = \frac ab$ (tradúzcanse los aproximantes: los nuevos denominadores son $b\,q_k$ ). Conclúyase que los números de Liouville —y por tanto los trascendentes— son densos en $\R$ .
(Cantor, 1874) Demuéstrese que el conjunto de los números algebraicos es numerable: hay finitos polinomios enteros cuyo grado más la suma de los $\abs{\text{coeficientes}}$ está acotada por $h$ , cada uno con a lo sumo $\deg$ raíces; y una unión numerable de conjuntos finitos es numerable. Como ninguna sucesión agota $\R$ (Problema 10.1, pregunta 22), existen números trascendentes — y de hecho forman un conjunto no numerable. Compárense las dos demostraciones: ¿qué da la de Liouville que la de Cantor no puede dar?
Demuéstrese directamente, a partir de la pregunta 2, que $\sqrt 2$ no es un número de Liouville (para $n \geq 3$ , la desigualdad $q^{-n} > \frac{1}{4q^2}$ acota $q$ ; y entonces solo quedan finitos racionales candidatos, todos a distancia positiva de $\sqrt2$ ). Generalícese: ningún número algebraico es de Liouville.

Parte V — Constantes efectivas.

Para la pareja de Pell $(99, 70)$ : compruébese $99^2 - 2\cdot70^2 = 1$ y evalúese el error exacto

$\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{-1}{70^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac{99}{70}\bigr)}, \qquad \Bigl|\sqrt 2 - \frac{99}{70}\Bigr| \approx 7.2\cdot 10^{-5} :$

cinco cifras correctas a partir de una fracción de tres cifras.
Aplíquese la parte II a $x = 2^{1/3}$ , $P = X^3 - 2$ : compruébese que $P$ no tiene raíz racional, acótese $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 16$ , y conclúyase la desigualdad efectiva

$\Bigl| 2^{1/3} - \frac pq \Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad \text{para todo } \frac pq .$
Recompensa: véase que todo racional que aproxime $2^{1/3}$ con error menor que $10^{-6}$ tiene denominador $q \geq 40$ .
Véase que la base $10$ es irrelevante: el análogo binario $\sum_{n\geq1} 2^{-n!}$ (valor de la cadena binaria con unos en las posiciones factoriales) también es un número de Liouville y, por tanto, trascendente.

Parte VI — Fronteras y síntesis.

Sea $x^\dagger$ el valor de la cadena decimal con unos exactamente en las posiciones $3^k$ ( $k \geq 0$ ). Véase que $x^\dagger$ es aproximable al orden $3$ , y dedúzcase de la desigualdad de Liouville que $x^\dagger$ no es racional ni irracional cuadrático. Explíquese por qué el método se atasca ahí: el orden $3$ es compatible con ser algebraico de grado $\geq 3$ , y cerrar esa brecha (basta cualquier exponente $> 2$ , para todo número algebraico) es el teorema de Roth, muy por encima de este volumen.
Cuantifíquese a Cantor: véase que los números algebraicos de grado $\leq d$ dados por polinomios con coeficientes en $\intint{-H}{H}$ son a lo sumo $d\,(2H + 1)^{d+1}$ . (Esta finitud es lo que hizo funcionar la pregunta 17.)
Síntesis, una frase para cada punto: (i) localícese el único ingrediente analítico de la demostración de Liouville (qué teorema de este capítulo y dónde se usa); (ii) enúnciese la tensión que la impulsa (la integralidad fuerza $\abs{P(p/q)} \geq q^{-d}$ , la suavidad prohíbe $\abs{P(p/q)} > M\abs{x - p/q}$ ); (iii) contrástense las demostraciones de Liouville y de Cantor de la existencia de números trascendentes; (iv) nómbrese dónde vuelve este volumen sobre el tema — el problema del fin de semana del Capítulo 15 demuestra que $\pi$ es irracional con el mismo emparedado de integralidad contra pequeñez, con integrales en lugar de derivadas.

Solución

Solución de Problema 14.1.

1. $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| = \frac{\abs{aq - bp}}{bq}$ , y $aq - bp$ es un entero no nulo cuando las fracciones son distintas: la distancia es $\geq \frac{1}{bq}$ . Así pues, ningún racional distinto del propio $x$ entra en el intervalo perforado de radio $\frac{1}{bq}$ en torno a $x = \frac ab$ .

2. Si $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq 1 \geq \frac{1}{4q^2}$ , listo. En caso contrario, $\frac pq \in \intoo{\sqrt2 - 1}{\sqrt2 + 1}$ , luego $0 < \sqrt2 + \frac pq < 2\sqrt2 + 1 < 4$ . Como $\sqrt 2 \notin \Q$ , $p^2 - 2q^2$ es un entero no nulo, y

\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{\abs{2q^2 - p^2}}{q^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac pq\bigr)} \geq \frac{1}{4q^2} .

3. $(p + 2q)^2 - 2(p + q)^2 = -(p^2 - 2q^2)$ : el valor $\pm1$ se propaga. A partir de $(1,1)$ :

(3,2),\ (7,5),\ (17,12),\ (41,29),\ (99,70),

con $p^2 - 2q^2$ alternando $-1, +1, \dots$ Para estas, $\frac pq \geq 1$ , luego $\sqrt2 + \frac pq > 2$ y

\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} ,

con $q \to \infty$ : infinitas aproximaciones de orden $2$ . Junto con la pregunta 2, el exponente $2$ es exacto para $\sqrt 2$ .

4. Los $N + 1$ números $kx - \lfloor kx\rfloor$ ( $0 \leq k \leq N$ ) están en las $N$ cajas $\intco{\frac jN}{\frac{j+1}{N}}$ : dos comparten caja (Corolario 2.3), digamos para $i < j$ . Con $q = j - i \leq N$ y $p = \lfloor jx\rfloor - \lfloor ix\rfloor$ : $\abs{qx - p} < \frac1N$ , luego $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{Nq} \leq \frac{1}{q^2}$ . Haciendo $N \to \infty$ : como $x$ es irracional, cada fracción fija está a distancia positiva de $x$ , mientras que $\frac{1}{Nq} \leq \frac 1N \to 0$ obliga a que aparezcan fracciones nuevas: infinitas $\frac pq$ distintas con $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ .

5. Pártase de cualquier $P_0$ entero no nulo con $P_0(x) = 0$ . Si $P_0$ tiene una raíz racional $\frac ab$ , el teorema del factor (Teorema 8.7) escribe $P_0 = \bigl(X - \frac ab\bigr)Q$ con $Q \in \Q[X]$ ; como $x \neq \frac ab$ ( $x$ es irracional), $Q(x) = 0$ , y quitando denominadores se obtiene un polinomio entero no nulo de grado menor que se anula en $x$ . El grado baja en cada paso, así que el proceso termina: se llega a $P \in \Z[X]$ , $P(x) = 0$ , sin raíz racional, de cierto grado $d$ . Si $d \leq 1$ , $P = uX + v$ haría racional a $x = -\frac vu$ : luego $d \geq 2$ .

6. $q^d\,P\bigl(\frac pq\bigr) = a_d p^d + a_{d-1} p^{d-1} q + \dots + a_0 q^d$ es un entero, y es no nulo porque $P$ no tiene raíz racional: $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq q^{-d}$ .

7. Nótese que $M > 0$ : $P'$ es un polinomio no nulo ( $d \geq 2$ ), luego no puede anularse idénticamente en $\intcc{x-1}{x+1}$ . Si $\bigl|x - \frac pq\bigr| > 1$ , entonces supera $\frac{C}{q^d}$ trivialmente. En caso contrario, $\frac pq \in \intcc{x-1}{x+1}$ y el teorema del valor medio (Teorema 14.9) da $c$ entre $x$ y $\frac pq$ con

\Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr)\Bigr| = \Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr) - P(x)\Bigr| = \abs{P'(c)}\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| \leq M\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| ,

luego, con la pregunta 6: $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{Mq^d} \geq \frac{C}{q^d}$ .

8. Supóngase que $x = \frac ab$ es de Liouville. Tómense $n$ con $2^{n-1} > b$ y el $\frac pq$ correspondiente, $q \geq 2$ :

0 < \Bigl|x - \frac pq\Bigr| < \frac{1}{q^n} = \frac{1}{q^{n-1}\,q} \leq \frac{1}{2^{n-1} q} < \frac{1}{bq} ,

en contradicción con la pregunta 1. Luego los números de Liouville son irracionales.

9. Si un $x$ de Liouville fuese algebraico: es irracional (pregunta 8), luego las preguntas 5–7 proporcionan $d \geq 2$ y $C > 0$ con $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^d}$ siempre. Para cada $n$ , el aproximante de Liouville da $\frac{C}{q^d} < q^{-n}$ , es decir, $C < q^{d-n} \leq 2^{d-n}$ (pues $q \geq 2$ ). Y para $n$ grande, $2^{d-n} < C$ : contradicción. Los números de Liouville son trascendentes.

10. Unos en las posiciones $1, 2, 6, 24$ ; todas las demás cifras entre las $25$ primeras se anulan:

L = 0.1100010000\,0000000000\,00010\dots

11. Para $m > k$ , las posiciones $n!$ con $n > k$ son enteros distintos $\geq (k+1)!$ , de modo que la suma geométrica finita da

t_m - t_k = \sum_{n=k+1}^{m} 10^{-n!} \leq \sum_{j = (k+1)!}^{m!} 10^{-j} < 10^{-(k+1)!}\,\frac{1}{1 - \frac1{10}} = \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} ;

tomando el supremo sobre $m$ : $L - t_k \leq \frac{10}{9}10^{-(k+1)!} < 2\cdot10^{-(k+1)!}$ . Cota inferior: $L \geq t_{k+1} = t_k + 10^{-(k+1)!}$ .

12. $p_k = 10^{k!}\,t_k \in \N$ , $q_k = 10^{k!}$ , y $(k+1)! = (k+1)\,k!$ da $10^{-(k+1)!} = q_k^{-(k+1)}$ : la pregunta 11 dice

0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}} .

Dado $n$ : para $k \geq n$ , $2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ (en efecto, $q_k^{\,k+1-n} \geq q_k \geq 10 > 2$ ), y $q_k \geq 2$ : se cumple la definición de la pregunta 8. $L$ es un número de Liouville.

13. Por la pregunta 9, $L$ es trascendente — el primer número de la historia del que se demostró la trascendencia (Liouville, 1844). Comprobación con las cifras: la cadena tiene infinitos unos con huecos consecutivos $(k+1)! - k! = k\cdot k! \to \infty$ , luego no es finalmente periódica, y $L \notin \Q$ por el criterio de periodicidad del Problema 10.1 (pregunta 18) — coherente.

14. Con cifras $d_n \in \intint{1}{9}$ en las posiciones factoriales: la cota de la cola de la pregunta 11 se multiplica a lo sumo por $9$ : $0 < L' - t'_k \leq 9\cdot\frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} = 10\,q_k^{-(k+1)}$ (la positividad, porque la cifra en la posición $(k+1)!$ es no nula). Para $k \geq n$ : $10\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ , pues $q_k^{\,k+1-n} \geq 10$ : de nuevo un número de Liouville y, por tanto, trascendente. Estos valores son distintos dos a dos para elecciones de cifras distintas (las cadenas son propias —abundan los ceros— y las cadenas propias determinan su valor, Problema 10.1, pregunta 10). Dada una lista cualquiera $k \mapsto x_k$ de ellos, elíjase la $k$ -ésima cifra factorial en $\intint{1}{9}$ distinta de la de $x_k$ : un número de la misma forma que falta en la lista. No numerablemente muchos trascendentes explícitos.

15. Primero un lema: si $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^s}$ para todo $\frac pq \neq x$ , entonces $x$ no es aproximable a ningún orden $\mu > s$ . En efecto, infinitas $\frac pq \neq x$ con $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^\mu}$ forzarían $\frac{C}{q^s} < \frac{c}{q^\mu}$ , es decir, $q^{\mu - s} < \frac cC$ : los $q$ están acotados, y solo hay una cantidad acotada de fracciones a distancia $1$ de $x$ — finitos candidatos, no infinitos. Ahora la jerarquía: los racionales son aproximables al orden $1$ ( $\frac pq$ con $p = \lfloor qx\rfloor + 1$ da error $\leq \frac1q < \frac2q$ ) y a ningún orden $\mu > 1$ (la pregunta 1 da la hipótesis del lema con $s = 1$ , $C = \frac1b$ ); $\sqrt2$ : al orden $2$ (pregunta 3) y no más (pregunta 2 y el lema); todo irracional: al menos $2$ (pregunta 4); los algebraicos de grado $d$ : a lo sumo $d$ (pregunta 7 y el lema); y los números de Liouville: a todo orden (la fórmula de la pregunta 12, con $c = 2$ ).

16. Con $r = \frac ab$ : $\frac{p_k}{q_k} + \frac ab = \frac{b p_k + a q_k}{b q_k} =: \frac{P_k}{Q_k}$ , $Q_k = b q_k \geq 2$ , y

\Bigl|(L + r) - \frac{P_k}{Q_k}\Bigr| = L - \frac{p_k}{q_k} < 2\,q_k^{-(k+1)} = 2\,b^{\,k+1} Q_k^{-(k+1)} .

Dado $n$ : para $k$ grande, $Q_k^{\,k+1-n} \geq Q_k = b\,10^{k!} \geq 2\,b^{\,k+1}$ (el factorial aplasta a la potencia), luego el error es $< Q_k^{-n}$ : $L + r$ es de Liouville. Y como $\Q$ es denso y cada $L + r$ es trascendente, los números trascendentes son densos en $\R$ .

17. Para $h \geq 1$ hay finitos $P \in \Z[X]$ con $\deg P + \sum_i \abs{a_i} \leq h$ (grado $\leq h$ y cada coeficiente en $\intint{-h}{h}$ : a lo sumo $(2h+1)^{h+1}$ ). Todo polinomio entero no nulo tiene una altura así, y tiene a lo sumo $\deg P$ raíces reales: los números algebraicos forman una unión numerable (sobre $h$ ) de conjuntos finitos y, por tanto, se pueden enumerar en una sola sucesión. Si los trascendentes también se pudieran enumerar, intercalar las dos listas enumeraría $\R$ , en contradicción con el Problema 10.1 (pregunta 22). Luego los números trascendentes forman un conjunto no numerable. Comparación: Cantor demuestra que casi todos los reales son trascendentes sin exhibir ninguno; Liouville exhibe uno, con constantes efectivas (parte V) — existencia por abundancia frente a existencia por construcción.

18. Por la pregunta 2, la hipótesis del lema se cumple con $s = 2$ , $C = \frac14$ . Si $\sqrt2$ fuera de Liouville, entonces para $n = 3$ : $\frac{1}{4q^2} < q^{-3}$ obliga a $q < 4$ , luego $q \in \{2, 3\}$ ; y solo hay finitas $\frac pq$ con esos $q$ a distancia $1$ de $\sqrt2$ , cada una a cierta distancia positiva $\geq \varepsilon_0$ ( $\sqrt2$ es irracional); eligiendo $n$ con $2^{-n} < \varepsilon_0$ no queda ninguna $\frac pq$ admisible: contradicción. El mismo argumento con $\frac{C}{q^d}$ muestra que ningún número algebraico es de Liouville — la pregunta 9 con ropa efectiva.

19. $99^2 - 2\cdot70^2 = 9801 - 9800 = 1$ . Por tanto,

\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{2 - (99/70)^2}{\sqrt2 + 99/70} = \frac{-1}{4900\,\bigl(\sqrt2 + \tfrac{99}{70}\bigr)} , \qquad \Bigl|\sqrt2 - \frac{99}{70}\Bigr| = \frac{1}{4900 \times 2.8284\dots} \approx 7.2\cdot10^{-5} :

$\frac{99}{70} = 1.414285\dots$ frente a $\sqrt2 = 1.414213\dots$ — cinco cifras correctas.

20. Test de raíces racionales para $P = X^3 - 2$ : candidatas $\pm1, \pm2, \pm\frac12$ , y ninguna es raíz. Luego $d = 3$ y la parte II se aplica a $x = 2^{1/3} = 1.2599\dots$ En $\intcc{x - 1}{x + 1} \subseteq \intcc{0.25}{2.26}$ : $\abs{P'(t)} = 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 3\times(2.26)^2 = 15.32 < 16$ , luego $M < 16$ y $C \geq \frac{1}{16}$ :

\Bigl|2^{1/3} - \frac pq\Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad\text{para todos los racionales.}

21. Si $\bigl|2^{1/3} - \frac pq\bigr| < 10^{-6}$ , entonces $\frac{1}{16 q^3} < 10^{-6}$ , es decir, $q^3 > \frac{10^6}{16} = 62\,500$ ; y como $39^3 = 59\,319 < 62\,500 \leq 64\,000 = 40^3$ : $q \geq 40$ .

22. Ejecútese la parte III en base $2$ : $B = \sup_k \sum_{n\leq k} 2^{-n!}$ , $q_k = 2^{k!}$ , y la cola geométrica (de razón $\frac12$ ) da $0 < B - \frac{p_k}{q_k} \leq 2\cdot2^{-(k+1)!} = 2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ para $k \geq n$ . Luego $B$ es de Liouville y, por tanto, trascendente: nada en el argumento es decimal.

23. Con unos en las posiciones $3^k$ : $q_k = 10^{3^k}$ y la cota de la cola da $0 < x^\dagger - \frac{p_k}{q_k} < 2\cdot10^{-3^{k+1}} = 2\,q_k^{-3}$ (pues $3^{k+1} = 3\cdot3^k$ ): infinitas aproximaciones de orden $3$ . Por el lema de la pregunta 15: el orden $3 > 1$ excluye la racionalidad, y el orden $3 > 2$ excluye ser un irracional cuadrático (cuya desigualdad de Liouville tiene $s = d = 2$ ). Pero un número algebraico de grado $\geq 3$ solo es repelido al orden $d \geq 3$ : el método de Liouville no puede separar $x^\dagger$ de los cúbicos. La brecha la cierra el teorema de Roth —todo irracional algebraico tiene orden de aproximación exactamente $2$ —, un resultado del siglo XX muy por encima de este volumen; admitido este, $x^\dagger$ también es trascendente.

24. Hay a lo sumo $(2H+1)^{d+1}$ tuplas $(a_0, \dots, a_d)$ con entradas en $\intint{-H}{H}$ , y cada polinomio no nulo de entre ellos tiene a lo sumo $d$ raíces reales: surgen a lo sumo $d\,(2H+1)^{d+1}$ números algebraicos — la finitud que permitió a la pregunta 17 enumerarlos todos.

25. (i) El único ingrediente analítico es el teorema del valor medio, en la pregunta 7, que convierte la anulación $P(x) = 0$ en la repulsión lipschitziana $\abs{P(p/q)} \leq M\abs{x - p/q}$ . (ii) La tensión: la integralidad empuja $\abs{P(p/q)}$ hacia arriba, hasta $q^{-d}$ , y la suavidad tira de él hacia abajo, hasta $M\abs{x - p/q}$ — un racional demasiado próximo a $x$ quedaría aplastado entre ambas. (iii) Liouville construye un trascendente con constantes efectivas; Cantor demuestra que casi todos los reales son trascendentes sin nombrar ninguno: construcción frente a cardinal. (iv) El problema del fin de semana del Capítulo 15 demuestra la irracionalidad de $\pi$ con el mismo emparedado —una integral que sería un entero positivo y, sin embargo, queda atrapada en $\intoo{0}{1}$ — con la integración en el papel analítico que aquí hace la derivación.