Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

12Derivación: un primer curso

¿Con qué rapidez cambia una función? La respuesta en un punto concreto es la derivada, el número más útil de todas las matemáticas aplicadas. Este capítulo la construye a partir de las tasas de variación medias, la calcula para las funciones de referencia y usa su signo para leer la variación de una función. Todo esto se amplía y se profundiza en el Capítulo 22.

12.1 La tasa de variación media

Definición 12.1 (Tasa de variación media)

Sea $f$ definida en un intervalo $I$ y sean $a \neq b$ en $I$ . La tasa de variación media de $f$ entre $a$ y $b$ es

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $\bigl(a, f(a)\bigr)$ y $\bigl(b, f(b)\bigr)$ de la curva.

Ejemplo 12.2

Un coche recorre $140$ km entre las 2 y las 4 de la tarde: su velocidad media es $\frac{140}{2} = 70$ km/h. El velocímetro, en cambio, muestra una velocidad instantánea en cada momento; esa es exactamente la noción que la derivada hace precisa.

12.2 La derivada en un punto

Definición 12.3 (Derivada en un punto)

Sea $f$ definida en un intervalo que contiene a $a$ . Para $h \neq 0$ , formamos la tasa de variación media entre $a$ y $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Si $r(h)$ se acerca a un único número fijo cuando $h$ se aproxima arbitrariamente a $0$ , decimos que $f$ es derivable en $a$ ; ese número es la derivada de $f$ en $a$ , que se escribe $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Ejemplo 12.4

Sea $f(x) = x^2$ y $a = 1$ . Para $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

Cuando $h$ se acerca a $0$ , esto se acerca a $2$ : la función $x^2$ es derivable en $1$ y $f'(1) = 2$ . Fíjate en la estrategia: simplificar el cociente hasta que $h$ deje de aparecer en un denominador y hacer después $h \to 0$ .

Ejemplo 12.5 (Un punto sin derivada)

Sea $f(x) = \abs{x}$ y $a = 0$ . Entonces $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$ , que vale $1$ para $h > 0$ y $-1$ para $h < 0$ : no se acerca a ningún número único, así que $\abs x$ no es derivable en $0$ . Su curva tiene ahí un pico.

12.3 La recta tangente

Definición 12.6 (Tangente)

Si $f$ es derivable en $a$ , la tangente a la curva en el punto $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ es la recta que pasa por $A$ con pendiente $f'(a)$ . Su ecuación es

y = f(a) + f'(a)(x - a).

La tangente es la posición límite de las secantes que pasan por $A$ : cuando $h \to 0$ , el segundo punto $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ se desliza por la curva hacia $A$ y la pendiente de la secante, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , se acerca a $f'(a)$ .

La secante que pasa por A y B = (a+h, f(a+h) ) tiene pendiente f(a+h)-f(a)/h. Cuando B se desliza hacia A, la secante se inclina hasta convertirse en la tangente, cuya pendiente es f'(a). — La secante que pasa por $A$ y $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ tiene pendiente $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Cuando $B$ se desliza hacia $A$ , la secante se inclina hasta convertirse en la tangente, cuya pendiente es $f'(a)$ .

Ejemplo 12.7

Para $f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $f(1) = 1$ y $f'(1) = 2$ (Ejemplo 12.4), así que la tangente es

y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .

Es la recta $d_2$ hallada por álgebra pura en el Ejercicio 10.11.

12.4 Derivadas de las funciones de referencia

Proposición 12.8

En sus dominios de derivabilidad:

(c)' = 0, \quad (x)' = 1, \quad (x^2)' = 2x, \quad (x^3)' = 3x^2, \quad \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).

Más en general, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ para todo entero $n \geq 1$ .

Demostración. Cada demostración sigue la estrategia del Ejemplo 12.4: simplificar la tasa y hacer después $h \to 0$ . Fijemos $a$ en el dominio.

Constante e identidad. $\frac{c - c}{h} = 0$ y $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ para todo $h$ : los límites son $0$ y $1$ .

Cuadrado. $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a$ .

Cubo. $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ , así que la tasa es $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ .

Inverso. Para $a \neq 0$ y $h$ suficientemente pequeño para que $a + h \neq 0$ :

\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.

Raíz cuadrada. Para $a > 0$ , multiplicamos por el conjugado:

\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h} = \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.

Potencia general. El patrón $2a$ , $3a^2$ continúa: al desarrollar $(a+h)^n$ , todos los términos posteriores a $a^n + n\,a^{n-1}h$ llevan $h^2$ , así que la tasa tiende a $n\,a^{n-1}$ . (En el Capítulo 22 se da una inducción completa.) ∎

12.5 Reglas de derivación

Teorema 12.9 (Operaciones)

Sean $u$ y $v$ derivables en $I$ y sea $\lambda \in \R$ . Entonces $u + v$ , $\lambda u$ y $uv$ son derivables en $I$ , igual que $\frac{u}{v}$ allí donde $v \neq 0$ , y

(u+v)' = u' + v', \qquad (\lambda u)' = \lambda u', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Demostración de las tres primeras reglas. Fijemos $a \in I$ y abreviemos $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ y $\Delta v = v(a+h) - v(a)$ .

Suma. La tasa de $u + v$ es $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h} \to u'(a) + v'(a)$ .

Múltiplo. La tasa de $\lambda u$ es $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$ .

Producto. Sumamos y restamos el término mixto $u(a+h)\,v(a)$ :

\begin{align*} \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} &= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\ &= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}. \end{align*}

Cuando $h \to 0$ : $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$ , $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ y $u(a+h) \to u(a)$ (su tasa tiene límite, luego $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$ ). Por tanto, la tasa tiende a $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$ .

La regla del cociente se demuestra por el mismo camino; aquí se admite a este nivel y se demuestra en el Capítulo 22. ∎

Ejemplo 12.10

Polinomio. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ :

f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .

Cociente. $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$ : con $u = 2x + 1$ y $v = x^2 + 1$ ,

g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.

Producto. $k(x) = x\sqrt x$ para $x > 0$ : $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$ .

12.6 Signo de la derivada y variación

Teorema 12.11 (Derivada y variación)

Sea $f$ derivable en un intervalo $I$ .

Si $f' \geq 0$ en $I$ , entonces $f$ es creciente en $I$ .
Si $f' \leq 0$ en $I$ , entonces $f$ es decreciente en $I$ .
Si $f' > 0$ en $I$ (salvo, quizá, en un número finito de puntos donde se anula), entonces $f$ es estrictamente creciente en $I$ .

Demostración. La intuición está clara (una curva cuyas tangentes apuntan todas hacia arriba tiene que subir), pero una demostración rigurosa necesita el teorema del valor medio. El resultado se admite a este nivel; véase el Teorema 22.7. ∎

Proposición 12.12 (Extremos)

Si $f'$ cambia de signo en $a$ de $+$ a $-$ , entonces $f$ tiene un máximo relativo en $a$ ; si cambia de $-$ a $+$ , un mínimo relativo. En un punto así, $f'(a) = 0$ y la tangente es horizontal.

Demostración. Si $f' \geq 0$ en un intervalo que termina en $a$ y $f' \leq 0$ en un intervalo que empieza en $a$ , entonces $f$ crece hasta $f(a)$ y decrece después (Teorema 12.11): $f(a)$ es el mayor valor de los alrededores. Como $f'$ cambia de signo en $a$ y está definida allí, $f'(a) = 0$ . ∎

Método 12.13 (Estudiar una función)

Calcula $f'(x)$ y simplifícala, a ser posible hasta una forma factorizada.
Determina el signo de $f'(x)$ en cada intervalo (si $f'$ es de segundo grado, usa el Teorema 10.11).
Recoge los resultados en una tabla de variación: una fila para el signo de $f'$ y otra de flechas para $f$ , con los valores de $f$ en los puntos donde cambia el sentido.
Concluye: extremos, número de soluciones de $f(x) = k$ , desigualdades.

Ejemplo 12.14

Estudiemos $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en $\R$ . En primer lugar, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : un trinomio de raíces $-1$ y $1$ , positivo fuera de ellas. Así pues, $f$ es creciente en $\intoc{-\infty}{-1}$ , decreciente en $\intcc{-1}{1}$ y creciente en $\intco{1}{+\infty}$ , con un máximo relativo $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ y un mínimo relativo $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ .

La curva de f(x) = x3 - 3x + 1 (): tangentes horizontales (en naranja) en el máximo relativo (-1, 3) y en el mínimo relativo (1, -1), donde f' cambia de signo. — La curva de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (Ejemplo 12.14): tangentes horizontales (en naranja) en el máximo relativo $(-1, 3)$ y en el mínimo relativo $(1, -1)$ , donde $f'$ cambia de signo.

Ejemplo 12.15 (Optimización)

Se fabrica una caja abierta a partir de una lámina de $12 \times 12$ cm recortando un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y doblando. Su volumen es $V(x) = x(12 - 2x)^2$ para $0 < x < 6$ . Desarrollando, $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ , luego

V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).

En $\intoo{0}{6}$ , el factor $x - 6$ es negativo, así que $V'(x)$ tiene el signo de $-(x-2)$ : positivo antes de $2$ y negativo después. El volumen es máximo para $x = 2$ cm, y vale $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm $^3$ .

12.7 Ejercicios

Ejercicio 12.1 ★

Usando la definición (la tasa de variación y después $h \to 0$ ), calcula $f'(2)$ para $f(x) = x^2$ y después $g'(1)$ para $g(x) = x^2 + 3x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

Para $f(x) = x^2$ en $a = 2$ :

\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h\to0]{} 4,

luego $f'(2) = 4$ . Para $g(x) = x^2 + 3x$ en $a = 1$ : $g(1) = 4$ y

\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to0]{} 5,

luego $g'(1) = 5$ .

Ejercicio 12.2 ★

Deriva:

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$ .

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (en $\intoo{0}{+\infty}$ ).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$ (regla del producto).

Ejercicio 12.3 ★

Da la ecuación de la tangente a la curva de $f$ en el punto de abscisa $a$ :

f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

$f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ : $f(2) = -2$ y $f'(x) = 2x - 3$ , luego $f'(2) = 1$ ; tangente $y = -2 + (x - 2) = x - 4$ .

$f(x) = \frac1x$ , $a = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = -1$ ; tangente $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$ .

$f(x) = \sqrt x$ , $a = 4$ : $f(4) = 2$ , $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ ; tangente $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$ .

Ejercicio 12.4 ★

Deriva los cocientes:

f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$ .

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (regla del cociente con $u = 1$ ).

Ejercicio 12.5 ★★

Estudia la variación de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ en $\R$ (tabla de variación y extremos relativos).

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$ : positiva fuera de $\intcc{1}{3}$ y negativa dentro. Así pues, $f$ es creciente en $\intoc{-\infty}{1}$ , decreciente en $\intcc{1}{3}$ y creciente en $\intco{3}{+\infty}$ , con un máximo relativo $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ y un mínimo relativo $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$ .

Ejercicio 12.6 ★★

Estudia la variación de $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ en $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

En $\intoo{-1}{+\infty}$ :

f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.

Para $x > -1$ , tanto $x + 3$ como $(x+1)^2$ son positivos, así que $f'(x)$ tiene el signo de $x - 1$ : $f$ es decreciente en $\intoc{-1}{1}$ y creciente en $\intco{1}{+\infty}$ , con mínimo $f(1) = \frac{4}{2} = 2$ .

Ejercicio 12.7 ★★

Sea $f(x) = x^2 - 4x + 5$ .

Halla el punto de la curva donde la tangente es horizontal.
Halla el punto o los puntos donde la tangente es paralela a la recta $y = 2x + 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

$f'(x) = 2x - 4$ .

1. Tangente horizontal: $f'(x) = 0$ en $x = 2$ ; el punto es $(2, f(2)) = (2, 1)$ (el vértice de la parábola).

2. Paralela a $y = 2x + 1$ significa pendiente $2$ : $2x - 4 = 2$ , luego $x = 3$ , lo que da el punto $(3, f(3)) = (3, 2)$ .

Ejercicio 12.8 ★★

Se construye un cercado rectangular apoyado en un muro con $60$ m de valla (tres lados). Expresa el área en función de la anchura $x$ y usa la derivada para hallar las dimensiones de área máxima. (Compara con el método del vértice del Capítulo 10.)

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

Con anchura $x$ (dos lados vallados) y largo $60 - 2x$ : $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ en $\intoo{0}{30}$ . Entonces $A'(x) = 60 - 4x$ , positiva antes de $x = 15$ y negativa después: el área es máxima para $x = 15$ , con un cercado de $15 \times 30$ m y área $450$ m $^2$ . La fórmula del vértice $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ del Capítulo 10 da la misma respuesta sin cálculo diferencial.

Ejercicio 12.9 ★★

Demuestra que para todo $x > 0$ se cumple $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ , estudiando la función $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ en $\intoo{0}{+\infty}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

Sea $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ en $\intoo{0}{+\infty}$ . Entonces

f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},

que tiene el signo de $\sqrt x - 1$ : negativa en $\intoo{0}{1}$ y positiva en $\intoo{1}{+\infty}$ . Así que $f$ decrece y después crece, con mínimo $f(1) = 1 - 1 = 0$ . Por tanto, $f(x) \geq 0$ para todo $x > 0$ , es decir, $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$ , con igualdad solo en $x = 1$ .

Ejercicio 12.10 ★★

Una lata cilíndrica debe contener $500$ cm $^3$ . Su superficie (los dos discos más el lateral) es $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ con $\pi r^2 h = 500$ . Expresa $S$ en función de $r$ sola y demuestra que $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$ . Deduce el radio que minimiza la superficie, en forma exacta.

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

De $\pi r^2 h = 500$ se obtiene $h = \frac{500}{\pi r^2}$ , luego

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.

$S'(r) = 0$ cuando $4\pi r^3 = 1000$ , es decir, $r^3 = \frac{250}{\pi}$ , luego $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ( $\approx 4.3$ cm). Como $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ es negativa antes de ese valor y positiva después, se trata de un mínimo.

Ejercicio 12.11 ★★★

¿Cuántas tangentes a la parábola $y = x^2$ pasan por el punto exterior $P(1, -3)$ ? Determina sus ecuaciones. (Llama $a$ a la abscisa del punto de contacto y expresa que la tangente en $a$ pasa por $P$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

La tangente a $y = x^2$ en el punto de abscisa $a$ es $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ . Pasa por $P(1, -3)$ cuando $-3 = 2a - a^2$ , es decir, $a^2 - 2a - 3 = 0$ , cuyas raíces son $a = 3$ y $a = -1$ ( $\Delta = 16$ ). Hay, por tanto, dos tangentes que pasan por $P$ :

y = 6x - 9 \quad (a = 3), \qquad y = -2x - 1 \quad (a = -1).

Ejercicio 12.12 ★★★

Sea $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (véase el Ejemplo 12.14). Usando la tabla de variación, determina el número de soluciones de la ecuación $f(x) = k$ según el valor del número real $k$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

Por el Ejemplo 12.14, $f$ crece hasta el máximo relativo $f(-1) = 3$ , decrece hasta el mínimo relativo $f(1) = -1$ y vuelve a crecer; para $x$ positivo grande (resp. negativo), $x^3$ domina y $f$ toma valores arbitrariamente grandes (resp. pequeños). Leyendo las rectas horizontales $y = k$ sobre la tabla de variación:

$k > 3$ o $k < -1$ : la recta corta la curva una vez: $1$ solución;
$k = 3$ o $k = -1$ : la recta toca un punto de giro y atraviesa otra rama: $2$ soluciones;
$-1 < k < 3$ : la recta atraviesa las tres ramas: $3$ soluciones.

12.8 Problema: Los tres oficios de la tangente

Problema 12.1

Problema de fin de semana — el espejo parabólico demostrado, la máquina de Newton para hallar raíces y la viga más resistente que da un tronco

Una derivada traza tangentes; suena a talento modesto. Este problema muestra a la tangente desempeñando tres oficios a la vez: demuestra el teorema del faro que quedó pendiente en el Problema 10.1 (todo rayo paralelo al eje de una parábola se refleja pasando por el foco), mueve el algoritmo de resolución de ecuaciones más rápido de uso corriente, dentro de todas las calculadoras y de todas las redes neuronales, y encuentra la viga rectangular más resistente que se puede sacar de un tronco redondo.

Parte I — Soltura con la tangente.

Deriva $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $g(x) = x^3 - 12x$ (Teorema 12.9), y recupera $\left(x^2\right)'$ en $x = 1$ a partir de la definición (la tasa de variación y después $h \to 0$ ).
Halla la tangente a $y = x^3 - 12x$ en $a = 2$ . ¿Qué tiene de especial y qué señala eso (Proposición 12.12)?
Establece la tangente general a la parábola $y = x^2$ en el punto $(a, a^2)$ :

$y = 2ax - a^2 .$
¿Dónde corta esa tangente al eje $y$ ? Deduce la receta del delineante: para trazar la tangente en un punto $P$ de altura $h$ de la parábola, une $P$ con el punto del eje que está a profundidad … por debajo del origen. Enúnciala.
Construye la tabla de variación completa de $g(x) = x^3 - 12x$ (signo de $g'$ , extremos relativos y sus valores, Método 12.13).

Parte II — El teorema del espejo. Sea $P(a, a^2)$ un punto de la parábola $y = x^2$ (con $a \neq 0$ ), sea $F\left(0, \frac14\right)$ el foco y sea $T$ el punto donde la tangente en $P$ corta al eje $y$ (pregunta 4). Recuerda del Problema 10.1 que $PF = a^2 + \frac14$ .

Calcula la distancia $FT$ .
Concluye que el triángulo $FPT$ es isósceles en $F$ . ¿Qué dos ángulos son, por tanto, iguales?
El rayo que llega a $P$ paralelo al eje es paralelo a la recta $(TF)$ (los dos son verticales). Usando los ángulos alternos, demuestra que la tangente en $P$ forma ángulos iguales con el rayo vertical entrante y con el segmento $[PF]$ .
Física: la luz se refleja en una curva como lo haría en su tangente, y sale con el mismo ángulo con el que llegó (la ley de la reflexión). Concluye el teorema del espejo: todo rayo paralelo al eje se refleja pasando por el foco y, invirtiendo el tiempo, una bombilla situada en el foco emite un haz paralelo. La antena y el faro del Problema 10.1 son ya teoremas.
Comprueba numéricamente el triángulo isósceles en $a = 1$ : calcula $T$ , $FP$ y $FT$ .

Parte III — La máquina de Newton. Para resolver $f(x) = 0$ , Newton propuso: partir de una estimación $x_0$ , seguir la tangente en $x_0$ hasta el eje y tomar su punto de corte como estimación siguiente.

Deduce la fórmula del método:

$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$
Aplícalo a $f(x) = x^2 - 2$ desde $x_0 = 1$ : calcula $x_1$ , $x_2$ y $x_3$ como fracciones exactas. ¿Qué sucesión de hace dos mil años, y qué máquina del Problema 3.1, acabas de reconstruir? Demuestra la identidad que hay detrás de esa coincidencia:

$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$
Resuelve $x^3 = 100$ (el cruce de los planes de ahorro del Problema 4.1): aplica dos pasos de Newton a $f(x) = x^3 - 100$ desde $x_0 = 5$ (con cuatro decimales) y compara con el $\sqrt[3]{100}$ de la calculadora.
Sabotaje: intenta arrancar el método con $f(x) = x^3 - 12x$ en $x_0 = 2$ . ¿Qué falla y por qué (pregunta 2)? Enuncia la advertencia práctica.
En la pregunta 12, los decimales correctos fueron más o menos $1 \to 3 \to 6$ . Compara con la bisección (partir el intervalo por la mitad en cada paso) y di en una frase por qué las calculadoras, los receptores de GPS y el entrenamiento de las redes neuronales funcionan todos con la idea de Newton.

Parte IV — La viga más resistente. De un tronco redondo de $30$ cm de diámetro se sierra una viga rectangular de anchura $w$ y canto $d$ , de modo que $w^2 + d^2 = 900$ . La rigidez de una viga es proporcional a $w d^2$ (el canto cuenta el doble: ¡las viguetas se ponen de canto!).

Expresa la rigidez en función de $w$ sola: $S(w) = 900w - w^3$ . ¿En qué intervalo?
Deriva, construye la tabla de variación y halla los valores óptimos de $w$ y $d$ (exactos y después al milímetro).
Demuestra que las proporciones óptimas cumplen $d = w\sqrt2$ : la vieja razón de los carpinteros. (Curiosidad adicional: dividir el diámetro del tronco en tres partes iguales y levantar perpendiculares hasta la circunferencia construye exactamente ese rectángulo.)
La elección ingenua es la viga cuadrada ( $w = d$ ). Calcula su rigidez y la de la viga óptima, y da la ganancia del carpintero en porcentaje.
Final: los tres oficios de la tangente, una frase para cada uno: la geometría (el teorema del espejo), el cálculo numérico (la máquina de Newton) y la optimización (la viga), todos movidos por el mismo objeto. Y el aviso hacia delante: el año que viene se añade la convexidad, o sea, de qué lado de la tangente está la curva, para afinar los tres.

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $f'(x) = 6x - 5$ ; $g'(x) = 3x^2 - 12$ . Por la definición: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$ : la derivada de $x^2$ en $1$ es $2$ .

2. $g(2) = 8 - 24 = -16$ y $g'(2) = 12 - 12 = 0$ : la tangente es la recta horizontal $y = -16$ . Una tangente horizontal señala un punto crítico, aquí un mínimo relativo, como confirma la tabla de variación de la pregunta 5.

3. Pendiente $2a$ en $(a, a^2)$ : $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ .

4. En $x = 0$ : $y = -a^2$ : la tangente corta al eje a profundidad $a^2$ por debajo del origen, exactamente tan abajo de cero como $P$ está por encima. Receta: para trazar la tangente en un punto de altura $h$ , únelo con el punto del eje situado a profundidad $h$ por debajo del origen. (No hace falta ninguna derivada en el tablero de dibujo.)

5. $g'(x) = 3(x^2 - 4)$ : positiva en $\intoo{-\infty}{-2}$ , negativa en $\intoo{-2}{2}$ y positiva más allá. $g$ crece hasta un máximo relativo $g(-2) = 16$ , cae hasta un mínimo relativo $g(2) = -16$ y vuelve a crecer.

6. $F\left(0, \frac14\right)$ y $T(0, -a^2)$ : $FT = \frac14 + a^2$ .

7. $FP = a^2 + \frac14 = FT$ : isósceles en $F$ , así que los ángulos de la base son iguales: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$ .

8. El rayo entrante en $P$ es vertical y, por tanto, paralelo a la recta $(TF)$ (el eje $y$ ). La tangente $(TP)$ corta a las dos paralelas, así que el ángulo entre el rayo y la tangente es igual a $\widehat{FTP}$ (ángulos alternos), que a su vez es igual a $\widehat{FPT}$ , el ángulo entre $[PF]$ y la tangente. Ángulos iguales a los dos lados de la tangente en $P$ .

9. Por la ley de la reflexión, el rayo que llega verticalmente a $P$ sale por la recta que forma el mismo ángulo del otro lado; por la pregunta 8, sale por $[PF]$ : pasa por el foco, sea cual sea $a$ . Al revés, la luz nacida en $F$ sale de cada punto del espejo paralela al eje. Las antenas recogen y los faros iluminan: demostrado.

10. $a = 1$ : tangente $y = 2x - 1$ , $T(0, -1)$ ; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$ ; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$ : isósceles, como se prometía.

11. La tangente en $x_n$ es $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ ; corta a $y = 0$ en $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ .

12. $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$ ; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$ ; $x_3 = \frac{577}{408}$ : las aproximaciones de $\sqrt2$ de Herón, o sea, la máquina de punto fijo del Problema 3.1. Identidad: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x} = \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ : la receta de Herón es el método de Newton aplicado a $x^2 - 2$ , dos milenios antes.

13. $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3} \approx 4.6667$ ; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33} \approx 4.6417$ . Calculadora: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ : cuatro decimales correctos en dos pasos.

14. $f'(2) = 0$ : la tangente en el punto de partida es horizontal (pregunta 2) y no corta nunca al eje; la fórmula divide entre cero. Advertencia: arranca el método de Newton lejos de los puntos críticos y, en general, suficientemente cerca de la raíz que buscas.

15. La bisección gana una cifra binaria por paso; Newton aproximadamente duplica el número de cifras correctas en cada paso ( $1 \to 3 \to 6$ aquí). Cuando cada paso es caro (millones de parámetros, navegación en tiempo real), duplicar gana a avanzar a pasitos, y por eso la recta tangente corre dentro de tanto silicio.

16. $d^2 = 900 - w^2$ , luego $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$ , para $0 < w < 30$ .

17. $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ en $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ cm ( $S' > 0$ antes y $< 0$ después: un máximo). Entonces $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm.

18. $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$ , luego $d = w\sqrt2$ : el canto es la anchura por $\sqrt2$ , la razón de los carpinteros (y la construcción del diámetro dividido en tres partes la entrega con un compás, sin álgebra sobre el terreno).

19. Viga cuadrada: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, con rigidez $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$ . Viga óptima: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$ . Ganancia: un $8.9\,\%$ más rígida a partir del mismo tronco; la derivada paga el aserradero.

20. Geometría: los ángulos iguales de la tangente convirtieron un paraboloide en un recogedor de luz. Cálculo numérico: deslizarse por las tangentes resuelve ecuaciones duplicando cifras. Optimización: una derivada que se anula halló el rectángulo más resistente del tronco. Un solo objeto y tres oficios; y la convexidad del año que viene dirá, además, a qué lado de cada tangente queda la curva.