¿Qué es Función convexa?

Ejemplo 22.14

$f(x) = x^3$ tiene $f''(x) = 6x$: $f$ es cóncava en $\intoc{-\infty}{0}$ y convexa en $\intco{0}{+\infty}$, con un punto de inflexión en el origen, donde la curva atraviesa su tangente (el eje $x$).

Ejemplo 22.15 (Desigualdades por convexidad)

La exponencial es convexa en $\R$ (su derivada segunda es ella misma, que es positiva). Su tangente en $0$ es $y = 1 + x$, así que

Estas desigualdades de la recta tangente son un producto habitual de la convexidad.

Ejemplo 14.20 (Desigualdades clásicas de convexidad)

$\exp$ es convexa ($\exp'' = \exp > 0$): su tangente en $0$ da $\eu^x \geq 1 + x$ para todo $x$. $\ln$ es cóncava: su tangente en $1$ da $\ln x \leq x - 1$; y sus cuerdas dan, para $0 < a \leq b$, la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética: tomando $t = \frac12$ en la concavidad,

La desigualdad aritmético-geométrica general es el Ejercicio 14.9.

Ejemplo 14.21 (Una desigualdad de convexidad desde cero)

La función $f(t) = t\ln t$ es convexa en $\intoo{0}{+\infty}$: $f''(t) = \frac1t > 0$. Su desigualdad del punto medio, multiplicada por $2$, dice: para todos $a, b > 0$,

con igualdad si y solo si $a = b$ (convexidad estricta). Prueba de manejo: $a = 1$, $b = 3$ da $3\ln 3 = 3.296$ frente a $4\ln 2 = 2.773$. Esta inocua desigualdad es el caso de dos puntos de la comparación de entropías que reaparece con la desigualdad de Jensen (Ejercicio 14.9) y en las asintóticas de la teoría de la información del volumen del tercer año. La idea de cierre: para fabricar una desigualdad, búsquese una función cuya segunda derivada tenga un signo y escríbase lo que dice la convexidad — la caracterización diferencial convierte una sola comprobación de signo en infinitas desigualdades.

Ejemplo 14.24 (La desigualdad de Young a partir de la concavidad)

Sean $p, q > 1$ con $\frac1p + \frac1q = 1$. Para todos $a, b > 0$:

Demostración con una sola aplicación de la concavidad de $\ln$ con pesos $\frac1p, \frac1q$ (la desigualdad de Jensen de dos puntos, como en el Ejercicio 14.9):

y ser $\ln$ creciente convierte la desigualdad entre logaritmos en la afirmación buscada; hay igualdad si y solo si $a^p = b^q$ (concavidad estricta). El caso $p = q = 2$ es la desigualdad aritmético-geométrica $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ disfrazada. La idea de cierre: la desigualdad de Young es la semilla algebraica de las desigualdades de Hölder y de Minkowski del volumen del segundo año — un solo enunciado de concavidad sobre $\ln$, cosechado para las normas.