Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

22Derivación y convexidad

La derivada mide la tasa de variación instantánea de una función; es la pendiente de la recta tangente a su gráfica. Este capítulo repasa y amplía las reglas de derivación, relaciona el signo de $f'$ con la variación de $f$ e introduce la convexidad, gobernada por la derivada segunda.

22.1 La derivada

Definición 22.1 (Derivada en un punto)

Sea $f$ definida en un intervalo $I$ y sea $a \in I$ . La función $f$ es derivable en $a$ si el cociente incremental

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

tiene límite finito cuando $h \to 0$ . Ese límite se llama derivada de $f$ en $a$ y se escribe $f'(a)$ . Si $f$ es derivable en todos los puntos de $I$ , la función $f' \colon x \mapsto f'(x)$ es la derivada de $f$ .

Definición 22.2 (Recta tangente)

Si $f$ es derivable en $a$ , la tangente a la curva de $f$ en el punto $(a, f(a))$ es la recta de ecuación

y = f(a) + f'(a)(x - a).

A medida que h disminuye, la recta secante que pasa por A = (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)) (en naranja) gira hacia la tangente en A (en rojo): su pendiente f(a+h)-f(a)/h tiende a f'(a). — A medida que $h$ disminuye, la recta secante que pasa por $A = (a, f(a))$ y $(a+h, f(a+h))$ (en naranja) gira hacia la tangente en $A$ (en rojo): su pendiente $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tiende a $f'(a)$ .

Proposición 22.3

Una función derivable en $a$ es continua en $a$ . El recíproco es falso.

Demostración. Para $h \neq 0$ pequeño, $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Cuando $h \to 0$ , el segundo miembro tiende a $0 \times f'(a) = 0$ , luego $f(a+h) \to f(a)$ . Para el recíproco, $x \mapsto \abs{x}$ es continua en $0$ , pero su cociente incremental en $0$ vale $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ según el signo de $h$ , y no tiene límite. ∎

22.1.1 Reglas de derivación

Proposición 22.4 (Operaciones)

Sean $u, v$ derivables en $I$ y sea $\lambda \in \R$ . Entonces $u + v$ , $\lambda u$ y $uv$ son derivables en $I$ , igual que $\frac{u}{v}$ allí donde $v \neq 0$ , y

(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Demostración de la regla del producto. Escribimos el cociente incremental de $uv$ en $a$ como

\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.

Cuando $h \to 0$ , $v(a+h) \to v(a)$ por continuidad (Proposición 22.3), así que el segundo miembro tiende a $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ . Las demás reglas se demuestran de forma análoga. ∎

Teorema 22.5 (Regla de la cadena)

Sea $u$ derivable en $I$ con valores en $J$ y sea $g$ derivable en $J$ . Entonces $g \circ u$ es derivable en $I$ y

(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .

En particular, para $u$ derivable:

(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad \left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.

Esquema de demostración. Cuando $u(a+h) \neq u(a)$ para $h$ pequeño, escribimos

\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h} = \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.

Cuando $h \to 0$ , $u(a+h) \to u(a)$ , así que el primer factor tiende a $g'(u(a))$ y el segundo, a $u'(a)$ . (Una demostración completa tiene que tratar el caso en que $u(a+h) = u(a)$ para $h$ arbitrariamente pequeño; ese punto técnico se trata en la universidad.) ∎

Ejemplo 22.6

Las derivadas usuales, válidas en sus dominios naturales:

(x^n)' = nx^{n-1}, \quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\sin x)' = \cos x .

La primera se demuestra por inducción a partir de la regla del producto, y las dos últimas, en el Capítulo 24.

22.2 Variación y extremos

Teorema 22.7 (Signo de la derivada y variación)

Sea $f$ derivable en un intervalo $I$ .

$f$ es creciente en $I$ si y solo si $f' \geq 0$ en $I$ .
$f$ es decreciente en $I$ si y solo si $f' \leq 0$ en $I$ .
Si $f' > 0$ en $I$ salvo en un número finito de puntos donde se anula, entonces $f$ es estrictamente creciente en $I$ .

Demostración parcial. Si $f$ es creciente, todos los cocientes incrementales $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ son $\geq 0$ , y pasando al límite se obtiene $f'(a) \geq 0$ . Las implicaciones recíprocas se apoyan en el teorema del valor medio, que se demuestra en la universidad; aquí se admiten a este nivel. ∎

Definición 22.8 (Extremo relativo)

$f$ tiene un máximo relativo en $a$ si $f(x) \leq f(a)$ para todo $x$ cercano a $a$ ; los mínimos relativos se definen de forma simétrica.

Proposición 22.9 (Condición de primer orden)

Si $f$ es derivable en un intervalo abierto $I$ y tiene un extremo relativo en $a \in I$ , entonces $f'(a) = 0$ . El recíproco es falso ( $f(x) = x^3$ en $a = 0$ ).

Demostración. Supongamos que $a$ es un máximo relativo. Para $h > 0$ pequeño, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$ , así que haciendo $h \to 0^+$ se obtiene $f'(a) \leq 0$ ; para $h < 0$ el cociente es $\geq 0$ , lo que da $f'(a) \geq 0$ . Por tanto, $f'(a) = 0$ . ∎

En un extremo relativo interior a un intervalo abierto, la tangente (en naranja) es horizontal: f'(a) = 0. Aquí f(x) = x3 - 3x, con un máximo relativo en -1 y un mínimo relativo en 1. — En un extremo relativo interior a un intervalo abierto, la tangente (en naranja) es horizontal: $f'(a) = 0$ . Aquí $f(x) = x^3 - 3x$ , con un máximo relativo en $-1$ y un mínimo relativo en $1$ .

Método 22.10 (Tabla de variación)

Para estudiar una función $f$ : determina su dominio y sus límites en la frontera; calcula $f'$ y factorízala; determina el signo de $f'$ en cada subintervalo; recógelo todo en una tabla de variación, marcando los extremos; y deduce el número de soluciones de $f(x) = k$ con el teorema de la biyección (Teorema 21.15).

22.3 Convexidad

Definición 22.11 (Función convexa)

Una función $f$ definida en un intervalo $I$ es convexa en $I$ si todas las cuerdas de su gráfica quedan por encima de la gráfica: para todos $a, b \in I$ y $t \in \intcc{0}{1}$ ,

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

Es cóncava si se cumple la desigualdad contraria ( $-f$ convexa).

Una función convexa: todas las cuerdas (en rojo) quedan por encima de la gráfica, y la gráfica queda por encima de todas sus tangentes (en naranja). El segmento discontinuo muestra la separación entre f ((1-t)a+tb ) y (1-t)f(a)+tf(b). — Una función convexa: todas las cuerdas (en rojo) quedan por encima de la gráfica, y la gráfica queda por encima de todas sus tangentes (en naranja). El segmento discontinuo muestra la separación entre $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ y $(1-t)f(a)+tf(b)$ .

Teorema 22.12 (Convexidad y derivadas)

Sea $f$ derivable en un intervalo $I$ . Las afirmaciones siguientes son equivalentes:

$f$ es convexa en $I$ ;
$f'$ es creciente en $I$ ;
la gráfica de $f$ queda por encima de todas sus tangentes.

Si $f$ es dos veces derivable, todas ellas equivalen además a $f'' \geq 0$ en $I$ .

Demostración de (2) $\Rightarrow$ (3). Fijemos $a \in I$ y tomemos $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$ , la separación entre la curva y la tangente en $a$ . Entonces $g$ es derivable y $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ . Si $f'$ es creciente, $g' \leq 0$ en $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ y $g' \geq 0$ en $I \cap \intco{a}{+\infty}$ : $g$ decrece antes de $a$ y crece después, así que $g$ alcanza su mínimo $g(a) = 0$ , luego $g \geq 0$ . Las demás implicaciones se admiten a este nivel; la equivalencia con $f'' \geq 0$ se sigue del Teorema 22.7 aplicado a $f'$ . ∎

Definición 22.13 (Punto de inflexión)

Un punto donde la curva de $f$ atraviesa su tangente es un punto de inflexión. Si $f$ es dos veces derivable, los puntos de inflexión son los puntos donde $f''$ cambia de signo.

Ejemplo 22.14

$f(x) = x^3$ tiene $f''(x) = 6x$ : $f$ es cóncava en $\intoc{-\infty}{0}$ y convexa en $\intco{0}{+\infty}$ , con un punto de inflexión en el origen, donde la curva atraviesa su tangente (el eje $x$ ).

El punto de inflexión de x x3 en el origen: la curva atraviesa su tangente (en naranja), cóncava a la izquierda y convexa a la derecha. — El punto de inflexión de $x \mapsto x^3$ en el origen: la curva atraviesa su tangente (en naranja), cóncava a la izquierda y convexa a la derecha.

Ejemplo 22.15 (Desigualdades por convexidad)

La exponencial es convexa en $\R$ (su derivada segunda es ella misma, que es positiva). Su tangente en $0$ es $y = 1 + x$ , así que

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{para todo } x \in \R .

Estas desigualdades de la recta tangente son un producto habitual de la convexidad.

Método 22.16 (Usar la convexidad)

Para demostrar una desigualdad $f(x) \geq ax + b$ : identifica la recta como una tangente de una $f$ convexa e invoca el Teorema 22.12(3).
Para localizar puntos de inflexión: resuelve $f''(x) = 0$ y comprueba que $f''$ cambia de signo allí.
En una tabla de variación, la convexidad afina el esbozo de la curva (hacia dónde se dobla).

22.4 Ejercicios

Ejercicio 22.1 ★

Deriva las funciones siguientes en sus dominios:

f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad h(x) = (2x+1)^5, \quad k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

$f'(x) = 3x^2 - 5$ .

Regla del cociente: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$ .

Regla de la cadena con $u = 2x+1$ : $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$ .

Regla de la cadena con $u = x^2 + 1$ : $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Ejercicio 22.2 ★

Da la ecuación de la tangente a la curva de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ en el punto de abscisa $a = 2$ y determina las posiciones de la curva respecto de esa tangente.

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

$f'(x) = 2x - 3$ , luego $f(2) = -1$ y $f'(2) = 1$ : la tangente es $y = -1 + (x - 2) = x - 3$ . La separación es

f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,

así que la curva queda por encima de la tangente en todas partes y solo la toca en $x = 2$ (como cabía esperar: $f$ es convexa).

Ejercicio 22.3 ★

Usando la definición de derivada, calcula

\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x} \qquad\text{y}\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

Los dos son cocientes incrementales. Con $f(x) = (1+x)^{100}$ en $0$ : $f'(x) = 100(1+x)^{99}$ , así que el límite es $f'(0) = 100$ . Con $g(x) = \sqrt{x}$ en $4$ : $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , así que el límite es $g'(4) = \frac14$ .

Ejercicio 22.4 ★★

Estudia la función $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ en su dominio: límites, derivada, tabla de variación y extremos relativos.

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

Dominio $\R \setminus \{1\}$ . Límites: en $\pm\infty$ , $f(x) \sim x \to \pm\infty$ ; en $1^\pm$ , el numerador $\to 4 > 0$ y el denominador $\to 0^\pm$ , luego $f \to \pm\infty$ ; la recta $x = 1$ es asíntota vertical.

f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.

Por tanto, $f' > 0$ en $\intoo{-\infty}{-1}$ y en $\intoo{3}{+\infty}$ , y $f' < 0$ en $\intoo{-1}{1}$ y en $\intoo{1}{3}$ . La función crece hasta un máximo relativo $f(-1) = -2$ , decrece hasta $-\infty$ , salta a $+\infty$ tras la asíntota, decrece hasta un mínimo relativo $f(3) = 6$ y crece después.

Ejercicio 22.5 ★★

Se fabrica una caja sin tapa a partir de una lámina cuadrada de cartón de lado $30\,$ cm, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y levantando los laterales. Determina el $x$ que maximiza el volumen de la caja.

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

Para $x \in \intoo{0}{15}$ , la caja tiene una base cuadrada de lado $30 - 2x$ y altura $x$ , así que

V(x) = x(30 - 2x)^2 .

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x) = (30-2x)(30-6x)$ . En $\intoo{0}{15}$ , $30 - 2x > 0$ , así que $V'$ tiene el signo de $30 - 6x$ : positivo antes de $x = 5$ y negativo después. El volumen es máximo para $x = 5$ cm, y vale $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$ .

Ejercicio 22.6 ★★

Sea $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$ .

Calcula $f''$ y determina los intervalos de convexidad y los puntos de inflexión de $f$ .
Demuestra que la tangente en el punto de inflexión de abscisa $2$ atraviesa allí la curva.

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ y $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ . Así que $f'' > 0$ en $\intoo{-\infty}{0}$ y en $\intoo{2}{+\infty}$ (convexa), y $f'' < 0$ en $\intoo{0}{2}$ (cóncava). $f''$ cambia de signo en $0$ y en $2$ : los dos son puntos de inflexión.

2. En $a = 2$ : $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$ , $f'(2) = 32 - 48 = -16$ y la tangente es $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$ . La separación es

g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .

Como $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$ , $(x-2)^3$ divide a $g$ ; la división da $g(x) = (x-2)^3(x+2)$ . Cerca de $x = 2$ , $x + 2 > 0$ , así que $g$ tiene el signo de $(x-2)^3$ : negativo antes de $2$ y positivo después. La curva atraviesa la tangente: $2$ es, en efecto, un punto de inflexión.

Ejercicio 22.7 ★★

Usando una desigualdad de la recta tangente, demuestra que para todo $x > 0$ ,

\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},

e identifica cuándo se da la igualdad. (Indicación: la raíz cuadrada es cóncava.)

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

La función $f(x) = \sqrt{x}$ cumple $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ en $\intoo{0}{+\infty}$ : es cóncava, así que su gráfica queda por debajo de todas sus tangentes. La tangente en $a = 1$ es

y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},

de donde $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ para todo $x > 0$ . La igualdad significa que la curva toca la tangente, cosa que solo ocurre en el punto de tangencia $x = 1$ . (Equivalentemente: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$ .)

Ejercicio 22.8 ★★★

Sea $f$ convexa y derivable en $\R$ , y supongamos que $f'$ se anula en algún punto $a$ . Demuestra que $f(a)$ es el mínimo absoluto de $f$ en $\R$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

Por el Teorema 22.12, la gráfica de una función convexa derivable queda por encima de todas sus tangentes. La tangente en $a$ es horizontal ( $f'(a) = 0$ ), de ecuación $y = f(a)$ . Por tanto, $f(x) \geq f(a)$ para todo $x \in \R$ : $f(a)$ es el mínimo absoluto.

Ejercicio 22.9 ★★★

Demuestra que, de entre todos los rectángulos de perímetro fijo $p$ , el cuadrado es el de mayor área. Demuestra después que, de entre todos los rectángulos de área fija $A$ , el cuadrado es el de menor perímetro, y explica cómo se relacionan las dos afirmaciones.

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

Perímetro fijo. Un rectángulo de lados $x$ y $\frac{p}{2} - x$ ( $0 < x < \frac p2$ ) tiene área $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$ . Entonces $S'(x) = \frac p2 - 2x$ se anula en $x = \frac p4$ , es positiva antes y negativa después: el máximo está en $x = \frac{p}{4}$ , donde los dos lados valen $\frac p4$ ; un cuadrado.

Área fija. Los lados $x$ y $\frac Ax$ dan un perímetro $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$ , con $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$ , negativa para $x < \sqrt A$ y positiva después: mínimo en $x = \sqrt{A}$ ; otra vez un cuadrado.

Relación. Las dos afirmaciones son duales. Supongamos que un rectángulo no cuadrado minimizara el perímetro con área fija $A$ ; el cuadrado de ese mismo perímetro tendría área $> A$ por la primera afirmación, y encogerlo por semejanza hasta el área $A$ reduciría estrictamente su perímetro, en contradicción con la minimalidad. Cada afirmación implica, pues, la otra.

22.5 Problema: El cálculo del socorrista

Problema 22.1

Problema de fin de semana — el rescate más rápido obedece a la ley de Snell de la luz, la convexidad certifica todos los óptimos y la lata de refresco ideal es exactamente tan alta como ancha

Un socorrista ve a un bañista en apuros, en diagonal playa abajo y mar adentro. Correr es más rápido que nadar: la línea recta no es el camino más rápido. El recorrido que minimiza el tiempo se quiebra en la orilla, y su ley de quiebro es exactamente la ley con la que se refracta la luz al entrar en el agua: la naturaleza también deriva. Este problema entrena la regla de la cadena (Teorema 22.5), ejecuta el rescate, cosecha las desigualdades de la convexidad (Teorema 22.12) y diseña una lata.

Parte I — Soltura con la regla de la cadena.

Deriva: $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
Da la tangente a $y = \sqrt{x^2 + 9}$ en $x = 4$ .
Construye la tabla de variación de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ en $\R$ (con los extremos).
Para $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : tabla de variación y tabla de convexidad ( $g''$ ), con el punto de inflexión (Definición 22.13).
Calcula la tangente a $g$ en su punto de inflexión y demuestra que $g(x) - (\text{tangente}) = (x - 1)^3$ : ¿qué dice el cambio de signo sobre cómo se encuentra la tangente con la curva en una inflexión?

Parte II — El rescate. La orilla va a lo largo del eje $x$ ; la socorrista está sobre la arena en $A(0, 30)$ y el bañista espera en $B(40, -20)$ (en metros). La socorrista corre a $5$ m/s sobre la arena, nada a $2$ m/s y entra en el agua por un punto $(x, 0)$ que ella elige.

Modelo: expresa el tiempo total de rescate $T(x)$ y di por qué solo merece la pena considerar $x \in \intcc{0}{40}$ .
Deriva $T$ (con la regla de la cadena en acción, dos veces).
Sea $\theta_1$ el ángulo del tramo corriendo con la perpendicular a la orilla y $\theta_2$ el del tramo a nado. Demuestra que $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ y que la condición $T'(x) = 0$ se lee

$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$

— la ley de Snell, con las dos velocidades en lugar de las velocidades de la luz en el aire y en el agua.
El segmento recto $[AB]$ corta la orilla en $x = 24$ . Calcula $T(24)$ , $T(40)$ (correr por la playa y después nadar en línea recta) y $T(0)$ : ¿es la recta geométrica lo más rápido? ¿Y alguna de las dos estrategias extremas?
Localiza el punto de entrada óptimo por dicotomía sobre $T'$ (está en torno a $33.7$ m): da $x^*$ al metro y el tiempo récord $T(x^*)$ con una décima de segundo. ¿Cuánto ahorra el quiebro óptimo frente a la línea recta?
¿Por qué el punto crítico es un mínimo absoluto? (Cada sumando de $T$ es convexo (admite que una suma de funciones convexas es convexa) y se aplica el Ejercicio 22.8.)
El principio de Fermat afirma que la luz recorre siempre el camino de tiempo mínimo. Deduce por qué un rayo de luz se quiebra justo en la superficie al entrar en el agua (donde la luz es más lenta) y nombra la observación cotidiana que esto explica sobre un lápiz metido en un vaso de agua.

Parte III — La cosecha de la convexidad.

Demuestra que $x \mapsto x^2$ es convexa y demuestra dos veces la desigualdad del punto medio $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ : una vez a partir de la convexidad y otra desarrollando $(a - b)^2 \geq 0$ .
Deduce que la media cuadrática $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ domina a la media aritmética y monta la cadena completa de la serie (armónica $\leq$ geométrica $\leq$ aritmética $\leq$ cuadrática), comprobando las cuatro con $a = 2$ y $b = 8$ .
Tangente por debajo de la curva: $x \mapsto \frac1x$ es convexa en $\intoo{0}{+\infty}$ ; escribe su tangente en $1$ y deduce la desigualdad $\frac1x \geq 2 - x$ para todo $x > 0$ . ¿Dónde es una igualdad?
Inflexión en estado salvaje: durante una epidemia, el recuento acumulado de casos sigue una curva en forma de S. ¿Qué ocurre en su punto de inflexión y por qué es esa la fecha que vigilan los epidemiólogos? Relaciónalo con el signo de la derivada segunda a cada lado.

Parte IV — La lata ideal. Una lata cilíndrica debe contener $V = 330$ cm $^3$ con el menor metal posible: superficie $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ con la restricción $\pi r^2 h = V$ .

Expresa $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ , deriva y calcula el radio y la altura óptimos para $V = 330$ (con precisión de milímetro).
Demuestra la elegante ley general: en el óptimo, $h = 2r$ ; la lata ideal es exactamente tan alta como ancha.
Comprueba que $S''(r) > 0$ y concluye (otra vez con el Ejercicio 22.8) que el óptimo es absoluto. Las latas de refresco reales son visiblemente más altas que anchas: da una razón no matemática.
Final: la cadena de montaje de la optimización: modelizar, preguntar a la derivada, resolver los puntos críticos, certificar con convexidad o con una tabla, e interpretar. Recorre la lista con el socorrista, la lata y la viga más resistente del curso pasado (Problema 12.1), y di qué afirma el principio de Fermat sobre quién más recorre esta cadena.

Solución

Solución de Problema 22.1.

1. $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$ ; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ ; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$ .

2. $y(4) = 5$ , pendiente $\frac45$ : tangente $y = 5 + \frac45(x - 4)$ , es decir, $y = \frac45 x + \frac95$ .

3. $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ : negativa, positiva y negativa al pasar por $-1$ y $1$ : mínimo $f(-1) = -\frac12$ , máximo $f(1) = \frac12$ , con asíntota horizontal $0$ a los dos lados.

4. $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ : creciente, decreciente y creciente al pasar por $0$ y $2$ ; máximo relativo $g(0) = 4$ y mínimo relativo $g(2) = 0$ . $g''(x) = 6x - 6$ : cóncava antes de $1$ y convexa después: inflexión en $(1, 2)$ .

5. Tangente en $1$ : pendiente $g'(1) = -3$ : $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$ . Diferencia: $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$ , que cambia de signo en $1$ : la tangente atraviesa la curva; ese es el comportamiento característico en un punto de inflexión, donde la curva cambia de lado.

6. $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} + \dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$ . Entrar antes de $0$ o más allá de $40$ alarga los dos tramos: no tiene sentido.

7. $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} - \dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$ .

8. En el triángulo del tramo a la carrera, el lado paralelo a la orilla mide $x$ y la hipotenusa, $\sqrt{x^2 + 900}$ : el seno del ángulo con la perpendicular es precisamente su cociente (cateto opuesto entre hipotenusa); y del mismo modo, $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$ . Entonces $T'(x) = 0$ se lee $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ : la ley de Snell con velocidades $5$ y $2$ .

9. $T(24) \approx 20.5$ s; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. La línea recta pierde incluso frente a “correr todo el camino y después nadar en línea recta”, y las dos pierden frente al camino refractado.

10. La dicotomía sobre $T'$ (negativa en $24$ y positiva en $40$ ) converge a $x^* \approx 34$ m, con $T(x^*) \approx 19.5$ s: un segundo más rápido que la línea recta; la diferencia entre un rescate y una tragedia.

11. El tiempo de cada tramo es una función convexa de $x$ (una rama de la raíz cuadrada de un polinomio de segundo grado), así que $T$ es convexa, y un punto crítico de una función convexa derivable es su mínimo absoluto (Ejercicio 22.8): $x^*$ no es solo estacionario, es imbatible.

12. La luz es más lenta en el agua; por el principio de Fermat, el camino más rápido del aire al agua se quiebra en la superficie exactamente según la ley de Snell, así que los rayos de un lápiz sumergido llegan al ojo quebrados y el cerebro, que prolonga líneas rectas, ve el lápiz roto en la línea del agua.

13. $(x^2)'' = 2 > 0$ : convexa. Convexidad en el punto medio: $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}$ , que es lo que se afirma. A mano: $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$ .

14. Tomando raíces cuadradas (que es creciente) en la pregunta 13: $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ . Cadena completa con $2$ y $8$ : armónica $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$ ; geométrica $\sqrt{16} = 4$ ; aritmética $5$ ; cuadrática $\sqrt{34} \approx 5.83$ : cada media se inclina ante la siguiente.

15. Tangente a $\frac1x$ en $1$ : valor $1$ y pendiente $-1$ : $y = 2 - x$ . Las curvas convexas se sitúan por encima de sus tangentes (Teorema 22.12): $\frac1x \geq 2 - x$ para todo $x > 0$ , con igualdad exactamente en el punto de contacto $x = 1$ .

16. En la inflexión, el recuento diario de casos (la derivada) alcanza su máximo: el crecimiento deja de acelerarse y empieza a frenar; es la primera señal matemática de que la ola está girando, mucho antes de que caigan los propios recuentos. Antes de ella, $f'' > 0$ (cada día peor que el anterior); después, $f'' < 0$ (sigue creciendo, pero más despacio).

17. $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ da $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$ : $r \approx 3.74$ cm, y $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

18. $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$ en el óptimo: la altura es igual al diámetro, sea cual sea el volumen.

19. $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$ : convexa, así que el radio crítico da el mínimo absoluto. Las latas reales son más altas por el agarre, el apilado, la presencia en el lineal y el metal más grueso de la tapa y el fondo: la optimización siempre minimiza exactamente lo que has escrito, no lo que querías decir.

20. Socorrista: modelizar $T(x)$ , derivar, Snell, convexidad, un segundo ganado. Lata: modelizar $S(r)$ , derivar, $h = 2r$ , convexidad, metal ahorrado. Viga (Problema 12.1): modelizar $S(w)$ , derivar, $d = w\sqrt2$ , tabla, rigidez ganada. Y, por el principio de Fermat, la propia luz recorre esta cadena en cada superficie que encuentra: la naturaleza fue el primer optimizador.