Un sistema lineal de n ecuaciones con p incógnitas es AX=B con A∈Mn,p(K), B∈Kn; es homogéneo cuando B=0. Su conjunto de soluciones, cuando es no vacío, es X0+kerA: una solución particular más la solución general homogénea — un subespacio afín de dimensión p−rkA (teorema del rango).
উদাহরণ
Ejemplo 22.14 (La estructura afín, hecha visible)
Resuélvase
{x+y+z=3x−y+2z=2.
Restando las ecuaciones: 2y−z=1, luego z=2y−1 y x=3−y−z=4−3y. Las soluciones forman la recta
(x,y,z)=(4, 0, −1)+y(−3, 1, 2)(y∈R):
la solución particular X0=(4,0,−1) (la elección y=0) más la recta núcleo kerA=Vect(−3,1,2) del sistema homogéneo asociado — compruébese: (−3)+1+2=0 y (−3)−1+4=0. Geométricamente, dos planos no paralelos de R3 se cortan en una recta, y el recuento de dimensiones p−rkA=3−2=1 ya lo sabía antes de resolver nada. Cambiar la solución particular (digamos y=1: X0′=(1,1,1)) cambia la descripción, no la recta: un subespacio afín tiene muchos orígenes y una sola dirección.
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