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Mathématiques · 术语表

什么是 application continue？

又称： homéomorphisme

Définition 6.5 Mathématiques universitaires — Licence 3 · 第 6 章 — Topologie générale

$f \colon X \to Y$ est continue si $f^{-1}(V)$ est ouvert pour tout ouvert $V \subseteq Y$ — de façon équivalente, les images réciproques de fermés sont fermées ; de façon équivalente, pour tout $x$ et tout voisinage $V$ de $f(x)$ , $f^{-1}(V)$ est un voisinage de $x$ (continuité en chaque $x$ ). Il suffit de vérifier sur une base de $Y$ . Les composées d’applications continues sont continues. Un homéomorphisme est une bijection continue d’inverse continue ; la topologie étudie les propriétés préservées par les homéomorphismes.

示例

Exemple 6.11

Le quotient $\R/\Z$ (identifier $x$ et $x + n$ ) est homéomorphe au cercle $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : l’application $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ passe à une bijection continue $\R/\Z \to S^1$ (Proposition 6.10(b)) ; son inverse est continue par l’argument de compacité du Corollaire 6.14 ci-dessous (Exercice 6.5 détaille tout, y compris pourquoi $\R/\Z$ est séparé et compact). De même $[0,1]$ avec les extrémités collées est $S^1$ , le carré avec les côtés opposés collés est le tore, et le collage est enfin un théorème, non un dessin.

Exemple 6.22 (La sinusoïde du topologue)

Soit $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ et $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (tout point $(0, y)$ , $\abs y \leq 1$ , est limite de points de $\Gamma$ : résoudre $\sin\frac1x = y$ près de $0$ ). Alors $S$ est connexe — adhérence de la connexe $\Gamma$ , image continue de $(0, 1]$ (Théorème 6.20(3)) — mais pas connexe par arcs : un chemin de $(1, \sin 1)$ à $(0,0)$ devrait parcourir des abscisses $\to 0$ tandis que l’ordonnée oscille entre $\pm1$ ; Exercice 6.9 rend cela rigoureux. Connexité et connexité par arcs diffèrent vraiment.

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