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Mathématiques · 术语表

什么是 Arc paramétré？

又称： tangente

Définition 18.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · 第 18 章 — Courbes

Un arc paramétré de classe Ck\mathcal{C}^k (k≥1k \geq 1) est une application γ ⁣:I→Rn\gamma \colon I \to \R^n de classe Ck\mathcal{C}^k sur un intervalle II. Un point γ(t)\gamma(t) est régulier si γ′(t)≠0\gamma'(t) \neq 0, et l’arc est régulier si tous ses points le sont. La droite passant par γ(t)\gamma(t) et dirigée par γ′(t)\gamma'(t) est la tangente en un point régulier.

示例

Exemple 18.4 (La vitesse ne change rien de géométrique)

Paramétrons le cercle unité par

γ(t)=(cos⁡t2, sin⁡t2),t∈[0, 2π].\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

La vitesse ∥γ′(t)∥=2t\norm{\gamma'(t)} = 2t croît linéairement, et pourtant

L=∫02π2t  ⁣dt=2π,L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

la même longueur qu’à vitesse constante — comme le Théorème 18.7 le promet, via le changement de paramètre t↦t2t \mapsto t^2. La tangente, la courbure calculée à partir de la Proposition 18.17, et toute autre grandeur géométrique coïncident également ; seul t=0t = 0 mérite un regard, où γ′(0)=0\gamma'(0) = 0 rend ce paramétrage irrégulier bien que la trajectoire soit un cercle parfait. Les énoncés géométriques tolèrent mal les mauvais paramétrages : reparamétrer d’abord, conclure ensuite.

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