Qu'est-ce que « changement de base » ? — Mathématiques

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Français সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Définition 21.8 Mathématiques universitaires — Licence 1 · অধ্যায় 21 — Matrices

Soient $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$ . La matrice de passage $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ a pour colonnes les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l’ancienne. Elle est inversible, $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$ , et les coordonnées se transforment par $X = PX'$ (ancien $=$ $P\,\cdot$ nouveau).

উদাহরণ

Exemple 21.9 (Lire la matrice de passage)

Dans $\R^2$ , de la base canonique $\mathcal B$ à $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}

(les nouveaux vecteurs écrits en anciennes coordonnées, colonne par colonne). Le vecteur d’anciennes coordonnées $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ a pour nouvelles coordonnées $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$ : en effet $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$ . Attention au sens — la matrice $P$ est construite à partir de la nouvelle base, mais elle convertit les coordonnées nouvelles en anciennes ( $X = PX'$ ) ; passer des anciennes aux nouvelles coûte l’inverse. Écrire la vérification $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ après chaque conversion permet de repérer l’erreur du $P$ inversé, qui est la faute la plus fréquente du chapitre.

Exemple 21.11 (Une bonne base rend une application transparente)

Soit $u(x, y) = (y, x)$ (l’échange), de matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ dans la base canonique. Dans la base $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Aucun produit matriciel n’était vraiment nécessaire : $u$ fixe $(1,1)$ et renverse $(1,-1)$ , donc dans $\mathcal B'$ sa matrice doit être $\operatorname{diag}(1, -1)$ — l’échange est la symétrie par rapport à la droite $y = x$ . Trouver, pour un endomorphisme donné, une base dans laquelle sa matrice devient diagonale est le problème central du volume de Licence 2 (la théorie de la réduction) ; le devoir maison ci-dessous montre jusqu’où les seules identités polynomiales mènent déjà.

Exemple 21.12 (Changement de base, pris à l’envers)

La projection sur $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ a, dans la base adaptée $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$ , la matrice transparente $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$ . Pour obtenir sa matrice dans la base canonique, on lit le Théorème 21.10 à l’envers, $A = P A' P^{-1}$ :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

Vérification : $A^2 = A$ (idempotente), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$ , et $A\binom{1}{1} = \binom11$ , $A\binom{1}{-1} = 0$ , comme prévu. Ce sens inverse — concevoir la matrice dans la bonne base, puis conjuguer pour revenir — est la façon dont on produit en pratique les matrices de rotation, de symétrie et de projection.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ